bew160

فرآیند تولید کاشی کارخانه مورد مطالعه از سه مرحله اصلی آماده‌سازی (پرس و لعاب)، پخت کاشی (کوره) و بسته‌بندی تشکیل شده است که بین این مراحل، انبارهایی جهت نگه‌داری کاشی در جریان ساخت وجود دارد. در این کارخانه، با توجه به این‎که 4 خط پرس و لعاب، 3 خط کوره و 4 خط بسته‌بندی وجود دارد و تولید هر نوع از کاشی به نسبت معینی از ظرفیت خطوط را اشغال می‌کند، استفاده‌ بهینه از ظرفیت انبارهای میانگیر بین خطوط لعاب و کوره و بسته‌بندی و هم‌چنین زمان مناسب برای تغییر اندازه در خطوط بسته‌بندی می‌تواند علاوه‌بر امکان تولید متنوع اندازه و طرح‌های محصولات، باعث به حداقل رساندن توقفات کوره و گلوگاه‌شدن واحد‌های تولیدی (پرس و لعاب و بسته‌بندی) شود. ضمناً، چیدمان اندازه‌های مختلف کاشی روی خطوط، ظرفیت‌های متفاوتی از تولید را ایجاد می‌کند. لازم به ذکر است، توقفات هر بخش رفتار‌ی متفاوت دارد که در ظرفیت تولید تأثیرگذار است و بسته به شرایط باید بتوان چیدمان تولید را مدیریت کرد.
1-3- ضرورت انجام پژوهشامروزه، پیچیدگی و ماهیت تصادفی کارکرد سیستم‌های تولیدی، تصمیم‌گیری برای مدیریت را بیش‌ازپیش دشوار نموده است. در این راستا، کمبود منابع در دسترس و سرعت قابل‌توجه رقابت، ضرورت به‌کارگیری مدل‌های تحلیلی را ایجاب می‌کند.
خطوط تولید به‌عنوان یکی از مهم‌ترین اجزاء هر شرکت تولیدی محسوب می‌شوند. هزینه فضای بین ایستگاه‌های کاری از یکسو و هزینه خوابیدگی ایستگاه‌ها به‌دلیل کمبود قطعات ورودی از سوی دیگر موجب می‌شود تا همواره تعیین اندازه ظرفیت انبارهای میانگیر از موضوعات موردتوجه محسوب شود.
در کارخانجات تولید کاشی، کوره به‌عنوان یک گلوگاه محسوب می شود و نقش بسیار مهمی را در فرآیند تولید ایفا می‌کند. کوره ها هزینه توقف بالایی دارند از جمله: مصرف انرژی به‌منظور شروع مجدد کوره و اثرات منفی توقف بر روی کیفیت محصول. به‎همین دلیل، بخش برنامه‌ریزی تولید باید به‎صورتی عمل کند تا حداکثر کارایی کوره بدون توقف و در حال تغذیه دائم به‌دست آید.
1-4- سوالات پژوهشکدام ابعاد از برنامه‌ریزی تولید بر کارایی کوره تأثیرگذار هستند؟
عوامل کلیدی خط تولید را چگونه باید سازماندهی کرد تا حداکثر کارایی برای کوره (گلوگاه) حاصل شود؟
بهترین ترکیب انبارهای میانگیر برای دست‌یابی به هدف کاهشِ زمانِ توقفِ کوره چیست؟
1-5- اهداف پژوهش1-5-1- اهداف کلی
اهداف کلی این پژوهش را می‌توان در چند بخش ارائه نمود:
مهم‌ترین هدفی که شبیه‌سازی یک سیستم تعقیب می‌کند، کمک به سیستم مدیریت در راستای اتخاذ مؤثرترین و کارآمدترین تصمیم در رابطه با پارامترها و عوامل مؤثر بر سیستم می‌باشد.
در دسترس قراردادن عوامل مؤثر در تولید کاشی، به‌صورت پارامترهای قابل ‌تغییر، جهت اعمال تغییرات موردنظر.
نمایش نتایج حاصل از سناریو‌های متفاوت جهت مقایسه نتایج و انتخاب سناریوی کاراتر.
1-5-2- اهداف خاص و مصداقی
بسته به نوع سیستم شبیه‌سازی شده و مسائل و عوامل اثرگذار درون این سیستم می‌توان جزییات و مصادیق بیشتری را ارائه نمود که برای این پژوهش خاص چند هدف به‌صورت مصداقی بیان می‌گردد:
کاهش زمان توقف کوره (گلوگاه) جهت بهره‌برداری بهینه از ظرفیت خط تولید.
محاسبه تعداد بهینه انبارهای میانگیر (بافرها) جهت استفاده مؤثر از منابع انسانی و ماشین‌آلات، که منجر به حداقل نمودنِ زمانِ تولیدِ صفرِ (توقف) کوره می‌شود.
ارزیابی پارامتر‌ها و تعداد لازم از عوامل و منابع موردنیاز و نیز تغییرات لازم جهت دست‌یابی به میزان تولید مدنظر مدیریت در یک دوره زمانی خاص.
1-6- قلمرو پژوهشپژوهش حاضر در شرکت کاشی گلدیس یزد انجام شد. مراحل اولیه مربوط به مشاهدات عینی و مصاحبه با افراد مرتبط جهت تکمیل اطلاعات موردنیاز مراحل مختلف پژوهش، در نیمه ابتدایی سال 1393 جمع‌آوری شد. ضمناً، جهت گردآوری اطلاعات موردنیاز مربوط به مدل شبیه‌سازی، از داده‌های موجود در آرشیو واحد برنامه‌ریزی شرکت کاشی گلدیس (1386-1393) استفاده شد. هم‌چنین، مراحل برنامه‌نویسی و ایجاد مدل جهت شبیه‌سازی در نیمه دوم سال 1393 انجام پذیرفت.
1-7- تعریف واژگان کلیدیبهینه‌سازی شبیه‌سازی: مفهوم "بهینه‌سازی شبیه‌سازی" در شبیه‌سازی سیستم‌ها با استفاده از رایانه عبارت است از فرآیند یافتن بهترین مقادیر ورودی از بین کلیه حالات ممکن، بدون این‌که کلیه حالات ممکن مورد ارزیابی قرار گیرند]6[.
الگوریتم‌های فراابتکاری: الگوریتم‌های فراابتکاری نوعی از الگوریتم‌های دقیق هستند که برای یافتن جواب‌ بهینه به‌کار می‌روند. روش‌ها و الگوریتم‌‌های بهینه‌سازی به دو دسته الگوریتم‌های دقیق و الگوریتم‌های تقریبی تقسیم‌بندی می‌شوند. الگوریتم‌‌های فراابتکاری برای حل این مشکلات الگوریتم‌‌های ابتکاری ارائه شده‌اند. در واقع الگوریتم‌های فراابتکاری، یکی از انواع الگوریتم‌های بهینه‌سازی تقریبی هستند که دارای راهکارهای برون رفت از بهینه محلی می‌باشند و قابل کاربرد در طیف گسترده‌ای از مسائل می‌باشند]7[.
الگوریتم ژنتیک: الگوریتم ژنتیک یک تکنیک جستجو برای حل مسائل با استفاده از مدل ژنتیک است. این الگوریتم در زمره الگوریتم‌های مبتنی بر جمعیت قرار دارد که ایده اساسی خود را از نظریه تکامل می‌گیرد]8[.
برنامه‌ریزی تولید: ارائه یک برنامه جامع جهت برآورد تقاضای پیش‌بینی‌شده با استفاده از امکانات سازمان]9[.
1-8- جمع‌بندیهدف از این پژوهش، رفع مشکلات برنامه‌ریزی خط تولید گسسته‌ای هست که با محدودیت ظرفیت انبارهای میانگیر (بافر) مواجه می‌باشد. بدین طریق که پس از انجام مراحل شبیه‌سازی سیستم، با بهره‌گیری از الگوریتم ژنتیک، این مشکل برطرف شود.
در پایان، ساختار کلی پژوهش مطرح می‌شود. فصل دوم، به تعریف واژگان و توضیح مفاهیم مربوط به پژوهش و پیشینه پژوهش‌های قبلی در این زمینه پرداخته می‌شود. فصل سوم، گام‌های ضروری جهت انجام مدل‌سازی و نحوه دست‌یابی به جواب‌ بهینه از طریق الگوریتم ژنتیک، شرح داده می‌شود. فصل چهارم، نتایج حاصل از مدل‌سازی و سپس بهینه‌سازی با استفاده از الگوریتم ژنتیک ارائه داده می‌شود. فصل پنجم، شامل نتیجه‌گیری حاصل از بهینه‌سازی شبیه‌سازی مسئله و پیشنهادات موردنظر برای به‌کارگیری و توسعه مدل می‌باشد.

فصل دومادبیات تحقیق
2-1- مقدمهدر دنیای امروز، مدیریت مناسب و کارا عامل رفع بسیاری از مشکلات، نابسامانی‌ها و هزینه‌های نابجاست و یک مدیریت اساسی و مؤثر می‌تواند باعث تعالی سازمان در راستای اهداف مدونش گردد. یکی از الزامات مدیریتی، داشتن دید کلی و جامع نسبت به سیستم تحت مدیریت و کنترل آن می‌باشد تا از یک طرف، قدرت کنترل و مدیریت ارتقا یابد و از طرف دیگر، بتوان تصمیمات استراتژیک و اساسی خود را با اطمینان خاطر بیشتری ارائه نمود.
برای این‌که تصمیمات یک مدیر، چه در سطح میانی و چه در سطح ارشد، تصمیماتی مطمئن و کارساز باشند، داشتن تسلط و احاطه کامل و جامع بر سیستم و قدرت پیش‌بینی بالا الزامیست. این در حالی است که آن‌ها با دنیایی از وقایع و رویدادهایی مواجه می‌شود که قطعیت آن مشخص نبوده و علی رغم تمایل مدیران، معمولاً برآورد تبعات و نتایج تصمیمات، امری پیچیده و گاهی ناممکن است که مسلماً عدم دست‌یابی به نتایج مدنظر با هزینه‌هایی همراه خواهد بود. لذا راهکارها و سیستم‌هایی می‌توانند ما را در این امر کمک کنند که اولاً، بتوانند رویدادها و عوامل مؤثر را به‌صورت یکپارچه و جامع مدنظر قرار دهند و ثانیاً، قادر به ارائه، نمایش و مقایسه نتایج حاصل از تغییرات اعمال‌شده باشند.
این قاعده، به نوعی در کلیه سازمان‌ها، ادارات و مراکز تولیدی دیده می‌شود؛ هرچند که بسته به نوع و جایگاه آن، با شدت و ضعف همراه هست.
در محیط‌های تولیدی امروزی، در مبحث برنامه‌ریزی تولید با توجه به تغییرات نوع تقاضا، روی دادن وقایع نه چندان قطعی و قابل پیش‌بینی و وجود الگوهای تولیدی متفاوت، مدیریت خط تولید دچار چالش می‌باشد و این در حالیست که از یک طرف، مدیریت به دنبال برآورد تقاضاهای متنوع تولید، با حداکثر استفاده از امکانات موجود می‌باشد و از طرفی دیگر، عوامل و پارامترهای گوناگون و پیچیده‌ای در این موضوع دخیل هستند؛ لذا در محیط‌های صنعتی نیز احاطه کلی و جامع بر روی خط تولید می‌تواند در افزایش اطمینان از موفقیت تصمیمات و تغییرات مدنظر، اثرگذار باشد.
شبیه‌سازی سیستم‌ها، از جمله آن‌ راهکارهایی است که ضمن لحاظ‎نمودن موارد اشاره شده، این امکان‌ را در اختیار یک مدیر قرار می‌دهد که دنیای واقعی را در یک اشل کوچکتر، درون یک سیستم رایانه‌ای، در اختیار داشته و در ادامه بتواند تصمیمات خود را بدون هیچ هزینه‌ای در سیستم شبیه‌سازی شده، مورد ارزیابی قرار داده و نتایج حاصله را با برآورد و انتظاراتش، مقایسه نماید. به بیانی دیگر از یک جهت آزمون و خطاهای مدیریتی قبل از اجرا در سیستم واقعی، درون مدل شبیه‌سازی شده، مورد ارزیابی و تحلیل قرار می‌گیرد و از جهتی دیگر از بین گزینه‌های گوناگون مدنظر مدیریت و یا پیشنهادی، بهترین گزینه انتخاب می‌گردد.
در این فصل، پس از مرور مباحث مربوط به تولید، به ارائه مفاهیم بهینه‌سازی شبیه‌سازی در مدیریت برنامه‌ریزی سیستم‌های تولیدی پرداخته خواهد شد. هم‌چنین انواع روش‌های فراابتکاری جهت حل مسائل بهینه‌سازی معرفی و به تفصیل در مورد الگوریتم ژنتیک صحبت خواهد شد. در نهایت به پیشینه پژوهش‌های انجام شده در زمینه کاربردهای متفاوت بهینه‌سازی شبیه‌سازی در صنعت و مزایای آن اشاره خواهد شد.
2-2- مدیریت تولید و سیستم‌های تولیدی2-2-1- پارادایم‌های تولید
تولید، همواره در شرف تغییر بوده است. در طول تاریخ تاکنون چهار دوره تولیدی وجود داشته است. دوره اول تولید دستی بوده که از ویژگی‌های آن سطح تولید پایین، نظام استاد-شاگردی، کیفیت پایین محصولات، قیمت بالای محصول و ... است. دوره دوم، دوره تولید انبوه "هنری فورد" بوده که می‌توان خط مونتاژ متحرک، قابلیت تعویض کامل قطعات، راحتی اتصال قطعات مختلف به یکدیگر، کاهش زمان چرخه کاری، تعویض‌پذیری کارگران، خلق افراد جدیدی مانند تعمیرکاران و مهندسان صنایع، و کاهش زمان ‌راه‌اندازی ماشین‌آلات را به‌عنوان ویژگی‌های اساسی آن نام برد. دوره سوم، پارادایم تولید ناب (سیستم تولید تویوتا) بود که بنیانگذار و مغز متفکر آن "تایی چی اوهنو" بود. پارادایم تولید ناب به معنای حذف هر نوع فعالیت بدون ارزش افزوده است. تولید ناب اصولی دارد که عبارتند از: حذف ضایعات، عیوب صفر، تیم‌های چندمنظوره، کاهش لایه‌های سازمانی، رهبری تیمی، سیستم‌های اطلاعاتی عمودی، بهبود مستمر و سیستم کششی. دوره چهارم، تولید چابک است که هدف آن اغنای مشتری، اهرمی کردن اثر اطلاعات و افراد، تسلط بر تغییرات و عدم اطمینان و افزایش رقابت‌پذیری از طریق همکاری است. در ادامه به توضیح بیشتر این پارادایم‌ها می‌پردازیم.]10[
2-1-1-1- تولید دستیسیستم تولید دستی از کارگران کم و ماهر استفاده می‌کند و ابزار و وسایل تولید به‌طور نسبی ساده است. به همین دلیل آن‎چه که تولید می‌شود در حجم بسیار پایین و به شکلی دقیق مطابق خواست مشتری و بر اساس نیاز اوست. گذشته از مزایای تولید دستی، هزینه‌های هنگفت آن که با افزایش تولید و بالا بردن حجم تولید کاهش نمی‌یابد، از جمله معایب آن است.]10[
2-1-1-2-تولید انبوه"هنری فورد" برای حذف معایب تولید دستی اقدامات وسیعی را انجام داد، به‌طوری که می‌توان گفت بشریت امروزی وام‌دار و مدیون او در امور تولیدی است.
فورد با تغییر روش‌های تولید و ارائه روش‌های نوین تقریباَ تمامی معایب تولید دستی را از بین برد. او با تعویض پذیری قطعات ساده و آسان کردن مونتاژ بسیاری از کارگران تولید که وظیفه آن‌ها اندازه‌کردن قطعات بوده و حجم عظیمی از نیروی انسانی را به خود اختصاص می‌داد، حذف کرد.]10[
2-1-1-3- تولید نابیکی از پردامنه‌ترین ادعاها این است که عصر تولید انبوه به پایان چرخه عمر خود رسیده و شیوه‌های جدید، نظیر تخصص انعطاف‌پذیر، جایگزین آن می‌شود.
تولید ناب، روشی است که در آن تولیدکنندگان به دنبال دست‌یابی به مزایا و اجتناب از معایب دو روش تولید دستی و انبوه هستند. یعنی اقداماتی را انجام می‌دهند که بتوانند با استفاده از کارکنان ماهر در تمام سطوح سازمان و ماشین‌آلات چند منظوره که توانایی تولید محصولات مختلف را دارند، قیمت کالای تولیدی را کاهش داده و محصولاتی را تولید کنند که موردنیاز و خواست مشتریان است.]10[
2-1-1-4- تولید چابکدر محیط آشفته، نامطمئن و متغیری که شرکت‌ها در آن مشغول فعالیت هستند، یکی از مهم‌ترین عوامل بقاء و پیشرفت، چابکی آن‌هاست. ویژگی اساسی این محیط، تغییر و عدم اطمینان است. سیستم تولیدی چابک راه‌حلی جدید برای مقابله با این چالش است.
چابکی، مفهومی که طی سال‌های اخیر عمومیت یافته و به‌عنوان‌ راهبردی موفق، توسط تولیدکنندگانی که خودشان ‌را برای یک عملکرد قابل قبول و افزایش آن آماده می‌کنند، پذیرفته شده است. در چنین محیطی، بنگاه باید توان تولید هم‎زمان محصولات متفاوت با طول عمر کوتاه، طراحی مجدد محصولات، تغییر رویه‌های تولید محصولات و جواب‌‌گویی کارا به تغییرات را داشته باشد.
در هر دوره‌ای از تولید، سیستم‌های تولیدی متفاوتی با ویژگی‌های خاص خود وجود داشته‌اند که در ادامه، انواع آن معرفی خواهد شد.]10[
2-3- انواع سیستم‌های تولیدی
سیستم تولید که بخشی از یک سازمان است، به تولید محصولات آن می‌پردازد. این فعالیتی است که به موجب آن منابع، در یک سیستم تعریف شده به جریان درمی‌آیند، با هم ترکیب می‌شوند و در شیوه‌ای کنترل شده تبدیل به ارزش افزوده‌ای می‌شوند که در راستای سیاست‌های ابلاغ شده توسط مدیریت، سودآوری داشته باشند.]11[
2559051057275تولید پیوسته
تولید انبوه
تولید دسته ای
تولید کارگاهی
حجم تولید
تنوع تولید
تولید پیوسته
تولید انبوه
تولید دسته ای
تولید کارگاهی
حجم تولید
تنوع تولید
شکل 2-1- دسته‌بندی انواع سیستم‌های تولیدی ]11[2-4- دسته‌بندی سیستم‌های تولیدیدر اینجا، به‌طور خلاصه به دسته‌بندی چهار گروه از سیستم‌های تولیدی اشاره می‌شود:
کارگاهی: تولید کارگاهی توسط تعدادی از محصولات طراحی شده و طبق مشخصات مشتریان تولید می‌شود، هم‌چنین در مدت زمان مشخص و طبق هزینه‌ای معین ساخته می‌شود.
دسته‌ای: انجمن کنترل موجودی و تولید آمریکا نوعی از سیستم تولیدی را معرفی کرده است به نام، تولید دسته‌ای که برای تولید محصولات، عملیات مختلفی روی قطعات و مواد انجام می‌گیرد. باید توجه داشت که ممکن است هر محصول مسیرهای متفاوتی را تا تولیدشدن بپیماید.
انبوه: ساخت قطعات گسسته و یا مونتاژ آن‌ها با استفاده از یک فرآیند پیوسته را تولید انبوه می‌نامند. ویژگی این سیستم تولید حجم بسیار زیادی از محصولات است. ماشین‌آلات این سیستم طوری طراحی شده‌اند که هر خط به‌منظور تولید یک محصول تعبیه شده است.
پیوسته: در این سیستم تولیدی مواد اولیه وارد خط تولید می‌شوند و بصورت کاملاً پیوسته و بی‌وقفه توسط ماشین‌آلات تولیدی تا انتهای خط پیش می‌روند و محصول نهایی به‌دست می‌آید. در طول جریان تولید، اقلام ساخته شده به‎وسیله انتقال‌دهنده‌هایی مانند نوار نقاله جابجا می‌شوند.]11[
جدول 2-1– مقایسه انواع سیستم‌های تولیدی]11[نوع سیستم تولیدی ویژگی‌ها مزایا محدودیت‌ها
کارگاهی 1. تنوع زیاد محصولات و حجم کم تولید
2. استفاده از ماشین‌آلات عمومی
3. کارگران ماهر و متخصص
4. حجم بالای مواد و قطعات و ...
5. برنامه‌ریزی دقیق مواد و ماشین‌آلات و ... 1. تولید محصولات متنوع با استفاده از ماشین‌آلات عمومی
2. وجود کارگران متخصص و چند مهارته
3. استفاده کامل از پتانسیل اپراتورهای خط تولید
4. وجود فرصت‌های جدید جهت تولید خلاقانه محصولات نو 1. هزینه زیاد تولید بدلیل تعداد دفعات بالای تنظیمات خط
2. حجم بالای موجودی در تمامی سطوح تولید (ساخته، نیمه ساخته، قطعات و ...) و بالطبع آن هزینه بالای نگه‌داری
3. پیچیدگی برنامه‌ریزی تولید به جهت وجود کارگاه‌های مختلف
دسته‌ای 1. زمان تولید کوتاهتر
2. انعطاف پذیری ماشین‌آلات و چیدمان خط
3. نیاز به تنظیمات جدید جهت تولید هر محصول
4. کم شدن زمان موعد تحویل محصولات و هزینه‌ها در مقایسه با تولید کارگاهی 1. استفاده بهتر از ماشین‌آلات و فضای تولیدی
3. هزینه تولید کمتر هر واحد محصول در مقایسه با تولید کارگاهی
4. سرمایه‌گذاری کمتر ماشین‌آلات و فضای تولیدی
5. انعطاف پذیری تولید محصولات متنوع 1. پیچیده بودن برنامه‌ریزی مواد بدلیل جریان طولانی‌تر و نامنظم تولید
2. دشواری برنامه‌ریزی تولید و کنترل
3. بیشتر بودن میزان موجودی مواد در مقایسه با تولید پیوسته
4. هزینه بالاتر تولید بدلیل تغییرات متعدد در تنظیمات
انبوه 1. ظرفیت تولید و نرخ خروجی بیشتر ماشین‌آلات
2. حجم بالای تولید
3. سیکل کوتاهتر تولید
4. کم شدن موجودی در جریان ساخت و تولید
5. آسان‌تر بودن برنامه‌ریزی و کنترل تولید مواد 1. نرخ بالای میزان تولید با سیکل کوتاه
2. استفاده از ظرفیت بالاتر خط بدلیل بالانس کردن خط تولید
3. نیاز به‌کارگران معمولی و کمتر مهارت دیده
4. حجم پایین موجودی مواد
5. هزینه پایین تولید محصول 1. تغییر یافتن کل خط تولید هم‎زمان با تغییر طراحی محصول
2. نیاز به سرمایه‌گذاری زیاد ماشین‌آلات و امکانات تولیدی
3. تعیین شدن سیکل تولید با توجه به زمان گلوگاه
پیوسته 1. عدم انعطاف پذیری چیدمان و طراحی ماشین‌آلات
2. وابستگی و توالی فرآیندهای تولید
3. غیرقابل‌تفکیک بودن محصول نهایی بدلیل ترکیب شدن از چندین ماده اولیه
4. برنامه‌ریزی و زمان‌بندی امری روزمره می‌باشد 1. استاندارد بودن محصول و پروسه تولید
2. نرخ بالاتر میزان تولید با توجه به زمان کوتاه‌تر سیکل تولید
3. نیاز به‌کارگران بامهارت کم
4. هزینه کم تولید با توجه به میزان بالای حجم تولیدی
5. جابجایی اتوماتیک مواد 1. انعطاف پذیری کم خط تولید
2. نیاز به سرمایه زیاد جهت تنظیم دستگاه‌ها
3. تنوع کم محصولات کم
4. توقف یکی از ماشین‌آلات منجر به توقف کل خط تولید خواهد شد
2-5- آشنایی با فرآیندهای تولید و انواع آن
فرآیند تولید سازمان همواره از اجزایی تشکیل شده است که با کنار هم قرار گرفتن یکدیگر "فرآیند تولید" را شکل می‌دهند. ارائه طرحی برای کنار هم قرار دادن اجزای فرآیند تولید را "طراحی فرآیند تولید" گویند. از آنجایی که فعالیت اصلی یک کارخانه، تولید محصول است؛ بنابراین چگونگی عملکرد فرآیند تولید، برای یک کارخانه عامل اساسی و حیاتی محسوب می‌شود. فرآیند تولید باید به گونه‌ای طراحی گردد که علاوه ‌بر اثربخش و کارا بودن با امکانات سازمان و نیازهای محصول نیز مطابقت داشته باشد. بنابراین طراحان فرآیند تولید باید با شناخت دقیق انواع طرح‌ها و با توجه به اهداف سازمان و توانایی‌ها و امکانات موجود، طرح موردنیاز خود را بیایند و فرآیند تولید را بر طبق آن شکل دهند. به‌طور کلی فرآیند تولید را می‌توان به دو فرآیند تولید پیوسته و غیر پیوسته دسته‌بندی نمود:
فرآیند تولید پیوسته: در این نوع فرآیند ایستگاه‌های کاری به‌طور متوالی براساس مراحل انجام فعالیت بر روی محصول کنار یکدیگر قرار می‌گیرند. به‌طوری که هر ایستگاه کاری فعالیت ایستگاه قبلی را تکمیل می‌کند. بنابراین، فعالیت‌های هر ایستگاه تخصصی هست و درصورت از کار افتادن یک ایستگاه، کل خط تولید متوقف می‌شود. در این سیستم مواد اولیه وارد اولین ایستگاه شده به‌ترتیب در ایستگاه‌ها به‌طور متوالی کامل‌تر می‌شود و درنهایت به محصول تکمیل شده تبدیل می‌شود. حجم تولید بالا و تنوع کم محصولات از ویژگی‌های این نوع فرآیند است.
فرآیند تولید غیر پیوسته: در این نوع فرآیند بین ایستگاه‌های کاری توالی خاصی وجود ندارد و ایستگاه‌ها به تفکیک و بصورت مجزا در کنار یکدیگر قرار گرفته‌اند و هر محصول با توجه به فرآیند موردنیاز خود مسیر خاصی را طی می‌نماید. به‌دلیل عمومی‌بودن ماشین‌آلات و تجهیزات می‌توان محصولات مختلفی را مطابق نیاز مشتری تولید نمود.]12[
در فرآیندهای تولیدی غیر پیوسته با محدودیتی بنام ظرفیت انبارهای میانگیر مواجه هستیم. انبار میانگیر چیست و چه ویژگی‌ای دارد؟ در ادامه به این پرسش، جواب‌ داده خواهد شد:
پردازش کارها در هر فرآیند تولیدی می‌تواند با مجموعه‌ای از بایدها و نبایدها مواجه باشد. این بایدها و نبایدها که در علم تصمیم‌گیری "محدودیت" نامیده می‌شوند، به شکل‌های گوناگونی در مسائل زمان‌بندی عملیات بروز می‌نمایند. این محدودیت‌ها معمولاً وابسته به ساختار فرآیند تولید هستند. ]6[
یکی از محدودیت‌های وابسته به ساختار تولید، محدودیت مربوط به انبارهای میانگیر و خطوط انتظار است. در بسیاری از سیستم‌های تولیدی به‌ویژه سیستم‌هایی که محصولات را به‌صورت فله‌ای و انبوه تولید می‌نمایند، این محدودیت به چشم می‌خورد. ظرفیت انبارهای میانگیر که بین هر دو مرحله از فرآیند وجود دارد، محدود است و در صورت پُر بودن انبارهای میانگیر، فعالیت قبل از انبار بلوکه (متوقف) می‌شود. شروع مجدد این عملیات تا زمان محیا شدن ظرفیت در انبار میانگیر به تعویق می‌افتد. در شکل 2-2 ساختار این‌گونه خطوط تولید نشان داده شده است. در این شکل دایره‌ها نشان‌دهنده ماشین‌آلات و مثلث‌ها نشان‌دهنده انبارهای میانگیر هستند.]6[
M1
B1
M2
B2
M3
M1
B1
M2
B2
M3

شکل 2-2- خط جریان کارگاهی با انبار میانگیر]6[در زمینه سیستم‌های تولیدی و مدیریت تولید، مسائل و موضوعاتی مطرح می‌شود که برای حل آن‌ها از روش‌های متفاوتی استفاده می‌شود. یکی از این‌گونه مسائل که در فرآیند تولید انبوه گسسته رخ می‌دهد، برنامه‌ریزی جهت تعیین ظرفیت انبارهای میانگیر است. عمدتاً، برای حل این‌چنین مسائلی از بهینه‌سازی شبیه‌سازی استفاده می‌شود.]6[
2-6- نقش شبیه‌سازی در مسائل برنامه‌ریزی تولیدحل مسائل زمان‌بندی فارغ از ساختار مسئله و نوع الگوریتم مورد استفاده، به‌طور قابل‌توجهی با شبیه‌سازی گره خورده است. این تکنیک، نه تنها در تئوری‌های حل مسائل زمان‌بندی نقش پررنگی دارد بلکه در مرحله اجرای برنامه‌های زمان‌بندی نیز یکی از ابزارهای جدانشدنی است. در این بخش، ابتدا مروری بر تعریف شبیه‌سازی صورت گرفته و سپس این کارکردها توصیف می‌شوند. تعاریف متعددی از شبیه‌سازی وجود دارد که در اینجا به تعریفی از هیلیر و لیبرمن اشاره می‌شود:]6[
"شبیه‌سازی به معنای استفاده از کامپیوتر در راستای تقلید رفتار یک فرایند یا یک سیستم است."
در مطالعات بهینه‌سازی، هنگامی که سیستم‌های مورد مطالعه خیلی پیچیده شوند استفاده از شبیه‌سازی ناگزیر است. با این وجود در بسیاری از مسائل زمان‌بندی تولید که ساختار ساده‌ای دارند نیز شبیه‌سازی به‌کارگرفته می‌شود. ساخت یک مدل شبیه‌سازی که بتواند برای زمان‌بندی بکارگرفته شود مجموعه‌ای از ورودی‌ها را احتیاج دارد که عبارتند از:]6[
افراد، ماشین‌ها، وسایل حمل‌ونقل و سایر منابع چه زمانی قابل بهره‌برداری هستند؟
چه محصولی باید ساخته شود یا چه خدمتی باید ارائه شود؟
فرایند ساخت محصول یا ارائه خدمات کدام است؟
چه منابعی و به چه میزان برای تولید محصول یا ارائه خدمات لازم هستند؟
از هر محصول چه تعداد برای هر مشتری تولید شود یا مشتری به چه خدماتی احتیاج دارد؟
محصولات در چه زمانی باید به مشتری تحویل داده شود یا خدمات در چه زمانی مهیا باشد؟
ترتیب انجام کارها روی ماشین‌آلات
با دریافت این ورودی‌ها (در یک سیستم تولیدی) نرم‌افزار شبیه‌ساز قادر است زمان ورود هر کار به هر ایستگاه، زمان پایان کار در هر ایستگاه، زمان ورود به انبارهای میانگیر، زمان خروج از انبار و ... را مشخص و بر اساس آن‌ها خروجی‌های متنوعی را تولید کند:]6[
زمآن‌های بیکاری و اشتغال ماشین‌آلات
زمان تکمیل محصول
نمودار گانت
تابع هدف مسئله
آمار توصیفی (راندمان و متوسط کار تکمیل شده در هر واحد زمان و ...)
1416052012950زمان های بیکاری
مقدار تابع هدف
زمان تکمیل
نمودار گانت
آمار توصیفی
شبیه ساز
مشخصات‌کارها (مراحل تکمیل،تعداد...)
مشخصات منابع (مقدار، محدودیتها ...)
میزان استفاده هر کار از هر منبع
محدودیت ها
ترتیب انجام کارها روی ماشین آلات
زمان های بیکاری
مقدار تابع هدف
زمان تکمیل
نمودار گانت
آمار توصیفی
شبیه ساز
مشخصات‌کارها (مراحل تکمیل،تعداد...)
مشخصات منابع (مقدار، محدودیتها ...)
میزان استفاده هر کار از هر منبع
محدودیت ها
ترتیب انجام کارها روی ماشین آلات

شکل 2-3- بخشی از ورودی‌ها و خروجی‌های یک مدل شبیه‌سازی برنامه‌ریزی و زمان‌بندی تولید]6[نرم‌افزارهای شبیه‌ساز می‌توانند شامل مجموع قوانین و الگوریتم هایی برای حل مسائل زمان‌بندی باشند تا خود نسبت به تهیه برنامه زمان‌بندی اقدام نمایند. از سوئی دیگر شبیه‌سازی می‌تواند رفتارهای تصادفی خط تولید را با استفاده از تابع توزیع احتمال تقلید کند، این امر در محاسبه تابع هدف مسائل زمان‌بندی تصادفی کاربرد گسترده‌ای دارد. چهار الگوی متفاوت از بکارگیری شبیه‌سازی در مسائل زمان‌بندی قابل شناسایی است:]6[
تهیه برنامه زمان‌بندی توسط برنامه شبیه‌ساز
شبیه‌سازی برای تنظیم پارامترهای الگوریتم‌های ابتکاری
شبیه‌سازی برای ارزیابی راهکارهای متفاوت زمان‌بندی
شبیه‌سازی برای تقلید رفتارهای تصادفی سیستم
2-7- تهیه برنامه زمان‌بندی توسط برنامه شبیه‌سازتهیه برنامه زمان‌بندی توسط برنامه شبیه‌ساز به معنای استفاده از شبیه‌سازی برای تعیین زمان‌بندی با افق کوتاه‌مدت چندساعته و حداکثر یک‌روزه است. قوانین ارسال کارها به مراکز کاری و ماشین‌آلات در موتور نرم‌افزار شبیه‌ساز تعبیه شده است. این دستورالعمل‌ها می‌توانند الگوریتم‌های ابتکاری و یا الگوریتم‌های دقیق ریاضی باشند. بخش‌های اساسی این سیستم عبارتند از:]6[
یک موتور شبیه‌سازی که شامل چندین قانون برای انتخاب و ارسال کار بعدی است.
یک رابط گرافیکی که نمودار گانت را بر اساس نتایج اجرای شبیه‌سازی تهیه می‌کند.
یک رابط با سیستم اطلاعاتی کارگاه که فهرست زمان‌بندی شده را تهیه می‌کند.
از آنجایی که این الگو برای دوره‌های کوتاه مدت بکار می‌رود کلیه وضعیت‌های تصادفی (مثل خرابی ماشین‌آلات) نادیده گرفته می‌شوند. در این نوع زمان‌بندی تهیه اولیه مدل مناسب از اهمیت ویژه ای برخوردار است.
زیر سیستم تعیین اولویت انجام کارها روی ماشین‌آلات که به چند قانون گسیل کارها مجهز است ابتدا با استفاده از مجموعه اطلاعات اولیه و به کمک قوانین، اولویت انجام کارها روی ماشین‌آلات را تعیین نموده و آن‌را در اختیار زیر سیستم شبیه‌ساز خط تولید قرار می‌دهد. شکل 2-4 این ساختار را به تصویر کشیده است.]6[
ترتیب انجام کارها
شبیه ساز
مشخصات‌کارها (مراحل تکمیل،تعداد...)
مشخصات منابع (مقدار، محدودیتها ...)
میزان استفاده هر کار از هر منبع
محدودیت ها
قوانین زمان‌بندی




ترتیب انجام کارها
شبیه ساز
مشخصات‌کارها (مراحل تکمیل،تعداد...)


مشخصات منابع (مقدار، محدودیتها ...)
میزان استفاده هر کار از هر منبع
محدودیت ها
قوانین زمان‌بندی




شکل 2-4- تعبیه بخش تهیه برنامه زمان‌بندی در شبیه‌ساز برنامه‌ریزی و زمان‌بندی تولید]6[2-7-1- شبیه‌سازی برای تنظیم پارامترهای الگوریتم‌های ابتکاریالگوریتم‌های ابتکاری و فرا ابتکاری اغلب شامل پارامترهای مشخصی هستند که کارایی الگوریتم را تحت تاثیر قرار می‌دهند. این پارامترها باید برای طیف متنوعی از شرایط تطبیق داده شوند. مثلا ممکن است نزدیک بودن یا نبودن زمان تحویل کار به دو تنظیم متفاوت از یک پارامتر 176530964565برنامه زمان‌بندی 1
برنامه زمان‌بندی 2
برنامه زمان‌بندی k
شرایط "الف"
شبیه ساز
الگوریتم ابتکاری
...
...
...
α = a1
α = a2
α = ak
...
...
مقدار تابع هدف k
مقدار تابع هدف 2
مقدار تابع هدف 1
برنامه زمان‌بندی 1
برنامه زمان‌بندی 2
برنامه زمان‌بندی k
شرایط "الف"
شبیه ساز
الگوریتم ابتکاری
...
...
...
α = a1
α = a2
α = ak
...
...
مقدار تابع هدف k
مقدار تابع هدف 2
مقدار تابع هدف 1
احتیاج داشته باشد.]6[
شکل 2-5- تنظیم پارامترهای الگوریتم ابتکاری (فراابتکاری) در شبیه‌ساز برنامه‌ریزی و زمان‌بندی تولید]6[معمولاً به ازاء یک وضعیت مشخص به هر یک از پارامترهای الگوریتم ابتکاری (یا فراابتکاری) مقادیر مختلفی اختصاص می‌یابد و به ازاء هر مقدار رفتار سیستم شبیه‌سازی شده و مقدار تابع هدف مشخص می‌گردد. مقادیری که منجر به کمترین مقدار تابع هدف میشود همراه با وضعیت متناظر آن ذخیره می‌شود تا در مواقع مناسب مورد استفاده قرار گیرد. در شکل 2-5 در شرایط "الف" (مثل نزدیک‌بودن موعد تحویل) به پارامتری از مسئله، k مقدار متفاوت داده می‌شود تا k برنامه زمان‌بندی تهیه کند. مقدار تابع هدف به ازاء هر برنامه محاسبه می‌شود. بهترین مقدار پارامتر برای شرایط "الف" با توجه به بهترین مقدار تابع هدف تعیین می‌شود.]6[
2-7-2- شبیه‌سازی برای ارزیابی راهکارهای متفاوت زمان‌بندیشبیه‌سازها می‌توانند هیچ نقشی در تولید برنامه زمان‌بندی نداشته باشند و تنها رفتار خط تولید را به ازاء برنامه‌های زمان‌بندی متفاوت تقلید نمایند. در این الگوی به‌کارگیری "برنامه زمان‌بندی" یکی از ورودی‌های شبیه‌ساز است که توسط زیربرنامه‌های داخلی نرم‌افزار تولید نمی‌شود. زیربرنامه شبیه‌ساز بر اساس برنامه زمان‌بندی مشخصی که اعلام می‌شود رفتار سیستم را شبیه‌سازی نموده و "تابع هدف" یا هر معیار ارزیابی دیگری را برای سنجش عملکرد برنامه زمان‌بندی ارائه می‌دهد. پس از محاسبه k مقدار تابع هدف (معیار ارزیابی) می‌توان مشخص نمود که مناسب‌ترین برنامه زمان‌بندی کدام است.]6[
centertopشبیه ساز
...
...
برنامه زمان‌بندی 1
برنامه زمان‌بندی 2
برنامه زمان‌بندی k
مقدار تابع هدف k
مقدار تابع هدف 2
مقدار تابع هدف 1
...
...
شبیه ساز
...
...
برنامه زمان‌بندی 1
برنامه زمان‌بندی 2
برنامه زمان‌بندی k
مقدار تابع هدف k
مقدار تابع هدف 2
مقدار تابع هدف 1
...
...

شکل 2-6- شبیه‌سازی برای مقایسه عملکرد برنامه‌های زمان‌بندی]6[از این روش، زمانی استفاده می‌شود که چندین برنامه زمان‌بندی باید قبل از اجرای عملی با یکدیگر مقایسه شوند و مناسب‌ترین برنامه انتخاب شود. به‌ویژه این روش بخش اساسی برای الگوریتم شمارش کامل محسوب می‌شود. در این الگوریتم‌ها میتوان با استفاده از شبیه‌ساز، تابع هدف را به ازاء کلیه جواب‌های موجه (برنامه‌های زمان‌بندی قابل قبول) محاسبه نمود و با توجه به معیار ارزیابی عملکرد زمان‌بندی مناسب را تعیین کرد.]6[
2-7-3- شبیه‌سازی برای تقلید رفتارهای تصادفی سیستمبا ظهور شرایط تصادفی در مسائل زمان‌بندی و افزایش پیچیدگی‌های مسئله نقش شبیه‌سازی در حل این مسائل پررنگ‌تر می‌شود. در برخی شرایط حتی مسائل بسیار کوچک زمان‌بندی تصادفی با استفاده از روش‌های دقیق قابل حل نیستند. اگر رویدادهای مدل مثل زمان انجام کارها روی ماشین‌آلات از توزیع احتمال مشخصی پیروی کنند وظیفه بخشی از نرم‌افزار شبیه‌ساز است که این رفتار‌های تصادفی را تقلید کند و زمآن‌های شبیه‌سازی شده (یا هر ویژگی تصادفی شبیه‌سازی شده دیگر) را در اختیار زیربرنامه شبیه‌ساز خط تولید قرار دهد. در شکل 2-7 ارتباط بین زیربرنامه شبیه‌ساز خط تولید و زیربرنامه شبیه‌ساز رفتارهای تصادفی به تصویر کشیده شده است.]6[
2923097217855زمان انجام کار 1
زمان انجام کار 2
زمان انجام کار n

شبیه ساز
تولید کننده الگوی تصادفی
...
...
...
توزیع احتمال کار 1
توزیع احتمال کار 2
توزیع احتمال کار n
...
...
زمان انجام کار 1
زمان انجام کار 2
زمان انجام کار n

شبیه ساز
تولید کننده الگوی تصادفی
...
...
...
توزیع احتمال کار 1
توزیع احتمال کار 2
توزیع احتمال کار n
...
...

شکل 2-7- شبیه‌سازی برای تقلید رفتارهای تصادفی سیستم]6[آن‎چه در کلیه الگوهای بکارگیری شبیه‌سازی در حل مسائل زمان‌بندی مشترک است محاسبه تابع هدف است. محاسبه تابع هدف در مسائل قطعی و تصادفی از سازوکارهای متفاوتی پیروی می‌کند.
2-8- درنگی بر مفاهیم شبیه‌سازیدر این بخش، به‌منظور آشنایی با مفاهیم تخصصی شبیه‌سازی هنگام مدل‌سازی به شرح مختصری از آن‌ها پرداخته می‌شود:
2-8-1- سیستم
سیستم، مجموعه‌ای از اشیاء، افراد و یا ماشین‌آلات می‌باشند که با هم در راستای تحقق هدف واحدی عمل و عکس العمل دارند. برای مثال در یک خط مونتاژ ماشین ها، قطعات و کارگران با هم در امتداد خط کار می‌کنند تا محصولی را با کیفیت بالا تولید کنند.
هر سیستم، اغلب تحت تأثیر تغییراتی قرار می‌گیرد که در خارج از سیستم روی می‌دهند. گفته می‌شود که این تغییرات پیرامون سیستم رخ می‌دهند. در مدل‌سازی سیستم‌ها لازم است که مرز بین سیستم و پیرامون آن تعیین شود. چگونگی تعیین این مرز ممکن است به هدف از مطالعه سیستم بستگی داشته باشد.]13[
2-8-2- مدلمدل، تصویری است انتزاعی از پدیده‌ای که اتفاق افتاده یا ممکن است روی دهد. در ساختن مدل همه یا بعضی از متغیرهای مؤثر در پدیده مورد مطالعه و روابط بین آن‌ها تا حد ممکن ملحوظ می‌شوند. به‌وسیله مدل می‌توان اطلاعاتی در مورد پدیده موردنظر به‌دست آورد. هر چه اطلاعات حاصل از مدل به پدیده واقعی نزدیکتر باشد، اعتبار مدل بیشتر است.]14[
انواع مدل‌ها
مدل‌های شکلی یا آیکونیک: بعضی از مدل‌ها بیشتر به‌منظور بررسی ظاهر پدیده‌ها ساخته می‌شوند. به‌عنوان نمونه می‌توان از ماکت‌هایی که برای نمایش بناهای گوناگون مثل پل‌ها و سدها ساخته می‌شود، نام برد. این‎گونه مدل‌ها را که از نظر ظاهری به پدیده موردنظر شباهت دارند ولی از نظر رفتاری اطلاعات ناچیزی در مورد پدیده اصلی در اختیار قرار می‌دهند، مدل‌های شکلی می‌نامند.
مدل‌های شبیه‌سازی: با وجود عدم شباهت ظاهری به پدیده واقعی می‌توانند اطلاعاتی در مورد رفتار متغیرهای پدیده اصلی ارائه دهند. استفاده از رایانه برای اجرای آزمایش مدل‌های شبیه‌سازی در زمره مهم‌ترین کاربردهای رایانه در دنیای امروز به‌شمار می‌رود.]14[
2-8-3- اجزای یک مدل شبیه‌سازی
حالت: جمعی از متغیرها که تمام اطلاعات لازم برای تشریح سیستم در هر لحظه را در برداشته باشند.
عنصر: عناصر باعث تغییر در حالت اجزاء می‌شوند. بدون عناصر هیچ اتفاقی در مدل شبیه‌سازی رخ نمی‌دهد. قطعه تولیدی، افراد نمونه‎هایی از عناصر می‌باشند. عناصر دارای ویژگی‌هایی می‌باشند. این ویژگی‌ها مشخصه هایی از عنصر می‌باشند که آن‌را منحصر به‎فرد می‌سازند.
جزء : جزء یا گره که برای خدمت رسانی، نگه‌داری، تولید و یا پردازش عناصر در سیستم منظور می‌گردد. هر جزء دارای ویژگی‌های منحصر به‌فردی می‌باشد که در فصل بعد به آن‌ها اشاره شده است.
رویدادها: شرایطی هستند که در نقطه‌ای از زمان رخ داده و موجب تغییر در وضعیت سیستم می‌گردند. تأخیر، صف و توقف سه نوع اتفاق موجود در مدل شبیه‌سازی می‌باشد.
منطق: اصولی که حاکم بر پیاده شدن یک فرآیند یا انجام یک فعالیت در سیستم می‌باشد.
منابع: در شبیه‌سازی منابع به مواردی اطلاق می‌شود که دارای ظرفیت محدود باشند. کارگران و ماشین‌آلات از این دسته می‌باشند.]14[
2-9- کاربردهای شبیه‌سازی در اداره واحدهای تولیدی
کاربردهای شبیه‌سازی در واحدهای تولیدی را می‌توان به سه دسته تقسیم کرد:]15[
بررسی نیازهای واقعی یک واحد تولیدی به تجهیزات و پرسنل (تعداد و نوع ماشین‌آلات، تعداد و نوع استقرار وسایل حمل‌ونقل، مکان و حجم انبارهای میانگیر ...)
ارزیابی نحوه و چگونگی عملکرد سیستم تولیدی (بررسی میزان کالای تولید شده، بررسی زمان ترانزیت سفارش در کارگاه، تجزیه و تحلیل گلوگاه‌های تولیدی و ...)
ارزیابی روش‌های کار (برنامه‌ریزی تولید شامل ارزیابی سیاست جاری یا پیشنهادی در رابطه با موضوعات مختلف و استراتژی‌های کنترل)
2-10- محاسن کاربرد شبیه‌سازی در صنعتاز مزایای کاربرد شبیه‌سازی در صنعت می‌توان به موارد زیر اشار کرد:]15[
الف) نرخ تولید، بدلیل کاهش ضایعات، افزایش کارایی ماشین‌آلات و پرسنل از طریق ارزیابی، تعیین و به‌کارگیری روش‌های بهینه انجام کار، افزایش می‌یابد.
ب) سرمایه موردنیاز کاهش می‌یابد. با وجود یک سیستم رایانه‌ای شبیه‌سازی امکان حصول طرح بهینه استقرار، تعیین میزان بهینه موجودی (مواد خام، کالای نیمه ساخته و کالای ساخته شده) و تعیین تعداد بهینه ماشین‌آلات، پرسنل و ابزار و تجهیزات فراهم می‌آید و از طریق صرفه جویی در نیاز به سرمایه پدیدآور می‌شود.
ج) اطمینان خاطری در مورد این‌که یک طرح پیشنهادی درصورت پیاده‌سازی برطبق انتظار عمل خواهد کرد، به‎وجود می‌آید.
2-11- انواع نرم‌افزارهای شبیه‌سازی
با پیشرفت چشم‌گیر علم در زمینه‌های مختلف، نرم‌افزارهایی با قابلیتهای بسیار قوی طراحی شده‌اند که به‌منظور به‌کارگیری این علوم، به یاری پژوهشگران شتافتند. نرم‌افزارهای طراحی شده جهت انجام شبیه‌سازی در طی سالیان از قابلیت‌های ویژه‎ای برخوردار بودهاند. در جدول زیر اسامی این نرم‌افزارها ارائه شده است. ]16[
جدول 2-2- معرفی انواع نرم‌افزارهای شبیه‌سازی]16[ردیف نام نرم‌افزار ردیف نام نرم‌افزار
1 Arena 10 Quest
2 Auto Mod 11 ShowFlow
3 Awe Sim 12 SIGMA
4 Enterprise Dynamics 13 Simprocess
5 Extend 14 Simul8
6 Flexsim 15 SLX
7 GPSS/H 16 Visual Simulation Environment
8 Micro Saint 17 Witness
9 ProModel در این پژوهش، جهت شبیه‌سازی از نرم افزار Simul8 استفاده شده که در پایان این فصل توضیح مختصری درباره آن داده خواهد شد.
پس از آشنایی با مفاهیم شبیه‌سازی به موضوع اصلی که بهینه‌سازیِ شبیه‌سازی است، پرداخته می‌شود.
2-12- بهینه‌سازیِ شبیه‌سازیمفهوم "بهینه‌سازیِ شبیه‌سازی" در شبیه‌سازی سیستم‌ها با استفاده از رایانه عبارت است از «فرآیند یافتن بهترین مقادیر ورودی از بین کلیه حالات ممکن، بدون این‌که کلیه حالات ممکن مورد ارزیابی قرار گیرند. هدف از بهینه‌سازی شبیه‌سازی حداقل‎نمودن منابع صرف‌شده در عملیات شبیه‌سازی است به نحوی که بیشترین اطلاعات ممکن از این عملیات حاصل شود». در مثال مربوط به توالی عملیات و زمان‌بندی، هدف از بهینه‌سازی شبیه‌سازی تولید جریانی این است که از بین کلیه حالات ممکن که برای n کار برابر با n! است بهترین جایگشت انتخاب شود بدون این‌که برای همه جایگشت‌ها عملیات شبیه‌سازی انجام شود و عملیات شبیه‌سازی فقط برای تعداد محدودی از جایگشت‌ها صورت پذیرد. فرض کنید تعداد جایگشت‌هایی که شبیه‌سازی برای آن‌ها انجام میشود را با K نشان دهیم. شکل 2-8 تصویری شماتیک از بهینه‌سازی شبیه‌سازی ارائه می‌دهد.]6[
3194054224655جایگشت اول
جایگشت دوم
جایگشت kام
شبیه ساز
الگوریتم فیلترینگ
جایگشت 1
جایگشت 2
جایگشت n!
0جایگشت اول
جایگشت دوم
جایگشت kام
شبیه ساز
الگوریتم فیلترینگ
جایگشت 1
جایگشت 2
جایگشت n!
شکل 2-8- ساختار کلی بهینه‌سازی شبیه‌سازی]6[2-13- روش‌های بهینه‌سازی شبیه‌سازیبه‌طور کلی بهینه‌سازی شبیه‌سازی فرآیند تعیین مقادیر بهینه متغیرهای ورودی سیستم به‌منظور حداکثرکردن متغیرهای عملکردی است. مدل‌های بهینه‌سازی شبیه‌سازی دارای تابع هدف (یعنی، بهینه‌نمودن جواب‌ مدل شبیه‌سازی) و مجموعه‌ای از محدودیت‌ها می‌باشند]2[.
روش‌های بهینه‌سازی شبیه‌سازی به گروه‌های مختلفی تقسیم می‌شود که توسط محققین مختلف پیمایش‌های ارزشمندی در این زمینه انجام شده است. در ادبیات تحقیق، شش گروه اصلی از روش‌ها قابل شناسایی هستند. این گروه‌های اصلی از ایده‌های زیربنایی متفاوتی استفاده می‌کنند.]6[
الف) رتبه‌بندی و انتخاب
در این شیوه فرض می‌شود که تعداد راهکارها (جواب‌های موجه مسئله) ثابت است و نیازی به جستجوی راهکارهای جدید نیست و مسئله شکلی از استنباط آماری را به خود می‌گیرد. فرض کنید احتمال انتخاب جواب درست را با «انتخاب جواب بهینه یا نزدیک به بهینه» تعریف کنیم. در این‌صورت مسئله می‌تواند به یکی از دو شکل زیر فرموله شود:
- تعداد تکرارهای شبیه‌سازی را حداقل کنید مشروط بر اینکه احتمال انتخاب جواب درست بیش از مقدار معینی باشد.
- احتمال انتخاب جواب درست را حداکثر کنید مشروط بر اینکه محدودیت هزینه‌های شبیه‌سازی مدنظر قرار بگیرد.
در مورد اول می‌توان در سطحی از اطمینان به حصول جواب مناسب اطمینان داشت اما تعداد محاسبات مورد نیاز مشخص نیست. در شکل دوم محاسبات محدود است اما نمی‌توان به درستی در خصوص کیفیت جواب به‌دست آمده اظهارنظر کرد.
ب) روش جواب‌ سطح
این روش سعی در برازش تعدادی مدل رگرسیونی بین ورودی‌ها و خروجی‌های یک مدل شبیه‌سازی و بهینه نمودن تابع رگرسیونی دارد. این فرایند با یک مدل رگرسیونی درجه اول شروع می‌شود و پس از رسیدن به شرایط بهینه از توآن‌های بالاتر مدل رگرسیونی استفاده می‌شود. در ادبیات طراحی آزمایش‌ها متغیر‌های ورودی و تابع هدف را به‌ترتیب فاکتور و جواب‌ می‌نامند.
ج) روش مبتنی بر گرادیان
این روش در پی آن است که نقش خود در بهینه‌سازی قطعی را در بهینه‌سازی تصادفی ایفا نماید. ایده اساسی این است که به ازاء هر جواب، حرکت در جهت گرادیان بهترین تغییر است. با این روش برآورد مشتق تابع هدف نسبت به متغیر xi با استفاده از رابطه زیر صورت می‌گیرد:
(2-14)
برای برآورد گرادیان به ازاء بردار X حداقل n+1 مدل شبیه‌سازی باید اجرا شود. افزایش دقت محاسبه G نیازمند افزایش تعداد محاسبات است. این روش از ایده‌های حل مسائل برنامه‌ریزی غیر خطی سود می‌برد و برای متغیر‌های تصمیم پیوسته مناسب است.
د) جستجوی تصادفی
برخلاف روش مبتنی بر گرادیان، روش جستجوی تصادفی برای مسائلی به‎کار می‌رود که متغیر تصمیم آن‌ها گسسته است. این روش ابتدا برای حل مسائل قطعی پایه‌گذاری شد و سپس در زمینه مسائل تصادفی نیز به کار گرفته شد. این روش نیز همانند روش گرادیان برای رسیدن به جواب بهینه از یک نقطه به نقطه دیگر می‌رود. اما انتخاب نقطه بعد بصورت احتمالی و از همسایگی نقطه جاری انتخاب می‌شود. در به‌کار گیری این روش دو نکته حائز اهمیت است.
- فهرست نقاط کاندید برای حرکت بعدی چگونه انتخاب شود؟
- بهترین جواب تاکنون کدام است؟
انتخاب بهترین جواب در مسائل قطعی مشکلی به‌وجود نمی آورد زیرا مقدار به‌دست آمده برای تابع هدف به ازاء هر جواب، مقدار قطعی تابع هدف است. اما در مسائل تصادفی با توجه به اختلالات ذاتی تابع هدف انتخاب بهترین جواب کار ساده‌ای نیست.
هـ) تقریب میانگین نمونه
روش تقریب میانگین نمونه که بهینه‌سازی مسیر نمونه نیز نامیده می‌شود، ابتدا شبیه‌سازی را به تعداد زیاد انجام داده و سپس تقریب‌های به‌دست آمده را بهینه می‎کند، پس از به‌دست آمدن مقدار متوسط تابع هدف مقدار بهینه آن با استفاده از روش‌های برنامه‎ریزی غیرخطی که در مسائل قطعی کاربرد دارند، مشخص می‌شود.
و) فراابتکاری‌ها
برای هدایت روش‌های ابتکاری استفاده می‌شود تا در دام نقاط بهینه محلی گرفتار نشوند. رایج‌ترین الگوریتم‌های فراابتکاری در حل مسائل بهینه‌سازی ترکیبیاتی عبارتند از شبیه‌سازی تبرید تدریجی (SA)، جستجوی ممنوع (TS)، الگوریتم ژنتیک (GA)، جمعیت مورچگان (ACO). الگوریتم‌های مذکور در یک ایده اساسی مشترک هستند و آن شروع حل مسئله از یک یا چند جواب ابتدایی و حرکت از نقاط آغازین به سمت نقاط بهتر است. تفاوت بین این الگوریتم‌های چگونگی تعیین نقاط شروع و سازوکار حرکت به سمت جواب‌های بهتر است. این تکنیک‌ها معمولاً نتیجه تطبیق ایده‌های متعلق به حوزه‌های مختلف تحقیق هستند. ایده‌های اساسی که الهام‌بخش هر یک از الگوریتم‌ها هستند معمولاً از زمینه‌های غیر منتظره شکل می‌گیرد.
در قدم بعدی، در مورد نحوه پیدایش الگوریتم‌های فراابتکاری و زمینه‌های کاربردیشان بحث می‌شود. اما با توجه به این‌که راه‌حل بهینه‌سازی مسئله موجود با الگوریتم ژنتیک می‌باشد، این الگوریتم به‌طور کامل تشریح شده است.
2-14- معرفی انواع الگوریتم‌های فراابتکاری
2-14-1- الگوریتم نزولیکی از انواع الگوریتم‌های فراابتکاری، یک الگوریتم ساده با نام الگوریتم نزول است که از کارایی پایینی برخوردار می‌باشد.
الگوریتم نزول روشی است که جستجو را از یک جواب اولیه شروع کرده و در هر تکرار جواب فعلی را با یک جواب بهتر که در همسایگی آن است، جایگزین می‌کند. این روش تنها حرکت به سمت جواب‌هایی را مجاز دانسته که تابع هدف فعلی را بهبود بخشد و هنگامی که دیگر جواب بهتری پیدا نشود، اجرای الگوریتم به پایان می‌رسد. جواب نهایی یافت شده توسط این الگوریتم، جواب بهینه محلی نامیده می‌شود. به‌طوری که این جواب یا خوب است یا دست کم از جواب‌های همسایگی خود بهتر است. یکی از نواقص آشکار الگوریتم نزول این است که با احتمال زیاد یک جواب بهینه محلی، بهینه مطلق نخواهد بود و تابع هدف را به ازای همه جواب‌های منطقه موجه بهینه نخواهد کرد.]8[
2-14-1-1- مراحل اجرای الگوریتم نزولحل مسائل بهینه‌سازی شبیه‌سازی طبق مراحل زیر صورت می‌گیرد:
تولید اعداد تصادفی
انتخاب جواب اولیه
انتخاب یک جواب در همسایگی
پذیرش یا رد جواب جدید]8[
2-14-1-2- نقاط ضعف الگوریتم نزولمهم‌ترین نقطه ضعف الگوریتم نزول این است که احتمال گرفتار شدن الگوریتم در دام نقاط بهینه محلی بسیار زیاد است. این موضوع ناشی از رویکرد حریصانه الگوریتم است که در پی‌یافتن نخستین جوابی است که از نقاط همسایگی خود بهتر است. الگوریتم‌های فراابتکاری به‌منظور گریز از چنین دام‌هایی از رویکردهای تمرکز و تنوع بهره می‌برند.]8[
2-14-2- شبیه‌سازی تبرید تدریجیالگوریتم شبیه‌سازی تبرید تدریجی که در متون فارسی با عناوین شبیه‌سازی آنیل و الگوریتم شیشه یا کریستال نیز از آن یاد شده است را می‌توان از نظر سازوکار اجرا و فعالیت‌های برنامه‎نویسی موردنیاز، ساده‌ترین الگوریتم فراابتکاری دانست. این سادگی باعث نمی‌شود که کارایی این الگوریتم با دیده‌ تردید نگریسته شود. انتشارات متعددی را می‌توان ملاحظه کرد که از توانایی این الگوریتم در حل مسائل متنوع سود برده‌اند.]8[
2-14-2-1- تاریخچه و زمینه پیدایشالگوریتم SA نخستین بار توسط کرک پاتریک در سال 1982 معرفی شد. این الگوریتم بر اساس مدل توسعه‌یافته توسط متروپلیس برای شبیه‌سازی فرآیند فیزیکی تبرید تدریجی شکل گرفته است. فیزیکدانان برای تغییر در وضعیت یک ماده از یک پارامتر مهم یعنی دما استفاده می‌کنند. تبرید تدریجی فرآیندی است که در آن رسیدن به وضعیت بهینه توسط کنترل دما صورت می‌پذیرد. در این فرآیند ابتدا ماده حرارت می‌بیند تا انرژی زیادی به آن وارد شود و پس از آن به آرامی سرد می‌شود به گونه‌ای که تا مدتی در هر سطحی از دما با قی بماند و سپس به سطح پایین‌تر دما برود. این استراتژی در سردکردن تدریجی باعث شکل‌گیری وضعیت جامد کریستالی می‌شود که وضعیتی پایدار است و متناظر با حداقل مطلق انرژی است. وضعیت متضاد آن زمانی است که ماده به سرعت سرد شود که منجر به وضعیت غیر متبلور خواهد شد. ساختار غیر متبلور متناظر با حداقل انرژی است.]8[
2-14-2-2- خط سیر الگوریتم تبرید تدریجیالگوریتم تبرید تدریجی فرآیند حل مسئله را از یک جواب (معمولاً تصادفی) شروع می‌کند و برای یافتن جواب مسئله، در فضای منطقه موجه از یک نقطه به نقطه دیگر می‌رود تا زمانی که شرط توقف الگوریتم برقرار شود. طی جابجاشدن بین نقاط متفاوت، بهترین جواب به‌دست آمده توسط الگوریتم ذخیره شده و در آخر به‌عنوان جواب مطلوب مسئله ارائه می‌شود.]8[
یک تفاوت اساسی بین الگوریتم نزول و شبیه‌سازی تبرید تدریجی در این است که SA به جواب‌های بدتر از جواب جاری نیز شانس پذیرفته شدن می‌دهد. احتمال پذیرش جواب‌های بدتر، با افزایش تکرارهای حل مسئله کاهش می‌یاید.]8[
2-14-3- جستجوی ممنوعالگوریتم جستجوی ممنوع (یا جستجوی ممنوعه) که ایده اساسی خود را از حافظه انسان گرفته است، در زمره الگوریتم‌های جستجو در همسایگی قرار می‌گیرد. این الگوریتم از نظر مفهومی همانند الگوریتم شبیه‌سازی تبرید تدریجی عمل می‌کند اما مجموعه قوانین و سازوکارهایی دارد که اجرای آن ‌را به عملکرد مغز شبیه می‌کند.]8[
2-14-3-1- تاریخچه و زمینه پیدایشمشکلاتی که در مسائل بهینه‌سازی از جمله مسائل مربوط به حمل‌ونقل، لجستیک، برنامه‌ریزی مالی و برنامه‌ریزی تولید وجود دارد، باعث توسعه تکنیک‌های بهینه‌سازی مؤثر شده است. هدف از این تکنیک‌ها توسعه فرآیندهایی است که بتوانند با پیچیدگی مسائل بهینه‌سازی مواجه شوند. یکی از این روش‌ها الگوریتم جستجوی ممنوع است که توسط فرد گلاور معرفی شده است.]8[
واژه Tabu یا Taboo در لغت نامه وبستر به معنی مفاهیمی است که دارای قدرت ماوراء الطبیعه بوده و استفاده و برقراری ارتباط با آن‌ها ممنوع می‌باشد. روش جستجوی ممنوع در ارتباط با ماوراءالطبیعه و ممنوعات آن نیست، بلکه ممنوعیت‌ها و محدودیت هایی را اعمال می‌کند تا یک فرآیند جستجو را به مناطقی هدایت کند که جواب‌های بهتری به دست می‌دهند. این روش بر اساس فرآیندهایی طراحی شده است که از مرزهای بهینگی محلی که به‌عنوان یک مانع عمل کرده، عبور می‌کنند و روش جستجوی ابتکاری را به گونه‌ای هدایت می‌کند که نقاط فراتر از بهینه محلی را مورد جستجو قرار دهند.]8[
2-14-3-2- خط سیر الگوریتم جستجوی ممنوعالگوریتم جستجوی ممنوع همانند الگوریتم شبیه‌سازی تبرید تدریجی، مبتنی بر جستجو در همسایگی است. به گونه‌ای که در اطراف جواب جاری در پی یافتن جواب‌های جدید می‌باشد. شباهت دیگر دو الگوریتم در این است که الگوریتم جستجوی ممنوع نیز برای جواب‌های بدتر از جواب کنونی نیز شانس پذیرفته شدن قائل است. مهم‌ترین تفاوت دو الگوریتم در این است که SA در هر تکرار تنها به بررسی یکی از جواب‌های واقع در همسایگی می‌پردازد اما TS در هر تکرار چندین جواب را در اطراف جواب کنونی مورد بررسی قرار می‌دهد.]8[
به‌طور کلی و بدون درنظرگرفتن جزییات، در این الگوریتم فرآیند حل مسئله از یک نقطه منطقه موجه آغاز می‌شود و در هر تکرار از یک نقطه به نقطه دیگر منطقه مراجعه می‌شود تا شرط توقف برقرار شود. بهترین جوابی که در طی همه مراحل یافته شده است، ذخیره می‌گردد.]8[
2-14-4- الگوریتم مورچگانالگوریتم مورچگان روشی برای بهینه‌سازی است که در آن یک کلونی از مورچه‌های مصنوعی در پیدا کردن جواب‌های خوب برای مسائل بهینه‌سازی ترکیبیاتی، شرکت می‌کنند. این الگوریتم نمونه‌ای منتج شده از رفتار واقعی مورچگان ‌را بررسی کرده و از این نمونه‌ها به‌عنوان منبع الهام‌بخش برای طراحی الگوریتم‌های جدید به‌عنوان ‌راه‌حل مسائل بهینه‌سازی استفاده می‌کند.]8[
2-14-4-1- تاریخچه و زمینه پیدایشیکی از جالب‌ترین الگوهای رفتاری مورچگان توانایی گونه‌هایی از آن‌ها در پیدا کردن کوتاه‌ترین مسیر است. جمعیت (کلونی) مورچگان، زنبورهای عسل و یا به‌طور کلی گروهی از حشرات، سیستم‌های توزیع شده‌ای هستند که با وجود سادگی تک‌تک آن‌ها، یک سازمان اجتماعی ساختار یافته را به‌وجود می‌آورند. ایده اصلی الگوریتم مورچگان، قانون خود سازماندهی می‌باشد که اجازه می‌دهد رفتار بسیار موزون مورچه‌های واقعی در هماهنگ‎کردن مجموعه‌ای از کارگزارهای مصنوعی برای حل مسائل محاسباتی، مورد استفاده قرار گیرد. جنبه‌های مختلف رفتار کلونی مورچگان، الگوریتم‌های متفاوتی را به‌وجود آورده است. از این‌گونه رفتارها می‌توان به جستجو برای غذا، تقسیم کار، مرتب‌سازی در حین تخم‌گذاری و حمل‌ونقل مشارکتی اشاره کرد.]8[
2-14-4-2- خط سیر الگوریتم مورچگانالگوریتم مورچگان برای حل یک مسئله، دارای روش خاص خود در جستجوی منطقه موجه می‌باشد. این الگوریتم یک نوع پردازش موازی را در ذات خود دارد. یعنی به‌طور هم‎زمان نواحی مختلفی را در منطقه مورد جستجو قرار می‌دهد. یعنی از این نظر مشابه با الگوریتم ژنتیک رفتار می‌کند و در هر تکرار، از یک مجموعه جواب به یک مجموعه جواب دیگر می‌رود. تفاوت الگوریتم ژنتیک و مورچگان در سازوکارهای تولید جواب‌های جدید است. در الگوریتم ژنتیک جواب‌های جدید مستقیماَ با ترکیب جواب‌های موجود حاصل می‌شوند (عملگر تقاطع). در حالی‌که در الگوریتم جمعیت مورچگان، جواب‌های تکرار جاری به‌طور غیر مستقیم یعنی به کمک فرمون، روی نحوه تولید جواب‌های جدید تاثیرگذار هستند.]8[
2-14-4-3- گونه‌های مختلف الگوریتم مورچگانایده‌های متفاوتی که برای قانون احتمال انتخاب مسیر، تبخیر و فرمون‌ریزی توسط محققان مختلف پیشنهاد شده است که به شکل‌های متنوعی از الگوریتم ACO انجامیده‌اند. رایج‌ترین شکل‌های این الگوریتم در ادامه معرفی می‌شوند:]8[
سیستم مورچه
سیستم مورچه نخبه‌گرا
سیستم مورچه مبتنی بر رتبه‌بندی
سیستم مورچه حداقل – حداکثر
سیستم جمعیت مورچه‌ها
2-14-5- الگوریتم ژنتیکالگوریتم ژنتیک یک تکنیک جستجو برای حل مسائل با استفاده از مدل ژنتیک است. این الگوریتم در زمره الگوریتم‌های مبتنی بر جمعیت قرار دارد که ایده اساسی خود را از نظریه تکامل می‌گیرد. این الگوریتم بر خلاف دو الگوریتم پیشین، در هر تکرار، مجموعه‌ای از جواب‌های مسئله را مورد بررسی قرار می‌دهد. سازوکارها و مجموعه قوانین این الگوریتم برگرفته از مفاهیم علم ژنتیک است.]8[
2-14-5-1- تاریخچه و زمینه پیدایشچارلز داروین نظریه سیر تکاملی بشر را بیان کرد که بر اساس آن ارگانیسم‌های زیستی در طول نسل‌های مختلف با توجه به اصل "انتخاب طبیعت" و "بقا سازگارترین" تکامل می‌یابند. در سال 1960 ریچنبرگ ایده مطرح شده توسط داروین را در حوزه بهینه‌سازی پارامترها به‌کار گرفت و این ایده را استراتژی تکاملی نامید. این استراتژی شکل اولیه و خام الگوریتم ژنتیک را به‌کار می‌گیرد.]8[
الگوریتم ژنتیک در سال 1975 توسط هالند توسعه داده شد که هدف وی طراحی الگوریتمی برای حل مسائل خاص نبود، بلکه به‌دنبال فهم پدیده سازگاری به نحوی بود که در طبیعت رخ می‌دهد. با انتشار کتاب او با نام "انطباق در سیستم‌های طبیعی و مصنوعی" الگوریتم ژنتیک به دنیای بهینه‌سازی معرفی شد. وی اصول سیر تکامل طبیعی را در مسائل بهینه‌سازی و ساختار الگوریتم ژنتیک توضیح می‌دهد. الگوریتم ژنتیک بر اساس اصول ژنتیک و تکامل بنا شده است که امروزه برای حل مسائل پیچیده بهینه‌سازی مانند جدول زمان‌بندی، تولید کارگاهی و ... استفاده می‌شود.]8[
2-14-5-2- خط سیر الگوریتم ژنتیکهمان‌گونه که گفته شد الگوریتم ژنتیک در زمره الگوریتم‌های مبتنی بر جمعیت قرار می‌گیرد. مبتنی بر جمعیت بودن به این مفهوم است که در هر تکرار بیش از یک جواب مدنظر قرار می‌گیرد. اصطلاحاً مجموعه جواب‌های مورد بررسی در هر تکرار، یک جمعیت از جواب‌ها نامیده می‌شود. قوانین و دستورالعمل‌های الگوریتم ژنتیک به گونه‌ای است که جمعیت هر تکرار باعث تعریف و یا ایجاد تکرار آتی می‌شود. گفتنی است که جواب‌های نخستین جمعیت می‌تواند به‌صورت تصادفی از منطقه موجه انتخاب شوند و یا این‌که با روش‌های ابتکاری ایجاد شوند.]8[
1004570543941000
شکل 2-9 – خط سیر الگوریتم ژنتیک]8[در شکل 2-9 جواب‌هایی که با دایره توخالی نشان داده شده‌اند، جمعیت نسل کنونی را تشکیل می‌دهند و دایره‌های خط چین معرف جمعیت نسل آتی هستند. در واقع سازوکار رسیدن به جواب‌های جدید، نوعی شبیه‌سازی از زاد و ولد در فضای منطقه موجه است.
فرزندان حاصل از این زاد و ولد (جواب‌های جدید) ممکن است به جواب‌های بهتر یا بدتر از والدین منجر شود. پذیرش جواب‌های بدتر به‌عنوان جواب‌های نسل جدید به رویکردی بستگی دارد که در پیاده‌سازی الگوریتم ژنتیک مورد استفاده قرار می‌گیرد. در برخی رویکردها تنها جواب‌های بهتر از والدین پذیرفته می‌شوند و در برخی نیز جواب‌های بدتر به جمعیت آتی منتقل می‌شوند. این روند یعنی تولید جمعیت‌های جدید از جمعیت‌های قبلی تا جایی ادامه می‌یابد که شرط توقف الگوریم حاصل شود.]8[
2-15-5-3- مفاهیم و سازوکارهای الگوریتم ژنتیکالگوریتم ژنتیک از استعاره استفاده می‌کند، به نحوی که یک مسئله بهینه‌سازی در محیطی رخ می‌دهد که جواب‌های ممکن به‌عنوان افرادی هستند که در آن محیط زندگی می‌کنند و برای یافتن بهترین جواب لازم است تا پردازش‌هایی روی این افراد صورت پذیرد. اصطلاحات زیر در این محیط مورد استفاده قرار می‌گیرند:]8[
فردبه هر یک از جواب‌های مسئله بهینه‌سازی اصطلاحاً یک فرد می‌گوییم. تعیین ساختار هر فرد به مسئله مورد مطالعه بستگی دارد.
کدگذاریکدگذاری فرآیند نشان دادن جواب‌های مسئله در قالبی قابل استفاده برای الگوریتم ژنتیک است و کدگذاری می‌تواند نقشی اساسی در GA داشته باشد.
تابع برازندگیبرازندگی یک فرد در الگوریتم ژنتیک به معنای میزان ارزش یا کیفیت آن فرد (جواب) با توجه به معیارهای مختلف است که یکی از آن معیارها تابع هدف است. در ساده‌ترین شکل مسائل بهینه‌سازی تابع برازندگی همان تابع هدف است.
جمعیتجمعیت به مجموعه‌ای از افراد (جواب‌ها) گفته می‌شود. جنبه‌های مهم جمعیت که در الگوریتم ژنتیک استفاده می‌شود، عبارتند از:
تولید جمعیت اولیه
اندازه جمعیت
اغلب برای شروع حل مسئله، یک جمعیت اولیه تصادفی ایجاد می‌شود. اندازه جمعیت اولیه باید تا حدی بزرگ باشد که کل فضای جستجو را به نحو مطلوبی مورد بررسی قرار دهد. میانگین برازندگی جمعیت ایجاد شده هر چه بهتر باشد یافتن جواب خوب سریع‌تر انجام می‌گیرد. گلدبرگ نشان داد که کارایی الگوریتم ژنتیک برای دست‌یابی به جواب‌های بهینه محلی به میزان زیادی بستگی به اندازه جمعیت دارد. از سوی دیگر باید توجه داشت که جمعیت بزرگ نیاز به محاسبات، هزینه، حافظه و زمان بیشتری دارد.
فرآیند جستجوفرآیند جستجو GA شامل ایجاد یک جمعیت اولیه، سپس تولید مثل افراد جدید تا رسیدن به شرط توقف است. هدف‌های گوناگونی برای فرآیند جستجو می‌تواند وجود داشته باشد که نخستین هدف می‌تواند یافتن جواب بهینه مطلق باشد که در مدل GA هیچ گونه اطمینانی در مورد آن وجود ندارد زیرا همیشه احتمال آن می‌رود که در تکرارهای بعدی، جوابی بهتر یافت شود. هدف دیگر، هم‌گرایی سریع است. هنگامی‌که پردازش تابع هدف پرهزینه است هم‌گرایی سریع مطلوبیت می‌یابد. سومین هدف، ایجاد مجموعه‌ای از جواب‌های متنوع و در عین حال خوب است. هنگامی که فضای جواب شامل نقاط بهینه گوناگون باشد که دارای برازندگی یکسان هستند، مفید است که الگوریتم قادر باشد از بین آن‌ها جواب‌هایی را انتخاب کند.
عملگرهاعملگر اصطلاحی کلی برای سازوکارها یا پردازش‌های صورت گرفته در الگوریتم ژنتیک است که وظایف متنوعی به‌عهده دارند. شکل 2-10 جریان کلی الگوریتم ژنتیک و نقش این عملگرها را در این الگوریتم نشان می‌دهد.]8[
1096645163195ایجاد جمعیت اولیه
ارائه جواب مسئله
جهش
تقاطع
انتخاب
جایگزینی
نسل جدید
آیا شرط توقف برقرار است؟
ایجاد جمعیت اولیه
ارزیابی تابع برازش
خیر
بله
00ایجاد جمعیت اولیه
ارائه جواب مسئله
جهش
تقاطع
انتخاب
جایگزینی
نسل جدید
آیا شرط توقف برقرار است؟
ایجاد جمعیت اولیه
ارزیابی تابع برازش
خیر
بله

شکل 2-10- جریان کلی الگوریتم ژنتیک]8[2-14-5-4-کاربردهای الگوریتم ژنتیککاربرد الگوریتم ژنتیک حوزه وسیعی از مسائل بهینه‌سازی در زمینه‌های مختلف فنی مهندسی، علوم و اجتماعی را در برمی گیرد.]17[
برای مسائل بهینه‌سازی استاندارد، صرفاً روشی برای به‌دست آوردن یک جواب می‌باشد. می‌توان آن‌را برای مسائل خطی، غیر خطی و برنامه‌ریزی احتمالی که دارای متغیرهای تصادفی و درجه‌ای از عدم قطعیت است استفاده نمود. درضمن، مسائل بهینه‌سازی ترکیبی که شامل مسائل مختلف علوم رایانه‌ای می‌باشد، مورد استفاده قرار می‌گیرد. قابلیت انعطاف پذیری الگوریتم ژنتیک، دامنه کاربرد این الگوریتم را بسیار گسترده کرده است و هم‌چنین سرعت الگوریتم ژنتیک دریافتن جواب مسئله آن‌چنان است که بتواند به سهولت با محیط سازگار شود و این قابلیت برتر از توان سیستم‌های خبره است.
تعداد زیادی از پژوهشگران در زمینه الگوریتم ژنتیک در شاخه‌های مختلف پژوهش کرده‌اند که می‌توان به‌صورت زیر ارائه نمود:]17[
برای مسئله سفارش تولید در یک فرآیند مونتاژ از الگوریتم ژنتیک استفاده می‌شود.
سیستم فرآیند مونتاژ مشتمل بر دو زیرسیستم است:
اولین زیرسیستم، دستگاهی است که کار آن فراوری مجموعه‌ای از محصولات می‌باشد.
دومین زیرسیستم، حمل کننده است که محصولات را حمل‌ونقل می‌کند.
الگوریتم ژنتیک جهت یافتن خط مشی بهینه یا نزدیک به آن برای سیستم‌های بزرگ استفاده شده است و هم‌چنین برای یافتن استراتژی تصمیم‌گیری بهینه یا نزدیک به بهینه در یک سیستم پیچیده بزرگ استفاده گردیده است.
الگوریتم ژنتیک برای برنامه‌ریزی تولید یک شرکت تولیدی چند ملیتی استفاده گردیده است.
الگوریتم ژنتیک برای طراحی جا و مکان مدور سیستم‌های تولیدی استفاده شده است.
الگوریتم ژنتیک برای مسئله انتخاب روبات و تخصیص ایستگاه کاری به‌طور بهینه برای یک سیستم (CIM) به‌کار برده شده است.
الگوریتم ژنتیک برای بالانس خط مونتاژ استفاده شده است. مسئله بالانس خط مونتاژ تعداد ایستگاه‌های کاری و تخصیص بهینه کل عملیات برای هر ایستگاه کاری را معین میکند.
الگوریتم ژنتیک برای بازاریابی توریسم استفاده شده است. با فرض وجود شبکه‌ای از سایت‌های موجود و مجموعه‌ای از سایت‌های ممکن جدید و با فرض پویا بودن شبکه موجود از لحاظ سودآوری، جذابیت برای مشتری بالقوه و دیگر معیارهای مناسب.
الگوریتم ژنتیک برای مسائل "کلمه‌سازی" استفاده می‌شود. به‌طوری که هرگاه کلمات به‌طور تصادفی قرار گرفته باشند و خواسته باشیم کلمه‌ای معنی‌دار را به‌وجود آوریم از قدرت الگوریتم ژنتیک می‌توان برای این مسائل استفاده نمود.
از الگوریتم ژنتیک برای این‌که هزینه طرح کمترین مقدار باشد می‌توان استفاده نمود.
الگوریتم ژنتیک در بهینه‌سازی برنامه جامع توسعه سیستم آب جهت تامین نیازهای آینده استفاده نمود.
از الگوریتم ژنتیک در طراحی خرپا که برای نگه‌داری پل، سقف و یا دیگر قسمت‌های مهندسی استفاده می‌شود، به‌کار رفته است.
برنامه‌ریزی کار در یک کارخانه
مسئله فروشنده دوره گرد
برنامه‌ریزی و بهینه‌سازی قابلیت اعتماد نیز با الگوریتم ژنتیک قابل حل می‌باشد. بسیاری از سیستم‌ها نقش بحرانی در عملیات مختلف دارند و اگر خراب شوند، ممکن است پی‌آمدهایی سخت به‌بار آورند.
طراحی مدل برنامه‌ریزی استراژیک سیستم‌های اطلاعاتی با استفاده از فرآیند تحلیل سلسله مراتبی و الگوریتم ژنتیک قابل حل می‌باشد.
الگوریتم ژنتیک برای برنامه‌ریزی خطوط انتقال نیرو و نصب ژنراتورها مورد استفاده قرار می‌گیرد.
الگوریتم ژنتیک برای مسائل حمل‌ونقل استاندارد، مرکب و هم‌چنین مسائل برنامه‌ریزی چندمعیاره مورد استفاده قرار می‌گیرد.
الگوریتم ژنتیک در جایابی و تعیین ظرفیت بهینه خازن‌های سبک توزیع قدرت به‌منظور کاهش تلفات توان و انرژی و بهبود ولتاژ استفاده گردیده است.
الگوریتم ژنتیک در برنامه‌ریزی قدرت راکتیو، پخش بار اقتصادی، بهینه‌سازی ولتاژ برنامه‌ریزی ژنراتورها و طراحی ترانسفورموتورها استفاده شده است.
الگوریتم ژنتیک در مسائل زمان‌بندی، تولید و جریان کارگاه‌ها، مسئله پوشش مجموعه‌ای استقرار تسهیلات، و برنامه‌ریزی تولید به‌کار رفته است.
الگوریتم ژنتیک در طراحی موتور، ساختن تراشه‌ها و بهینه‌سازی شبکه‌ها با ابعاد بزرگ نیز مورد استفاده قرارگرفته است.
زمان‌بندی کارگاهی
طراحی قرارگیری تجهیزات، مسئله قرارگیری تجهیزات شامل تصمیم‌گیری برای محل قرارگیری تجهیزات و منابع در یک پیکربندی است که منجر به بهترین اجرا یا توجه به ضوابط مشخص می‌شود.
در بالا به‌طور مختصر کاربردهای الگوریتم ژنتیک شرح داده شده، همان‌طور که از تنوع آن‌ها دیده می‌شود این الگوریتم می‌تواند برای تمام رشته‌هایی که مسائل بهینه‌سازی را مدنظر دارند، به‌عنوان روش جدید مورد تجزیه و تحلیل قرارگیرد.
2-15- نرم‌افزارهای مورد استفاده در پژوهش
جهت انجام این پژوهش چهار نرم‌افزار بکار گرفته شده است. برای تعیین نوع توزیع داده‌های پژوهش، از نرم‌افزار کریستال بال کمک گرفته شد. برنامه‌نویسی و ترکیب بین نرم‌افزار شبیه‌سازی و الگوریتم ژنتیک با نرم‌افزار اکسل انجام شد. با استفاده از آزمون تی نرم افزار SPSS اعتبار داده‌های ورودی به مدل تائید شد و در آخر شبیه‌سازی خط تولید بوسیله نرم‌افزار Simul8 صورت پذیرفت.
حال، به شرح مختصری از نرم‌افزارهای جدید بکار گرفته شده در این پژوهش یعنی کریستال بال و Simul8 پرداخته می‌شود زیرا کم‌وبیش آشنایی با دو نرم‌افزار اکسل و SPSS و نحوه استفاده از آن‌ها وجود دارد.
کریستال بال، در سطح عمومی نرم‌افزاری جهت تحلیل آمار و در کاربردی پیشرفته، بهینه‌ساز هست که به‌دلیل سهولت استفاده و قابل اجرا بودن در نرم‌افزار محبوب اکسل، مناسب می‌باشد. این نرم‌افزار بصورت گسترده در زمینه‌های اقتصاد، برنامه‌ریزی و علوم دیگر کاربرد دارد. کارکرد اصلی این نرم‌افزار، تعیین نوع توزیع داده‌های ورودی به آن می‌باشد. خروجی این نرم‌افزار بصورت شکل توزیع با ارائه پارامترهای آن است که کاربرد آن‌را وسیع‌تر می‌کند.
شبیه‌سازی با Simul8، از انعطاف‌پذیرترین و قدرتمندترین ابزارهای حوزه تصمیم‌گیری می‌باشد. با استفاده از این تکنیک وضعیت سیستم مدل شده و سپس در جهت بهبود آن راه‌حل‌‌هایی اتخاذ می‌شود. درواقع در بسیاری از موارد، وضعیت فعلی سیستم در محیط مجازی مدل‌سازی شده و پس از تعیین اعتبار مدل و میزان تطبیق آن با واقعیت، گزینه‌های مختلف مدل بررسی و نتیجه آن‌ها استخراج می‌شود. درواقع به‌جای پرداخت هزینه تغییرات در دنیای واقعی، به بررسی آن در دنیای مجازی پرداخته می‌شود.

2-16- پیشینه پژوهش
در قسمت پایانی این فصل، مروری بر پیشینه پژوهش‌های انجام شده در حوزه بهینه‌سازی شبیه‌سازی پرداخته می‌شود. اما به‌دلیل گستردگی موارد استفاده این تکنیک خاص در صنعت، پیشینه به دو بخش تقسیم می‌شود:
بخش اول: مروری بر مطالعات صورت گرفته در زمینه کاربردهای متنوع شبیه‌سازی در سیستم‌های تولیدی

=19

دانشکده پیامبر اعظم (ص)
گروه علوم پایه
×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××
(این چکیده به منظور چاپ در پژوهش نامه دانشگاه تهیه شده است)
نام واحد دانشگاهی: تهران مرکزی کد واحد: 101 کد شناسایی پایان نامه: 10130109912023
عنوان پایان نامه: روش جدید مرتبه چهارم و معادلات غیر خطی موج
نام و نام خانوادگی دانشجو: زینب طاهری جبلی
شماره دانشجویی: 900762174
رشته تحصیلی: ریاضی – آنالیز عددی تاریخ شروع پایان نامه: نیمسال اول 91
تاریخ اتمام پایان نامه: نیمسال دوم 92
استاد / استادان راهنما: جناب آقای دکتر جلیل رشیدی نیا
استاد / استادان مشاور: جناب آقای دکتر مجید امیر فخریان
آدرس و شماره تلفن: شهرک قدس، میدان صنعت، روبروی شهرک پردیسان، دانشگاه پیامبر اعظم
چکیده پایان نامه (شامل خلاصه، اهداف، روش های اجرا و نتایج به دست آمده) :
در این پایان نامه روش تفاضلی فشرده سه ترازی برای حل عددی معادله موج غیر خطی ارایه میشود . برای رفع بغرنجی و حل سیستم های حاصل، ازتکنیک روش ضمنی مسیر متناوب استفاده می کنیم که این روش تفاضلی دارای مرتبه همگرایی درو است وسپس با به کارگیری برون یابی ریچاردسون براساس پارامترهای سه ترازی زمانی روشی با دقت مرتبه چهارم در زمان و مکان ارائه شده است.
کلمات کلیدی : معادله ی موج ، روش ضمنی مسیر متناوب ، تفاضلات متناهی فشرده ، همگرایی
نظر استاد راهنما برای چاپ در پژوهش نامه دانشگاه مناسب است تاریخ و امضاء:
مناسب نیست
فهرست مطالب
عنوان صفحه
TOC h z t "فهرست مطالب;1" مقدمه PAGEREF _Toc250107858 h 1فصل اول: معادلات دیفرانسیل1-1- معادلات دیفرانسیل PAGEREF _Toc250107861 h 71-2- معادلات کلاسیک مربوط به فیزیک ریاضی PAGEREF _Toc250107862 h 81-3- کاربرد معادلات هذلولوی در فیزیک PAGEREF _Toc250107863 h 101-4- حل عددی معادله موج PAGEREF _Toc250107864 h 111-5- حل عددی معادلات غیر خطی PAGEREF _Toc250107865 h 141-6- روش نقطه ثابت PAGEREF _Toc250107866 h 141-7-روش نیوتن PAGEREF _Toc250107867 h 171-8- تعمیم روش نیوتن برای حل دستگاه های غیر خطی PAGEREF _Toc250107868 h 181-9- همگرایی PAGEREF _Toc250107869 h 22فصل دوم: روش ضمنی مسیرمتناوب و برون یابی ریچاردسون2-1- افرازها و نمادها PAGEREF _Toc250107873 h 252-2- روش ضمنی مسیرمتناوب برای حل معادلات موج دو بعدی PAGEREF _Toc250107874 h 262-3-تجزیه و تحلیل روش PAGEREF _Toc250107875 h 312-4- همگرایی روش PAGEREF _Toc250107876 h 332-5- روش ضمنی مسیر متناوب فشرده تعمیم یافته PAGEREF _Toc250107877 h 392-6- تجزیه و تحلیل روش PAGEREF _Toc250107878 h 432-7-همگرایی روش PAGEREF _Toc250107879 h 442-8- روش برونیابی ریچارد سون PAGEREF _Toc250107880 h 51فصل سوم: روش جدید مرتبه چهارم برای حل دسته‌ای از معادلات موج غیرخطی3-1-مقدمه PAGEREF _Toc250107883 h 543-2- روش ضمنی مسیر متناوب فشرده سه ترازی PAGEREF _Toc250107884 h 543-3- تجزیه و تحلیل همگرایی PAGEREF _Toc250107885 h 613-4- خطای نرم PAGEREF _Toc250107886 h 653-5- حداکثر خطا PAGEREF _Toc250107887 h 703-6- بهبود دقت در ابعاد زمان PAGEREF _Toc250107888 h 76فصل چهارم: مثالها و نتایج عددی4-1- مثال‌های عددی PAGEREF _Toc250107891 h 83نتیجه گیری PAGEREF _Toc250107892 h 113منابع PAGEREF _Toc250107893 h 114
مقدمهدر این پایان نامه درصدد تقریب عددی یک دسته از مسائل اولیه با مقدار مرزی از معادلات موج غیرخطی ذیل هستیم

،،و تابع هایی به اندازه ی کافی هموار هستند که سرعت همگرایی و سازگاری روش دیفرانسیل مسائل مورد نظر را حفظ می کنند.در معادله ذکر شده ثابت های مثبت و ثابت نا منفی می باشد. موارد خاص معادله موج ذکر شده در بالا در مجموعه ای گسترده از مسائل فیزیک ، شیمی ، زیست شناسی و...مطرح می شود.
به عنوان مثال اگر مثبت و و معادله مذکور به صورت معادله تلگرافدر می آید که دسته ای از پدیده هایی مانند: انتشار موج های الکترو مغناطیس در ابر رسانه ها و همین طور انتشار فشار امواج در گردش پلاستیکی خون در سرخ رگ ها و یا حرکت دوبعدی ذرات در جریان سیالات را بیان می کند.
زمانی که و باشد معادله ذکر شده یک معادله معروف غیر خطی کلین-گوردون می شود.
زمانی که با و معادله بالا به نوعی معادله ی سینو-گوردون متعلق است.
معادلات سینو- گوردون و کلین- گوردون همچنین مدل برخی از پدیده های فیزیکی[43 ،45 ،52] شامل انتشار حدفاصله در اتصال جوزفسون میان دو ابر رسانه ، تعامل راه حل ها در یک پلاسما بدون برخورد و ... از نوع معادلات موج هذلولوی هستند.
آنالیز جواب معادلات سینو- گوردون و کلین- گوردون در [52،53،57] بحث و بررسی شده است.
در طی سالیان محققان توجه زیادی به توسعه و کاربرد روش های فشرده با مرتبه بالا داشته اند.
روش ها فشرده مرتبه بالا در مقایسه با روش استاندارد دارای مزایای منحصر بفرد همچون دقت بالاو فشردگی برای امواج با دوره تناوب بالا هستند و دارای کاربرد در مسائل بسیاری مانند مسائل مالی، مکانیک کوانتوم ، بیولوژی و دینامیک سیالات می باشند. روش های تفکیک اپراتور همچون روش های ضمنی مسیر متناوب و روش های یک بعدی موضعی ثابت شده در تقریب جواب های مسایل هذلولوی چند بعدی بسیار مناسب و مفید هستند.
روش ضمنی مسیر متناوب اولین بار توسط دونالد پیچمن و هنری واچفورد درسال 1955و جیم داگلاس و راچفورد [23و29] برای حل ضمنی معادله گرمای دو بعدی مطرح گردید. این روش را در آن زمان با محدودیت های کامپیوتری موجود با ارائه روش تجزیه در تراز زمانی نصف گام حل کردند. آن ها ابتدا معادله گرما را در یک بعد و سپس در بعد دوم حل کردند هر یک از این افراد یک ماتریس سه قطری منحصر به فرد به دست اوردند و این روش به مرحله اجرا درامد. روش ضمنی مسیر متناوب به سرعت توسط داگلاس و راچفورد (1956) ، بریان (1961) و داگلاس(1962) به سه بعد توسعه یافت و داگلاس پیچمن و راچفورد پایداری و همگرایی روش را ثابت کردند.به خاطر اهمیت معادلات دیفرانسیل تحقیق روی الگوریتم های عددی آن ها همیشه یک موضوع فعال در محاسبات عددی به شمار می آید . امروزه روش های تفاضلی به طور مداوم مطرح می شوند و روش ضمنی مسیر متناوب برای معادلات چند بعدی به واسطه پایداری نا مشروط و کارایی بالا مورد توجه هستند.
روش یک بعدی موضعی که توسط دیاکولو [10و11] ارائه شد روش کارآمدی است که معادلات دویا سه بعدی را پی در پی به دستگاه های یک بعدی کاهش می دهد و روش یک بعدی موضعی توسعه یافته توسط وانگ [12و6] را می‌توان برای معادلات ناهمگن به کاربرد اما وجود عبارت های اختلالی زیاد دقت ان را تحت تأثیر قرار می‌دهد . روش ضمنی مسیر متناوب مرتبه دوم توسط کین را فقط می توان برای معادلات سه بعدی با شرایط مرزی همگن به کاربرد. با توجه به کاربرد روش های ضمنی مسیر متناوب برای حل معادلات هذلولوی و سهموی با مقادیر اولیه و مرزی این گونه روش ها مورد توجه قرار گرفتند [6و14و11و12و13و14و16و21و32] نتایج عددی به دست امده با دقت بالا و هزینه های محاسباتی پایین به توسعه روش ضمنی مسیر متناوب فشرده مرتبه بالا منجر شد. برای آشنایی بیشتر با روش ضمنی مسیر متناوب خواننده علاقه‌مند را به [21] ارجاع می دهیم. به تازگی توسعه و کاربرد روش های تفاضل متناهی فشرده برای حل معادلات نفوذ- انتقال پایای دوبعدی ، با استفاده از بسط سری ها معادله دیفرانسیل را به یک روش تفاضل متناهی فشرده نه نقطه ای مرتبه چهار توسعه دادند که جواب های عددی مرتبه بالا را نتیجه گرفتند به طور مشابه طرح فشرده مرتبه بالا توسط افراد دیگر توسعه یافت [19و28] دنیس و هاتسون [7] طرح مشابه با [12] را با استفاده از روش دیگر بدست آوردند.
نوی و تن [22] روش تفاضلی متناهی مرتبه سوم را برای حل معادلات نفوذ-انتقال ناپایای یک بعدی گسترش دادند این روش دارای دقت بالا و هزینه محاسباتی پایین و پایداری نامشروط است.
نوی و تن همچنین طرح ضمنی فشرده نه نقطه ای مرتبه سوم را برای حل معادلات نفوذ – انتقال ناپایای دو بعدی توسعه دادند این طرح دارای دقت مرتبه سه در مکان و مرتبه دو در زمان و ناحیه پایداری بزرگ است.
کالیتا و همکاران [14و29] مجموعه ای از طرح های فشرده مرتبه بالا را برای حل معادلات نفوذ-انتقال ناپایای دو بعدی با ضرایب معین بدست آوردند. به تازگی کارا و ژنگ یک روش ضمنی مسیر متناوب مرتبه بالا رابرای حل معادلات نفوذ- انتقال ناپایای دو بعدی ارائه کردند این روش که در آن روش کرانک نیکلسون برای گسسته سازی زمان و فرمول تفاضل متناهی فشرده مرتبه چهار چند نقطه ای مربوط به معادله نفوذ- انتقال ناپایای یک بعدی برای گسسته سازی مکانی استفاده می شود، دارای دقت مرتبه چهار در مسیر مکان و مرتبه دو در مسیر زمان و پایداری نامشروط و هزینه محاسباتی پایین است.
اخیرا روش های فشرده مرتبه بالای ضمنی مسیر متناوب که دارای دقت بالای روش های فشرده مرتبه بالا و کارآیی بالای روش های ضمنی مسیر متناوب هستند با موفقیت به جواب مسایل هذلولوی منجرشده است . بطور مثال در [45] ، کویی یک روش را برای معادلات سینو-گوردون ، تعمیم یافته دو بعدی بکار برد که این روش با مرتبه دو در زمان و مرتبه چهار در مکان است. یک دسته از روشهای فشرده مرتبه بالای ضمنی مسیر متناوب همواره پایدار برای معادلات تلگرافی چند بعدی در [63] تعبیه شده است. این روشها دارای دقت مرتبه چهار در مکان هستند ، اما تنها دارای دقت مرتبه دو در زمان می باشند.
جهت کارایی بیشتر محاسباتی ، کاربرد برون یابی ریچاردسون در روش فشرده مرتبه بالا در مسائل سینو-گوردون جایگزینی مناسب است . لوییس فراید ریچارد سون که یک ریاضی دان و فیزیک دان انگلیسی بود در قسمت هواشناسی و پیشگویی وضع هوا کار می کرد ریچاردسون شهرتش علاوه بر برون یابی در قسمت های دیگر ریاضی نیز مشهور است در سال1927روش برون یابی ریچاردسون توسط ریچاردسون و گرانت در پروژه - ریسرچای منتشرشد براساس این پروژه - ریسرچاین برون یابی را می توان در هر تقریب زمانی استفاده کرد این روش در مسایل آنالیز عددی کاربرد زیادی دارد ایده ای که پشت این روش است آن است که فرمول های با مراتب پایین تر که خطای برشی آن ها شناخته شده است مرتبه دقت آن ها بالا می رود یعنی از این روش برای ترکیب با روش هایی با مرتبه همگرایی پایین تر استفاده می شود تا دقت آن روش هارا بالا ببرد [72و73و74] .
به طور مثال ترکیب روش فشرده مرتبه بالای ضمنی مسیر متناوب با یک برون یابی ریچاردسون در حل معادلات سهموی خطی در [60] به کار برده شده است. ما ترکیب روش های فشرده مرتبه بالای ضمنی مسیر متناوب با برون یابی ریچاردسون را برای حل مسائل هذلولوی بررسی خواهیم کرد. در این پایان نامه با روش هایی مشابه با روش های به کار رفته در [45] ، یک سه ترازی مرتبه دوم در زمان و مرتبه چهار در مکان به دست می اوریم و روش های فشرده مرتبه بالای ضمنی مسیر متناوب برای حل معادله اولیه مرزی ذکر شده طراحی می کنیم. سپس یک برون یابی ریچاردسون بر اساس پارامترهای سه ترازی برای ایجاد جواب نهایی با مرتبه چهارم در زمان و مکان ایجاد می شود . و با روش گسسته سازی انرژی ، خطا را تخمین میزنیم . همچنین یادآوری می کنیم که یک برون یابی ریچاردسون دو ترازی در روش مرتبه دو نمی تواند دقت مرتبه چهار را حاصل کند حتی در مورد خطای برشی روش ضمنی مسیر متناوب دارای خطای برشی موقت به شکلاست.
در حقیقت ، به علت بسط مجانبی روش تقریب در تراز اول که شامل قدرت عجیبی در تراز است یک فرمول برون یابی ریچاردسون بر اساس سه تراز زمانی معرفی میشود.
در فصل اول توضیحاتی درباره معادلات دیفرانسیل خطی و غیر خطی و روش های حل آن ها داده می شود. در فصل دوم روش های ضمنی مسیر متناوب و روش های ضمنی مسیر متناوب فشرده و آنالیز و همگرایی آن ها و روش برون یابی ریچاردسون مطرح می شود در فصل سوم درباره ساخت روش فشرده مرتبه بالای ضمنی مسیر متناوب و آنالیز همگرایی بحث می کنیم و یک فرمول جدید برون یابی ریچاردسون بر اساس پارامترهای سه ترازی بدست می آوریم . سپس در فصل چهارم سه مثال عددی برای آزمایش عملکرد الگوریتم مطرح می شود و سپس یک نتیجه گیری کلی ارائه خواهیم کرد.
فصل اولمعادلات دیفرانسیل
1-1- معادلات دیفرانسیل[1]تعریف (1-1) معادلات دیفرانسیل: هر معادله شامل مشتق را یک معادله دیفرانسیل می نامیم که به دو نوع معمولی وجزئی تقسیم می شود.
تعریف (1-2) معادلات دیفرانسیل: رابطه بین متغیرو تابع وابسته و مشتقات مراتب مختلف آن را معادله دیفرانسیل معمولی می گویند که به صورت زیر تعریف می شود

مثال هایی از معادله دیفرانسیل معمولی به صورت زیر است:

تعریف(1-3) معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی : یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی معادله ای
شامل یک تابع نا مشخص از 2 یا بیش از 2 متغیر مستقل و مشتقات آن نسبت به آن متغیرهاست صورت کلی این گونه معادلات برای دو متغیر مستقل و و یک متغیروابسته عبارت است از:

تعریف (1-4) مرتبه معادله دیفرانسیل: بزرگترین مرتبه مشتق در یک معادله دیفرانسیل را مرتبه آن معادله دیفرانسیل می نامیم.
تعریف (1-5) درجه معادله دیفرانسیل: در یک معادله دیفرانسیل توان مشتق با بالاترین مرتبه را درجه معادله دیفرانسیل می نامیم.
تعریف (1-6) معادله دیفرانسیل با مشتقات جزیی خطی و غیر خطی
یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی را خطی نامیم هرگاه متغیرهای وابسته و مشتقات آن ها به صورت خطی ظاهر شود لذا در غیر این صورت معادله دیفرانسیل را غیرخطی می گویند
مثال/ نمونه ای از معادلات خطی:

نمونه ای از حالت غیر خطی:

تعریف (1-7) معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی شبه خطی:
معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی را شبه خطی می نامیم اگر معادله نسبت به بالاترین مرتبه مشتقات جزئی که در معادله ظاهر می شود خطی باشد.
صورت کلی یک معادله دیفرانسیل شبه خطی برای دو متغیر مستقل خطی عبارتست از :

1-2- معادلات کلاسیک مربوط به فیزیک ریاضی [3]معادلات زیر که معادلات کلاسیک مربوط به فیزیک ریاضی می باشند:
معادله سهموی (1-1)
معادله هذلولوی (1-2)
معادله لاپلاس (1-3)
و این معادلات به ترتیب به معادله گرمای یک بعدی و معادلات موج یک بعدی و معادله لاپلاس دو بعدی مشهور هستند.
در حالت کلی می توان صورت کلی یک معادله هذلولوی شبه خطی مرتبه دوم را به شکل زیربیان کرد:
(1-4)
که در این معادله توابعی از می باشند
ولی بر حسب نیستند.
داریم:با فرض
(1-5)
فرض کنید منحنی در صفحه باشد مقادیر که مشتقات مرتبه دوم آن ها یعنی به گونه ای باشند که در روابط فوق صدق کنند خواهیم داشت:
s
(1-6)

(1-7)
با جایگذاری (1-7) و (1-6) در (1-5) داریم :

داریم:با ضرب این رابطه در

حال منحنی را طوری در نظر می گیریم که شیب مماس در هر نقطه روی آن ریشه معادله زیر باشد:
(1-8)
(1-9)
با توجه به اینکه معادله (1-8) یک معادله درجه دوم است می توان به کمک

سه حالت زیر را درنظر گرفت:
معادله هذلواوی می باشد.حالت اول: اگر
معادله سهموی می باشد.حالت دوم : اگر
معادله بیضوی حاصل می شود.حالت سوم: اگر
و به این ترتیب شیب جهات مشخصه (ریشه های معادله) مربوط به معادله (1-4) بایافتن ریشه های معادله درجه دوم (1-8) حاصل می شود.
1-3- کاربرد معادلات هذلولوی در فیزیک[1]در اینجا یک معادله دیفرانسیل جزئی هذلولوی را بررسی خواهیم کرد.
فرض می کنیم یک نخ قابل ارتجاع به طول بین دو نقطه اتکا در یک سطح افقی کشیده شده باشد هرگاه نخ چنان به حرکت در آید که در یک سطح قائم نوسان کند آن گاه تغییر مکان قائم یعنی یک نقطه ، در زمان در معادله دیفرانسیل جزئی

صدق می کند به شرطی که از اثرات بی حرکت کردن سیم صرف نظر شود و نوسانات خیلی بزرگ نباشد.
برای اعمال قیود روی این مسأله فرض می کنیم محل اولیه و سرعت نخ به صورت زیراست:

و از این امر استفاده می کنیم که نقاط انتهایی ثابت هستند که نتیجه می دهد:

مسائل فیزیکی دیگری شامل معادلات دیفرانسیل جزئی هذلولوی درمطالعه ی موج های نوسان کننده که یک یا دو انتهای آن با گیره نگه داشته می شود و انتقال الکتریسیته در یک خط انتقال طویل که در آن مقداری انتقال جریان به زمین وجود دارد ، رخ می دهد.
1-4- حل عددی معادله موج [1]مثالی از یک معادله دیفرانسیل جزئی هذلولوی را بررسی خواهیم کرد.
معادله دیفرانسیل
(1-10)
تحت شرایط

داده میشود که در آن یک ثابت است.برای بدست آوردن روش تفاضلی متناهی ، یک عدد صحیح مثبت و اندازه طول گام زمانی مثبت و انداره طول گام مکانی مثبت معرفی می شوند.
را انتخاب می کنیم. به طوریکه
تعریف می شوند.و بانقاط شبکه ای
و
معادله موج به حالت زیر می شود: در هر نقطه شبکه ای داخل

روش تفاضلی با استفاده از خارج قسمت تفاضل مرکزی برای مشتقات جزیی مرتبه دوم که با فرمول های زیر داده می شود بدست می آید:
(1-11)
به طوریکه است
(1-12)

با جایگذاری ( 1-12 ) و (1-11) در ( 1- 8 ) به دست می آوریم:
(1-13)
قضیه1-1 : مسأله مقدار مرزی : رجوع کنید به منبع ]4[
مسأله مقدار اولیه:

و مسأله مقدار اولیه

به طوری که جواب های منحصر به فرد دارند اگر بر دامنه بربه ازای یک پارامتر دلخواه

پیوسته باشند. الف)
وجود داشته باشدب) ثابت
پ)

1-5- حل عددی معادلات غیر خطی [1] مواجه هستیم به طوری کهما در معادلات غیر خطی موج با دستگاه معادلات غیرخطی

یا به طور ماتریسی

حال با روش نقطه ثابت به طور کلی حل معادله غیرخطی را بررسی می کنیم و سپس با تعمیم روش نیوتن درباره همگرایی اینگونه معادلات بحث می کنیم.
1-6- روش نقطه ثابت با فرض اینکه تابع در بازه تعریف شده باشد اگر در این بازه باشد به طوری که آنگاه را نقطه ثابت تابع می نامند.
با فرض اینکه ریشه معادله باشد در روش تکرار نقطه ثابت برای تعیین ابتدا معادله را به صورت می نویسیم بعنی را طوری تعریف می کنیم که اگر آن گاه و بر عکس برای به دست آوردن نقطه ی ثابت نقطه ی را به عنوان تقریبی برای آن انتخاب می کنیم و دنباله را به صورت زیر تعریف می کنیم :

تحت شرایط مناسب داریم:

است. یا ریشه معادله حد دنباله نقطه ثابت به عبارت دیگر
قضیه 1-2 : شرایط تابع در روش نقطه ثابت:
پیوسته و مشتق پذیر باشد و بازای هر در بازه الف) فرض کنیم تابع
داشته باشیم یعنی تابع بازه را به خودش می نگارد.
ب) فرض کنیم عددی مانند وجود داشته باشد به طوری که به ازای هر داشته باشیم که تابع دارای یک و تنها یک نقطه ثابت باشد.
آنگاه به ازای هر نقطه آغازین دنباله تعریف شده همگرا به است.
تولید می شود تابع تکرار می نامیم. را که توسط دنبالهدر قضیه بالا تابع
به گونه ای انتخاب شود، کمتر باشد ، آنگاه باید را به دست آوریم به طوری که خطا ازاگر بخواهیم بدست آورد.که تقریبی برای
در حالت خاص اگر نا مساوی را خواهیم داشت زیرا در این صورت عبارت را داریم .
درباره آهنگ همگرایی روش تکرار نقطه ثابت بیان می کنیم که اگر نقطه ثابت ریشه معادله باشد و در بازه ی در شرایط قضیه نقطه ثابت صدق می کند داریم:

اگر در بازه پیوسته باشد و به ازای هر داشته باشیم آنگاه خواهیم د اشت از انجایی که نتیجه می گیریم است. بنابراین داریم

پس برای های به قدر کافی بزرگ است که نشان می دهد خطا در هر گام متناسب با خطا در گام های قبلی است در چنین حالتی گفته میشود که همگرایی از مرتبه اول یا خطی است.
هر اندازه کوچکتر باشد سریعتر به سمت صفر میل می کند به ویژه سریعترین حالت وقتی است که باشد در این صورت برای تعیین مرتبه همگرایی فرض می کنیم که در بازه ی پیوسته باشد با به کار بستن بسط تیلور داریم

است نتیجه می شودبا فرض اینکه
ا
بدست می آوریم

بنابراین

آن گاه می توان گفت کهاگر

در این حالت همگرایی را از مرتبه دوم نامند به همین ترتیب می توان همگرایی از مرتبه بالاتر را تعریف کرد به طور کلی داریم که اگر دنباله ای باشد به طوری که قرار می دهیم

وجود داشته باشد به طوریکهو عدد مثبتاگر عدد حقیقی

آن گاه گفته می شود که مرتبه همگرایی به برابر است واضح است که هر چه بزرگتر باشد آهنگ همگرایی سریعتر است
1-7-روش نیوتنروش نیوتن حالت خاصی از روش تکرار ساده است و آن را به صورت زیر نشان می دهیم

فرض می کنیم به همگرا باشد اگر عددی مانند و ثابتی غیرصفر مانند وجود داشته باشد به طوری که

آن گاه را مرتبه همگرایی آن دنباله گوییم هرگاه همگرایی را خطی گویند. مرتبه همگرایی روش تکرار ساده وقتی یک است و روش تکراری نیوتن وقتیحداقل دو است برای کسب اطلاعات بیشتر به [1]رجوع شود.
حال روش نیوتن را برای حل دستگاه که یک دستگاه معادلات غیرخطی شامل معادله و مجهول می‌باشد ، به کار می‌بریم یعنی در حالت کل روش نیوتن را برای حل دستگاه‌های معادلات غیرخطی تعمیم می دهیم.
1-8- تعمیم روش نیوتن برای حل دستگاه های غیر خطیحال روش نیوتن را برای حل دستگاه که یک دستگاه معادلات غیرخطی شامل معادله و مجهول می‌باشد ، به کار می‌بریم یعنی در حالت کل روش نیوتن را برای حل دستگاه‌های معادلات غیرخطی تعمیم می دهیم.
دستگاه زیر را درنظر می گیریم:
(1-14)
که شکل یک دستگاه از معادلات غیرخطی است. اغلب مطلوب است که دستگاه را به گونه‌ای دیگر با تعریف یک تابع نمایش داد که است و

با استفاده از نماد بردار به منظور نمایش متغیرهای می‌نویسیم که است لذا دستگاه معادلات (1-14) شکل زیر را پیدا می‌کند.
(1-15)
می خواهیم یک ریشه برای معادله غیرخطی(1-15) بیابیم. در نظر می گیریم که یک دستگاه معادله و مجهول داریم که با استفاده از روش نیوتن آن را حل میکنیم.
هدف ، یافتن یک ریشه برای تابع ماتریس است که جواب واقعی آن است ، این جواب می تواند به عنوان یک نقطه ثابت برای بعضی از توابع در نظر گرفته شود که بوسیله روش تکرار نقطه ثابت بدست می‌آید ، داریم:
(1-16)
را تخمین اولیه (1-14) را در نظر می‌گیریم.که
ام باشد در مرحله تقریب جواب دستگاه (1-14) وبه طور کلی فرض کنید بردار
در این صورت

بنابراین خواهیم داشت داریمبا توجه به اینکه
...+ جملات شامل
درصورتی که به اندازه کافی به نزدیک باشد می‌توان از جملات شامل صرف نظر کرد بنابراین از (1-16) داریم:
(1-17)
مشتق را در با یا نشان می دهیم که به صورت زیر تعریف می شود و همان ماتریس ژاکوبی است.

در این صورت رابطه (1-17)کهماتریس ژاکوبی دستگاه باشد یعنیبنابراین هرگاه
را می توان به صورت زیر نوشت:
(1-18)
که در آن ماتریس ژاکوبین در نقطه است (1-18) را می توان به صورت باز نویسی کرد.
هرگز را محاسبه نمی کنیم بلکه از رابطه (1-18) و مثلاً ازروش حذفی گاوس را تعیین می نماییم.
با توجه به اینکه رابطه (1-18) یک دستگاه معادلات خطی است و دیگر غیر خطی نیست می توان مثلا روش حذفی گاوس را برای تعیینبه کار برد.

قرار می دهیم و روند را تکرار می کنیم تا به دقت مناسب برسیم.
تقریبی برای جواب دستگاه غیر خطی زیر بیابید مثال 1-4 : با

حل:

با حل دستگاه بالا داریم
بنابراین:

از دستگاه بالا بدست می آوریم

و از آن داریم

با ادامه روند جدول زیر را داریم:
جدول1-1.جواب های تقریبی مثال (1-4)

1 1.5
0.75 1.5
0.756944444 1.486111112
0.755982262 1.448035475
0.755983064 1.488033871
0.755983064 1.488033871
جدول همگرایی مرتبه دوم را نشان می دهد
قضیه1-3 : روش نیوتن برای حل دستگاه های معادلات غیر خطی همگرایی مرتبه دوم دارد. (اثبات به [1] مراجعه شود)
1-9- همگرایی [2]می دانیم که معادلات غیرخطی را می توانیم به دستگاه خطی تبدیل کنیم به طوری کهاگر ماتریسبسیار بزرگ باشد روش های تکراری روش های بهتری برای حل دستگاه خواهند بود.
ایده اصلی پشت روش های تکراری آن است که دستگاه به
(1-19)
از بردار جواب یک دنباله از تقریب هایتبدیل شودسپس با شروع از یک تقریب اولیه
به صورت
(1-20)
تعریف می شوند با این امید که تحت برخی شرایط معتدل دنبالههنگامی کهبه جواب همگرا گردد.
باشد. که معیار توقف همگرایی در روش های تکراری آن است که
اغلب ساختن یک حدس خوب از تقریب اولیه دشوار است.
بنابراین داشتن شرایطی که همگرایی (20-1)را برای هر انتخاب دلخواه از تقریب اولیه تضمین کند
مطلوب خواهدبود.
قضیه 1-4 : (قضیه همگرایی تکرار) : روش تکراری به یک حد با یک انتخاب دلخواه از تقریب اولیه همگرا می گردد اگر و فقط اگر ماتریس یعنی یک ماتریس همگرا باشد.
برای اثبات به[2] رجوع کنید.
کمتر از یک باشد. همگراست اگر و فقط اگر شعاع طیفیقضیه1 -5:
برای اثبات به [2] رجوع کنید.
نکته: به طور کلی نرخ همگرایی مجانبی روش تکراری به صورت است .

فصل دومروش ضمنی مسیرمتناوب وبرون یابی ریچاردسون
2-1- افرازها و نمادهابرای گسسته سازی زمانی ،طول گام زمان است و دو عدد صحیح مثبتN و n وجود دارد
به طوری که است.
به ازای هر
داریم :

درابعاداست به طوریو عدد صحیح مثبت میباشند.
تعریف می کنیم

شبکه های گسسته زیر را در نظر می گیریم

.

و داریم

که قرار می‌دهیم:
و

ما مشخص می کنیم:

گزینه های ، و میتواند به همان صورت تعیین شود.
ما یک بردار مکانی را بصورت زیر مشخص میکنیم:

اگر باشد آنگاه می باشد که این بردار به عنوان یک تابع شبکه با مقدار صفر در است

به ازای هر نتایج ضرب داخلی به صورت زیر مشخص می شود

مشابه آن و بخوبی تعیین میشود. بعلاوه ما داریم:

به طور مشابه ، مشخص میشوند. و داریم:

2-2- روش ضمنی مسیرمتناوب برای حل معادلات موج دو بعدیمعادله دیفرانسیل موج نا همگن دو بعدی زیر با شرایط اولیه و مرزی داده شده را روی دامنه در نظر می گیریم
(2-1)
(2-2)
(2-3)
که در آن دامنه مستطیل شکلی است که می باشد و است.
تابع هایی باندازه کافی هموار هستند به طوری که ،و
نامنفی است مثبت اند و ثابت ثابت های
شبکه بندی کرده و شبکه بدست بر را با استفاده ازنقاطدامنه
باشد همچنین اندازه گام شبکه مکانی در راستاهای نشان می دهیم اگر آمده را با
طول گام زمان است .

اگر در (1-2) قرار دهیم
(2-4) در نتیجه رابطه به صورت زیر نوشته می شود
(2-5)
(2-6)
(2-7)

گسسته سازی ضمنی کرانک نیکلسون روی معادله (2-4) و (5-5) به ترتیب به صورت زیر است:
(2-8)
(2-9)
هستند کهبه ترتیب مقدار تقریبی توابعفرض کنیم که:

در(2-8) بدست می آوریمبا ضرب
(2-10)
از(9-2) در(10-2) داریم: با جایگذاری عبارت

به عبارت دیگر:

(2-11)
باشد رابطه (2-11) به صورت زیر نوشته می شود:حال اگر
(2-12)
با افزودن عبارت اختلالی به سمت چپ (2-12) رابطه زیر را بدست می آوریم

(2-13)
روش ضمنی مسیر متناوب به صورت زیر است: با معرفی متغیر میانی

(2-14)

(2-15)
(2-16)
از ترکیب (2-14)- (2-16) داریم:
(2-17)
اما چون محاسبه مقدار مرزی رابطه میانی از این رابطه به سادگی امکان پذیرنیست با فرض کوچک چنین می شود:مقدار مرزی بودن
(2-18)
به کمک رابطه های (2-14)- (2-18) می توان معادله موج ناهمگن را حل کرد از طرف دیگر با دنبال کردن ایده داگلاس [9و10] روش داگلاس زیر را بدست می آوریم:

(2-19)
(2-20)
روی مرز به سادگی از رابطه (2-20) نتیجه می شودمتغیر میانی

به شرط کوچکی مقادیر مرزی متغیر میانی را معمولاً با استفاده ازتساوی ساده زیر محاسبه می کنیم.
روش ضمنی مسیر متناوب مطرح شده در [35] به صورت زیر است:
(2-21)
(2-22)

(2-23)
(2-24)

2-3-تجزیه و تحلیل روشبرای تحلیل خطای برشی از رابطه (13-2) این نتیجه بدست می آید:
(2-25)
طبق رابطه (2-9) داریم:
(2-26)
با گسسته سازی (4-2)و(5-2) مشابه رابطه های (25-2) و (26-2) می توان نوشت:
(2-27)
(2-28)
به ترتیب در (27-2) و (28-2) خطاهای گسسته سازی روش است.عبارت های
بنابراین خطاهای برشی به صورت زیر محاسبه می شود:

یا داریم :

به عبارت دیگر:

(2-29)

(2-30)
وجود دارند به طوریکه:از این رو ثابت های مثبت

2-4- همگرایی روش دنباله ای از اعداد حقیقی نا منفی استلم 1-2 (نا برابری گرونوال) : فرض کنید
که در عبارت زیر صدق می کند:

، ثابت های مثبت اند در این صورت نا برابری زیر را داریمو،که در آن

معادله های خطا از رابطه های (25-2) و (27-2) به صورت زیر بدست می اید:با فرض

(2-31)
برای راحتی کار زیر اندیس را از (2-31) حذف می کنیم بدون آنکه خللی در اثبات پیش بیاید. با محاسبه ضرب داخلی دو طرف (2-31) در عبارت واستفاده از لم (1-2) به آسانی نتیجه می‌شود

(2-33) =

(2-34)

(2-35)

(2-36)

(2-37)
(2-38)
در دو طرف رابطه های(2-33)-( 2-38) و جایگذاری در (2-31) داریم:با ضرب عبارت

(2-39)
چون (2-39) به ازای هرn برقرار است با جمع بستن روابط و تغییر اندیسn بهl داریم

با استفاده از قاعده تلسکوپی داریم:

به عبارتی دیگر

(2-40)
قضیه 2-1 : فرض کنید جواب های دقیق رابطه های (2-4) تا (2-7) به اندازه کافی هموار و
جواب های عددی رابطه های (2-14) تا (2-16) هستند.
قرار دهید در این صورت یک ثابت مثبت مستقل از و وجود دارد به طوریکه :

طبق (2-40) داریم لذا اثبات: فرض کنیم

فرض کنیم:

طبق لم (1-2) خواهیم داشت:

می باشد.از قضیه (1-2) نتیجه می شود که رابطه (2-31) دارای همگرایی از مرتبه
2-5- روش ضمنی مسیر متناوب فشرده تعمیم یافتهدر این بخش یک روش ضمنی مسیر متناوب فشرده برای حل عددی معادلات موج (2-1) تا (2-3) بیان می شود که :
(2-41)
(2-42)
(2-43)
با استفاده از گسسته سازی تفاضل متناهی فشرده مرتبه چهار [6و18] ، رابطه های (2-42) و (2-43)
را به صورت زیر گسسته می کنیم
(2-44)
(2-45)
به صورت: با گسسته سازی ضمنی کرانک نیکلسون رابطه (2-43) بازای

با ضرب (2-46) در و اعمال عملگر بر دو طرف رابطه و با استفاده از این مطلب که عملگرهای با یکدیگر جابه جا می شوند بدست می آوریم :

(2-47)
از ترکیب رابطه های (2-44) تا ( 2-47) داریم :

(2-48)
مشابه بخش (2-2) از (2-48) رابطه زیر بدست می آید :

(2-49)
به سمت چپ (2-49) رابطه زیر را نتیجه می گیریم:با افزودن عبارت

(2-50)
روش ضمنی مسیر متناوب فشرده زیر را بدست می آوریم:با معرفی متغیر میانی

(2-51)

(2-52)
(2-53)
از (2-51) ، (2-52) و (2-53) معادله مرزی زیر نتیجه می شود:
(2-54)
اما چون محاسبه مقدار مرزی متغیر میانی از این رابطه به سادگی امکان پذیر نیست،مقادیر مرزی متغیر میانی را با فرض کوچک از رابطه (2-54) بدست می آوریم. بودن
(2-55)
به علاوه با دنبال کردن ایده داگلاس [10و9] می توان روش ضمنی مسیر متناوب فشرده را به صورت زیر بیان کرد
به عبارت دیگر

(2-56)
(2-57)
از رابطه (2-57) معادله مرزی زیر نتیجه می شود:

و روش ضمنی مسیر متناوب فشرده [35] به صورت زیر است:

(2-58)
(2-59)

2-6- تجزیه و تحلیل روش
(2-60)
با گسسته سازی مشابه رابطه (60-2) داریم:

(2-61)
بنابراین خطای برش به صورت زیر محاسبه می شود:

-)

(2-62)

را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

(2-63)

(2-64)
وجود دارند به طوری کهثابت های مثبت

2-7-همگرایی روشاگر داشته باشیم

معادله خطا به صورت زیر در می آید:

(2-65)
بدون آنکه خللی در اثبات پیش بیاید با استفاده از لم (1-2) و نابرابری کوشی شوارتز و محاسبه ضرب داخلی دو خواهیم داشت: طرف (65-2) درعبارت

(2-66 )

(2-67)

(2-68)

(2-69)

(2-70)

(2-71)
در دوطرف رابطه های (2-66) - (2-71) و از (2-65) نتیجه می گیریم: با ضرب عبارت

(2-72)
چون(2-72) بازای هر برقرار است با جمع بستن این رابطه ها بازای و تغییر اندیس به خواهیم داشت :

با استفاده از قاعده تلسکوپی داریم:

با فرض داریم:

قضیه 2 -2 : فرض کنید جواب های دقیق برای رابطه های (2-4) تا (2-7) به اندازه کافی
هموار و جواب های عددی حاصل از رابطه های (2-51) تا (2-53) هستند که اگر قرار دهید:
در این صورت یک ثابت مثبت مستقل از وجود دارد به طوریکه:

اثبات: باتوجه به رابطه (2-74) داریم:

بنابراین

داریم:با فرض

طبق لم( 2-1 ) خواهیم داشت:

است. از قضیه( 2-2 ) نتیجه می شود که رابطه (2-72) دارای همگرایی از مرتبه
2-8- روش برونیابی ریچارد سون: [72و73]
در این روش با ترکیب دو تقریب برای یک کمیت تقریب دقیق تری برای آن بدست می آید فرض
باشد , با دقت تقریبی از مقدار واقعی یک کمیت کنیم

هستند بنابراین:ثابت و مستقل ازکه

است.زیرا با دقت تقریبی از اماحال قرار می دهیم

به همین ترنیب می توان تقریب هایی برای بادقت بدست آورد .تقریب در روش برونیابی ریچاردسون را می توان به صورت آرایه مثلثی زیر نشان داد

که در آن مؤلفه ها ، مرتبه و خطای آن ها به صورت زیر قابل محاسبه است:

فصل سومروش جدید مرتبه چهارم برای حل دسته‌ای از معادلات موج غیرخطی
3-1-مقدمهمادرصدد تقریب عددی یک دسته از مسائل اولیه با مقدار مرزی از معادلات موج غیرخطی ذیل هستیم
(3-1)
(3-2)
(3-3)

،و تابع هایی باندازه کافی هموار هستند که سرعت همگرایی و سازگاری روش دیفرانسیل مسائل مورد نظر را حفظ می کنند.
3-2- روش ضمنی مسیر متناوب فشرده سه ترازیدر این بخش با استفاده از روشهای مشابه با [45] یک روش دیفرانسیل ضمنی مسیر متناوب فشرده برای حل مسأله مقدار اولیه مرزی (1-1)- (3-1) مطرح می شود
داریم:

بنابراین

و داریم

به طوری کهتقریباست بنابراین تقریباست.بنابراین

و یک اپراتور خطی و یک تابع شبکه مشخص بر دامنه است به طوری که داریم:

با مشخص کردن اپراتورهای متفاوت و توسعه مجموعه های تیلور با باقی مانده مک لورن داریم:

از روش نیومرو [4] می دانیم

(4-3)
بنابراین خواهیم داشت

از رابطه (3-4) خواهیم داشت
(3-5)
داریم به همین ترتیب همین روابط را برای بعد مکانی

داریماز تعریف اپراتور

باین ترتیب مسأله مقدار اولیه با مقدار مرزی (3-1) را به صورت زیر بدست می آوریم
(3-6)
به طوری که

توسعه مجموعه های تیلور با باقی مانده مک لورین معادله زیر را نتیجه میدهد:

(3-7)
داریمبرای
(3-8)

پس از قرار دادن (3-8) در (3-7) و مرتب کردن دوباره آن ماداریم:

بنابراین

سپس رابطه زیر را بدست می آوریم

حال اگر قرار دهیم

از رابطه (3-7) بدست می آوریم
(3-9)
عبارت اختلال را به صورت زیر در نظر می گیریم

حال با اضافه کردن عبارت اختلال به (3-9) خواهیم داشت

بنابراین داریم

در نتیجه خواهیم داشت

(3-10)

که و به ترتیب تنها به i و j بستگی دارند وو به یکدیگر تبدیل می شوند. مشابه آن ها دو اپراتور و نیز به یکدیگرتبدیل می شوند ، یعنی است.
حال با ضرب در رابطه (3-10) بدست می آوریم

(3-11)
خطای برشی رابطه (3-11) است که طبق اثبات قضیه (2-2) در فصل قبل داریم:به طوری که
(3-12)
با حذف خطای برشی در (3-11) و جایگذاری بامقدار تقریبی داریم :

(3-13)
به طوری که

حال با ضرب در (3-13) و ارائه دو متغیر میانی و یک روش ضمنی مسیر متناوب داگلاس- گان [5و60] بصورت زیر به دست می آید

(3-14)
که بدست می آوریم:

(3-15)
(3-16)

که معادلات (3-14)و(3-15)حل میشود، ما به شرایط مرزی زیر نیاز داریم:

(3-17)
که رابطه (3-17) از مسأله مقدار اولیه مرزی (3-1) تا (3-3) و به کار بردن روابط (3-15) و (3-16) حاصل میشود.
می دانیم که به طور کلی معادلات (3-14) تا (3-16) یک روش دیفرانسیل ضمنی مسیر متناوب سه ترازی است.

ما به برای شروع محاسبه نیاز داریم که. با استفاده از روابط مسأله مقدار اولیه با مقدار مرزی (3-1) تا (3-3) حل می شود به این ترتیب که با به کاربردن بسط تیلور با باقی مانده انتگرال داریم:
(3-18)
با به کاربردن مسأله مقدار اولیه با مقدار مرزی (3-1) تا (3-3) ما می توانیم و را محاسبه کنیم.
و سپس با به کاربردن ،و در (3-18) خواهیم داشت:

با به کار بردن فرمول (3-18) و چشم پوشی از خطای برشی داریم:

بدست می آوریم

و در نتیجه خواهیم داشت

(3-19) +

بنابراین با استفاده ازروابط مسأله مقدار اولیه مرزی و به کار بردن رابطه (3-19)،و را بدست خواهیم آورد.
سپس رویه حذف را اجرا میکنیم تا و را از روابط (3-14) تا ( 3-16) بدست آوریم.
در نهایت با رابطه (3-16) تعیین میشود.
از روابط بدست آمده می دانیم که طبق قضیه (1-1) دارای جواب است و ماتریس ضرایب پیوسته است.
3-3- تجزیه و تحلیل همگراییدر این بخش ، برآورد خطا های مختلف با استفاده از روش گسسته سازی نرم انرژی داده شده است.در این قسمت چند لم کاربردی بیان می شود.
لم3-1- رجوع کنید به [51]. برای هر تابع شبکه ، هر گاه شرایط زیر برقرار باشد
و
آن گاه داریم

اثبات:

بنابراین

و اثبات کامل می شود.
لم3-2- رجوع کنید به [42و45] .اگرتابع شبکه آن گاه

برقرار است.
لم3-3-رجوع کنید به [60و59] اگر برای تابع شبکه ، برقرار باشد
آن گاه ثابت مثبتوجود دارد به طوری که
اثبات:

داریمبازای هر

بدست می آوریم

اثبات کامل می شود.
لم3-4- رجوع کنید به [20]. اگر و دنباله زمانی باشند آن گاه داریم

(3-20)
اثبات:
اثبات(a

برقرار است بنابراین داریممثبت ، رابطه می‌دانیم بازای هر

اثبات b)
با تفریق رابطه (3-13) از (3-11) و قرار دادن رابطه های

به طوری که

داریم:

حال با ضرب رابطه بالا در خواهیم داشت :

=
به راحتی رابطه زیر حاصل می شود

با تفریق(3-18) از (3-19) داریم

در نهایت خواهیم داشت
(3-20)
اثبات کامل می شود.
3-4- خطای نرم
ابتدا فرض میکنیم که ثابت های مثبت وجود دارد به طوری که برای هر و طبق قانون لیپ شیتز داریم:
(3-21)
بنابراین با قرار دادن ما فرض میکنیم که ثابت مثبت بگونه ای است که است.
می دانیم که است .
با فرض این که چهار ثابت مثبت و وجود دارد ،به طوری که

(3-22)
بدنبال آن ما استقراریاضی را برای اثبات قضیه (1-3 ) بکار میبریم.
قضیه 3-1: هرگاه
1- تابع شبکه حل عددی روش دیفرانسیل (3-14) تا (3-16) و (3-19) در سطح زمان k باشد.
2- تابع شبکه جواب حقیقی مسأله مقدار اولیه مرزی(3-1)تا
(3-3) در زمان باشد.
آن گاه تحت رابطه (3-21) و فرض ، داریم:
(3-23)

به طوری که
اثبات: واضح است که (3-23) برایk=0,1 معتبر است. حال فرض میکنیم که (3-20) برای k=0,1,….L(2<L<n-1) صدق می کند. نشان می دهیم که (3-20) برای k=L+1 نیزصدق می کند .
می‌دانیم که است.

از فرضیات قیاس است که:

اگر و باندازه کافی کوچک باشند ترکیبی از فرضیات (3-21) با (3-24) بیان می کند

می دانیم
(3-25)
(3-26)
حال رابطه اول (3-20) را در نظر می گیریم

رابطه را به صورت زیر می نویسیم

را به صورت زیر تعریف می کنیم

(3-27)
که نابرابری زیر به راحتی بدست می آید

و لم ( 3-1 ) و ( 3-2 ) را اعمال میکنیم و باتوجه بهداریم:
(3-28)
(3-29)
حال برای بدست آوردن چنین عمل می کنیم

بنابراین با استفاده از روابط (3-22) رابطه زیر به راحتی بدست می آید

به طور کلی
(3-30)
(3-31)
با ضرب داخلی اولین معادله (3-20) در و سپس استفاده از گسسته سازی داریم:

=
داریم

که با استفاده از روابط (3-25) و (3-26) به دست می آوریم

+
+

که به راحتی می بینیم

(3-32)
با ضرب دو طرف (3-32) در

که به آسانی دیده می شود

با استفاده استفاده از روابط (3-27) تا (3-31) و به کاربردن نابرابری گرونوال خواهیم داشت:
(3-33)
که با استفاده از (3-32) و (3-33) مشخص است که:
(3-34)

به این ترتیب ثابت شد که (3-25) برای معتبر است و اثبات کامل شد.
3-5- حداکثر خطابرای حداکثر خطا ، ما سه فرض داریم:
1- با فرض اینکه برقرار باشد فرض میکنیم که ثابتمثبت است به طوری که:
(3-35)
2- فرض میکنیم که ثابت های مثبت و وجود دارد واست.
داریم:

3- فرض میکنیم که دو ثابت μ3 وμ4وجود دارندبه طوری که:

(3-37)
اکنون میتوانیم با در نظر گرفتن فرضیات بالاقضیه زیر را ثابت کنیم.
قضیه 3-2: هرگاه تابع شبکه جواب عددی روش تفاضلی(3-14) و (3-17) و (3-19) ، در تراز زمانیو جواب واقعی مسأله مقدار اولیه مرزی (3-1) تا (3-3) در زمان باشد با در نظر گرفتن روابط (3-21) و (3-23) و (3-32) و اینکه آنگاه خطای زیر تقریب زده میشود

(3-38)
برای داریم:

وثابت، مثبت است و تنها وابسته به و است
اثبات:
با استفاده از لم ( 3-1 ) و به کار بردن روابط و (3-26) خواهیم داشت:

به اندازه کافی کوچک است.
حال با ترکیب روابط (3-35) و (3-36) داریم:

که تنها وابسته به و است.
بنابراین با استفاده ازقضیه (1-3) می بینیم که:

(3-39)
از ترکیب قضیه (3-1 ) با رابطه (3-21) داریم:
(3-40)
روابط زیر را تعریف می کنیم :

به طوری که

(3-41)
داریم

به طوری که

(3-42)
داریم

به طوری که

(3-43)
داریم

به طوری که
(3-44)
به طوری که از لم (3-1) و (3-2) داریم

از این رابطه می دانیم:
(3-45)
(3-46)
(3-47)

با ضرب داخلی معادله (3-20) در عبارت داریم

بدست می آوریم :

از روابط بالا بدست می آوریم

با به کار بردن گسسته ساز ی و استفاده از لم (3-2) و (3-4 ) و قرار دادن بدست آوریم
:

(3-48)

بنابراین با روابط (3-46) و (3-48) داریم:

(3-49)
بنابراین با به کاربردن لم گرونوال بر (3-49) داریم:

(3-50)

اثبات کامل می شود.
قضیه3-3 :هرگاه جواب واقعی مسأله مقدار اولیه با مقدار مرزی (3-1) و (3-3) باشد. آنگاه با به کار بردن قضیه (3-2) جواب عددی روش ضمنی مسیر متناوب جدید (3-14)تا (3-16) و (3-19) با مرتبه در همگرا میشود.
اثبات: با به کار بردن لم3-3 و قضیه2-2، ما به راحتی قضیه(3-3) را بدست میاوریم
3-6- بهبود دقت در ابعاد زماندر حقیقت یک کران مشخص در (50-3) به صورت زیر است:

که از لم (3-3)داریم

که ثابت است.
برای رسیدن به جواب عددی مرتبه چهار در مسیر زمان ، یک برون یابی ریچاردسون سه ترازی را ایجاد می کنیم .
قضیه 3-4: هرگاه تابع جواب واقعی مسأله مقدار اولیه مقدار مرزی
(3-1) تا (3-3) باشد و جواب عددی روش ضمنی مسیر متناوب (13-14)تا (3-16) و (3-19) در زمان باشد.

وجواب مسأله برون یابی در تراز زمانی به صورت زیر تعریف شود:
(3-51)
آن گاه با به کار بردن قضیه ( 3-2 ) خواهیم داشت:
(3-52)
اثبات:
با فرض اینکه

از (3-12) بدست می آوریم:

ما فرض میکنیم که و برای دو مسأله مقدار اولیه با مقدارمرزی به صورت زیر است:
(3-53)


و
(3-54)
که داریم

توابع عضو شبکه هستندبه طوری که

همانند (3-11) ما میتوانیم معادلات دیفرانسیل مربوط به آنها را بصورت زیر گسترش دهیم:
(3-55)
به طوری که

به همین ترتیب
(3-56)
به طوریکه:

با ضرب روابط (3-55) در و (3-56) در و جمع کردن آن ها و سپس کم کردن نتیجه سیستم از (3-20) خواهیم داشت :

واضح است که بردار است.
بنابراین
(3-57)
به طوری که

با به کاربردن رابطه (3-52) در می یابیم که:

—d1215

پردازش کارها وجود ندارد. کارگاه باز Omجدول SEQ جدول * ARABIC 2 جدول 2-2. نمادهای متداول برای β.توضیحات مسئله نماد
کار j نمیتواند قبل از زمان آمادهسازی خود(rj) پردازش خود را آغاز کند. زمان آمادهسازی غیر صفر برای کارها rjپردازش یک کار روی یک ماشین میتواند قبل از اتمام پرداش قطع شود و کار دیگری پردازش شود. شکست کارها prmpقبل از شروع پردازش یک کار یک یا چند کار مشخص باید پردازش شده باشند. اولویت پردازش کارها precزمان نصب یک کار به روی یک ماشین به کار قبلی پردازش شده روی آن ماشین بستگی دارد. زمان نصب وابسته به توالی کارها stsk,stijkکارهای موجود گروهبندی شده و کارهای یک گروه میتوانند بدون زمان نصب پشت سر هم پردازش شوند. گروه کاری fmlsیک ماشین میتواند دستهای از کارها را همزمان پردازش کنند. زمان پردازش کارها لزوما یکسان نیستند. پردازش دستهای batch(b)یک ماشین ممکن است به طور مداوم در دسترس نباشد. خرابی ماشین brkdwnیک کار ممکن است تنها روی ماشینهای مشخصی قابلیت پردازش داشته باشد. دسترسی محدود به ماشینها Mjدر مسائل کارگاهی جریانی، ترتیب پردازش کارها روی تمام ماشینها یکسان باشد. جایگشت prmuدر مسائل کارگاهی جریانی با ظرفیت محدود بین ماشینآلات هنگامی که بافر پر باشد کار روی ماشین قفل میشود. بلوکه شدن blockدر مسائل کارگاهی جریانی، کارها باید بدون هیچگونه توقفی مسیر پردازش را طی کنند. بدون انتظار nwtدر مسائل تولید کارکاهی یک کار ممکن است در یک مرکز کاری بیش از یک بار پردازش شود. گردش مجدد rcrcجدول SEQ جدول * ARABIC 3 جدول 2-3. نمادهای متداول برای γ.توضیحات مسئله نماد
زمان تکمیل آخرین کار را نشان میدهد. زمان تکمیل بیشینه Cmaxبیشترین انحراف زمانی از موعد تحویل را محاسبه میکند زمان تاخیر بیشینه Lmaxمجموع زمانهای تکمیل کارها را اندازهگیری میکند. زمان تکمیل کل Cjمجموع انحرافات زمانی از موعد تحویل را درنظر میگیرد. زمان دیرکرد کل Tjتعداد کارهای دارای دیرکرد زمانی را محاسبه میکند. تعداد کارهای با تاخیر کل Ujمجموع زمانهای زودکرد و دیرکرد را نشان میدهد. زمانهای زودکرد و دیرکرد کل Ej+Tjمجموع زمانهای تکمیل وزنی کارها را محاسبه میکند. زمان تکمیل وزنی کل wjCjمجموع انحرافات وزنی از موعد تحویل را محاسبه میکند. زمان دیرکرد وزنی کل wjTjتعداد وزنی کارهای دارای دیرکرد وزنی را نشان میدهد. تعداد کارهای با تاخیر وزنی کل wjUjمجموع زمانهای زودکرد و دیرکرد وزنی کارها را محاسبه میکند. زمانهای زودکرد و دیرکرد وزنی کل wj'Ej+wj"Tjسیستم تولید جریانی منعطف یکی از پرکاربردترین سیسستمهای تولیدی است که در واقع حالت کلیتر سیستم تولید جریانی و حالت خاصی از سیستم ماشینهای موازی است. از آنجا که چنین چیدمانی از ماشینها انعطاف پذیری خطوط تولیدی را تا حد زیادی افزایش میدهند، امروزه این حوزه توجه زیادی را به خود جلب کرده است.
از زمانی که اولین تحقیقات در زمینه سیستم تولید جریانی منعطف تاکنون انجام شده است، محدودیتهای بسیاری نظیر زمان نصب وابسته به توالی کارها، پردازش گروهی و … در این نحوه تولید مورد مطالعه قرار گرفتهاند. اما بررسی پردازش بدون انتظار نه تنها در حوزه سیستم تولید جریانی منعطف بلکه در سیستم تولید جریانی معمول نیز کمتر مورد بررسی قرار گرفته است. در این تحقیق، مسئله زمانبندی سیستم تولید جریانی بدون انتظار منعطف با در نظر گرفتن ظرفیت محدود تولید ماشینآلات، رد یا قبول سفارشات و زمان نصب وابسته به توالی کارها و با رویکرد مدیریتی ترکیبی تولید برای ذخیره و تولید برای سفارش با هدف به حداقل رساندن هزینهها(هزینههای ناشی از زودکرد و دیرکرد وزنی و رد کردن یا تحویل ناقص سفارش) مورد بررسی قرار میگیرد. به منظور مرور ادبیات تحقیق، اهم پژوهشهای انجام شده در این حوزه به تفکیک محدودیتها و تابع هدف مورد بررسی قرار میگیرند.
2-2. پردازش بدون انتظارپردازش بدون انتظار یک کار به این معنی است که از زمان شروع پرداش کار روی اولین ماشین تا زمان اتمام پرداش روی آخرین ماشین هیچ وقفه زمانی وجود نداشته باشد. با توجه به این شرایط، شروع پرداش یک کار روی اولین ماشین باید تا زمانی که شرایط پرداش بدون انتظار آن فراهم باشد به تعویق بیفتد [40]. یکی از رایجترین مثالها برای تولید بدن انتظار، صنایع فولاد است. فهرست کاملی از کاربردهای این روش تولیدی توسط هال و اسریسکاندراجاه (1996) [26]، فرامینان و ناگارو (2008) [18] و فرامینان و همکارانش (2010) [17] گرداوری شده است.
با نگاهی اجمالی، تحقیقات انجام شده در زمینه پردازش بدون انتظار را میتوان در سه دسته کلی جای داد که در این بخش اهم تحقیقات انجام شده در هر دسته ارائه میشوند.
2-2-1. سیستم تولید جریانی با دو ماشیندر این سیستم جریانی تنها دو ماشین وجود دارد. آلدوویزان (1998) [8] این مسئله را همراه با محدودیت زمان نصب جدا از زمان پردازش و با تابع هدف مجموع زمانهای تکمیل کارها مورد بررسی قرار داد. پس از آن آلدوویزان (2001) [9] همین مسئله را به کمک روش شاخه و کران حل کرد. بعدها هر دوی این محققان کار خود را برای همین مسئله در حالت سه ماشین تعمیم دادند. شیو(2004) [48] مسئله F2|nwt,sij|Ci را به کمک نمایش مسئله به فرم مسئله فروشنده دورهگرد به کمک الگوریتم کلونی مورچگان حل کرد و نشان داد که نتایج حاصل از آن بهتر از روشهای ابتکاری است که توسط اللهوردی و آلدوویزان بدست آمده بود.
2-2-2. سیستم تولید جریانی با بیش از دو ماشیندر این دسته پژوهشهای زیادی انجام شده است که از آن جمله میتوان به پژوهش انجام شده توسط توکلی مقدم و همکارانش(2008) [50] اشاره کرد که مسئله زمانبندی تولید جریانی بدون انتظار با توابع هدف مینیممسازی متوسط زمان تکمیل وزنی و متوسط دیرکرد وزنی را به کمک الگوریتم سیستم ایمنی مصنوعی حل کرد. بابک جوادی و همکارانش(2008) [27] مسئله چند هدفه سیستم جریانی بدون انتظار فازی را به کمک برنامهریزی خطی حل کرد. که پن و همکارانش(2009) [41] همین مسئله را با توابع هدف مینیممسازی بیشینه زمان تکمیل و مینیممسازی بیشینه دیرکرد به کمک الگوریتم دیفرانسیل تکاملی حل کرد. یوتسنگ و تای لین(2010) [52] مسئله مورد بحث را توسط الگوریتم ژنتیک ترکیبی حل کردند. ونگ و همکارانش نیز(2010) [55] روشی بر پایه الگوریتم جستجوی ممنوع به نام جستجوی ممنوع شتاب داده شده برای حل مسئله زمانبندی تولید جریانی بدون انتظار با تابع هدف مینیممسازی بیشینه دیرکرد ارائه کردند که در آن از سه روش ابتکاری جهت تولید جواب کاندیدا استفاده شده بود. در ادامه پژوهشهای انجام شده چینگ یینگ و همکارانش(2012) [58] مسئله تولید جریانی بدون انتظار را در شرایط تولید سلولی و با محدودیت زمان نصب وابسته به گروهبندی کارها مورد مطالعه قرار دادند. ناگانو و همکارانش(2013) [47] این مسئله را با در نظر گرفتن زمانهای نصب جدا از زمان پردازش بررس کرده و روش حلی با رویکرد جستجوی خوشهبندی تکاملی برای این مسئله با تابع هدف زمان درجریان ساخت نهایی ارائه کردند. داوندرا و همکارانش(2013) [12] با بهرهگیری از الگوریتم تاکید خود سازمانی گسسته جوابهای نسبتا خوبی برای مسئله تولید جریانی بدون انتظار با هدف مینیممسازی ماکزیمم زمان تکمیل بدست آوردند.
2-2-3. سیستم تولید جریانی منعطف تحقیقات انجام شده در این دسته خود به دو بخش سیستمهای تولید جریانی منعطف با دو ایستگاه کاری یا بیش از دو ایستگاه کاری تقسیمبندی میشوند. اما در کل پژوهشهای انجام شده در این دسته از نظر فراوانی بسیار کمتر از دو دسته قبل است. برای مثال، ونگ و لیو(2013) [56] مسئله تولید جریانی بدون انتظار را در محیطی مشتمل بر دو ایستگاه کاری مورد بررسی قرار دادند و روش حلی بر پایه الگوریتم ژنتیک برای این مسئله ارائه کردند. جولایی و همکارانش(2013) [28] این مسئله را با دو تابع هدف مینیممسازی بیشینه زمان تکمیل و مینیممسازی بیشینه دیرکرد بررسی کرده و به کمک رویکرد دو هدفه الگوریتم تبرید شبیهسازی شده به حل آن پرداختند. همچنین همین نویسنده به کمک همکارانش (2009) [29] به بررسی این مسئله در شرایط وجود بیش از دو ایستگاه کاری و وجود احتمال رد سفارشات پرداخته و با رویکرد پنجرههای زمانی مدل ریاضی این مسئله را ارائه کرده است همچنین با استفاده از الگوریتم ژنتیک روش حلی نیز برای آن ارائه داده است.
مقالات مورد بررسی در این بخش در جدول(2-4) آورده شدهاند.
جدول SEQ جدول * ARABIC 4 جدول 2-4. مسائل تولید جریانی با محدودیت پردازش بدون انتظارنویسنده مسئله رویکرد سال شماره ارجاع
آلدوویزان F2|nwt,sij|Cj- 1998 8
آلدوویزان F2|nwt,sij|Cjشاخه و کران 2001 9
شیو و همکاران F2|nwt,sij|Ciبا رویکرد تبدیل مسئله به فروشنده دورهگرد با الکوریتم کلونی مورچگان حل شد. 48
توکلی مقدم و همکاران FmnwtWiCiWi,WiTiWiرویکرد چند هدفه الگوریتم سیستم ایمنی مصنوعی 2008 50
جوادی و همکاران FmnwtWiCiWi,WiEiWiرویکرد چند هدفه فازی به کمک برنامهریزی خطی 2008 27
که پن و همکاران FmnwtCmax,Lmaxالگوریتم دیفرانسیل تکاملی 2009 41
تسنگ و تای لین FmnwtCmaxالگوریتم ترکیبی ژنتیک 2010 52
ونگ و همکاران FmnwtLmaxالگوریتم جستجوی ممنوع شتابدهی شده 2010 56
چینگ یینگ و همکاران Fmnwt,cellCmaxسه الگوریتم بر پایههای الگوریتمهای ژنتیک، تبرید شبیهسازی شده و تکرار حریصانه 2012 58
ناگانو و همکاران FmnwtCiرویکرد جدید جستجوی خوشهبندی تکاملی 2012 47
داوندرا و همکاران FmnwtCmaxالگوریتم تاکید خود سازمانی گسسته 2013 12
2-3. زمان نصب وابسته به توالی کارهابه زمان صرف شده جهت آمادهسازی ماشین برای انتقال کار روی آن زمان نصب میگویند. زمان نصب عموما صرف نصب ابزارهای لازم روی ماشین، تمیزکاری و … میشود. با نگاهی کلی به تاریخ پژوهشهای انجام شده در حوزه زمانبندی میتوان دریافت که تا دههها زمان نصب در ادبیات زمانبندی به کلی نادیده گرفته میشده است و عموما جزیی از زمان پرداش کار در نظر گرفته میشده است. این رویه شاید در برخی صنایع قابل توجیه باشد اما لزوم در نظر گرفتن زمان نصب بطور جداگانه در بسیاری از موارد غیر قابل انکار است.
به طور کلی مسائل زمانبندی از حیث در نظر گرفتن زمان نصب به دو دسته کلی تقسیم میشوند: در دسته اول که زمان نصب مستقل از توالی نامیده میشود و در آن زمان نصب یک کار بر روی ماشین تنها به خود آن کار بستگی دارد و به کار قبل از آن و یا اصطلاحا به توالی وابسته نیست. دسته دوم که آن را زمان نصب وابسته به توالی کارها مینامند به حالتی اطلاق میشود که زمان نصب یک کار روی ماشین به کار قبلی که روی آن ماشین نصب شده است نیز بستگی دارد. در این دسته حالت خاص دیگری نیز وجود دارد که آن را زمان نصب وابسته به گروههای کاری مینامند که به معنای این است که زمان نصب کارهای درون یک گروه کاری با گروه کاری دیگر متفاوت است و اگر دو کار از دو گروه متفاوت بلافاصله روی ماشین قرار بگیرند زمان نصب بزرگتری نسبت به حالتی دارد که کارهای یک گروه پشت سر هم قرار بگیرند.
اهمیت مدنظر قرار دادن زمان نصب به عنوان عاملی تاثیرگذار در بهرهوری سیستم تولیدی در تحقیقات متعددی مورد بحث قرار گرفته است. فلین [19] تاثیر زمانهای نصب وابسته به توالی را مورد تحقیق قرار داده است و ورتمن [57] فاکتورهایی که بیشترین تاثیر را در عملکرد سیستم دارند مورد بررسی قرار داد که در آن زمان نصب یکی از موثرترین راهها برای بهبود خدمات به مشتریان و کاهش هزینههای انبارداری معرفی شده است.
اگرچه محدودیت زمان نصب وابسته به توالی در اغلب چیدمانهای مسائل زمانبندی مورد مطالعه قرار گرفته است اما از آنجا که مسئله مورد بحث در حوزه تولید جریانی است در ادامه تنها به ارائه مهمترین مطالعات انجام شده در مسائل زمانبندی با محدودیت زمان نصب وابسته به توالی کارها در محیطهای مختلف سیستم تولید جریانی و به خصوص در سیستمهای تولید جریانی بدون انتظار اکتفا میشود.
2-3-1. سیستمهای تولید جریانیسیستم تولید جریانی مشتمل بر تعدادی ماشین است که به طور متوالی قرار گرفتهاند و کارها عموما با ترتیب یکسانی روی ماشینها پردازش میگردند. در نظر گرفتن محدودیت زمان نصب وابسته به توالی کارها میتواند معیارهای بهینهسازی را در چنین سیستمهایی تحت تاثیر قرار دهد. وانچیپورا و سریدهاران [54] برای مسئله Fm|sijk|Cmax دو الگوریتم جهت تخصیص زمانهای نصب تعریف کرده و سپس مسئله را با روشی ابتکاری بر پایه ساختن توالی حل کردهاند. میرابی [36] نیز همین مسئله را به کمک رویهای ترکیبی از الگوریتم ژنتیک حل کرده است.
سیستمهای تولید جریانی منعطف نیز ساختاری مشابه سیستم تولید جریانی ساده دارند، با این تفاوت که حداقل در یکی از ایستگاههای کاری بیش از یک ماشین وجود دارند. لذا مسئله مورد بحث تعمیمی از حالت مسئله ماشینهای موازی است. میرصانعی و همکارانش [37] این مسئله را با هدف بیشینه زمان تکمیل کارها مطالعه نموده و رویه حلی با رویکرد الگوریتم تبرید شبیهسازی شده برای آن ارائه نمودند. حکیمزاده و زندیه [25] مسئله فوق را با در نظر گرفتن دو تابع هدف و نیز وجود بافرهای محدود بین ایستگاههای کاری حل کردند.
2-3-2. سیستمهای تولید جریانی بدون انتظارسیستمهای تولید جریانی بدون انتظار از نظر نحوه چیدمان ماشینآلات تفاوتی با سیستمهای تولید جریانی بدون انتظار ندارند، تنها تفاوت در نحوه پردازش بدون انتظار کارها روی ماشینآلات است. در چنین شرایطی زمان نصب وابسته به توالی کارها میزان تاخیر احتمالی در شروع کار روی ماشین اول را که برای تامین شرایط پردازش بدون انتظار لازم است تحت تاثیر قرار میدهد.
عرب عامری و سلماسی(2013) [10] نیز روش حلی با رویکرد الگوریتم ترکیبی بهینهسازی تجمعی ذرات و جستجوی ممنوع برای مسئله Fm|nwt,sijk|wj'Ej+wj"Tj پیشنهاد دادند. گاوو و همکارانش [21] مسئله تولید جریانی بدون انتظار را با محدودیت زمان نصب وابسته به توالی و تابع هدف زمان در جریان کل بررسی نموده و چهار رویه ابتکاری برای حل آن پیشنهاد دادهاند. رمضانی و همکاران [43] مسئله سیستم تولید جریانی منعطف بدون انتظار را در حالتی که ماشینهای درون هر ایستگاه عملکرد مشابه و نسبتهای سرعت مشخص دارند مدنظر قرار داده و به کمک رویکرد ترکیبی فراابتکاری به حل آن پرداخته است.
پژوهشهای مرور شده در این بخش در جدول(2-5) خلاصه شدهاند.
جدول SEQ جدول * ARABIC 5 جدول 2-5. مسائل سیستم تولید جریانی با محدودیت زمان نصب وابسته به توالی کارهانویسنده مسئله رویکرد سال شماره ارجاع
وانچیپوراو سریدهاران Fm|sijk|Cmaxروش ابتکاری بر پایه ساختن جواب 2013 54
میرابی Fm|sijk|Cmaxرویه ترکیبی براساس الگوریتم ژنتیک 2014 36
میرصانعی و همکاران Fm|sijk|Cmaxالگوریتم شبیهسازی تبرید 2011 37
حکیم زاده و زندیه Fmsijk,bCmax,Tjچند رویه فراابتکاری 2012 25
عرب عامری و سلماسی Fm|nwt,sijk|wj'Ej+wj"Tjالگوریتم ترکیبی از بهینهسازس تجمعی ذرات و جستجوی ممنوع 2013 10
گاوو و همکاران Fm|nwt,sijk|Cjچهار رویه ابتکاری 2013 21
رمضانی و همکاران FFm|nwt,sijk|Cmaxسه روش فراابتکاری بر پایه الگوریتمهای ژنتیک، تبرید شبیهسازی شده و تکرار حریصانه 2013 43
2-4. محدودیت کاری ماشینآلاتمحدودیت کاری ماشینآلات به این معنی است که هر ماشین پس از انجام حجم مشخصی از کار از دسترس خارج میشود که این مسئله میتواند دلایل متعددی همچون انجام تعمیرات اساسی و … داشته باشد. برای مثال یک ماشین پرس عموما بعد از انجام تعداد مشخصی پرس جهت تنظیم، تعویض روغن و تعمیرات برای مدتی از دسترس خارج میگردد. پیادهسازی این محدودیت در مسائل بهینهسازی معمولا به دو صورت انجام میشود: در دسته اول مسائل، ماشینها پس از گذراندن تعداد یا حجم مشخصی از کار از دسترس خارج میگردند و در دسته دوم، ماشینها پس از سپری کردن زمان مشخصی از لحظه شروع به کار از دسترس خارج میشوند. به کار بردن هر کدام از این دو رویکرد به ویژگیهای ماشینآلات و محصول تولیدی بستگی دارد. محمدی و فاطمی قمی [38] مسئله محدودیت ساعات کاری ماشینآلات را با در نظر گرفتن زمان نصب وابسته به توالی کارها در محیط تولید جریانی مورد مطالعه قرار دادند و آن را با رویکردی ابتکاری بر پایه الگوریتم ژنتیک حل نمودند. همین نویسنده به کمک همکارانش [39] دو روش الگوریتمی جدید را نیز برای مسئله تولید جریانی همراه با محدودیت حجم کاری، زمان نصب وابسته به توالی و تولید بر مبنای تقاضا ارائه کردند. جورجیادیس و پولیتو [22] نیز همین محدودیت را در حالتی که تعداد کار پردازش شده در روز محدود باشد در سیستمهای تولید جریانی بررسی کردند. بابایی و همکاران [11] نیز مسئله بهینهسازی همزمان تولید محصولات بر پایه تقاضا و زمانبندی را در محیط تولیدی جریانی مطالعه نموده و برای آن به کمک الگوریتم ژنتیک جوابهای با کیفیتی بدست آوردند.
مقالات مروری در این بخش در جدول(2-6) خلاصه شدهاند.
جدول SEQ جدول * ARABIC 6 جدول 2-6. مسائل سیستم تولید جریانی با محدودیت حجم کاری ماشینآلاتنویسنده مسئله رویکرد سال شماره ارجاع


محمدی و فاطمی قمی Fm|sijk|MINcostالگوریتم ژنتیک 2011 38
محمدی و همکاران Fm|sijk|MINcostدو الگوریتم ترکیبی جدید 2011 39
جورجیادیس و پولیتو Fm||MINcostرویه فراابتکاری جدید 2013 22
بابایی و همکاران Fm||MINcostالگوریتم ژنتیک 2013 11
2-5. استراتژیهای مدیریت تولیدمدیریت تولید به معنای تعیین میزان تولید محصولات با استفاده از پیشبینیهای انجام شده از نیاز بازار، تعیین زمان مناسب تحویل و … است. همانطور که از تعریف برمیآید مدیریت تولید به دلیل مشخص نمودن تعداد کارها و موعد تحویل ارتباط تنگاتنگی با زمانبندی تولید محصولات دارد. یکی از مهمترین مسائل در مدیریت تولید این مسئله است که محصول با رویکرد تولید برای سفارش تولید شوند یا با استراتژی تولید برای ذخیره [24]. در استراتژی تولید برای سفارش، محصولات یک سفارش تنها از زمانی که سفارش به سیستم تولیدی ابلاغ میشود توانایی تولید شدن دارند. استراتژی تولید برای ذخیره نیز تعداد محصولات را با توجه به نیاز بازار و سهم محیط تولیدی از بازار پیشبینی مینماید. از اصلیترین اشکالات استراتژی تولید برای ذخیره هزینه نگهداری محصولات است. استراتژی تولید برای سفارش هم به دلیل متغیر بودن تعداد و حجم سفارشات و لزوم تحویل به موقع جهت کسب رضایت مشتری زمانبندی را مشکلتر خواهند کرد. از این رو در سالهای اخیر توجه به استراتژیهای ترکیبی مدیریت تولید رو به افزایش بوده است. یوسف و همکاران [24] تاثیر زمانبندی بر استراتژیهای ترکیبی تولید برای ذخیره و تولید برای سفارش را در زمانبندی تک ماشین در پروژه - ریسرچمفصلی مورد بحث قرار داده است. در این پروژه - ریسرچاو محصولات را به دو گروه تقسیم کرده است: تعداد زیادی از محصولات که تقاضای کمی دارند و تعداد کمی از محصولات که تقاضا برای آنها زیاد است. در نهایت محصولات با تقاضای زیاد را با استراتژی تولید برای ذخیره و محصولات با تقاضای کم را با رویه تولید برای سفارش به خط تولید میفرستد. همین رویکرد توسط آدان و وال [7] نیز مورد مطالعه قرار گرفته است. عیوضی و همکاران [16] نیز مدل توسعه یافتهای بر مبنای زمانبندی و کنترل تولید نیمههادیها ارائه کردند که در آن دو رویکرد برای اولویت دادن به کارهای تولید برای سفارش و تولید برای ذخیره وجود دارد. زائر پور و همکاران [59] نیز ساختار تصمیمگیری برای ترکیب استراتژیهای تولید را مورد بررسی قرار داده و با رویهای ترکیبی از رویکردهای ایاچپی و تاپسیس به اتخاذ تصمیم پرداخته است.
مقالات مروری در این بخش در جدول(2-7) خلاصه شدهاند.
جدول SEQ جدول * ARABIC 7 جدول 2-7. مسائل با محدودیت استراتژیهای ترکیبی مدیریت تولیدنویسنده مسئله رویکرد سال شماره ارجاع
یوسف و همکاران 1||Cmax- 2004 24
آدان و وان -- 1998 7
عیوضی و همکاران -- 2009 16
زائرپور و همکاران -AHP,TOPSIS 2009 59
2-6. تابع هدفگسترش مفاهیم تولید به موقع اهمیت زمانهای زودکرد را برای دانشمندان علم زمانبندی بیش از پیش روشن کرده است. پس از بکارگیری موفق این مفاهیم در صنعت و تاثیر قابل توجه آن بر عملکرد تولید و کاهش موجودی انبار تعداد پژوهشهای زمانبندی که به این مسئله توجه نشان داده بودند افزایش چشمگیری یافت. در عمل محصولاتی که زودتر از موعد ساخته میشوند باید به انبار بروند و محصولاتی که دیرتر از موعد تحویل میگردند نیز نارضایتی مشتریان را در پی دارند. از آنجا که بسته به شرایط اهمیت این دو هزینه برای هر کدام از کارها میتواند متفاوت باشد، ضرایب وزنی هزینهها برای هرکار متفاوت تعریف میگردد.
در کنار رشد تحقیقات زمانبندی که درآنها مفهوم تولید به موقع مدنظر قرار گرفته است، پژوهشهایی نیز انجام شده است که با حفظ مفهوم تولید به موقع به سایر هزینههای موجود در سیستم نیز پرداختهاند. در این تحقیقات هزینههایی نظیر عدم پذیرش کارها، هزینههای انبارداری و … نیز در نظر گرفته میشوند.
در این نمونههایی از تحقیقات انجام شده در زمینه تولید جریانی بدون انتظار که در آنها رویکرد تولید به موقع به عنوان تابع هدف در نظر گرفته شده است مرور میشوند.
عرب عامری و سلماسی [10] مسئله زمانبندی تولید جریانی بدون انتظار را با محدودیت زمان نصب وابسته به توالی کارها و با محدودیت مجموع زمانهای زودکرد و دیرکرد وزنی به کمک الگوریتم ترکیبی بهینهسازی تجمعی ذرات و جستجوی ممنوع حل کردند. جولایی و همکاران [29] نیز با حفظ مفهوم تولید به موقع تابع هدفی شامل مجموع وزنی زودکردها و دیرکردها و ضرر ناشی از رد سفارشات جهت رسیدن به بیشینه سود حاصل از پردازش کارها برای مسئله تولید جریانی بدون انتظار تعریف کردند.
در جدول(2-8) پژوهشهای مرور شده در این بخش به اختصار آورده شدهاند.
جدول SEQ جدول * ARABIC 8 جدول 2-8. مسائل سیستم تولید جریانی با تابع هدفهای تولید به موقعنویسنده مسئله رویکرد سال شماره ارجاع
عرب عامری و سلماسی Fm|nwt,sijk|wj'Ej+wj"Tjالگوریتم ترکیبی از بهینهسازس تجمعی ذرات و جستجوی ممنوع 2013 10
جولایی و همکاران FFm|nwt|MAXbenefitالگوریتم ژنتیک 2009 29
2-7. جمعبندیدر این فصل، ابتدا به کمک رویکرد سه نمادی به طبقهبندی مسائل زمانبندی پرداخته شد. پس از آن ادبیات سیستم تولید جریانی منعطف بدون انتظار تشریح گردید. در ادامه فصل جهت مرور ادبیات موضوع مورد بررسی مقالات و پژوهشهای انجام شده به تفکیک محدودیتها و تابع هدف تحقیق مورد بررسی قرار گرفت. با توجه به مطالب عنوان شده در این فصل تحقیق پیش رو از جنبه تابع هدف، کاربرد رویکردهای مدیریت تولید در زمانبندی و بکارگیری مسئله محدودیت ساعات کاری در محیط سیستم تولیدی تولیدی منعطف بدون انتظار نوآوری دارد.
فصل سوممدل ریاضی پیشنهادی3-1. مقدمهرویکردهایی همچون برنامهریزی خطی و غیرخطی، برنامهریزی عدد صحیح و … به عنوان رویکردهای دقیق برای بدست آوردن جواب از توانایی محدودی برخوردارند. با پیچیده شدن مسائل دنیای واقعی این واقعیت بیش از پیش برای دانشمندان روشن گردید که برای حل مسائل جدید به ابزارهایی کارآمدتر نیازمندند. از این رو امروزه تمرکز مطالعاتی از بدست آوردن جواب دقیق توسط این روشها به بدست آوردن جوابهای نزدیک به بهینه به کمک روشهای ابتکاری و فراابتکاری معطوف گردیده است. اگر چه روشهای دقیق امروزه بسیار کمتر مورد استفاده قرار میگیرند اما همچنان به عنوان ابزاری برای اعتبارسنجی روشها و مدلها بسیار سودمندند.
در این فصل، مسئله زمانبندی تولید جریانی منعطف با محدودیت ساعات کاری ماشینآلات و زمانهای نصب وابسته به توالی کارها و نیز با درنظر گرفتن رویکرد مدیریت تولید ترکیبی تولید برای سفارش و تولید برای ذخیره مورد بررسی قرار میگیرد. در ادامه مدل ریاضی ارائه شده برای این مسئله به طور کامل تشریح شده و اعتبارسنجی میگردد.
3-2. تعریف مسئلهمسئله زمانبندی تولید جریانی منعطف با محدودیت ساعات کاری ماشینآلات و زمانهای نصب وابسته به توالی کارها و نیز با درنظر گرفتن رویکرد مدیریت تولید ترکیبی تولید برای سفارش و تولید برای ذخیره به صورت زیر ارائه میگردد:
یک محیط صنعتی با قابلیت تولید N محصول متفاوت و مستقل در نظر گرفته میشود. چیدمان ماشینآلات در این محیط تولیدی به صورت سیستم جریانی منعطف است، به این معنی که حداقل در یکی از ایستگاههای کاری بیش از یک ماشین وجود دارد. ماشینهای موجود در هر ایستگاه کاری کاملا مشابه هستند و هر کدام مقدار زمان مشخصی میتوانند در حال کار باشند و پس از آن از دسترس خارج میشوند. هر سیستم تولیدی با توجه به پیشبینیهای انجام شده براساس فروش قبلی خود سهم مشخصی از بازار را برای خود متصور است. از طرفی سیستم تولیدی ممکن است سفارشاتی را نیز دریافت کند(برای مثال سفارشات صادراتی یا تولید محصول برای یک ارگان مشخص). این سفارشات در زمان خاصی به سیستم تولیدی ارائه شده و موعد تحویل مشخصی دارند. معیار بهینهسازی این مسئله به حداقل رساندن هزینههای ناشی از رد کردن سفارشات، تحویل ناقص سفارشات(به دلیل محدودیت ظرفیت تولید) و هزینههای ناشی از زودکرد و دیرکرد تحویل سفارشات است. برای هر کدام از هزینههای ذکر شده براساس اهمیتی که برای مدیریت دارد ضرایب وزنی مشخصی در نظر گرفته میشود. برای درک بهتر مسئله نمای کلی محیط تولیدی -241304619625شکل SEQ شکل * ARABIC 1 شکل 3-1. نمای کلی مسئله مورد بررسی0شکل SEQ شکل * ARABIC 1 شکل 3-1. نمای کلی مسئله مورد بررسی-2578723158170در شکل(3-1) نشان داده شده است.
3-2-1. مفروضات مسئلهمفروضات زیر بر مسئله مورد بررسی حاکم است:
هر ماشین در هر لحظه تنها توانایی پردازش یک کار را دارد و هر کار در هر ایستگاه تنها باید بر روی یک ماشین پردازش شود.
هر سفارش شامل تعداد مشخصی از هر کدام از محصولات قابل تولید است.
کارهایی که برای ذخیره در انبار و براورده کردن سهم بازار تولید میشوند از لحظه صفر در دسترس خواهند بود و تا پایان افق برنامهریزی برای تکمیل تولید فرصت دارند.
زمانهای پردازش، ضرایب انواع هزینهها، تعداد ماشینهای هر ایستگاه و ظرفیت تولید(مقدار ساعتی که هر ایستگاه در دسترس است) مشخص است.
بیکاری ماشینها مجاز است.
3-3. مدل پیشنهادیدر این بخش، مدل ریاضی عدد صحیح غیرخطی پیشنهادی برای مسئله مورد بحث ارائه میگردد. پیش از ارائه کامل مدل، پارامترهای ورودی، متغیرهای تصمیمگیری، تابع هدف و محدودیتها به طور مجزا تشریح میگردند.
3-3-1. پارامترهای ورودی مسئله:s تعداد ایستگاههای کاری s=1, …,S:k تعداد ماشینهای موجود در هر ایستگاه کاریs. s=1, …,S ، k=1, …,ms:i تعداد سفارشات (برای سهولت در مدلسازی، i=1 مجموع کارهای با رویکرد تولید برای سفارش را نمایندگی میکند) i=1, …, N:j تعداد کارهای (محصولات) قابل تولید در محیط تولیدی j=1, …, J:t شماره هر کار در هر سفارش (sumi مجموع تعداد کارهای هر سفارش)t=1, …, sumi, i=1, …, N
:q محل قرارگیری هر کار در توالی کلی کارها (Z مجموع تعداد کارهای سفارشات پذیرفته شده به علاوه کارهای رویکرد تولید برای ذخیره)q=1, …, Z:Ri زمان در دسترس قرار گرفتن سفارش i (کارهای تولید برای ذخیره از لحظه صفر در دسترس هستند) i=2, …, N:Di موعد تحویل سفارش i به مشتری (کارهای تولید برای ذخیره تا پایان افق برنامهریزی برای تحویل فرصت دارند) i=2, …, N:Wti وزن دیرکرد در تحویل سفارش i به ازای هر واحد زمانی i=2, …, N
:Wei وزن زودکرد در تحویل سفارش i به ازای هر واحد زمانی i=2, …, N
:Wni وزن هزینه ناشی از رد سفارش (کارهای تولید برای ذخیره همیشه پذیرفته شده هستند و رد کردن برای آنها متصور نیست) i=2, …, N
:Wgi وزن هزینه ناشی از تحویل ناقص سفارش i به مشتری به ازای هر کار تحویل نشده (به دلیل محدودیت ساعات کاری ممکن است یک سفارش به طور کامل پردازش نشود، کارهای تولید برای ذخیره هم در صورت تحویل ناکامل توانایی براورده کردن نیاز بازار را ندارند) i=1, …, N
:cas محدودیت زمانی هر ماشین k در ایستگاه کاری s. s=1, …, S:pjs زمان پردازش کار نوع j در ایستگاه کاری s. j=1, …, J , s=1, …,S:hji تعداد کار نوع j در سفارش i. i=1, …, N, j=1, …, J:sjj'sk زمان نصب کار نوع j' هنگامی که این کار دقیقا پس از کار نوع j در ایستگاه کاری s روی ماشین k انجام شود. j,j'=1, …, J, s=1, …,S, k=1, …,ms3-3-2. متغیرهای تصمیمگیری مسئله:xtiq 1 اگر کار شماره t از سفارش i در محل q از توالی کارها قرار بگیرد و 0 در غیر اینصورت. t=1, …, sumi, i=1, …, N, q=1, …, Z:yqsk 1 اگر کار قرار گرفته در موقعیت q از توالی کارها روی ماشین k در ایستگاه s پردازش شود و 0 در غیر اینصورت. q=1, …, Z, , s=1, …,S, k=1, …,ms:vqj 1 اگر کار قرار گرفته در موقعیت q از توالی کارها از نوع j باشد و 0 در غیر اینصورت. q=1, …, Z, j=1, …, J:fi 1 اگر سفارش i پذیرفته شود و 0 در غیر اینصورت. i=1, …, N:stqs زمان شروع کار قرار گرفته در موقعیت q از توالی کارها در ایستگاه کاری s. q=1, …, Z, s=1, …,S:cqs زمان تکمیل کار قرار گرفته در موقعیت q از توالی کارها در ایستگاه کاری s. q=1, …, Z, s=1, …,S:deq زمان تاخیر لازم برای برقراری شرایط پردازش بدون توقف برای کار قرار گرفته در موقعیت q از توالی کارها. q=1, …, Z:avqs زمان در دسترس قرار گرفتن ایستگاه کاری s برای پردازش کار قرار گرفته در موقعیت q توالی کارها. q=1, …, Z, s=1, …,S:gq 1 اگر کار قرار گرفته در موقعیت q از توالی کارها انجام شود و 0 در غیر اینصورت (به دلیل محدودیت ساعات کاری ایستگاهها ممکن است کار انجام نشود). q=1, …, Z3-3-3. تابع هدفminZ=i=2Ntardii× fi×wti+i=2Nearlii ×fi×wei+i=1Nwni×1-fi+i=1Nsumi-nondi×fi×wgiاز آنجا که در صنایع امروزی اهمیت تحویل به موقع محصولات به مشتریان از اهمیت ویژهای برخوردار است، تابع هدف این مسئله با رویکرد تولید به موقع تعیین شده است. در اکثر پژوهشهایی که تاکنون انجام شده است هزینه دیرکرد برای کارهای پردازش شده محاسبه میشود، اما در این تحقیق از آنجا که بستههای سفارش داده شده باید تحویل مشتری شوند، هزینههای مربوطه نیز برای سفارشات محاسبه میشوند. برای یک بسته سفارشی مفروض چهار هزینه متصور است که به شرح زیر هستند.
هزینه دیرکرد: هزینه دیرکرد برای هر سفارش برابر است با بیشینه دیرکرد کارهای آن سفارش ضرب در میزان اهمیت(وزن) دیرکرد آن سفارش. لازم به ذکر است چنانچه سفارش مربوطه پذیرفته شده باشد (fi=1) هزینه دیرکرد برای آن متصور است و در غیر این صورت هزینه رد سفارش که در ادامه خواهد آمد باید محاسبه گردد. به دلیل اینکه موعد تحویل محصولات تولید برای ذخیره پایان افق برنامهریزی است، محاسبه هزینه دیرکرد برای آنها معنی پیدا نمیکند به همین دلیل این هزینه تنها برای سفارشات تولید برای سفارش محاسبه میشود(i=2). عبارت هزینه دیرکرد در تابع هدف به صورت زیر است:
(3-1) i=2Ntardii× fi×wtiهزینه زودکرد: این هزینه نیز مانند هزینه دیرکرد برای بستههای سفارشی پذیرفته شده(fi=1) محاسبه میشود. برای یک بسته سفارشی مفروض مقدار زودکرد برابر است با بیشینه زودکرد هر کدام از کارهای سفارش ضرب در اهمیت(وزن) زودکرد آن سفارش. از آنجا که موعد تحویل محصولات با استراتژی تولید برای ذخیره پایان افق برنامهریزی است برای آنها هزینه زودکرد متصور نیست(i=2). عبارتی که محاسبه هزینه زودکرد را در تابع هدف نمایندگی میکند به صورت زیر است:
(3-2) i=2Nearlii ×fi×weiهزینه رد سفارش: عدم پذیرش سفارش به دلیل از دست دادن سود ناشی از تولید آن برای سیستم تولیدی دارای هزینه است. هزینه رد سفارش برابر است با اهمیت(وزن) آن سفارش. در این بخش وزن سفارش میتواند میزان سود از دست رفته را نمایندگی کند. عبارت مربوط به این هزینه در تابع هدف مطابق رابطه(3-3) است.
(3-3) i=1Nwni×1-fiهزینه تحویل ناقص سفارش: چنانچه یک یا چند کار در سفارشات پذیرفته شده به دلیل محدودیت ساعات کاری ماشینآلات نتوانند پردازش خود را کامل کنند، بسته سفارشی ناقص پردازش میگردد. در چنین شرایطی یا سفارش باید ناقص تحویل شود و یا از موجودی انبار که کالاهای تولید برای ذخیره است برای کامل کردن سفارش استفاده شود که در هر دو حالت هزینههایی را در پی دارد. هزینه تحویل ناقص سفارش به صورت شمارش تعداد کارهای پردازش نشده در یک سفارش پذیرفته شده ضرب در میزان اهمیت(وزن) آن سفارش محاسبه میشود. تعداد کارهای پردازش نشده برای هر سفارش(sumi-nondi) با استفاده از تعداد کارهای پردازش شده هر سفارش که در محدودیتها محاسبه میشود محاسبه میگردد. بدیهی است این هزینه نیز تنها برای سفارشات پذیرفته شده متصور است. عبارت مربوط به هزینه تحویل ناقص در تابع هدف مطابق عبارت(3-4) است.
(3-4) i=1Nsumi-nondi×fi×wgi3-3-4. محدودیتهاj=1Jhji fi≤mscas , s=1,…,Sاین محدودیت تضمین میکند که مجموع زمان پردازش کارهایی که پذیرفته میشوند از مجموع زمان در دسترس در هر ایستگاه بیشتر نباشد.
f1≥1این محدودیت وجود کارهایی که تحت استراتژی تولید برای ذخیره تولید میشوند را در توالی کارهای نهایی تضمین میکند.
sumi=j=1Jhji, i=1,…, Nاین محدودیت مجموع محصولات سفارش داده شده در هر بسته سفارشی را محاسبه میکند.
Z=i=1Nsumi fi, i=1,…,N
این محدودیت تعداد کل کارهایی که در اثر پذیرفته شدن سفارشات باید پردازش شوند را محاسبه میکند.
t=1Zxtiq=1, q=1,…,Z and i=1,…,Nq=1Zxtiq=1, t=1,…,Z and i=1,…,N این مجموعه محدودیتها تخصیص هر کار به یک مکان در توالی و تخصیص هر مکان در توالی به یک کار را تضمین میکنند.
k=1msyqsk=1, q=1,…,Z and s=1, …,Sاین محدودیت تخصیص یک ماشین در هر ایستگاه کاری به هر کار موجود در توالی را تضمین میکند.
deq=maxi=1Nt=1sumiri xqit,avqs-avqs-1,…, avq2-avq1, q=1,…,Zمحاسبه میزان تاخیر در شروع پردازش هر کار در توالی در ایستگاه اول برای تامین شرایط پردازش بدون انتظار توسط این محدودیت انجام میشود. میزان تاخیر لازم برای پردازش بدون انتظار برابر با بیشینه فاصله زمانهای در دسترس برای آن کار در هر دو ایستگاه کاری متوالی است.
st11=deq+avq1stq1=deq+avq1+j=1Jj'=1Jq'=1q-1k=1ms(vqj' vq-1j yq1k yq-11k) sjj'1k, q=2,…,Zstqs=cqs-1+ j=1Jj'=1Jq'=1q-1k=1ms(vqj' vq-1j yqsk yq-1sk) sjj'sk, s=2,…, S and q=2,…,Zاین مجموعه از محدودیتها زمان شروع پردازش هر کار را در هر ایستگاه کاری را محاسبه میکند. اگر هر دو کار متوالی روی یک ماشین در هر ایستگاه از دو نوع متفاوت باشند زمان نصب به کار دوم تعلق میگیرد.
cqs=stqs+j=1Jvqj pjs, s=1,…,Sاین محدودیت زمان تکمیل پردازش هر کار در هر ایستگاه کاری را تعیین میکند.
avqs=min1≤k≤msmax1≤q≤q'-1cq's yq'sk, s=1,…,S and q=1,…,Zمحاسبه زمان در دسترس قرار گرفتن هر ایستگاه کاری برای هر کار توسط این محدودیت محاسبه میگردد. همانطور که از محدودیت مشخص است زمان در دسترس قرار گرفتن هر ایستگاه کاری برای هر کار برابر است با کمینه زمان در دسترس قرار گرفتن ماشینهای درون آن ایستگاه. زمان در دسترس قرار گرفتن هر ماشین نیز برابر است با بیشینه زمانهای تکمیل کل کارهایی که تاکنون روی آن ماشین پردازش شده است.
tardii=max0, max1≤q≤zt=1zxtiq cqs-di, i=2,…,N and s=Searlii=max0,di-max1≤q≤zt=1zxtiq cqs, i=2,…,N and s=Sاین دو محدودیت میزان دیرکرد و زودکرد را برای هر بسته سفارشی محاسبه میکند. دیرکرد یک سفارش برابر است با بیشینه مقدار دیرکرد هر کدام از کارهای آن سفارش و مقدار زودکرد هر سفارش برابر است با بیشینه زودکرد هر کدام از کارهای آن سفارش.
gq-k=1msyqsk=0 q=1, …, Z , s=Sاین محدودیت انجام شدن یا نشدن هر کار را تعیین میکند. اگر هیچ یک از ماشینهای ایستگاه کاری آخر به کار در موقعیت q در توالی کارها به تخصیص پیدا نکنند، به این معنی است که کار به پایان پردازش خود نرسیده است.
gq-k=1msyqsk=nondi=sumi-t=1sumiq=1Zgqxtiq, i=1, …, N این محدودیت تعداد کارهای انجام شده در هر سفارش را محاسبه میکند.
با توجه به توضیحات ارائه شده مدل ریاضی پیشنهادی به صورت زیر خواهد بود:
minZ=i=2Ntardii× fi×wti+i=2Nearlii ×fi×wei+i=1Nwni×1-fi+i=1Nsumi-nondi×fi×wgi Subject to:
j=1Jhji fi pjs≤mscas, s=1,…,S f1≥1sumi=j=1Jhji, i=1,…, NZ=i=1Nsumi fi, i=1,…,Nt=1Zxtiq=1, q=1,…,Z and i=1,…,N
q=1Zxtiq=1, t=1,…,Z and i=1,…,N k=1msyqsk=1, q=1,…,Z and s=1, …,S deq=maxi=1Nt=1sumiri xqit,avqs-avqs-1,…, avq2-avq1, q=1,…,
st11=deq+avq1stq1=deq+avq1+j=1Jj'=1Jq'=1q-1k=1ms(vqj' vq-1j yq1k yq-11k) sjj'1k, q=2,…,Zstqs=cqs-1+ j=1Jj'=1Jq'=1q-1k=1ms(vqj' vq-1j yqsk yq-1sk) sjj'sk, s=2,…, S and q=2,…,Z
cqs=stqs+j=1Jvqj pjs, s=1,…,Savqs=min1≤k≤msmax1≤q≤q'-1cq's yq'sk, s=1,…,S and q=1,…,Ztardii=max0, max1≤q≤zt=1zxtiq cqs-di, i=2,…,N and s=Searlii=max0,di-max1≤q≤zt=1zxtiq cqs, i=2,…,N and s=Sgq-k=1msyqsk=nondi=sumi-t=1sumiq=1Zgqxtiq, i=1, …, N 3-4. اعتبارسنجی مدلاعتبارسنجی مدل گام مهمی در اطمینان از صحت یک مدل ریاضی است. از آنجا که طبق مطالعات پژوهشگر چنین تحقیقی تاکنون انجام نشده است و مدل ارائه شده از چند نظر جدید است لزوم انجام اعتبارسنجی کاملا روشن به نظر میرسد.
اعتبارسنجی به این معنی است که نتایج بدست آمده از حل مدل باید با واقعیت مطابقت داشته باشد. بر این اساس اعتبارسنجی مدل ریاضی ارائه شده در دو مرحله انجام میگردد. مرحله اول اعتبارسنجی مدل به کمک یک مسئله حل شده و مرحله دوم حل یک مسئله تولید شده و بررسی اعتبار مدل.
3-4-1. اعتبارسنجی مدل به کمک مسئله حل شدهدر این بخش تحقیق انجام شده توسط ونگ و لیو [56] که مسئله تولید جریانی بدون انتظار منعطف با دو ایستگاه کاری و تابع هدف بیشینه زمان تکمیل کارها که حاوی حل تعدادی مسئله جهت استفاده سایر پژوهشگران است به عنوان مسئله جهت اعتبارسنجی مدل ارائه شده مدنظر قرار گرفته است.
جهت انجام فرایند اعتبارسنجی لازم است پارامترهای مدل ارائه شده در این تحقیق طوری تعریف شوند که مسئله با نمونه ارائه شده در پروژه - ریسرچونگ و لیو [56] مشابه گردد. بر این اساس، تعداد کارهای موجود در هر سفارش یک تعریف شده است. زمانهای نصب صفر در نظر گرفته شده و نوع کارهای موجود در سفارش متفاوت تعریف شده است. همچنین ظرفیت کاری ماشینآلات نامتناهی تعریف شده و امکان رد سفارش حذف گردیده است. همچنین از آنجا که تابع هدف این پروژه - ریسرچبیشینه زمان تکمیل است، تابع هدف مدل ارائه شده را نیز بیشینه زمان تکمیل سفارشات قرار داده تا نتایج قابل مقایسه باشند. قابل ذکر است که تغییر تابع هدف تاثیری در صحت عملکرد محدودیتها ندارد. تغییرات انجام شده در مدل پیشنهادی به طور خلاصه در جدول(3-1) آمدهاند.
جدول SEQ جدول * ARABIC 9 جدول 3-1. تغییرات اعمال شده در مدل پیشنهادی جهت اعتبارسنجیفاکتور وضعیت اصلی وضعیت تغییر یافته
تابع هدف کمینه هزینهها بیشینه زمان تکمیل کارها
زمان نصب بزرگتر از صفر صفر
تعداد کارهای موجود در سفارش از انواع متفاوت و معمولا بیش از یک کار از انواع متفاوت و یک کار
قابلیت رد سفارش وجود دارد وجود ندارد
ظرفیت کاری ماشینآلات محدود نامحدود
در تحقیق مورد استفاده سیستم تولید جریانی بدون انتظار شامل دو ایستگاه کاری و هر ایستگاه شامل دو ماشین یکسان است. کوچکترین ابعاد مسئله مورد بررسی در این پروژه - ریسرچمسئلهای مشتمل بر ده کار است که بنابر توضیحات ارائه شده در بالا در مدل پیشنهادی ما به صورت ده سفارش که هر کدام شامل یک کار است تعبیر میشوند. زمان پردازش کارها روی ماشین نیز دارای توزیع یکنواخت بین [50 ،1] میباشد بر همین مبنا با استفاده از تابع تولید اعداد تصادفی یکنواخت در نرمافزار متلب اعداد زیر به عنوان زمانهای پردازش تولید شدهاند.
(3-5) pqs=41 7 32 14 48 8 48 48 22 4546 46 5 28 49 49 25 8 46 48این مسئله در نرمافزار لینگو 9 حل شده است که در نتیجه آن توالی سفارشات به صورت q7, q3, q9, q8, q1, q10, q5, q2, q4, q6 و مقدار تابع هدف برابر 326 است. این در حالی است که مقدار تابع هدف در تحقیق مورد استفاده برای این مسئله برابر 292.3 است. این تفاوت حدودا 11% میتواند به دلیل متفاوت بودن مقدار زمانهای پردازش بوده باشد.
3-4-2. اعتبار سنجی مدل به کمک مسئله تولیدیدر این روش، اعتبارسنجی به کمک یک مسئله تولید شده و بررسی درستی عملکرد محدودیتها صورت میگیرد. این روش به عنوان مکملی برای روش قبلی است چرا که در روش قبل به دلیل تفاوت توابع هدف تغییر آن ناگزیر بود. برای انجام این روش دادههای ارائه شده در جدول(3-2) مورد استفاده قرار میگیرند.
جدول SEQ جدول * ARABIC 10 جدول 3-2. دادههای لازم جهت پیادهسازی مدل ریاضیفاکتور مقدار
تعداد سفارش 5
تعداد کارهای موجود در هر سفارش 1
تعداد ایستگاه 2
تعداد ماشین در هر ایستگاه 2
زمانهای پردازش unif [1, 50]زمانهای نصب 0
موعدهای تحویل 50
وزنهای زودکرد و دیرکرد 10
وزن رد سفارش 20
امکان رد سفارش وجود دارد
ظرفیت ماشینآلات نامحدود
لازم به ذکر است که دلیل اصلی کوچک در نظر گرفتن ابعاد مسئله یا حذف فاکتوری همچون محدودیت ظرفیت ماشینآلات تنها به دلیل افزایش چشمگیر زمان حل مسئله در نرمافزار لینگو و امکان نرسیدن به جواب بهینه کلی بوده است و از آنجا که این تغییرات جزیی از دامنه تغییرات ممکن این فاکتورها است تاثیری در اعتبارسنجی مدل نخواهند داشت.
-241304295775شکل SEQ شکل * ARABIC 2 شکل 3-2. گانت چارت جواب بهینه مسئله طراحی شده جهت اعتبارسنجی مدل ریاضی.0شکل SEQ شکل * ARABIC 2 شکل 3-2. گانت چارت جواب بهینه مسئله طراحی شده جهت اعتبارسنجی مدل ریاضی.right10596120مسئله مورد بررسی در این بخش در نرمافزار لینگو 9 حل شد و جواب بهینه برابر 2830 بود. توالی کارها نیز به صورت q2, q3, q5, q1, q4 بدست آمد. جهت اطمینان از درستی عملکرد مدل گانت چارت جواب بهینه در شکل(3-2) رسم شده است.
3-5. تعیین پیچیدگی مسئلهانتخاب روش حل مناسب میتواند در دقت و کیفیت و زمان مورد نیاز برای حل یک مسئله تاثیر قابل توجهی داشته باشد. شاخهای از علوم کامپیوتر با نام نظریه پیچیدگی بر مطالعه این مبحث تمرکز دارد. به طور خلاصه پیچیدگی یک مسئله با میزان محاسبات لازم جهت حل آن ارتباط مستقیم دارد. این بدان معناست که با افزایش ابعاد مسئله طبیعتا زمان حل آن نیز افزایش مییابد. چنانچه زمان حل مسئله نسبت به ابعاد آن با تابعی چندجملهای افزایش یابد، زمان این مسئله را چندجملهای میگویند. چنین مسائلی عمدتا با روشهای دقیق قابل حل هستند.
دسته بزرگتر و مهمتری از مسائل بهینهسازی که عمدتا مسائل زمانبندی نیز در این دسته قرار میگیرند دارای تابع زمانی غیر چندجملهای هستند. چنین مسائلی را در علم پیچیدگی NP-hard مینامند. این دسته از مسائل با روشهای دقیق قابل حل نبوده و لذا از روشهای تقریبی جهت یافتن نزدیکترین جواب به بهینه کلی بهره گرفته میشود. در نتیجه شناخت مسئله از نقطه نظر پیچیدگی آن میتواند بر کیفیت جواب تاثیر مستقیم داشته باشد.
8426456118225شکل SEQ شکل * ARABIC 3 شکل 3-4. سلسله مراتب پیچیدگی در توابع هدف مسائل زمانبندی [6].00شکل SEQ شکل * ARABIC 3 شکل 3-4. سلسله مراتب پیچیدگی در توابع هدف مسائل زمانبندی [6].10096503163570شکل SEQ شکل * ARABIC 4 شکل 3-3. سلسله مراتب پیچیدگی در مسائل کارگاهی زمانبندی [6].00شکل SEQ شکل * ARABIC 4 شکل 3-3. سلسله مراتب پیچیدگی در مسائل کارگاهی زمانبندی [6].center17732300center567841500پیندو [6] در کتاب مفصل خود پیرامون موضوع زمانبندی سلسله مراتب مسائل پیچیدگی در مسائل زمانبندی را در گرافهایی تشریح میکند. این گرافها در شکلهای(3-3) و (3-4) آمدهاند.
همانطور که از این شکلها مشخص است میزان پیچدگی یک مسئله زمانبندی به نحوه چیدمان ماشینآلات و تابع هدف مسئله بستگی مستقیم دارد. نکته قابل تعمل در مسئله پیچیدگی آن است که پس از تشخیص میزان پیچیدگی یک مسئله به کمک این گرافها میتوان این میزان را به حالات خاص این مسائل نیز تعمیم داد. به عنوان مثال مقدار پیچیدگی مسئله 1||Cj که حالت خاصی از مسئله 1||WjCj است را میتوان معادل مقدار پیچیدگی مسئله 1||WjCj دانست. این مسئله را در علم پیچیدگی به صورت 1||Cj∝1||WjCj نشان میدهند.
در این تحقیق مسئله زمانبندی تولید جریانی منعطف بدون انتظار با محدودیت ساعات کاری ماشینآلات، زمان نصب وابسته به توالی کارها و استراتژی ترکیبی تولیید با هدف حداقل سازی هزینهها مورد بررسی قرار میگیرد. راک [45] نشان داد که مسئله تولید جریانی بدون انتظار با تابع هدف بیشینه زمانهای تکمیل NP-hard است. با توجه به نتایج مطرح شده در مورد میزان پیچیدگی مسئله پردازش بدون انتظار به یقین میتوان گفت که مسئله مورد بحث در این تحقیق نیز از میزان پیچیدگی NP-hard برخوردار است لذا حل این مسئله در ابعاد بزرگ را نمیتوان به طور کارایی با روشهای دقیق انجام داد. در فصل آینده روشهای حل کارایی با استفاده از رویکردهای فراابتکاری ارائه میگردند. ولید جریانی منعطف بدون انتظار با محدودیت ساعات کاری ماشین
3-6. جمعبندیدر این فصل، پس از بیان تعریف مسئله مورد بررسی و تشریح ویژگیهای آن، مدل ریاضی عدد صحیح غیر خطی جدیدی برای حل آن ارائه گردید. در ادامه فصل نیز اعتبار مدل ریاضی ارائه شده با استفاده از دو رویکرد سنجیده شد. در پایان فصل نیز دلایلی مبنی بر ناکارامدی روشهای حل دقیق برای مسئله مذکور بیان شده و میزان پیچیدگی آن مورد بررسی قرار گرفت.
فصل چهارمالگوریتمهای فراابتکاری پیشنهادی و نتایج محاسباتی
4-1. مقدمههدف از حل هر مسئله بهینهسازی یافتن بهترین ترکیب ممکن از متغیرهای جواب برای آن مسئله است. مسائل بهینهسازی از منظر ماهیت جواب شدنی برای آنها به دو دسته کلی مسائل پیوسته و مسائل گسسته تقسیم میشوند. مسائل حوزه زمانبندی به عنوان دستهای مهم از مسائل بهینهسازی ترکیبی یکی از شناخته شده ترین مسائل با ساختار گسسته هستند. فاکتورهای جواب این دسته از مسائل باید به صورت گسسته کدگذاری شوند. با توجه به اهمیت مسائل این حوزه تاکنون رویکردهای جواب متنوعی برای حل این مسائل ارائه گردیدهاند. با نگاهی کلی، روشهای حل ارائه شده را میتوان در دو گروه کلی روشهای دقیق و تقریبی جای داد. ساختار رویکردهای دقیق به گونهای است که عملکرد آنها را تنها به حل مسائل با پیچیدگی مشخص و ابعاد کوچک محدود میکند. این رویکردها برای مسائل با ابعاد بزرگ زمانهای حل بسیار ناکارامدی را ارائه میدهند. برهمین اساس، لزوم استفاده از رویکردهای تقریبی در حل مسائل پیچیده بدیهی به نظر میرسد. این رویکردها بسته به نوع آنها میتوانند جوابهای با کیفیت قابل قبول را در زمان منطقی ارائه دهند.
روشهای فراابتکاری دسته مهمی از روشهای تقریبی هستند که عموما با الگوبرداری از رفتار طبیعت تدوین گردیدهاند. وجه تمایز اصلی این روشها با روشهای تقریبی دیگر استفاده از متدهایی برای اجتناب از توقف فرایند جستجو در بهینه محلی است. براساس استراتژیهای بکار رفته در فرایند الگوریتم، امروزه طیف گستردهای از روشهای فراابتکاری به جامعه محققین ارائه شده است که برای مثال میتوان به الگوریتمهایی نظیر ژنتیک، جستجوی ممنوع، مورچگان، تبرید شبیهسازی شده، سیستم ایمنی مصنوعی و … اشاره کرد.
در ادامه فصل پیش رو، الگوریتمهای فراابتکاری ارائه شده به منظور حل مسئله مورد بررسی شامل الگوریتم سیستم ایمنی مصنوعی و تبرید شبیهسازی شده با رویکرد ابری به طور کامل تشریح میگردند. پس از آن با استفاده از رویکرد تنظیم پارامترها به روش تاگوچی الگوریتمهای ارائه شده کالیبره شده و به وسیله آزمایشات طراحی شده مورد سنجش قرار میگیرند. در نهایت نتایج استخراج شده از اجرای آزمایشات تشریح میگردند.
4-2. الگوریتم سیستم ایمنی مصنوعیالگوریتم سیستم ایمنی مصنوعی یکی از جدیدترین الگوریتمهای الگوبرداری شده از رفتارهای طبیعی پدیدهها است. همانگونه که از نام آن هویدا است، این الگوریتم از سیستم ایمنی بدن موجودات زنده و بالاخص پستانداران الگوبرداری شده است. روند کلی الگوریتم بسیار شبیه به الگوریتم ژنتیک بوده اما وجود تفاوتهایی تاثیرگذار باعث برتری نسبی این الگوریتم نسبت به الگوریتم ژنتیک در برخی مسائل بهینهسازی ترکیبی گردیده است.
سیستم ایمنی بدن انسان مجموعهای پیچیده است که وظیفه حفاظت بدن در مقابل خطرات و حفظ سلامتی آن را به عهده دارد [34]. این سیستم این وظیفه را با شناسایی عوامل مضر خارجی به نام پاتوژنها و تلاش جهت نابودسازی آنها انجام میدهد. این عوامل عموما به کمک فاکتور پروتئینی موجود در ساختارشان که آنتیژن نام دارد شناسایی میشوند. پس از شناسایی آنتیژن، بدن فاکتور پروتئینی مناسب جهت نابودسازی آنتیژن مربوطه را که آنتیبادی نام دارد ساخته و به جریان خون میفرستد و از این طریق عامل خارجی مضر را نابود میکند این فرایند را پاسخ اولیه ایمنی مینامند. پس از رفع خطر، بدن بهترین آنتیبادی ساخته شده را در حافظه خود نگه میدارد تا چنانچه این آنتیژن بار دیگر وارد بدن شد بتواند عملکرد سریعتری داشته باشد. دلیل علمی واکسیناسیون نیز همین است.
در کل سیستم ایمنی بدن انسان به زیر شاخه سیستم ایمنی ذاتی و سیستم ایمنی قابل انطباق تقسیم میشود [34]. سیستم ایمنی ذاتی وظیفه دفاع عمومی بدن را برعهده داشته و تنها توانایی مبارزه با بیماریهای مشخصی را دارد، چیزی را به یاد نمیسپارد و عملکرد خود را بهبود نمیبخشد. اما سیستم ایمنی قابل انطباق توانایی مواجهه با عوامل بیماریزای جدید را داشته و در هر زمان بهترین عملکرد خود را در مقابل پاتوژنهای جدید به خاطر میسپارد. لازم به ذکر است که تمام الگوریتمهای ایجاد شده براساس سیستم ایمنی بدن براساس سیستم ایمنی قابل انطباق تدوین شدهاند.
رویه جستجوی بهترین آنتیبادی و نحوه به یاد سپاری آن برای تقریبا تمام عمر در بدن توجه بسیاری از پژوهشگران را جلب کرده است. به همین دلیل الگوریتمهای متعددی که هر کدام از بخشی از فرایند ایمنی الگوبرداری شدهاند در طی سالها ایجاد شده است. در یک تقسیمبندی کلی الگوریتمهای ایمنی ارائه شده را میتوان در سه دسته الگوریتم ایمنی تولید انتخابی، شبکه ایمنی و جستجوی منفی تقسیم کرد. الگوریتم ایمنی مصنوعی با رویکرد تولید انتخابی عموما در مسائل تعیین توالی بهینه و زمانبندی مورد استفاده قرار میگیرد حال آنکه دو رویکرد بعدی عموما برای مسائل تشخیص عوامل مخرب و مسائل خوشهبندی یا جستجوی الگو مورد استفاده قرار میگیرند. در تحقیق پیش رو نیز رویکرد تولید انتخابی الگوریتم ایمنی مصنوعی مورد استفاده قرار گرفته است لذا از این پس عبارت الگوریتم سیستم ایمنی مصنوعی به اختصار به جای عبارت رویکرد تولید انتخابی الگوریتم سیستم ایمنی مصنوعی به کار میرود.
الگوریتم سیستم ایمنی مصنوعی فرایند جستجوی خود را با جامعهای از آنتیبادیهای تصادفی که در واقع نشان دهنده جوابهای شدنی هستند آغاز میکند. در الگوریتم ایمنی مصنوعی آنتیژن تابع هدف را نمایندگی میکند. لذا هر کدام از جوابها از نظر میزان تطابق با تابع هدف مورد ارزیابی قرار میگیرند و در نهایت جوابها براساس میزان تطابقشان با تابع هدف که همان میزان برازندگی در الگوریتم ژنتیک است مرتب میشوند. پس از آن تعدادی مشخص از بهترین جوابها انتخاب شده و براساس رابطهای که بسته به نوع مسئله تعریف میشود، از هر جواب بسته به میزان تطابق آن تکثیر میشود. یعنی هرچه تطابق بیشتر باشد تعداد تکثیر نیز بیشتر میشود. در مرحله بعد هر جواب بسته به میزان تطابق خود تحت عملگر جهش قرار میگیرد، یعنی هر چه تطابق یک جواب بیشتر باشد میزان جهش کمتر خواهد بود. در نهایت میزان تطابق جوابهای جهش یافته بررسی شده و به تعدادی که در مراحل قبل بهترین جوابها برگزیده شده بودند، از بهترین جوابهای جهش یافته برداشته میشود و با همان تعداد از بدترین جوابهای جامعه مرجع جایگزین میگردد. این رویه تا فرارسیدن شروط توقف ادامه مییابد.
الگوریتم سیستم ایمنی مصنوعی به دلیل ساختار خود نقاط قوتی را در مقابل سایر الگوریتمها دارا است. از آنجا که این الگوریتم همزمان دستهای از جوابها را مورد بررسی قرار میدهد توانایی جستجوی همزمان نقاط متفاوتی از فضای حل را دارا میباشد و این مسئله توانایی الگوریتم برای رسیدن به بهینه کلی را افزایش داده و از به دام افتادن الگوریتم در بهینه موضعی جلوگیری میکند. به علاوه از آنجا که این الگوریتم فاقد عملگر تقاطع است در شرایط مساوی سرعت بالاتری نسبت به الگوریتم ژنتیک داشته و نیز از آنجا که عملگرهای بازتولید و جهش نیز در این الگوریتم تابعی از میزان تطابق جواب هستند سرعت همگرایی آن نسبت به الگوریتم ژنتیک بیشتر است.
4-2-1. شمای کلی الگوریتم سیستم ایمنی مصنوعیفرایند اجرای الگوریتم تولید انتخابی سیستم ایمنی مصنوعی مطابق شبه برنامه زیر است:
تولید جامعه اولیه آنتیبادیها(جوابها) به صورت تصادفی.
محاسبه میزان تطابق جوابهای تولید شده با آنتیبادی(تابع هدف) و مرتب کردن جامعه اولیه براساس میزان تطابق جوابها.
انتخاب تعدادی مشخص از بهترین جوابها.
تکثیر جوابهای انتخاب شده براساس میزان تطابق آنها.
اعمال جهش روی جوابهای تکثیر شده.
محاسبه میزان تطابق جوابهای جهش یافته با تابع هدف و مرتبسازی آنها براساس میزان تطابق.
جایگزین کردن تعدادی مشخص از بهترین جوابهای تولید شده با بدترین جوابهای جامعه جاری.
بررسی شروط توقف. چنانچه شرط توقف برقرار نبود، مرحله 2.
4-2-2. مفاهیم الگوریتم تولید انتخابی سیستم ایمنی مصنوعی و نحوه بکارگیری آنهاهر رویه حل شامل اصول و مفاهیمی است که فرایند جستجو را تشکیل میدهند. مفاهیم پایهای الگوریتم سیستم ایمنی مصنوعی به شرح زیر است:

—d1221

2-4-2-1- الگوریتم ژنتیک مرتب سازی نامغلوب42
2-4-2-2- الگوریتم NSGA-II محدود شده45
2-4-2-3- الگوریتم ژنتیک رتبه بندی نامغلوب46
2-4-3- الگوریتم‌های تکاملی برای بهینه سازی مسائل چندهدفه بر مبنای سیستم ایمنی مصنوعی49
2-4-3-1- سیستم ایمنی مصنوعی49
2-4-3-1-1- مفاهیم ایمنی49
2-4-3-1-2- ایمنی ذاتی51
2-4-3-1-3- ایمنی اکتسابی51
2-4-3-1-4- تئوری شبکه ایمنی52
2-4-3-1-5- الگوریتم ایمنی مصنوعی53
2-4-3-1-6- سیستم ایمنی مصنوعی و مسائل بهینه سازی چندهدفه54
2-4-3-2- الگوریتم MISA56
2-4-3-3- الگوریتم VIS61
2-4-3-4- الگوریتم NNIA64
2-5- روش‌های اندازه گیری عملکرد الگوریتم‌های چندهدفه67
2-5-1- فاصله نسلی68
2-5-2- درجه توازن در رسیدن همزمان به اهداف69
2-5-3- مساحت زیر خط رگرسیون70
2-5-4- تعداد جواب‌های غیرمغلوب نهائی71
2-5-5- فاصله گذاری71
2-5-6- گسترش72
2-5-7- سرعت همگرائی73
2-5-8- منطقه زیر پوشش دو مجموعه73
2-6- جمع بندی74
فصل سوم: مدل سازی مسأله و توسعه الگوریتم‌ها76
3-1- مسأله موردتحقیق77
3-2- طراحی الگوریتم‌ها81
3-2-1- تطبیق الگوریتم‌ها با مسئله موردبررسی81
3-2-1-1- ساختار حل‌ها81
3-2-1-2- معیار توقف82
3-2-2- تطبیق الگوریتم NSGA-II برای مسئله موردبررسی83
3-2-3- تطبیق الگوریتم CNSGA-II برای مسئله موردبررسی84
3-2-4- تطبیق الگوریتم NRGA برای مسئله موردبررسی85
3-2-5- تطبیق الگوریتم MISA برای مسئله موردبررسی85
3-2-6- تطبیق الگوریتم VIS برای مسئله موردبررسی85
3-2-7- تطبیق الگوریتم NNIA برای مسئله موردبررسی86
فصل چهارم: تجزیه و تحلیل داده‌ها87
4-1- تولید مسأله نمونه88
4-2- اندازه گیری عملکرد الگوریتم‌ها براساس معیارها89
4-3- تجزیه و تحلیل نتایج92
فصل پنجم: نتیجه گیری و مطالعات آتی100
5-1- نتیجه گیری101
5-2- مطالعات آتی102
فهرست منابع و مراجع103
پیوست الف: محاسبه معیارهای هشت گانه برای الگوریتم های استفاده شده105
پیوست ب: نمودارهای بدست آمده از تجزیه و تحلیل نتایج113
پیوست ج: یک نمونه مسئله حل شده توسط الگوریتم NSGA-II118
پیوست د: کد برنامه نویسی الگوریتم NSGA-II در محیط MATLAB123

فهرست اشکال
شکل 2-1- مدل پایه‌ای صف36
شکل 2-2- مجموعه حل‌های غیرمغلوب41
شکل 2-3- نمایشی از نحوه عملکرد NSGA-II43
شکل2-4- الگوریتم NRGA47
شکل 2-5- سلول B، آنتی ژن، آنتی بادی، اپیتوپ، پاراتوپ و ادیوتوپ50
شکل 2-6- فلوچارت الگوریتم MISA57
شکل 2-7- یک شبکه تطبیقی برای رسیدگی به حافظه ثانویه60
شکل 2-8- فلوچارت الگوریتم VIS62
شکل 2-9- تکامل جمعیت NNIA65
شکل 2-10- نمایش حل‌های مناسب69
شکل 2-11- مساحت زیر خط رگرسیون70
شکل 2-12- بیشترین گسترش73
شکل 3-1- مکانیسم عملگر تقاطع83
شکل 4-1- نمودار همگرایی الگوریتم‌ها براساس شاخص MID90
شکل 4-2- نتیجه بدست آمده از آنالیز واریانس برای معیار تعداد جواب‌های غیرمغلوب94
شکل 4-3- نتیجه بدست آمده از آزمون توکی برای معیار تعداد جواب‌های غیرمغلوب95
شکل 4-4- نتیجه به دست آمده از آنالیز واریانس برای تعداد جواب‌های غیرمغلوب97

فهرست جداول
جدول 4-1- مشخصات هر نمونه88
جدول 4-2- گروه بندی الگوریتم‌ها براساس معیار تعداد جواب‌های غیرمغلوب96
جدول 4-3- مقایسه الگوریتم‌ها ازنظر معیارهای مختلف و در حالت‌های گوناگون98
جدول 4-4- متوسط معیارهای الگوریتم‌ها و رتبه بندی الگوریتم‌ها براساس آن99
4221207272
82867519050 1
00 1

تعریف مسأله

1-1- مقدمه
با رشد روز افزون معاملات تجاری در سطح جهان و در سال‌های اخیر، ظهور پدیده تجارت الکترونیک و بانکداری الکترونیک به عنوان بخش تفکیک ناپذیر از تجارت الکترونیک مطرح شد. بانکداری الکترونیک اوج استفاده از فناوری انفورماتیک و ارتباطات و اطلاعات برای حذف دو قید زمان و مکان از خدمات بانکی است. ضرورت یک نظام بانکی کارامد برای حضور در بازارهای داخلی و خارجی ایجاب می‌کند تا بانکداری الکترونیک نه به عنوان یک انتخاب، بلکه ضرورت مطرح شود. امروزه پایانه فروش، پایانه شعب، دستگاه‌های خودپرداز و ... نماد بانکداری الکترونیک است و یافتن مکان بهینه برای این پایانه‌ها و دستگاه‌ها می‌تواند نقش مهمی در حضور یک بانک یا مؤسسه در بازارهای داخلی و خارجی داشته باشد [1].
1-2- مکانیابی تسهیلات
فرض کنید که یک شرکت رسانه‌ای می‌خواهد که ایستگاه‌های روزنامه را در یک شهر ایجاد کند. این شرکت در حال حاضر جایگاه‌هایی را به صورت بالقوه در شهرهای همسایه اش مشخص کرده‌است و هزینه ایجاد و نگهداری یک جایگاه را می‌داند. همچنین فرض کنید که تقاضای روزنامه در هر شهر همسایه مشخص است. اگر این شرکت بخواهد تعدادی از این ایستگاه‌ها را ایجاد کند، باتوجه به مینیمم کردن کل هزینه‌های ایجاد و نگهداری این ایستگاه‌ها و همچنین متوسط مسافت سفر مشتریان، این ایستگاه‌ها در کجا باید واقع شوند؟
سؤال قبل یک مثال از مسأله مکانیابی تسهیلات بود. مکانیابی تسهیلات یعنی اینکه مجموعه‌ای از تسهیلات (منابع) را به صورت فیزیکی به گونه‌ای در یک مکان قراردهیم که مجموع هزینه برآورده کردن نیازها (مشتریان) باتوجه به محدودیت‌هایی که سر راه این مکانیابی قرار دارد، مینیمم گردد.
از سالهای 1960 به این طرف مسائل مکانیابی یک جایگاه ویژه‌ای را در حیطه تحقیق در عملیات اشغال کرده‌اند. آنها وضعیت‌های مختلفی را درنظر گرفته‌اند که می‌توان به موارد ذیل اشاره کرد: تصمیم گیری در مورد مکان کارخانجات، انبارها، ایستگاه‌های آتش نشانی و بیمارستان‌ها.
به طور اساسی، یک مسأله مکانیابی بوسیله چهار عنصر زیر توصیف می‌شود:
مجموعه‌ای از مکانها که در آن‌ها، تسهیلات ممکن است ایجاد یا باز شوند. برای هر مکان نیز بعضی اطلاعات درمورد هزینه ساخت یا باز نمودن یک تسهیل در آن مکان مشخص می‌شود.
مجموعه‌ای از نقاط تقاضا (مشتریان) که برای سرویس دهی به بعضی از تسهیلات اختصاص داده شوند. برای هر مشتری، اگر بوسیله یک تسهیل معینی خدمت‌رسانی شود، بعضی اطلاعات راجع به تقاضایش و درمورد هزینه یا سودش بدست می‌آید.
لیستی از احتیاجات که باید بوسیله تسهیلات بازشده و بوسیله تخصیص نقاط تقاضا به تسهیلات برآورده شود.
تابعی از هزینه یا سودهایی که به هر مجموعه از تسهیلات اختصاص پیدا می‌کند.
پس هدف این نوع مسائل، پیدا کردن مجموعه‌ای از تسهیلات است که باید باتوجه به بهینه کردن تابع مشخصی باز شوند.
مدل‌های مکانیابی در یک زمینه گسترده از کاربردها استفاده می‌شود. بعضی از این موارد شامل موارد ذیل است: مکانیابی انبار در زنجیره تأمین برای مینیمم کردن متوسط زمان فاصله تا بازار؛ مکانیابی سایت‌های مواد خطرناک برای مینیمم کردن درمعرض عموم قرار گرفتن؛ مکانیابی ایستگاه‌های راه آهن برای مینیمم کردن تغییرپذیری زمان بندی‌های تحویل بار؛ مکانیابی دستگاه‌های خودپرداز برای بهترین سرویس دهی به مشتریان بانک و مکانیابی ایستگاه‌های عملیات تجسس و نجات ساحلی برای مینیمم کردن ماکزیمم زمان پاسخ به حادثه‌های ناوگان دریایی. با اینکه این پنج مسأله توابع هدف مختلفی دارند، همه این مسائل در حوزه مکانیابی تسهیلات واقع می‌شوند. درواقع، مدل‌های مکان‌یابی تسهیلات می‌توانند در موارد ذیل متفاوت باشند: توابع هدفشان، معیارهای فاصله‌ای که به کار می‌برند، تعداد و اندازه تسهیلاتی که قرار است مکانیابی شوند و چندین معیار تصمیم گیری مختلف دیگر. بسته به کاربرد خاص هر مسأله، درنظرگرفتن این معیارهای مختلف در فرموله کردن مسأله، منتهی به مدل‌های مکانیابی بسیار متفاوتی خواهدشد.
1-3- بیان مسأله
هدف از اجرای این تحقیق، مکان‌یابی سیستم‌های خدمات رسانی ثابت با ظرفیت خدمت محدود می‌باشد. یعنی دستگاه‌های خدمت‌رسان به چه تعداد و در چه محل‌هایی استقرار یابند و چه مراکز تقاضایی به این دستگاههای خدمت‌رسان تخصیص یابند. در چنین سیستم‌هایی، زمانی که برای انجام سرویس موردنیاز است تصادفی است و همچنین تقاضای انجام خدمت در نقاط تصادفی از زمان می‌رسند که این تقاضا از جمعیت بزرگی از مشتریان سرچشمه می‌گیرد و معمولاً این سرویس‌دهی در نزدیک ترین تسهیل انجام می‌شود. چنین سیستم‌های خدمت‌رسانی، سیستم‌های صف را تشکیل می‌دهند. مدل‌های مختلفی برای حل این مسائل مکان‌یابی سیستم صف ارائه شده‌است.
دو ناحیه کاربردی وجود دارد که ما با این مدل‌ها روبه رو می‌شویم [4]: اولی در طراحی سیستم ارتباط کامپیوتری مانند اینترنت می‌باشد. در یک سیستم ارتباط کامپیوتری، ترمینال‌های مشتری (کاربران اینترنت) به کامپیوترهای میزبان (سرورهای پروکسی، سرورهای آینه) وصل می‌شوند که قابلیت پردازش بالا و/یا پایگاه داده‌های بزرگ میزبان دارند. زمانی که طول می‌کشد تا سرور درخواست را پردازش کند بستگی به سرعت پردازش سرور و و نوع درخواست دارد که آن هم تصادفی است. زمانی که مشتری برای پاسخ سرور منتظر می‌ماند نیز بستگی به تعداد و اندازه درخواست‌های داده‌ای است که در حال حاضر در صف هستند. به طور کلی، درخواست‌های مشتری‌ها به نزدیکترین سرور وصل می‌شود. این مکان و ظرفیت سرورها، پارامترهای طراحی بحرانی هستند. این انتخاب پارامترها تأثیری قابل توجه روی کیفیت خدمات دارد، به طوری که بوسیله یک مشتری درک می‌شود.
کاربرد دوم شامل طراحی یک سیستم دستگاه خودپرداز برای بانک است. مشتری‌ها به صورت تصادفی به یک دستگاه خودپرداز می‌رسند. اگر هنگامی‌که آن‌ها می‌رسند، دستگاه آزاد باشد، آن‌ها بلافاصله سرویس دهی می‌شوند. در غیر این صورت ، آن‌ها به صف می‌پیوندند یا آن جا را ترک می‌کنند. زمان تصادفی که یک مشتری در یک دستگاه سپری می‌کند بستگی به تعداد و نوع تراکنشی (مثلاً مانده حساب، دریافت وجه، انتقال وجه و غیره) دارد که او انجام می‌دهد. منبع قابل توجه دیگر زمان مشتری در یک دستگاه، شامل تأخیر ارسال در مدت شبکه ارتباط بانک است. از آن جا که دستگاه‌ها ثابت هستند، مشتری‌ها باید به یک مکان خودپرداز مراجعه کنند تا یک تراکنش را انجام دهند. گاهی اوقات، مردم در طول مسیر خود (مثلاً از خانه به محل کار) برای استفاده از یک دستگاه خودپرداز به آن مراجعه می‌کنند؛ گاهی اوقات هم، آن‌ها آن را طبق یک مسیر از پیش برنامه‌ریزی‌شده (مثلاً مسیر روزانه بین خانه و کار) استفاده می‌کنند. به طور کلی، آن‌ها از تسهیل با کمترین هزینه قابل‌دسترس استفاده می‌کنند. برای مثال، هنگامی‌که هزینه‌ها بوسیله مسافت سفر تعیین می‌شود، مشتری‌ها نزدیکترین تسهیل به محل کار/خانه یا نزدیکترین مسیر روزانه شان را انتخاب می‌کنند. ما فرض می‌کنیم که مشتری‌ها هیچ اطلاعی از تأخیرات دستگاه‌های خودپرداز ندارند و از این رو نزدیکترین تسهیل را برای درخواست سرویسشان انتخاب می‌کنند.
فرضیاتی که برای این مسأله درنظر گرفته می‌شود به شرح زیر می‌باشد:
گره مشتری وجود دارد که هر یک درخواستی را برای سرویس ایجادمی‌کند؛
تعداد درخواست‌ها در واحد زمان، یک جریان پوآسن مستقل را تشکیل می‌دهند؛
گره خدمت‌رسان بالقوه وجود دارد؛
مشتریان از مراکز تقاضا به سمت مکان این دستگاه‌ها حرکت می‌کنند؛
هر جایگاه خدمت فقط یک خدمت دهنده دارد؛
زمان سرویس یک دستگاه به صورت تصادفی و توزیع نمایی دارد؛
مکان دستگاه‌ها ثابت هستند؛
مشتری‌ها بوسیله نزدیکترین دستگاه خودپرداز خدمت‌رسانی می‌شوند؛
میزان زمان انتظار مشتریان در صف نباید از یک حد ازپیش تعیین شده، فراتر رود؛
ماکزیمم تعداد دستگاه‌های خدمت‌رسان از قبل تعریف شده‌است.
در مسائل مکان‌یابی تک هدفه، هدف مسأله معمولاً هزینه یا پوشش بوده‌است، امّا در مسائل چندهدفه، حداقل یک هدف دیگر وجود دارد که باتوجه به طبیعت این گونه مسائل، با هدف اوّلی درتضاد است.
براین اساس، ما مروری بر روی اهدافی که در مسائل مکان‌یابی چندهدفه توسعه یافته می‌کنیم. این اهداف می‌توانند به صورت زیر توصیف شوند:
هزینه: انواع مختلفی از هزینه وجود دارد. این انواع می‌توانند به دو قسمت ثابت و متغیر تقسیم شوند. هزینه‌های ثابت شامل هزینه شروع و نصب به همراه سرمایه گذاری می‌باشد. هزینه‌های متغیر می‌تواند هزینه حمل و نقل، عملیات، تولید، خدمات، توزیع، تدارکات، دفع پسماند، نگهداری و محیطی باشد. هزینه حمل و نقل بیشترین و هزینه نصب بعد از آن قرار دارد. مسائل مختلفی از یک معیار «هزینه کل» استفاده کرده‌اند که شامل همه هزینه‌ها تحت یک هدف می‌شود.
ریسک‌های محیطی: این هدف شامل ریسک حمل و نقل، ریسک طبیعی، دفع پسماند یا ریسک رفتاری، یا «اثرات نامطلوب» عمومی است که جایگاه بزرگی دارد. به هر حال نسبت ریسک محیطی در مسائل مکان‌یابی کمتر از دیگر هزینه‌هاست.
پوشش: تقریبا مجموعه کامل مسائل مکان‌یابی درباره پوشش مسافت، زمان، مبلغ و یا حتی انحراف پوشش است. اگرچه بسیاری از مسائل از مسافت و پوشش جمعیّت به عنوان هدفشان استفاده می‌کنند، اما در بعضی مسائل نیز زمان مهّم است.
مفهوم تساوی نیز در این طبقه قرار می‌گیرد، زیرا این نوع مسائل، روشی منصفانه در برخورد با مسأله پوشش دارند.
سطح و کارائی خدمت: در این طبقه، هدف سطح سرویس به همراه کارائی قرارمی‌گیرد.
سود: بعضی مسائل به سود خالص (تفاوت بین سودها و هزینه‌ها) علاقمندند.
اهداف دیگر: بعضی اهداف دیگر که در مسائل مکان‌یابی استفاده می‌شوند، مانند دستیابی به منابع به همراه ریسک‌های سیاسی و اجتماعی که نمی‌توانند در دیگر دسته‌ها قرار بگیرند.
سه هدف برای مسأله موردنظر ما درنظر گرفته شده‌است که هدف اول، مینیمم کردن متوسط تعداد مشتریان درحال سفر؛ هدف دوم، مینیمم کردن متوسط تعداد مشتریان در حال انتظار و هدف سوم، ماکزیمم کردن مجموع کارکرد دستگاه‌ها در واحد زمان می‌باشد.
1-4- روش حل
به طور کلی مسائل مکانیابی تسهیلات اصولاً NP-Hardهستند و بعید است بدون کاربرد الگوریتم‌های فراابتکاری بتوان حلّی بهینه را در زمان معقول پیدا کرد و زمان محاسباتی نیز با توجه به اندازه مسأله به صورت نمایی افزایش می یابد.
مسائل بهینه یابی چندهدفه، به طور کلی با یافتن حل‌های بهینه پارتو یا حل‌های مؤثّر کارمی‌کنند. چنین حل‌هایی غیرمغلوب هستند، یعنی هنگامی‌که همه اهداف درنظر گرفته شوند، هیچ حل دیگری برتر از آن‌ها نیست. بیشترین روش‌هایی که برای حل مسائل بهینه سازی چندهدفه به کار می‌روند، روشهای ابتکاری و فراابتکاری هستند.
برای مسائلی که در کلاس NP-Hard قرار می گیرند، تاکنون روش‌های دقیقی که بتواند در حالت کلی و در زمانی معقول به جواب دست یابد توسعه داده نشده‌است. از این رو روش‌های ابتکاری و فراابتکاری مختلفی را برای حل این دسته از مسائل به کار می برند تا به جواب‌های بهینه یا نزدیک به بهینه دست یابند.
در این تحقیق سعی شده‌است که از چندین الگوریتم بهینه سازی چندهدفه استفاده شود. الگوریتم NSGA-II به این خاطر انتخاب شده‌است که این الگوریتم در بسیاری از مقالات به عنوان الگوریتم مرجع مقایسه گردیده‌است. الگوریتم CNSGA-II نیز به این علت انتخاب شده‌است که روشی مناسب برای برخورد با محدودیت‌های حل مسأله ارائه می‌کند. چون باتوجه به ماهیت مسأله، چندین محدودیت سر راه حل مسأله ایجاد شده‌است که راهکار مناسبی برای رسیدگی به این محدودیت‌ها ایجاب می‌کند. الگوریتم NRGA نیز چون جزء جدیدترین الگوریتم‌های ارائه شده در زمینه بهینه سازی چندهدفه می‌باشد مورداستفاده قرار گرفته‌است. در سال‌های اخیر، الگوریتم‌های بهینه سازی مبتنی بر ایمنی مصنوعی بسیار مورد توجه قرار گرفته‌است که به همین علت، ما در این تحقیق سعی بر آن داریم که از کارآمدترین این الگوریتم‌ها استفاده کنیم. از میان الگوریتم‌های چندهدفه ایمنی، ما از MISA، VIS و NNIA استفاده کرده ایم که در ادامه و در بخش‌های بعدی به نتایج خوبی که دراثر استفاده از این الگوریتم‌ها بدست می‌آید، اشاره می‌کنیم.
1-5- اهمیت و ضرورت تحقیق
امروزه پایانه فروش، پایانه شعب، دستگاه‌های خودپرداز و ... نماد بانکداری الکترونیک است و یافتن مکان بهینه برای این پایانه‌ها و دستگاه‌ها می‌تواند نقش مهمی در حضور یک بانک یا مؤسسه در بازارهای داخلی و خارجی داشته باشد.
در این تحقیق سعی شده‌است که محدودیت‌ها و چالش‌های فراروی این مسأله در دنیای واقعی تا حد ممکن درنظر گرفته شود. به همین منظور محدودیت‌هایی ازقبیل ماکزیمم دستگاه خدمت‌رسانی که می‌تواند به کار گرفته شود و حدّ بالای زمان انتظار برای مشتریان منظور شده‌است. همچنین به‌دلیل اینکه یک هدف، پاسخگوی انگیزه ایجاد شده برای انجام این طرح نمی‌باشد، این مسأله به صورت یک مسأله چند هدفه درنظر گرفته شده‌است تا به دنیای واقعی هر چه نزدیکتر گردد تا در درجه اول سود بانک یا مؤسسه ازطریق انتخاب بهینه دستگاه‌های خودپرداز افزایش یابد و در درجه دوم رضایت مشتریان جلب گردد، به صورتی که هم پوشش مناسب برای خدمت‌رسانی داده شود و هم مدت زمان خدمت‌رسانی به مشتریان حداقل گردد.
1-6- اهداف تحقیق
اهدافی که برای اجرای این تحقیق درنظر گرفته شده‌است عبارتند از:
مروری بر مدل‌های مکانیابی تسهیلات به صورت کلّی
مروری بر مدل‌های مکانیابی تسهیلات با تقاضای تصادفی و تراکم
بهینه نمودن استفاده از دستگاه‌های‌های خدمت‌رسان؛ یعنی دستگاه‌های خدمت‌رسان به چه تعداد و در چه محل‌هایی استقرار یابند و چه مراکز تقاضایی به این دستگاههای خدمت‌رسان تخصیص یابند، به‌صورتی که هم رضایت مشتریان جلب شود (این هدف را به صورت کمینه کردن مجموع زمان خدمت‌رسانی به مشتریان که شامل زمان سفر مشتریان از مراکز تقاضا به مراکز خدمت‌رسانی و زمان انتظار آنها برای خدمت‌رسانی درنظر گرفته ایم) و هم مجموع کارکرد دستگاه‌ها بیشینه گردد.
تطبیق الگوریتم‌های مختلف با مسئله مورد بررسی
تجزیه و تحلیل الگوریتم‌های مختلف با استفاده از روشهای مقایسه الگوریتم‌ها
1-7- جمع بندی
مسأله مکانیابی تسهیلات در حالت کلی به عنوان یک مسأله NP-Hard شناخته می‌شود. به‌خصوص در حالتی که محدودیت‌های دیگری نظیر محدودیت انتظار مشتریان در صف و محدودیت در تعداد تسهیلات باز شده نیز مطرح باشد، پیچیدگی این مسأله چندین برابر می‌شود.
هدف اول، مینیمم کردن متوسط تعداد مشتریان درحال سفر؛ هدف دوم، مینیمم کردن متوسط تعداد مشتریان در حال انتظار و هدف سوم، ماکزیمم کردن مجموع کارکرد دستگاه‌ها در واحد زمان می‌باشد.
پایان نامه دارای ساختار زیر است: در فصل دوم برای آنکه خواننده با مفاهیمی که در این پایان‌نامه به کار گرفته شده‌است و همچنین موضوعاتی که در این تحقیق مطرح می‌شود، مروری جامع بر ادبیات موضوعات در بخش‌های مختلف اعم از مکانیابی تسهیلات به صورت کلی، مکانیابی تسهیلات باتوجه به مسأله مطرح شده و محدودیت‌های ایجاد شده به عمل آمده‌است. همچنین الگوریتم‌های چندهدفه‌ای که در این پروژه - ریسرچبه کار گرفته شده‌است به طور عمومی معرفی و تشریح می‌شوند. باتوجه به اینکه سه الگوریتم از این الگوریتم‌ها از مبحث ایمنی مصنوعی است، سعی شده‌است تا مروری مختصر بر این موضوع نیز انجام شود. در آخر نیز روش‌های اندازه گیری عملکرد الگوریتم‌های چندهدفه معرفی شده‌اند.
در فصل سوم ابتدا درمورد مسئله مورد بررسی این تحقیق توضیحات کافی داده می شود و اهداف و محدودیت های فراروی آن شرح داده می شود. سپس، در قسمت طراحی الگوریتم‌ها، الگوریتم‌های درنظر گرفته شده را با مسئله مورد بررسی تطبیق می دهیم.
در فصل چهارم پس از اینکه درمورد تولید مسائل نمونه صحبت کردیم، به تجزیه و تحلیل و مقایسه الگوریتم‌ها خواهیم پرداخت که این کار را به این صورت انجام می‌دهیم که ابتدا معیارهای مختلف را برای تمامی الگوریتم‌ها اندازه گیری کرده و سپس این نتایج را باتوجه به روش‌های موجود درزمینه تحلیل واریانس، مورد تجزیه و تحلیل قرارمی‌دهیم.
در فصل پنجم نیز پس از مروری کلّی بر تحقیقی که انجام شده، چند زمینه تحقیق برای مطالعات آتی به خوانندگان پیشنهاد می‌شود.
4221207272
82867519050 2
00 2

مرور ادبیات

2-1- مقدمه
در این فصل، ابتدا به بحث درباره موضوع مکانیابی تسهیلات می پردازیم. در ابتدا، به مروری بر ادبیات این موضوع می پردازیم. در ادامه، مسائل پوشش که مهمترین و پرکاربردترین مباحث در این حوزه است را توضیح داده و مدل های دیگر مکانیابی تسهیلات را معرفی می نمائیم. سپس باتوجه به اینکه مسئله ما در حیطه مسائل مکانیابی تسهیلات با تقاضای تصادفی و تراکم می باشد، به مرور ادبیات این حیطه و خصوصیات این نوع مدل ها می پردازیم. سپس سیستم صف و مسائلی که در این حوزه و ادامه تحقیق، موردنیاز است، شرح داده می شود. همچنین الگوریتم‌های چندهدفه‌ای که در این پروژه - ریسرچبه کار گرفته شده‌است به طور عمومی معرفی و تشریح می‌شوند. باتوجه به اینکه سه الگوریتم از این الگوریتم‌ها از مبحث ایمنی مصنوعی است، سعی شده‌است تا مروری مختصر بر این موضوع نیز انجام شود. در آخر نیز روش‌های اندازه گیری عملکرد الگوریتم‌های چندهدفه معرفی شده‌اند.
2-2- مکانیابی تسهیلات
2-2-1- مرور ادبیات در موضوع مکانیابی تسهیلات [5]
می‌توان استدلال نمود که تحلیل‌های مکانیابی در قرن هفدهم و با مسأله پیِر دِ فِرمَت شروع شد: فرض کنید که سه نقطه در یک صفحه وجود دارد، نقطه چهارمی را پیداکنید به صورتی که مجموع فواصلش تا سه نقطه فرض شده مینیمم گردد. اِوانجلیستا توریچلی نیز یکی از کسانی است که ساختارهای فضایی که نیاز به یافتن یک چنین میانه‌های فاصله‌ای یا «نقاط توریچلی» دارند، به آن نسبت داده شده‌است. به هر حال در قرن اخیر، با «مسأله وِبِر» از آلفرد وِبِر و بعضی از گسترش‌های بعدی اش در مسئله درِزنر و همکارانش دوران جدید تحلیلهای مکانیابی با کاربردش در مکانیابی صنعتی شروع می‌شود. مسأله وِبِر نقاطی را در یک سطح پیدا می‌کند که مجموع فواصل اقلیدسی وزن‌دهی شده آن تا یک مجموعه نقاط ثابت مینیمم گردد. این مسأله به این صورت تفسیر می‌شود که مکان یک کارخانه را به گونه‌ای پیداکنیم که کل مسافت وزن دهی شده آن از تأمین کنندگان و مشتریان مینیمم گردد، که وزن‌ها بیانگر حجم مبادلات می‌باشد، مثل وزن موادی که باید از یک تأمین‌کننده منتقل شود یا حجم محصولات نهایی که برای یک مشتری ارسال می‌شود.
تنها در دهه 60 و 70، با فراهم بودن گسترده قدرت محاسبات برای پردازش و تحلیل مقادیر بزرگی از داده‌ها بود که ما شروع واقعی بهینه سازی جدید و به همراه آن، تحقیق در مسائل مکانیابی را مشاهده می‌کنیم. این دوره را به این دلیل دوره بلوغ تحلیلهای مکانیابی می‌نامند که گرایش زیادی به مطالعه p-median کلاسیک، p-center، پوشش مجموعه، مکانیابی تأسیسات ساده و مسائل تخصیص درجه دوم و گسترش آنها پیدا شد.
در این دوره، کوپر مسأله تک تسهیلی وِبِر را گسترش داد تا مسأله تخصیص-مکانیابی چندتسهیلی را ایجاد کند. سپس مارانزانا این مسأله را از فضای پیوسته به شبکه گسترش داد. به هر حال حکیمی است که شالوده تحقیق در p-median و مسائل دیگر در یک شبکه را کامل می‌کند. مسأله p-median شبیه مسأله وِبِر در یک سطح، مکان p نقطه را در یک شبکه به گونه‌ای پیدا می‌کند که کل مسافت وزن دهی شده با تقاضا را تا نزدیکترین تسهیل مینیمم می‌کند. به علاوه حکیمی مسأله p-center اصلی را ارائه می‌کند که مکان p نقطه را در یک شبکه به گونه‌ای پیدا می‌کند که ماکزیمم مسافت تقاضا تا نزدیکترین تسهیل مینیمم گردد. نتیجه مهم قضیه حکیمی نیز مشخص است، یعنی اینکه یک حل در مسأله p-median، همیشه در گره‌های یک شبکه در مسأله واقع می‌شود، درحالیکه یک حل در مسأله p-center لزومی ندارد که در گره‌ها واقع شود. کاریف و حکیمی اثبات می‌کنند که مسائل p-center و p-median، NP-Hard هستند.
مدلهای پوشش، مسائلی را درنظر می‌گیرند که تقاضاها باید در یک مسافت مطمئنی از زمان سفر پوشش داده شوند. تورِگاس و همکارانش روش حلی را برای اینگونه مسائل که در کاربرد با نام مسأله پوشش مجموعه (LSCP) شناخته می‌شود را فرمول بندی و ارائه کردند. مکان تسهیلات برای خدمات اورژانسی از این مسأله الهام می‌شوند. چِرچ و رِوِله، مسأله مکانیابی حداکثر پوشش (MCLP) را ارائه کردند. این مسأله، مکانهای بهینه‌ای را برای تعداد معیّنی از تسهیلات پیدا می‌کند که جمعیّتی که درون یک فاصله خدمت‌رسانی مشخص، پوشش داده می‌شوند، حداکثر گردد.
دیگر مسأله بنیادی با مفهوم پوشش، مسأله تخصیص درجه دوم (QAP) می‌باشد که به دلیل طبیعت درجه دوّم فرموله کردن تابع هدفش به این نام خوانده می‌شود. تعدادی (N) تسهیل که در همان تعداد جایگاه (N) به گونه‌ای واقع می‌شوند که کل هزینه انتقال مواد درمیان آنها مینیمم گردد. هزینه حرکت مواد بین هر دو مکان بوسیله ضرب یک وزن یا جریان در فاصله بین مکان‌ها بدست می‌آید. مدل خطی آن بوسیله کوپمنس و بِکمن ارائه شد که مورد خاصی از مسأله حمل و نقل شناخته شده‌است. این مسأله NP-Hard علائق بسیاری را برای تحقیق ایجاد کرد و هنوز هم حل آن در هر اندازه ای، بسیار سخت به نظر می‌رسد.
دهه 80 و 90 تحقیقاتی را در تحلیل مکانیابی دید که به رشته‌های دیگر نیز گسترش پیدا کرد و نتایج سودمندی را از دیدگاه مدل سازی و کاربرد بدست آورد. این نوآوری‌ها تا به امروز نیز ادامه دارد.
از جمله این مدل‌ها می‌توان به مکان‌یابی رقابتی، مکان تسهیلات گسترده، مکانیابی تصادفی، مسیریابی، مکان‌یابی هاب و جلوگیری از جریان اشاره کرد. به عنوان کاربردهای جدید در این دوران می‌توان به ناحیه‌هایی ازجمله برنامه ریزی خدمات اورژانسی، کاربردهای محیط زیستی همچون تسهیلات زیان آور و ترکیب مکانیابی با مدیریت زنجیره تأمین اشاره کرد.
مدلهای مکانیابی رقابتی: حکیمی مدلهای رقابتی را درون تئوری مکانیابی وارد کرد. بیشتر نتایج در این زمینه یک فضای گسسته یا یک شبکه را درنظر می‌گیرند. اخیراً مدل‌های مکانیابی رقابتی پیوسته توسط داسکی و لاپورته ارائه شده‌است.
مدلهای مکانیابی تسهیلات گسترده: یک تسهیل اگر در مقایسه با محیطش، خیلی کوچکتر از یک نقطه به نظر برسد، گسترده نامیده می‌شود. چنین مدل‌هایی بارها در وضعیت‌های طراحی شبکه به کار گرفته شده‌است. مِسا و بوفی یک سیستم دسته بندی شامل مسائلی برای تعیین خط مسیر حمل و نقل مواد خطرناک ارائه کردند. اخیراً یک مثال بوسیله بریمبرگ و همکارانش آورده شده‌است که مسأله مکانیابی یک دایره درون یک کره را درنظر می‌گیرد، به صورتی که فاصله از تسهیلات موجود باید مینیمم گردد.
مکانیابی تصادفی: مدلهای مکانیابی تصادفی هنگامی رخ می‌دهند که داده‌های مسأله فقط به روشی احتمالی شناخته شوند. بِرمن و همکارانش مسائلی را درنظر گرفتند که ورود به تسهیلات به صورت تصادفی است و اثر تراکم نیز باید درنظر گرفته می‌شد. لوگندران و تِرِل یک مسأله LA با ظرفیت نامحدود را با تقاضاهای تصادفی حسّاس به قیمت درنظر گرفتند. بِرمن و کراس یک کلاس کلی از «مسائل مکانیابی با تقاضای تصادفی و تراکم» را ارائه کردند.
مسیریابی مکان: ترکیب تحلیلهای مکانیابی با زمینه‌های شناخته شده مسائل مسیریابی وسایل نقلیه، ناحیه جدید دیگری از مدل سازی، یعنی مسیریابی مکان را ایجاد می‌کند.
مکانیابی هاب: در چنین مسائل مکانیابی، هاب‌ها به عنوان متمرکزکننده‌ها یا نقاط سوئیچینگ ترافیک عمل می‌کنند، خواه برای مسافران خطوط هوایی باشد، خواه بسته‌های کوچک در سیستمهای سوئیچینگ. جریان بین منابع و مقاصد اساس مدل سازی این دسته از مسائل را تشکیل می‌دهد. اُکِلی اساس تحلیلهای مکانیابی هاب را بنانهاد. آن مدل‌ها به صورتی مدل سازی شد تا بهترین مکان‌ها برای متصل کردن ترمینال‌ها را باتوجه به مینیمم کردن هزینه‌های کل تراکنش‌ها، پیدا کند.
جلوگیری از جریان: در بسیاری از مسائل مکانیابی، تقاضاها فرض می‌شوند که در گره‌های یک شبکه رخ می‌دهند. یک تغییر جالب که بوسیله مسائل فرض می‌شود این است که تقاضا بوسیله جریانی از وسایل نقلیه یا پیاده‌هایی که از میان اتصالات شبکه عبور می‌کنند، ارائه می‌شوند. ازجمله کاربردهای این حیطه می‌توان به دستگاه‌های خودپرداز و ایستگاه‌های نفتی اشاره کرد. چنین مسائلی اولین بار توسط هاچسون و بِرمن و همکارانش ارائه شد.
مکانیابی یا جابجایی وسایل خدمات اورژانسی: مقدار شگرفی از تحقیقات در مطالعه مکانیابی وسایل خدمات اورژانسی ایجاد شده‌است. چَپمن و وایت اولین کار را برحسب محدودیت‌های کاربردی که در LSCP کاربرد دارد، ارائه کردند. مطالعه میرچندانی و اُدُنی زمان‌های سفر تصادفی را در مکانیابی تسهیلات اورژانس درنظر می‌گیرد. همچنین باتوجه به کاربردهای وسایل اورژانسی، مدل MEXCLP که توسط داسکین ارائه شده‌است، مدل MCLP را با محدودیت‌های احتمالی گسترش می‌دهد. رِپِده و برناردو، مدل TIMEXCLP را ارائه کردند که MEXCLP را با تغییر تصادفی در تقاضا گسترش می‌دهد.
کاربردهای مرتبط با محیط زیست: تسهیلات زیان آور و مفاهیم دیگر: بعضی از تحلیلهای مکانیابی در موضوع محیط زیست، مربوط به مکان تسهیلاتی می‌شود که برای جمعیت مجاورشان مضر یا نامطبوع هستند. گُلدمن و دیِرینگ و همچنین چِرچ و گارفینکل جزء اولین افرادی بودند که مکانیابی برای تسهیلات زیان آور یا تسهیلاتی که ترجیح می‌دهیم دور از دسترس باشند را درنظر گرفتند.


تحلیلهای مکانیابی با مدیریت زنجیره تأمین: مدیریت زنجیره تأمین (SCM) شامل تصمیمات درمورد تعداد و مکان تسهیلات و جریان شبکه در حیطه تأمین، تولید و توزیع می‌شود. در اولین کارها در برنامه ریزی پویا، بالُو از برنامه نویسی پویا برای جابجایی انبارها در طول دوره برنامه‌ریزی استفاده می‌کند. جئوفریون و پاورز محیطی یکپارچه را بین مکان و SCM درنظر می‌گیرد.
2-2-2- معیارهای دسته بندی مدلهای مکانیابی
مدلهای مکانیابی تسهیلات می‌توانند باتوجه به اهداف، محدودیتها، حل‌ها و دیگر خصوصیات دسته بندی شوند. در زیر، هشت معیار رایجی که برای دسته بندی مدل‌های مکانیابی تسهیلات سنتی استفاده می شود، آورده شده‌است ‍‍[6]:
مشخصات مکان: مشخصات مکان تسهیلات و جایگاه‌های تقاضا شامل مدل‌های مکانیابی پیوسته، مدل‌های شبکه گسسته، مدل‌های اتصال هاب و غیره می‌شود. در هر یک از این مدل‌ها، تسهیلات می‌توانند فقط در جایگاه‌هایی واقع شوند که توسط شرایط مکانی مجاز هستند.
اهداف: هدف یکی از معیارهای مهم برای دسته بندی مدل‌های مکانیابی است. هدف مدل‌های پوشش، مینیمم کردن تعداد تسهیلات برای پوشش همه نقاط تقاضا یا ماکزیمم کردن تعداد تسهیلاتی است که باید پوشش داده شوند. هدف مدل‌های p-center مینیمم کردن ماکزیمم فاصله (یا زمان سفر) بین نقاط تقاضا و تسهیلات است. آن‌ها اغلب برای بهینه کردن تسهیلات در بخش‌های عمومی همچون بیمارستان‌ها، اداره‌های پست و آتش‌نشانی‌ها استفاده می‌شوند. مدل‌های p-median سعی می‌کنند که جمع فاصله (یا متوسط فاصله) بین نقاط تقاضا و نزدیکترین تسهیلشان مینیمم گردد. شرکت‌هادر بخش‌های عمومی اغلب از مدل‌های p-median استفاده می‌کنند تا برنامه توزیع تسهیل را به گونه‌ای بریزند که مزایای رقابتشان را بهبود دهند.
روش‌های حل: روش‌های حل مختلف در مدل‌های مکانیابی مختلف همچون مدل‌های بهینه‌سازی و مدل‌های توصیفی بدست می‌آیند. مدل‌های توصیفی از رویکردهای ریاضی همچون برنامه نویسی ریاضی یا برنامه نویسی عددی استفاده می‌کنند تا حل‌های مختلف را برای سبک و سنگین کردن اکثر اهداف مهم در مقابل یکدیگر جستجو کنند. در مقابل، مدل‌های توصیفی، از شبیه سازی یا رویکردهای دیگری استفاده می‌کنند تا موفقیت دستیابی به الگوی مکانیابی را افزایش دهند تا حلی با درجه مطلوب بدست آید. روش‌های حل ترکیبی نیز بوسیله گسترش مدلهای توصیفی با تکنیک‌های بهینه سازی توسعه داده شده‌است تا مسائل مکانیابی تعاملی یا پویا (مثل سرورهای متحرک) را بسازند.
مشخصات تسهیلات: مشخصات تسهیلات نیز مدل‌های مکانیابی را به انواع مختلف تقسیم می‌کند. مثلاً، محدودیت تسهیل می‌تواند منجر به مدلی با یا بدون ظرفیت خدمت‌رسانی شود، و تکیه تسهیلات به یکدیگر می‌تواند به مدل‌هایی منجر شود که همکاری تسهیلات را به حساب آورند یا نیاورند.
الگوی تقاضا: همچنین مدل‌های مکانیابی می‌توانند براساس الگوهای تقاضا دسته بندی شوند. اگر یک مدل تقاضای انعطاف پذیر داشته باشد، پس آن تقاضا محیطی متفاوت با تصمیمات مکانیابی تسهیلات مختلف خواهد داشت؛ درحالیکه یک مدل با تقاضای غیرانعطاف پذیر، به علت تصمیمات مکانیابی تسهیلات، با آن الگوی تقاضا متفاوت نخواهد بود.
نوع زنجیره تأمین: مدل‌های مکانیابی می‌تواند بوسیله نوع زنجیره تأمینی که درنظر می‌گیرند تقسیم شوند (یعنی مدلهای تک مرحله‌ای درمقابل مدل‌های چند مرحله ای). مدل‌های تک‌مرحله‌ای بر روی سیستمهای توزیع خدمت تنها با یک مرحله تمرکز می‌کنند، درحالیکه مدل‌های چندمرحله ای، جریان خدمات را در طول چند سطح سلسله مراتبی درنظر می‌گیرند.
افق زمانی: افق زمانی، مدل‌های مکانیابی را به مدل‌های استاتیک و پویا دسته بندی می‌کند. مدل‌های استاتیک، کارایی سیستم را با درنظر گرفتن همزمان همه متغیرها بهینه می‌کند. درمقابل، مدل‌های پویا، دوره‌های زمانی مختلف را با تغییر داده‌ها درطول این دوره‌ها درنظر می‌گیرند و حل‌هایی را برای هر دوره زمانی با وفق دادن با شرایط مختلف ارائه می‌کند.
پارامترهای ورودی: روش دیگری برای دسته بندی مدل‌های مکانیابی براساس خصوصیت پارامترهای ورودی به مسأله است. در مدلهای قطعی، پارامترها با مقادیر مشخص پیش بینی می‌شوند و بنابراین، این مسأله، برای حل‌های ساده و سریع، ساده سازی می‌شود. به هر حال، برای بیشتر مسائل جهان واقعی، پارامترهای ورودی ناشناخته هستند و طبیعتاً ماهیت احتمالی/تصادفی دارند. مدل‌های مکانیابی احتمالی/تصادفی برای رسیدگی به ماهیت پیچیده مسائل جهان واقعی از توزیع احتمالی متغیرهای تصادقی استفاده می‌کنند یا مجموعه‌ای از طرحهای ممکن را برای پارامترهای نامعیّن درنظر می‌گیرند.
همچنین مدل‌های مکانیابی می‌توانند براساس مشخصات دیگری همچون مدل‌های تک محصولی درمقابل مدلهای چندمحصولی و یا مدلهای کششی درمقابل مدلهای فشاری متمایز شوند.
2-2-3- مسائل پوشش
ایده اصلی پشت مدلهای پوشش مکانیابی تسهیلات به گونه‌ای است که بعضی خدمات موردنیاز مشتریان فراهم شود. دو هدف برای مکانیابی تسهیلات وجود دارد که آیا همه مشتریان در شبکه با حداقل تسهیلات پوشش داده می‌شوند یا هر تعدادی از مشتریان که ممکن است با تعداد مشخصی از تسهیلات پوشش داده شوند. در اینجا به مسائل پوشش در شبکه می‌پردازیم [7]،[8].
2-2-3-1-مسأله پوشش مجموعه
برای ساده سازی، فرض می‌کنیم که همه مشتریان و تسهیلات در گره‌های شبکه واقع می‌شوند. در ادامه، ما از اندیس i برای اشاره به مشتریان و از اندیس j برای اشاره به تسهیلات استفاده می‌کنیم. همچنین تقاضاها (یا وزن‌ها) در گره i را با و تعداد تسهیلاتی است که باید مکانیابی شوند را با p نمایش می‌دهیم. همچنین ما را به عنوان کوتاهترین مسیر (یا زمان، هزینه یا هر عدم مطلوبیت دیگری) بین گره تقاضای و جایگاه تسهیل در گره تعیین می‌کنیم. اگر گره i بتواند بوسیله تسهیل در مکان j پوشش داده شود، قرارمی‌دهیم، درغیر اینصورت . همچنین را مجموعه همه جایگاه‌های کاندیدشده‌ای قرار می‌دهیم که می‌توانند گره تقاضای i را پوشش دهند. اینکه p تسهیل در کجا واقع شوند و کدام تسهیل باید کدام گره تقاضا را سرویس دهد، تصمیمات کلیدی در اینگونه مسائل هستند.
مسائل پوشش مجموعه در ابتدای دهه 70 ایجاد شد. هدف LSCP مکانیابی حداقل تعداد تسهیلات به گونه‌ای است که هر گره تقاضا بوسیله یک یا چند تسهیل «پوشش» داده شود. به طور کلی، تقاضا در یک گره i توسط تسهیل j پوشش داده شده نامیده می‌شود اگر فاصله (یا زمان سفر) بین گره‌ها کمتر از فاصله بحرانی D باشد. به علاوه، D به ماکزیمم فاصله یا زمان خدمتی که تصمیم‌گیرنده مشخص می‌کند اشاره می‌کند.
با این توضیحات، می‌توان مدل مکان پوشش مجموعه را که اولین بار توسط تورِگاس و همکارانش ارائه شد، به صورت زیر فرموله کرد:
(1.2)
(2.2)
(3.2)
تابع هدف (1.2) تعداد تسهیلاتی که استفاده می‌شوند را مینیمم می‌کند. محدودیت (2.2) تعیین می‌کند که برای هر نقطه تقاضای i، حداقل یک تسهیل باید در مجموعه ایجاد گردد که بتواند این گره را پوشش دهد. محدودیت‌های (3.2) محدودیت‌های تکمیلی هستند.

2-2-3-2- مسأله مکانیابی حداکثر پوشش
درمقابل مسأله پوشش مجموعه که در بالا آورده شد، مسأله مکانیابی حداکثر پوشش (MCLP) سعی نمی‌کند که همه مشتریان را پوشش دهد. تعداد p تسهیل را فرض کنید که هدف ما مکانیابی این تسهیلات به گونه‌ای است که بیشترین تعداد ممکن از مشتریان را پوشش دهیم. منظور از پوشش را نیز در بالا آوردیم.
با تعیین این محدودیت‌های مدل پوشش مجموعه، چِرچ و رِوِله مسأله مکانیابی حداکثر پوشش را به صورت زیر فرمول بندی کردند:
(4.2)
(5.2)
(6.2)(3.2)
(7.2)
که اگر گره تقاضای i پوشش داده شود، برابر یک خواهد بود، درغیر اینصورت صفر می‌شود. تابع هدف (4.2) تعداد تقاضاهایی که پوشش داده می‌شوند را ماکزیمم می‌کند. محدودیت (5.2)، متغیرهای مکان و پوشش را به همدیگر مرتبط می‌کند و نشان می‌دهد که گره تقاضای i نمی‌تواند به عنوان پوشش داده شده تلقی گردد مگر اینکه ما حداقل یک تسهیل را در یکی از جایگاه‌های کاندید شده مستقر کنیم که بتواند آن گره را پوشش دهد. محدودیت (6.2) تعداد تسهیلات را به p محدود می‌کند و محدودیت‌های (3.2) و (7.2) محدودیت‌های تکمیلی هستند.
اگر تعداد تسهیلاتی که برای پوشش تمام تقاضاها نیاز است، از منابع دردسترس بیشتر شود، یک گزینه، راحت کردن الزامات برای پوشش کامل می‌باشد.
2-2-3-3- مسائل p-center
نوع دیگری از مسائل کلاسیک پوشش، اصطلاحاً مسائل p-center نامیده می‌شود. هدف مسائل p-center ، مکانیابی تعداد معین p تسهیل به گونه‌ای است که بزرگترین فاصله بین هر مشتری و نزدیکترین تسهیلش تا حد ممکن کوچک شود. اگرچه از دیدگاه نظری، مسائل p-center متفاوت هستند، اما یک روش دوبخشی ساده می‌تواند به کار گرفته شود تا مسائل p-center را به عنوان بخشی از مسائل پوشش حل نماید. این مسأله می‌تواند به صورت زیر فرمول بندی شود که Q ماکزیمم فاصله است که باید مینیمم گردد:
(8.2)
(9.2)
(10.2)
(6.2)
(11.2)
(3.2)
(12.2)محدودیت (9.2) ما را مطمئن می‌کند که هر گره تقاضا تخصیص داده شده‌است، درحالیکه محدودیت (10.2) تصریح می‌کند که این تخصیصها می‌توانند فقط در تسهیلاتی که بهره برداری شده‌اند ایجاد شود. محدودیت (6.2) بیان می‌کند که دقیقاً p تسهیل می‌تواند ایجاد شود. محدودیت (11.2) ماکزیمم فاصله را برحسب متغیرهای تصمیم تعیین می‌کند. این محدودیت‌ها تصریح می‌کنند که Q باید بزرگتر یا مساوی با فاصله‌ای باشد که برای هر گره تقاضا تخصیص داده می‌شود.
2-2-3-4- مسائل p-median
درمقابل مسائل p-center با اهداف مینیماکسش که در قسمت قبل توضیح داده شد، مسائل p-median اهداف مینیمم مجموع دارند. به عبارت دیگر مسائل p-median ، p تسهیل را به‌گونه‌ای مکان‌یابی می‌کنند که مجموع فواصل بین همه مشتریان و نزدیکترین تسهیل مرتبطشان مینیمم گردد. رِوِله و سواین مسأله p-median را به صورت زیر فرمول بندی کردند:
(13.2)
(9.2)
(10.2)
(6.2)
(3.2)
(12.2)
تابع هدف (13.2) کل فاصله‌ای که در تقاضا ضرب شده‌است را مینیمم می‌کند. از آنجائیکه تقاضاها مشخص هستند و کل تقاضا ثابت است، این هدف در حکم مینیمم کردن متوسط فاصله ضرب در تقاضا است. به خاطر داشته باشید که این فرمول بندی خیلی شبیه به فرمول بندی مسأله p-center است مگر در تابع هدف و محدودیت شماره (11.2).

2-2-4- مسائل دیگر مکانیابی [8]
در این بخش به اختصار به انواع دیگری از مدل‌های مکانیابی که در مقالات استفاده شده‌است اشاره می‌کنیم. اولین نوع، مدل‌هایی هستند که به تسهیلات نامطلوب اشاره می‌کنند. چنین مدل‌هایی به مکانیابی تسهیلاتی همچون تأسیسات تصفیه فاضلاب، محل‌های بازیافت زباله‌ها، نیروگاه‌ها یا زندان‌ها می‌پردازند که همسایگی آنها با نواحی مسکونی نامطلوب به نظر می‌رسد.
به عنوان سیستم‌هایی که معمولاً شامل دو یا چند سطح از تسهیلات می‌شوند، از سیستمهای سلسله مراتبی استفاده می‌کنیم. بسیاری از سیستمها در طبیعت سلسله مراتبی هستند. این تسهیلات معمولاً برحسب نوع خدماتی که ارائه می‌کنند سلسله مراتبی هستند. مثلاً مراکز مراقبت‌های پزشکی را درنظر بگیرید که شامل کلینیک‌های عمومی، بیمارستان‌ها و مراکز دارویی هستند.
نوع دیگری از مدل‌ها، به مدل‌های مکانیابی می‌پردازد که اهداف «یکسان» دارند. این مدل‌ها، تسهیلات را به گونه‌ای مکانیابی می‌کنند که برای همه مشتریان به طور مساوی دردسترس باشند.
ناحیه فعال دیگر در این زمینه، مکانیابی هاب‌هاست. هاب به عنوان توپ در مرکز یک چرخ است و منظور از آن، تسهیلاتی است که به بعضی جفت‌های منبأ-مقصد به عنوان گره‌های معاوضه و حمل و نقل سرویس دهی می‌کند و در سیستمهای ترافیک و ارتباطات استفاده می‌شود.
نوع دیگر از مدل‌های مکانیابی، مدل‌های مکانیابی رقابتی است. مثالی از این نمونه به این صورت است که دو فروشنده انحصاری یک محصول را درنظر بگیرید که تسهیلی را هر کدام در یک پاره خط ایجاد می‌کنند. آنها از ابزاری مشابه استفاده می‌کنند و در مکان و قیمت رقابت می‌کنند.
در پایان، تسهیلات گسترده و مسائل جانمایی تسهیلات را درنظر بگیرید. در هر دو زمینه، به خاطر اینکه اندازه تسهیلات در قیاس با فضایی که در آن واقع شده‌اند قابل چشم پوشی نیست، تسهیلات نمی‌توانند به صورت یک نقطه بر روی نقشه نشان داده شوند و خیلی بزرگتر از آن هستند که به صورت یک نقطه درنظر گرفته شوند. به عنوان نمونه‌هایی از مسائل جانمایی، آرایش ایستگاه‌های کاری در یک اداره و قراردادن اتاق‌ها در یک بیمارستان را می‌توان نام برد.
2-2-5- مسائل مکانیابی تسهیلات با تقاضای تصادفی و تراکمما در این بخش به مسائل پیدا کردن مکان‌های بهینه برای مجموعه‌ای از تسهیلات در حضور تقاضای مشتریان تصادفی و تراکم در آن تسهیلات می‌پردازیم. ما به این گونه مسائل به عنوان «مسائل مکانیابی با تقاضای تصادفی و تراکم» (LPSDC) نگاه می‌کنیم [9]. اکثراً ما بحث درباره مسائل را به شبکه محدود می‌کنیم، حتی اگر این مدل‌ها بتواند به مکان‌های گسسته گسترش یابند.
اهمیت مشهود پرداختن به مسائل مکانیابی تسهیلات در حضور عدم قطعیت‌های گوناگون، منجر به تعداد زیادی از مقالات در این موضوع می‌شود. اصولاً مدل‌های LPSDC بر روی دو منبع از عدم قطعیت متمرکز می‌شود: (1) مقدار واقعی و مقدار زمانی که تقاضا بوسیله هر مکان مشتری تولید می‌شود و (2) از دست دادن تقاضا (یا جریمه پولی) به علت ناتوانی تسهیل در فراهم کردن سرویس مناسب به (بعضی از) مشتریان به علت تراکم در آن تسهیل.
این گونه مسائل به پیدا کردن بهترین مکان‌ها برای مجموعه‌ای از تسهیلات می‌پردازند تا ظرفیت سرویس (تعداد خدمت دهندگان) را در تسهیل j مشخص کند. نتیجه چنین سیستمی می‌تواند به صورت یک سیستم صف با M صف و سرویس دهنده مشاهده شود. حتی تحلیل‌های توصیفی چنین سیستمهایی (یعنی با فرض اینکه تصمیمات مکانیابی در حال حاضر گرفته شده‌اند) می‌تواند توانایی حال حاضر سیستم صف را گسترش دهد. چنین مسائلی، قابلیت‌های مسائل مکان‌یابی «کلاسیک» (که بیشتر آن‌ها NP-complete شناخته می‌شوند) را با پویایی پیچیده سیستم‌های صف ترکیب می‌کند. بنابراین، در ساختن یک مدل LPSDC کاربردی، بعضی فرض‌ها و تخمین‌های ساده سازی باید انجام شود تا مدل را قابل حل کند.
یک ناحیه مهم کاربرد مدل‌های LPSDC، مکان‌یابی تسهیلات خدمات اورژانسی (مانند بیمارستان‌ها)، ایستگاه‌های پلیس، ایستگاه‌های آتش نشانی و آمبولانس‌ها هستند. توانایی پاسخگویی به یک درخواست برای خدمت‌رسانی در زمان مناسب، به چنین سیستم‌هایی اختصاص دارد (مثلاً استاندارد رایج برای آمبولانس‌ها در آمریکای شمالی برای پاسخگویی به تلفن‌های با ارجحیت بالا، 3 دقیقه می‌باشد). خصوصیت پایه چنین سیستم‌هایی غیرقابل پیش بینی بودن تعداد و زمان رسیدن تلفن‌ها برای درخواست و اثری که روی کارایی سیستم تراکمی می‌گذارد است و هنگامی‌که بعضی از این تسهیلات درخواست‌های بسیاری را برای خدمت در دوره زمانی مشخصی دریافت می‌کنند، نتیجه آن مشخص می‌شود. به راستی که از لحاظ تاریخی، مسأله مکان‌یابی تسهیلات خدمات اورژانسی، محرّک اصلی برای تحقیقات بیشتر در این زمینه را فراهم کرده‌است.
دیگر ناحیه مهم کاربرد این مسائل که کمتر مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته‌است، مکان‌یابی خرده فروشی‌ها یا تسهیلات خدمت‌رسانی دیگر است که مقدار کل تجارت (تقاضای مشتری) در یک تسهیل ممکن است هنگامی‌که نرخ خدمت‌رسانی به علت تراکم کاهش می‌یابد، به طور معکوس عمل کند. درحالی که بعضی از مدل‌هایی که برای مکان‌یابی تسهیلات اورژانسی توسعه پیدا کرده‌اند، می‌توانند به خوبی برای تسهیلات غیراورژانسی نیز به کار روند، این دو دسته از کاربردها، خصوصیات مختلف خودشان را نیز ایجاد می‌کنند.
2-2-5-1- مرور ادبیات مسائل مکانیابی تسهیلات با تقاضای تصادفی و تراکم [10]
باتوجه به انعطاف پذیری تقاضا، دسترسی به یک تسهیل می‌تواند برحسب مجاورت با مشتریان بالقوه اش (وِرتر و لاپیِره)، به صورت کل زمان موردنیاز برای دریافت سرویس (پارکر و سرینیواسان) مدل سازی شود. در این مورد یا موارد دیگر، شکل تابع تقاضای مورداستفاده، گسترشی از انعطاف پذیری تقاضا را نشان می‌دهند. بیشتر توابع تقاضای رایج در مقالات به شکل‌های زیر هستند: تابع خطی (وِرتر و لاپیِره؛ پارکر و سرینیواسان)؛ تابع نمایی (بِرمن و پارکان؛ بِرمن و کاپلان و درِزنِر)؛ و تابع مرحله‌ای (بِرمن و کِراس).
اگر انتخاب مشتری را درنظر بگیریم ( که بدین معنی است که هر عضو این حق را دارد که خود تسهیلش را انتخاب کند و نه اینکه توسط یک مرکز به یکی اختصاص پیدا کند)، یک گروه از مقالات، انتخاب بهینه را فرض می‌کنند، یعنی، هر مشتری، تسهیلی که برحسب مزیتش بهینه است را انتخاب می‌کند. بسیاری از نویسندگان به سادگی فرض می‌کنند که مشتریان به نزدیکترین تسهیل مراجعه می‌کنند، درحالیکه پارکر و سرینیواسان فرض می‌کنند که مشتریان، تسهیلی که بیشترین منفعت را دارد انتخاب می‌کنند. درمقابل، گروه دوم مطالعات، انتخاب احتمالی را فرض می‌کنند، یعنی، انتخاب تسهیل توسط مشتری، براساس توزیع احتمالی است که از سودمندی و مجاورت هر تسهیل ایجاد می‌شود. این فرض اغلب در محیط بازار استفاده می‌شود و شاید یک کار اصولی از هاف، مؤثرترین مدل در این دسته باشد. همچنین ماریانوف و همکارانش یک مسأله مکانیابی تسهیلات با تراکم را پیشنهاد کردند که از یک مدل انتخابی احتمالی برای نشان دادن رفتار تخصیص مشتریان استفاده می‌کرد.
مسأله موردنظر ما که تا حدودی در تئوری مکان‌یابی تسهیلات، پایه‌ای به حساب می‌آید، توجّهات بسیاری را در مقالات به خود جلب کرده‌است؛ مخصوصاً اینکه تقابل جنبه‌های مکانیابی و تصادفی (صف بندی)، آن را چالش برانگیز کرده‌است [11]. این مسأله متعلق به دسته‌ای از مسائل مکانیابی با تقاضای تصادفی و تراکم و سرویس دهندگان ثابت (LPSDC) است که توسط بِرمن و کراس مرور شده‌است. مطالعه مدل‌هایی از این نوع، با ماریانوف و سِرا در سال 1998 شروع شده‌است. مقالات دیگری نیز در این زمینه نوشته شده‌است که می‌توان به مقالات بِرمن، کراس و وانگ؛ ماریانوف و ریوس؛ ماریانوف و سِرا؛ وانگ، باتا و رامپ اشاره کرد. به علت پیچیدگی باطنی مسأله، همه مقالاتی که در بالا آورده شده، ساده سازی‌های بزرگی را انجام داده‌اند: فرض می‌شود که تقاضا گسسته است، یا فرض می‌شود که تعداد یا ظرفیت تسهیلات (یا هر دو) ثابت هستند، فرض می‌شود که مکان‌های تسهیلات بالقوه گسسته و بینهایت هستند، فرض می‌شود که فرایند رسیدن تقاضا پواسن باشد و همچنین معمولاً فرض می‌شود که فرایند خدمت‌رسانی نمایی است.
ترکیب حالت تصادفی (شامل تراکم بالقوه در تسهیلات) در مدل‌های نوع پوشش تسهیلات، با مسأله مکانیابی حداکثر پوشش موردانتظار (MEXCLP) توسط داسکین شروع شد؛ و تعداد قابل ملاحظه‌ای از دیگر کاربردها نیز در ادامه آن آورده شد. اما این مدل شامل بعضی ساده سازی‌های بزرگی بود، برای مثال: احتمال اینکه یک خدمت‌رسان مشغول باشد، مستقل از هر خدمت دهنده دیگری است و این موضوع برای همه خدمت دهندگان یکسان است؛ این احتمالات نسبت به مکان و حجم کار یکسان هستند. ماریانوف و سِرا فرض کردند که: (1) تقاضای مشتریان توسط یک فرایند پواسن تولید می‌شود؛ (2) توزیع زمان خدمت نمایی است؛ (3) هر تسهیل به صورت یک سیستم صف M/M/1/a با ظرفیت محدود a عمل می‌کند؛ و (4) همه تقاضاها هنگامی‌که برای خدمت‌رسانی به سیستم می‌رسند، اگر سیستم پر باشد، فرض می‌شود که تقاضا از دست می‌رود. توسط این مدل، تقاضای مشتریان ممکن است ازبین برود، چون یا تسهیل در شعاع پوشش آن وجود ندارد و یا تسهیلات مسدود شده‌اند. هدف، قرار دادن m تسهیل به گونه‌ای است که تقاضا‌ها را هرچه بیشتر پاسخ دهد. ماریانوف و ریوس این مدل را برای مکانیابی دستگاه‌های خودپرداز به کار گرفتند. در مدل آن‌ها، دستگاه‌ها، حافظه کوچکی دارند که هر کدام می‌تواند تعداد ثابتی، b، درخواست را نگهدارند که آن به این علت است که درخواست‌های دستگاه‌ها، اندازه ثابتی (53 بایت) دارند. همچنین دستگاه‌ها به صورت یک صف M/M/1، حداکثر b درخواست در صف (یعنی حافظه) را انجام می‌دهد. اگر یک درخواست درحالی برسد که حافظه پر است، آن درخواست ازدست می‌رود (و باید دوباره فرستاده شود)، و برای اینکه مطمئن باشیم که این رویداد نادر است، یک محدودیت سطح سرویس اعمال شده‌است. به هر حال تعداد کل دستگاه‌ها،به جای اینکه به عنوان قسمتی از فرایند بهینه سازی تعیین شود، ثابت هستند. مدل LSCP این مدل توسط ماریانوف و سِرا گسترش داده شد که در آن، هدف، پیدا کردن حداقل تعداد تسهیلات به گونه‌ای است که همه مشتریان، یک تسهیل در شعاع پوششان داشته باشند و محدودیت بر روی حداکثر نسبت تقاضای از دست رفته (یا حداکثر زمان انتظار) رعایت شود. باید به یاد داشته باشیم که این مدل، فرض می‌کند که مشتریان به جای اینکه به نزدیکترین تسهیل مراجعه کنند، می‌توانند به هر تسهیل باز شده‌ای در شعاع پوشش تخصیص یابند. بنابراین، آنها به جای مکانیسم انتخاب مشتری، مکانیسم انتخاب هدایت شده را انتخاب می‌کنند.
2-2-5-2- مکانیابی تسهیلات با تقاضای تصادفی و تراکم
دو منبع بالقوه برای از دست دادن تقاضا به صورت زیر است [12]:
عدم پوشش: این مورد زمانی اتفاق می‌افتد که هیچ کدام از تسهیلات به اندازه کافی به مشتری نزدیک نیستند که سطح مناسبی از راحتی را فراهم کنند.
عدم سرویس: این مورد زمانی اتفاق می‌افتد که مشتری تصمیم می‌گیرد که یک تسهیل را ملاقات کند، اما باتوجه با سطح سرویسی که در آنجا دریافت می‌کند، ناراضی می‌شود. علت‌های زیادی ممکن است وجود داشته باشد که حادثه شکست خدمت اتفاق افتد: یکی از رایج ترین آنها (و مرتبط ترین به تصمیمات مکانیابی) تراکم (پرجمعیتی) در آن تسهیل است.
برای مدل سازی تقاضایی که به علت تراکم از دست می‌رود، ما هر تسهیل را به صورت یک صف مارکفی با ظرفیت ثابت معین درنظر می‌گیریم و فرض می‌کنیم که اگر این ظرفیت به دست آمده باشد، تقاضای مشتری هنگامی‌که درطول این دوره می‌رسد، از دست می‌رود (یعنی، مشتریان بالقوه‌ای که هنگام پر بودن سیستم می‌رسند، مسدود می‌شوند).
مدل‌های LPSDC اصولاً به تقابل چهار مجموعه از عناصر مربوط می‌شود [9]:
مشتریان: که برای انجام خدمت، درخواست می‌دهند.
تسهیلات: که به منابعی (خدمات دهندگان) که برای انجام خدمات موردنیاز است مکان می‌دهند.
خدمت دهندگان: که خدمت درخواست شده را انجام می‌دهند، و
درخواست انجام خدمت: که توسط مشتریان انجام می‌شود و بوسیله اتصال یک مشتری با یک خدمت دهنده دردسترس، رسیدگی می‌شود.
دیگر اجزاء موردنیاز برای توصیف یک مدل LPSDC به صورت زیر هستند: انواع فراهم شدن خدمت (که یا مشتریان به تسهیلات سفر می‌کنند تا به خدمت دهندگان دست یابند و یا خدمت‌دهندگان متحرّک، به مکان مشتریان سفر می‌کنند)، طبیعت و نتایج تراکم (هنگامی‌که یک تسهیل درخواست‌های بسیار زیادی برای انجام خدمت دریافت می‌کند، چه عکس العملی از خود نشان می‌دهد؟)، فرضیات رفتار مشتری (مشتریان تصمیم می‌گیرند که برای بدست آوردن خدمت، به کدام تسهیل مراجعه کنند یا یک «مرجع مرکزی» وجود دارد که مشتریان را به تسهیلات متصل می‌کند)، نوع اهداف و احتیاجات خاص دیگر مانند «استانداردهای پوشش» (که معمولاً به صورت محدودیت‌ها بیان می‌شود).
یک شبکه مشخص را فرض می‌کنیم ، که N، مجموعه گره‌ها و A مجموعه کمان‌هاست. برای از استفاده می‌کنیم که به کوتاهترین مسیر از x به y است.
مشتریان: فرض می‌شود که مشتریان در گره‌های شبکه واقع می‌شوند. نسبت را برای همه درخواست‌هایی که برای انجام خدمت از گره ایجاد می‌شود درنظر می گیریم که . معمولاً فرض می‌شود که کل تقاضای مشتریان برای خدمت‌رسانی، یک فرایند پوآسن از جنس زمان با نرخ است. همچنین فرایند درخواست خدمت برای هر گره i، یک فرایند پوآسن با نرخ می‌باشد. درحالیکه بیشتر مدل‌ها، از ساختار تقاضای مشتریانی که در بالا توضیح داده شد استفاده می‌کنند، بعضی تلاشها برای دخالت دادن امکان ازدست دادن تقاضا به علت تراکم انجام شده‌است. این می‌تواند بوسیله تعریف دوباره نرخ تقاضا در گره i به صورت تعریف شود که C، بعضی اندازه‌های هزینه تراکم است که بوسیله مشتریان اتفاق می‌افتد و یک تابع غیر افزایشی است. در ادامه این بخش، به طور عمومی فرض می‌کنیم که تحت تأثیر تراکم قرار نمی‌گیرد.
تسهیلات: ما فرض می‌کنیم که حداکثر M تسهیل وجود دارد که باید مکان‌یابی شود. ما فرض میکنیم که یک مجموعه گسسته از مکان‌های بالقوه تسهیلات X تعیین شده‌است (که ) و . این فرضیات نیز بدون از دست دادن عمومیت انجام می‌شود: باتوجه به استدلالاتی که توسط بِرمن، لارسون و چیو انجام شده‌است می‌توان نشان داد که اگر به تسهیلات اجازه دهیم که در هر جایی در طول کمان واقع شوند، یک حل بهینه در یک مجموعه گسسته از مکان‌ها بدست می‌آید که شامل گره‌های شبکه است که بوسیله بعضی نقاط داخلی در طول کمان ایجاد شده‌است. بنابراین، با تکمیل کردن مجموعه گره‌های اصلی بوسیله بعضی گره‌های «ساختگی» اضافی، می‌توان فرض کرد که X گره‌ای است.
خدمت دهندگان: هر تسهیل j می‌تواند بین 1 و K خدمت دهنده داشته باشد. بسته به ماهیت خدمتی که بوسیله این تسهیل انجام می‌شود، خدمت دهندگان یا ثابت هستند، یعنی به طور ثابت در تسهیل واقع می‌شوند، یا متحرک هستند، یعنی برای انجام خدمت به مکان مشتریان سفر می‌کنند. تعداد خدمت دهندگانی که در تسهیل j واقع می‌شوند، یک متغیرتصمیم گیری در مدل می‌باشد.
درخواست خدمت: معمولاً یک درخواست برای انجام خدمت، به یک «یارگیری» بین مشتری ایجاد کننده درخواست و یکی از خدمت دهندگان موجود در سیستم احتیاج دارد. این کار معمولاً به صورت زیر انجام می‌شود:
اول باید تعیین کنیم که آیا مکان i بوسیله سیستم پوشش داده می‌شود یا خیر؟ معمولاً برای اینکه یک مشتری پوشش داده شود فرض می‌شود که با استاندارد‌های پوشش معینی مطابقت دارد (مثلاً، تعداد خدمت دهنده کافی باید در اطراف مشتری واقع شده باشد و غیره). این استانداردهای پوشش اغلب از طریق قانونگذاری یا قوانین اجرایی ایجاد می‌شود. اگر مکان مشتری i پوشش داده نشده باشد، همه درخواست‌های خدمت که از i ایجاد می‌شود، به صورت خودکار بوسیله سیستم برگردانده می‌شود (صرفنظر از اینکه آیا سیستم در حال حاضر متراکم هست یا خیر؟). معمولاً برای از دست دادن پوشش مجموعه یک جریمه درنظر گرفته می‌شود. یک تفسیر دیگر از گسترش ندادن پوشش به یک مشتری این است که مشتری بوسیله بعضی خدمات «دیگر» یا «ذخیره» پوشش داده شود (مثلاً، یک خدمت آمبولانس غیردولتی)؛ پس جریمه پوشش ندادن، می‌تواند به عنوان حق الزحمه قرارداد فرعی تفسیر می‌شود.
زمانی که معین می‌شود که درخواست خدمت از یکی از مشتریان «پوشش داده شده» بیاید، یک ارزیابی انجام می‌شود که آیا حالت فعلی سیستم اجازه می‌دهد که فرایند درخواست انجام شود یا خیر؟ این ارزیابی معمولاً در دو مرحله اتفاق می‌افتد: اول، قوانین منطقه‌ای و مکان مشتری برای تعیین «زیرسیستم» مشتری، استفاده می‌شود، یعنی، کدام تسهیلات و خدمت دهندگان می‌توانند به طور بالقوه به این درخواست پاسخ دهند (این ممکن است شامل همه خدمت دهندگان در شبکه شود و یا فقط خدمت دهندگانی که در شعاع سفر معینی از مکان مشتری واقع شده‌اند و غیره). بعد، تعداد درخواست‌های انجام نشده در زیرسیستم ارزیابی می‌شود و تصمیم گیری می‌شود که آیا این درخواست پذیرفته شود یا رد شود؟ این تصمیم معمولاً براساس ظرفیت زیرسیستم صورت می‌پذیرد (مثلاً برای یک صف «ازدست رفته»، اگر هیچ خدمت دهنده‌ای در حال حاضر دردسترس نباشد، یک عدم پذیرش ممکن است اتفاق بیفتد؛ در موارد دیگر ممکن است این محدودیت وجود داشته باشد که چه تعداد درخواست می‌تواند در یک زمان مشخص در صف وجود داشته باشد). معمولاً یک جریمه مرتبط با قبول نکردن یک درخواست وجود دارد. باز هم تأکید می‌کنیم، برخلاف نپذیرفتن یک درخواست از مشتریانی که پوشش داده نشده‌اند که به صورت خودکار است، نپذیرفتن درخواست یک مشتری که پوشش داده شده‌است، براساس حالت سیستم است. به خاطر داشته باشید که قوانین منطقه ای، درجه همکاری بین تسهیلات گوناگون و خدمت دهندگان را در سیستم معین می‌کند.
بعد، درخواست پذیرفته شده به یکی از تسهیلات متصل می‌شود (یعنی تخصیص پیدا می‌کند). این تخصیص ممکن است به قوانین اتصال مطمئن بستگی داشته باشد، همانطور که به حالت فعلی سیستم بستگی دارد (مثلاً، یک درخواست ممکن است به نزدیکترین تسهیل متصل شود و یا ممکن است به نزدیکترین تسهیل با حداقل یک خدمت دهنده آزاد متصل شود و غیره). همچنین قوانین اتصال به فرضیات رفتار مشتریان نیز بستگی دارد، یعنی اینکه کدام تسهیل باید این درخواست را انجام دهد به مشتری بستگی دارد یا به بعضی مراجع مرکزی. ما، این مورد را که مشتری تصمیم می‌گیرد که کدام تسهیل باید به درخواستش رسیدگی کند به عنوان «انتخاب کاربر» و موردی که یک مرجع مرکزی این تصمیم را می‌گیرد به عنوان «انتخاب هدایت شده» می‌شناسیم.
معمولاً یک درخواست پذیرفته شده در یک تسهیل معین، در صف قرار می‌گیرد تا یک خدمت دهنده، دردسترس قرار گیرد. زمانی که این اتفاق می‌افتد، خدمت دهنده و مشتری «یارگیری» کرده‌اند. درمورد خدمت دهندگان متحرک، لازم است که این خدمت‌دهندگان از مکان فعلی شان به مکان مشتری سفر کنند (که متحمل هزینه سفر می‌شوند).
معمولاً مسائل مکانیابی با خدمت دهندگان متحرک، دارای مشخصات زیر هستند:
این تخصیص بستگی به حالت فعلی خدمت دهندگان در زمان ارسال دارد. برای خدمت دهندگان ثابت، این تخصیص ممکن است قبل از تصمیم گیری برای انجام خدمت اتفاق بیفتد، بنابراین ممکن است گفته شود که خدمت دهندگان متحرک ممکن است با یکدیگر همکاری کنند، درحالیکه خدمت دهندگان ثابت تمایلی به این کار ندارند.
اگر یک کاربر، درخواستی را انجام دهد و نزدیکترین خدمت دهنده مشغول باشد، خدمت دهنده دیگری ارسال می‌شود. یعنی، این تخصیص، در حالت مطلق، به نزدیکترین تسهیل اتفاق نمی‌افتد.
مسائل مکانیابی احتمالی اغلب می‌توانند به خوبی به صورت مجموعه مستقلی از سیستم‌های صف، مدل سازی شوند. این استقلال، ازطریق ابزاری ناشی می‌شود که حتی اگر زمان‌های خدمت از یک توزیع نمایی پیروی کنند، درمورد هنگامی‌که زمان سفر احتمالی است، این امر صادق نیست. بنابراین، تئوری صف M/G/m مناسب‌تر از تئوری M/M/m است.
حال به فرموله کردن مسأله می‌پردازیم. محدودیت‌های مسأله معمولاً شامل موارد ذیل است:
- یک حد بالای M بر روی کل تعداد تسهیلاتی که می‌توانند واقع شوند:
(14.2)
- یک حد بالای K بر روی کل تعداد خدمت دهندگانی که می‌تواند واقع شوند:
(15.2)
- استانداردهای پوشش: بسته به احتیاجات پوششی که استفاده می‌شود، می‌تواند شکل‌های گوناگونی به خود بگیرد. شاید ساده ترین (و قدیمی‌ترین) شکل این محدودیت‌ها، به این نیاز دارد که حداقل تعداد مشخصی از این خدمت دهندگان ،، باید در حداکثر فاصله مشخصی از هر مکان مشتری i، واقع شوند. اجازه دهید زیرمجموعه‌ای از مکان‌های تسهیلات بالقوه در فاصله موردنیاز از i باشد. پس این محدودیت می‌تواند به صورت زیر بیان شود:
(16.2)
شکل پیچیده تر این محدودیت پوشش، ممکن است احتیاجاتی احتمالی را به زمان‌های پاسخ تحمیل کند. مثلاً، یک پاسخ سه دقیقه‌ای زمان پاسخ را درنظر بگیرید که برای درخواست‌های آمبولانس با ارجحیت بالا موردنیاز است. شکل دیگری از محدودیت‌ها، ممکن است یک حد بالایی را بر روی نسبت درخواست‌هایی که برگردانده می‌شود ،، اعمال کند. به طور خلاصه، ما می‌توانیم یک محدودیت عمومی را به صورت زیر ارائه کنیم. اجازه دهید که یک متغیر تصادفی باشد که بیانگر «سطح سرویسی» است که بوسیله سیستم به نقاط تقاضای مشتری i تحویل می‌شود (مثلاً، زمان پاسخ). اجازه دهید، ، بیانگر حداقل فراوانی مطلوب این اتفاق باشد (مثلاً، 95% از این زمان). بنابراین، یک محدودیت سطح سرویس کلی می‌تواند به صورت زیر بیان شود:
(17.2)
اکنون، مسأله LPSDC عمومی می‌تواند به صورت زیر فرمول بندی شود:
(18.2)
باتوجه به محدودیت‌های (15)، (16) و (17)

بدیهی است که برای اینکه فرمول بندی بالا را ساده کنیم، به بعضی روشها احتیاج داریم تا پارامترهای کارایی سیستم گوناگونی را که در توسعه تابع هدف و محدودیت‌ها استفاده شد را ارائه کنیم (یعنی، احتمال برگرداندن ، زمان انتظار صف و غیره). متأسفانه، معمولاً بیان تحلیلی کلی برای این مقادیر دردسترس نیست. این منجر به دو رویکرد ممکن می‌شود: رویکرد اول نیاز دارد که فرضیاتی ساده سازی مطمئنی را بر روی عملیات سیستم ایجاد کنیم (مانند قوانین منطقه‌ای ساده، زمان‌های سفر قابل اغماض و غیره). دومین رویکرد شامل استفاده از تکنیک‌هایی براساس توصیف است (مثل شبیه سازی) تا اندازه‌های کارایی سیستم موردنیاز را برای مقادیر خاص بردار مکان x محاسبه کنیم. علاوه بر آن می‌توان از بعضی تکنیک‌های ابتکاری استفاده کرد.
2-3- نظریه صف
انتظار در صف هر چند بسی ناخوشایند است، اما متأسفانه بخشی از واقعیت اجتناب ناپذیر زندگی را تشکیل می‌دهد. انسان‌ها در زندگی روزمره خود با انواع مختلف صف، که به از بین رفتن وقت، نیرو و سرمایه آن‌ها می‌انجامد، روبه رو می‌شوند. اوقاتی که در صف‌های اتوبوس، ناهارخوری، خرید و نظایر آن‌ها به هدر می‌رود، نمونه‌های ملموسی از این نوع اتلاف‌ها در زندگی است. در جوامع امروزی صف‌های مهمتری وجود دارد که هزینه‌های اقتصادی و اجتماعی آن‌ها به مراتب بیش از نمونه‌های ساده فوق است.
2-3-1- مشخصات صف [13]
یک مدل صف در شکل (2-1) نشان داده شده‌است. آن می‌تواند یک مدل صف مثل ترتیب ماشین آلات یا اپراتورها باشد.

شکل 2-1- مدل پایه‌ای صف
یک مدل صف بوسیله مشخصات زیر توصیف می‌شود:
فرایند رسیدن مشتریان
معمولاً فرض می‌کنیم که زمان بین رسیدن‌ها مستقل هستند و یک توزیع رایج دارند. در بسیاری از کاربردهای عملی، مشتریان باتوجه به یک جریان پواسن (یعنی زمان بین رسیدن‌ها نمایی) می‌رسند. مشتریان ممکن است یک به یک و یا به صورت دسته‌ای برسند.
رفتار مشتریان
مشتریان ممکن است صبور باشند و راضی باشند که (برای یک مدت طولانی) منتظر بمانند. یا مشتریان ممکن است کم حوصله باشند و بعد از مدتی صف را ترک کنند.
زمان‌های رسیدن
معمولاً فرض می‌کنیم که زمان‌های رسیدن مستقل هستند و به طور یکسان توزیع شده‌اند و مستقل از زمان بین رسیدن‌ها هستند. مثلاً زمان‌های رسیدن ممکن است به صورت قطعی یا نمایی توزیع شده باشد. همچنین ممکن است که زمان‌های رسیدن، وابسته به طول صف باشد.
نظم سرویس
ترتیبی که مشتریان ممکن است به صف وارد شوند به صورت‌های زیر می‌تواند باشد:
کسی که اول می‌آید، اوّل هم سرویس دهی می‌شود، مثل ترتیب رسیدن‌ها
ترتیب تصادفی
کسی که آخر می‌آید، اول سرویس دهی می‌شود.
حق تقدّم
اشتراک پردازنده (در کامپیوتر که قدرت پردازششان را در میان کل کارها در سیستم، به طور مساوی تقسیم می‌کنند).
ظرفیت سرویس
ممکن است یک سرور تک و یا گروهی از سرورها به مشتریان کمک کنند.
اتاق انتظار
ممکن است محدودیتهایی در رابطه با تعداد مشتریان در سیستم وجود داشته باشد.
یک کد سه قسمتی برای مشخص کردن این مدل‌های به صورت a/b/c استفاده می‌شود که حرف اول توزیع زمان بین رسیدن‌ها و حرف دوم توزیع زمان سرویس را مشخص می‌کند. مثلاً برای یک توزیع عمومی از حرف G و برای توزیع نمایی از حرف M (که M بیانگر فاقد حافظه بودن است) استفاده می‌شود. حرف سوم و آخر نیز تعداد سرورها را مشخص می‌کند. این نمادسازی می‌تواند با یک حرف اضافه که دیگر مدل‌های صف را پوشش دهد، گسترش یابد. مثلاً، یک سیستم با توزیع زمان بین رسیدن و زمان سرویس دهی نمایی، یک سرور و داشتن اتاق انتظار فقط برای N مشتری (شامل یکی در سرویس) بوسیله چهار کد حرفی M/M/1/N نشان داده می‌شود.
در این مدل پایه، مشتریان یک به یک می‌رسند و همیشه اجازه ورود به سیستم را دارند، همیشه اتاق وجود دارد، هیچ حق تقدّمی وجود ندارد و مشتریان به ترتیب رسیدن سرویس دهی می‌شوند.
در یک سیستم G/G/1 با نرخ رسیدن و میانگین زمان سرویس ، مقدار کار که در واحد زمان می‌رسد برابر است. یک سرور می‌تواند به یک کار در واحد زمان رسیدگی کند. برای جلوگیری از اینکه طول صف بینهایت نشود، باید .
معمولاً از نماد زیر استفاده می‌کنند:

اگر ، نرخ اشتغال یا بکارگیری سرور نامیده می‌شود، چون کسری از زمان است که سرور، مشغول کارکردن است.
2-3-2- قانون لیتِل [13]
اگر E(L)، میانگین تعداد مشتریان در سیستم، E(S)، میانگین زمان اقامت مشتری در سیستم باشد و ، متوسط تعداد مشتریانی باشد که در واحد زمان وارد سیستم می‌شوند، قانون لیتِل، رابطه بسیار مهمی را بین این سه نماد می‌دهد و به صورت زیر بیان می‌شود:
(19.2)در اینجا فرض می‌شود که ظرفیت سیستم برای رسیدگی به مشتریان کافی است (یعنی، تعداد مشتریان در سیستم به سمت بینهایت میل نمی‌کند).
به طور حسی، این نتیجه می‌تواند به صورت زیر فهمیده شود: فرض کنید که مشتریان هنگامی‌که به سیستم وارد می‌شوند، یک دلار در واحد زمان می‌پردازند. این پول می‌تواند به دو روش گرفته شود. روش اول اینکه به مشتریان اجازه دهیم که به طور پیوسته در واحد زمان بپردازند. پس متوسط درآمدی که توسط سیستم کسب می‌شود، برابر E(L) دلار در واحد زمان است. روش دوم این است که به مشتریان اجازه دهیم که برای اقامتشان در سیستم، 1 دلار را در واحد زمان در موقع ترک سیستم بپردازند. در موازنه، متوسط تعداد مشتریانی که در واحد زمان، سیستم را ترک می‌کنند برابر متوسط تعداد مشتریانی است که به سیستم وارد می‌شوند. بنابراین سیستم، یک متوسط درآمد دلار را در واحد زمان کسب می‌کند.
با به کار بردن قانون لیتِل در صف، رابطه‌ای بین طول صف، و زمان انتظار W به دست می‌آید:
(20.2)
2-3-3- صف M/M/1
این مدل، حالتی را درنظر می‌گیرد که زمان بین رسیدن‌ها، نمایی با میانگین ، زمان‌های سرویس، نمایی با میانگین و یک سرور مشغول کار است. مشتریان به ترتیب رسیدن، سرویس دهی می‌شوند. ما نیاز داریم که:
(21.2)درغیراینصورت، طول صف منفجر خواهد شد (قسمت قبل را ببینید). مقدار ، کسری از زمان است که سرور، مشغول کار است.
میانگین تعداد مشتریان در سیستم و همچنین میانگین زمانی که در سیستم گذرانده می‌شوند به صورت زیر بیان می‌شود:
(22.2)
و با استفاده از قانون لیتِل،
(23.2)
میانگین تعداد مشتریان در صف، ، می‌تواند از E(L) و با کم کردن میانگین تعداد مشتریان در سیستم بدست آید:
(24.2)
میانگین زمان انتظار، E(W)، از E(S) و با کم کردن میانگین زمان سرویس بدست می‌آید:
(25.2)
2-4- مسائل بهینه سازی چندهدفه
بسیاری از مسائل کاربردی در جهان واقعی را مسائل بهینه سازی ترکیباتی چندهدفه تشکیل می‌دهند، زیرا متغیر‌های مجزا و اهداف متضاد به طور واقعی در ذات آنها است. بهینه سازی مسائل چندهدفه نسبت به مسائل تک هدفه متفاوت بوده، زیرا شامل چندین هدف است که باید در بهینه‌سازی به همه اهداف همزمان توجه شود. به عبارت دیگر الگوریتم‌های بهینه سازی تک هدفه، حل بهینه را با توجه به یک هدف می یابند و این در حالی است که در مسائل چندهدفه (با چندهدف مخالف و متضاد) معمولاً یک حل بهینه مجزا را نمی توان بدست آورد. بنابراین طبیعی است که مجموعه ای از حل‌ها برای این دسته از مسائل موجود بوده و تصمیم گیرنده نیاز داشته باشد که حلّی مناسب را از بین این مجموعه حل‌های متناهی انتخاب کند و در نتیجه حل مناسب، جواب‌هایی خواهد بود که عملکرد قابل قبولی را نسبت به همه اهداف داشته باشد.
2-4-1- فرمول بندی مسائل بهینه سازی چندهدفه
مسائل بهینه سازی چندهدفه را به طور کلی می‌توان به صورت زیر فرموله کرد:
(26.2)

x یک حل است و S مجموعه حل‌های قابل قبول و k تعداد اهداف در مسأله و F(x) هم تصویر حل x در فضای k هدفی و هم مقدار هر یک از اهداف است.
تعریف حل‌های غیرمغلوب: حل a حل b را پوشش می‌دهد، اگر و تنها اگر:
(27.2)
(28.2)
به عبارت دیگر، حل‌های غیرمغلوب، به حل‌های گفته می‌شود که حل‌های دیگر را پوشش داده ولی خود، توسط حل‌های دیگر پوشش داده نمی‌شوند. در شکل (2-2) چگونگی پوشش سایر حل‌ها (دایره‌های با رنگ روشن) توسط مجموعه حل‌های غیرمغلوب (دایره‌های تیره رنگ) نشان داده شده‌است. در این شکل، جبهه‌ی پارتو با خط چین نشان داده شده‌است.
هدف B
هدف A
هدف B
هدف A

شکل 2-2- مجموعه حل‌های غیرمغلوب
2-4-2- الگوریتم‌های تکاملی برای بهینه سازی مسائل چندهدفه بر مبنای الگوریتم ژنتیک
با توجه به آنکه بسیاری از مسائل بهینه سازی، NP-Hard هستند، بنابراین حل به روش‌های دقیق در یک زمان معقول غیرممکن بوده و در نتیجه، استفاده از روش‌های فراابتکاری در این موارد مناسب می باشد. درحقیقت الگوریتم‌های فراابتکاری برای زمانی که محدودیت زمانی وجود دارد و استفاده از روش‌های حل دقیق میسّر نبوده و یا پیچیدگی مسائل بهینه سازی زیاد باشد، به دنبال جواب‌های قابل قبول هستند.
اولین پیاده سازی واقعی از الگوریتم‌های تکاملی، «الگوریتم ژنتیک ارزیابی برداری» توسط دیوید اسکافر در سال 1984 انجام گرفت. اسکافر الگوریتم را به سه بخش انتخاب، ترکیب و جهش که به طور جداگانه در هر تکرار انجام می‌شدند، تغییر داد. این الگوریتم به صورت کارآمدی اجرا می‌شود، اما در برخی از حالات مانند اریب بودن اهداف، با مشکل مواجه می‌شود. درواقع هدف اول الگوریتم‌های بهینه یابی چندهدفه، یعنی رسیدن به جواب‌های بهینه پارتو، به نحو شایسته‌ای توسط این الگوریتم بدست می‌آید، ولی جواب‌های بدست آمده از گستردگی و تنوع خوبی برخوردار نیستند.
در ادامه این قسمت، به سه الگوریتم تکاملی چند هدفه که مبنای اصلی آنها، الگوریتم ژنتیک می‌باشد، می‌پردازیم. الگوریتم NSGA-II به این خاطر انتخاب شده‌است که این الگوریتم در بسیاری از مقالات به عنوان الگوریتم مرجع مقایسه گردیده‌است. الگوریتم CNSGA-II نیز به این علت انتخاب شده‌است که روشی مناسب برای برخورد با محدودیت‌های حل مسأله ارائه می‌کند؛ چون باتوجه به ماهیت مسأله، چندین محدودیت سر راه حل مسأله ایجاد شده‌است که راهکار مناسبی برای رسیدگی به این محدودیت‌ها ایجاب می‌کند. الگوریتم NRGA نیز چون جزء جدیدترین الگوریتم‌های ارائه شده در زمینه بهینه سازی چندهدفه می‌باشد مورداستفاده قرار گرفته‌است.
2-4-2-1- الگوریتم ژنتیک مرتب سازی نامغلوب
دب و همکارانش [14]، یک نخبه گرایی دسته بندی یا مرتب سازی نامغلوب را در الگوریتم‌های ژنتیک پیشنهاد دادند. در اغلب مواقع، این الگوریتم شباهتی به NSGA ندارد، ولی مبتکران نام NSGA-II را به دلیل نقطه پیدایش آن، یعنی همان NSGA، برای آن حفظ کردند.
در این روش، ابتدا جمعیت فرزندان، ، با استفاده از جمعیت والدین، ، ساخته می‌شود. در اینجا به جای پیدا کردن جواب‌های نامغلوب از ، ابتدا دو جمعیت با یکدیگر ترکیب شده و جمعیت با اندازه 2N را ایجاد می‌کنند. سپس از یک مرتب سازی نامغلوب برای دسته بندی تمام جمعیت استفاده می‌شود، البته این مرتب سازی، نسبت به مرتب سازی بر روی ، به تعداد مقایسه بیشتری نیاز دارد. در این شیوه، یک مقایسه عمومی در بین اعضای که مجموع دو جمعیت فرزندان و والدین است، انجام می‌شود و پس از ایجاد صف‌های متفاوت نامغلوب، به ترتیب اولویت (اولویت صفها نسبت به هم) جمعیت بعدی، یکی یکی از این صف‌ها پر می‌شود. پر کردن جمعیت ، با بهترین صف نامغلوب شروع شده و سپس به ترتیب با دومین صف نامغلوب و همین طور سومین و الی آخر، تا زمانی که پر شود، ادامه می‌یابد. از آنجا که اندازه برابر 2N است، تمام اعضای آن ممکن است نتوانند در قرارگیرند و به راحتی جواب‌های باقیمانده را حذف خواهیم کرد. شکل (2-3) نحوه عمل الگوریتم NSGA II را نمایش می‌دهد.

شکل 2-3- نمایشی از نحوه عملکرد NSGA-II
درمورد جواب‌هایی که در صف آخر با استفاده از عملگر نخبه گرایی ازبین می‌روند، باید مهارت بیشتری به کار برده و جواب‌هایی که در ناحیه ازدحام کمتری قراردارند را حفظ کرد. درواقع برای رعایت اصل چگالی در بین جواب‌ها، جواب‌هایی که در ناحیه ازدحامی کوچکتری هستند، برای پر کردن ، در اولویت قرار دارند.
یک استراتژی شبیه بالا در پیشرفت مراحل اولیه از تکامل الگوریتم، تأثیر زیادی نخواهد داشت، چرا که اولویت‌های زیادی در جمعیت ترکیب شده از فرزندان و والدین وجود دارد. احتمالاً جواب‌های نامغلوب زیادی وجود دارند که آماده قرارگرفتن در جمعیت قبل از آن که اندازه‌اش از N تجاوز کند، می‌باشند. یک مسأله مهم و در عین حال سخت این است که مابقی جمعیت چگونه باید پر شود؟ اگرچه درخلال مراحل بعدی شبیه سازی الگوریتم، احتمالاً بیشتر جواب‌های موجود در جمعیت با اندازه 2N، در رده جواب‌هایی با بهترین درجه نامغلوب بودن قرار می‌گیرند و تعداد آن‌ها از N متجاوز خواهد شد، اما الگوریتم بالا با یک راهکار موقعیتی انتخاب، وجود مجموعه متنوعی از جواب‌ها در جمعیت را تضمین می‌کند. با چنین راهکاری، یعنی زمانی که به‌نحوی تمام ناحیه بهینه پارتو توسط جمعیت پوشانده می‌شود، در ادامه الگوریتم، جواب‌های گسترده تری را در فضای جواب فراهم خواهدآورد.
در ادامه، الگوریتم NSGA-II را به اختصار آورده ایم [15]:
گام 1: جمعیت فرزندان و والدین را با یکدیگر ترکیب کرده و را می‌سازیم:

جمعیت حاصل را با استفاده از یک مرتب سازی نامغلوب به صفوف دسته بندی می‌کنیم.
گام 2: قرارمی‌دهیم، i=1، سپس تا زمانی که ، عملیات زیر را تکرار می‌کنیم:

گام 3: روال مرتب سازی ازدحام را اجرا کرده و با استفاده از مفهوم فاصله ازدحام، ارزشهای متفاوتی را برای از جواب‌های تعیین می‌کنیم.
گام 4: جمعیت فرزندان را از با استفاده از یک الگوریتم انتخاب مسابقه‌ای ازدحام و عملگرهای ترکیب و جهش ایجاد می‌کنیم.
گام سوم از الگوریتم بالا، مرتب سازی برحسب ازدحام جواب‌ها در صف i (منظور آخرین صفی است که احتمالاً برخی از جواب‌های موجود در آن نتوانسته‌اند در جمعیت قرار گیرند)، با بکارگیری مفهوم فاصله ازدحام انجام می‌شود. بنابراین، جمعیت به صورت نزولی تحت میزان بزرگی ارزش فاصله ازدحام مرتب شده و در گام چهارم یک عملگر انتخاب مسابقه‌ای ازدحام که مبنای مقایسه آن همان فاصله ازدحام است بکار برده می‌شود. لازم به ذکر است، مرتب سازی نامغلوب واقع در گام اول می‌تواند به همراه عمل پر کردن جمعیت به صورت موازی انجام شود. درواقع هر بار که یک صف نامغلوب، پیدا شده و تست می‌شود که ازنظر اندازه می‌تواند به جمعیت اضافه شود یا نه، درصورتی که نتواند، دیگر نیازی نیست که مرتب سازی بیشتری انجام دهیم. این موضوع، به کاهش زمان اجرا الگوریتم کمک می‌کند.
2-4-2-2- الگوریتم NSGA-II محدود شده
اگر در حین حل مسأله‌ای که باید حل شود، حل‌هایی ایجاد شود که با محدودیت‌های مسأله مغایرت داشته باشد و آن‌ها را نقض کند و درنتیجه غیرقابل قبول باشد، چگونه باید با این موضوع برخورد کرد؟ روش‌های مختلفی برای مقابله با این موضوع وجود دارد که از جمله آن‌ها می‌توان به توابع جریمه و یا نادیده گرفتن و حذف حل غیرقابل قبول ایجاد شده اشاره کرد.
الگوریتم CNSGA-II، همانند الگوریتم NSGA-II عمل می‌کند، تنها با این تفاوت که برای رسیدگی به محدودیت‌ها، روشی را برمی‌گزیند که براساس مفهوم غلبه و امتیازدهی عمل می‌کند [14].
این روش که به محدودیت رسیدگی می‌کند، از انتخاب تورنمنت دودویی استفاده می‌کند که دو حل از جمعیت، انتخاب و حل بهتر انتخاب می‌شود. باتوجه به محدودیتها، هر حل می‌تواند یا قابل قبول و یا غیرقابل قبول باشد. بنابراین، ممکن است حداکثر سه وضعیت به وجود آید:
هرد و حل قابل قبول باشند؛
یکی از حل‌ها قابل قبول و دیگری غیرقابل قبول باشد؛
هر دو حل غیر قابل قبول باشند.
برای مسائل بهینه سازی تک هدفه، از یک قانون ساده برای هر مورد استفاده می‌کنیم:
مورد 1) حلی که تابع هدف بهتری دارد را انتخاب می‌کنیم.
مورد 2) حل قابل قبول را انتخاب می‌کنیم.
مورد 3) حلی که کمترین انحراف از محدودیت‌ها را دارد انتخاب می‌کنیم. باتوجه به اینکه در هیچدام از موارد، اندازه تابع هدف و محدودیت‌ها با یکدیگر مقایسه نشده‌اند، هیچ نیازی به داشتن پارامترهای جریمه نیست، این موضوعی است که این رویکرد را مفید و جذاب کرده‌است.
درمورد مسائل بهینه سازی چندهدفه، دو مورد آخر می‌تواند همانطور که هستند استفاده شوند و مورد اول نیز می‌تواند با استفاده از اپراتور مقایسه ازدحام، حل شود. برای مقایسه کردن در این الگوریتم، تعریف «غلبه» را بین دو حل i و j تعریف می‌کنیم.
تعریف 1) حل i اگر یکی از وضعیت‌های زیر درست باشد، گفته می‌شود که از لحاظ محدودیت بر حل j غلبه دارد:
حل i قابل قبول است ولی حل j نیست.
حل i و j هر دو غیر قابل قبول می‌باشند، اما حل i انحراف از محدودیت کمتری دارد.
حل i و j قابل قبول هستند و حل i، حل j را مغلوب می‌کند.
اثر استفاده از مفهوم غلبه محدودیت این است که، هر حل قابل قبول، رتبه غیرمغلوبی بهتری از هر حل غیرقابل قبول دارد. همه حل‌های قابل قبول، باتوجه به سطح غلبه شان و براساس مقادیر توابع هدفشان رتبه بندی می‌شوند. به هر حال، از بین دو حل غیر قابل قبول، حلی که کمترین انحراف از محدودیت را دارد، دارای رتبه بهتری است. به هر حال، این اصلاح، در مفهوم غلبه، تغییری در پیچیدگی NSGA-II ندارد. بقیه فرایند CNSGA-II، همانطور که قبلاً درمورد NSGA-II توضیح داده شد، اجرا می‌شود.
2-4-2-3- الگوریتم ژنتیک رتبه بندی نامغلوب
این الگوریتم که توسط الجدان و همکارانش [16] ارائه شده، الگوریتم انتخاب چرخ رولت رتبه‌بندی شده را با الگوریتم رتبه بندی جمعیت برمبنای پارتو ترکیب می‌کند. در این الگوریتم از الگوریتم انتخاب چرخ رولتی استفاده شده‌است که به هر عضو، یک اندازه برازش برابر با رتبه اش در جمعیت، تخصیص می‌دهد؛ بالاترین رتبه، بیشترین احتمال را دارد که انتخاب شود (درمورد ماکزیمم سازی).

user8342

چکیده
در تحقیق حاضر مسئله خنک کاری مغز به روش انتقال حرارت معکوس به منظور کاهش آسیب های احتمالی مورد بررسی قرار گرفته است. کاهش دمای مغزفواید بسیاری در مقابل آسیب های تراماتیک و ایشکمیک مغز دارد و می تواند بیمار را مدت بیشتری در وضعیت حیاتی نگه دارد. هندسه مغز به عنوان یک فرض ساده کننده، به صورت یک نیمکره متقارن در نظر گرفته شده است. مسئله معکوس با روش گرادیان مزدوج حل شده است.اساس روش بر مبنای مینیمم سازی تابع هدفی است که که به صورت مجموع مربعات تفاضل دماهای محاسبه شده و دماهای اندازه گیری شده از آزمایش بر روی مرز خارجی مغز تعریف می گردد. با حدس یک شار اولیه مسئله را حل کرده، توزیع دما و شار حرارتی مورد نظر به منظور کاهش دمای مرکز مغز به میزان 5 درجه ( رسیدن به دمای 33 درجه)، به دست آمده اند. توابع محاسبه شده با استفاده از روش معکوس با توابع دقیق مقایسه شدهاند.
فهرست علائم و اختصارات:
C گرمای ویژه، J/ kg d جهت گام بهینه
eRMS خطای RMS
k هدایت گرمایی بافت، W/m °C
Ns تعداد سنسورها
n بردار عمود بر سطح
q شار حرارتی W/m2q'''m نرخ تولید گرمای متابولیک W/m3R شعاع سر m
S تابع هدف
Tدما KTa0 دمای مرکزی بدن Kt زمان sWb نرخ خون تزیق وریدی kg/(mas)Y دمای مورد نظر(اندازهگیری شده)
Greek letters a نفوذپذیری گرمایی m2/sβ اندازه گام حل
γ ضریب الحاقی
ε پارامتر توقف
θ زمان بیبعد
λ متغیر مسئله حساسیت
ρ چگالی بافت زنده kg/m3b خون
r* مشتق نسبت به r*
z* مشتق نسبت به z*η مشتق نسبت به ηξ مشتق نسبت به ξSuperscripts k تعداد تکرارها

فهرست مطالب
عنوانشماره صفحه
TOC o h z u فصل اول: مقدمه PAGEREF _Toc418272714 h 11-1 مقدمه: PAGEREF _Toc418272715 h 21-2- تاریخچه: PAGEREF _Toc418272716 h 7فصل دوم: بررسی روش‌های بهینه‌سازی توابع PAGEREF _Toc418272717 h 152-1 مسائل بهینه‌سازی PAGEREF _Toc418272718 h 162-2 دسته‌بندی روش‌های بهینه‌سازی PAGEREF _Toc418272719 h 172-3 راه‌حل کلی PAGEREF _Toc418272720 h 182-4 نرخ هم‌گرائی PAGEREF _Toc418272721 h 192-5-1 محاسبه گرادیان PAGEREF _Toc418272722 h 222-5-2 تعیین طول گام بهینه در جهت کاهش تابع PAGEREF _Toc418272723 h 232-6 معیار هم‌گرائی PAGEREF _Toc418272724 h 242-7 روش کاهش سریع PAGEREF _Toc418272725 h 252-8 مقدمه ای بر روش انتقال حرارت معکوس PAGEREF _Toc418272726 h 252-8-1 مقدمه PAGEREF _Toc418272727 h 252-8-2 مشکلات حل مسائل انتقال حرارت معکوس PAGEREF _Toc418272728 h 272-8-3 ارزیابی روش‌های مسائل معکوس حرارتی PAGEREF _Toc418272729 h 312-8-4 تکنیک‌های حل مسائل انتقال حرارت معکوس PAGEREF _Toc418272730 h 322-8-5 تکنیک I PAGEREF _Toc418272731 h 342-8-5-1 شرح تکنیک PAGEREF _Toc418272732 h 342-8-5-2 روش‌های محاسبه ضرایب حساسیت PAGEREF _Toc418272733 h 372-8-6 تکنیک II PAGEREF _Toc418272734 h 382-8-6-1 متد گرادیان مزدوج PAGEREF _Toc418272735 h 382-8-6-2 الگوریتم محاسباتی تکنیک دوم PAGEREF _Toc418272736 h 442-8-6-3 اندازه‌گیری پیوسته PAGEREF _Toc418272737 h 452-8-7 تکنیک III PAGEREF _Toc418272738 h 462-8-7-1 روش گرادیان مزدوج با مسئله اضافی جهت تخمین پارامترها PAGEREF _Toc418272739 h 462-8-7-2 الگوریتم محاسباتی تکنیک سوم PAGEREF _Toc418272740 h 492-8-8 تکنیک IV PAGEREF _Toc418272741 h 502-8-8-1 گرادیان مزدوج با مسئله الحاقی برای تخمین توابع PAGEREF _Toc418272742 h 502-8-8-2 الگوریتم محاسباتی تکنیک چهارم PAGEREF _Toc418272743 h 52فصل سوم: مدل ریاضی PAGEREF _Toc418272744 h 543-1 مقدمه PAGEREF _Toc418272745 h 553-2 مدل‌های هدایت گرمایی PAGEREF _Toc418272746 h 553-2-1 مدل پنز PAGEREF _Toc418272747 h 553-2-2 مدل چن هلمز [26] PAGEREF _Toc418272748 h 60فصل چهارم: تخمین شار حرارتی گذرا در حالت متقارن محوری PAGEREF _Toc418272749 h 614-1- فیزیک مسئله PAGEREF _Toc418272750 h 624-2- محاسبه توزیع دما در حالت گذرا PAGEREF _Toc418272751 h 63در این بخش به بررسی روش حل معادلات انتقال حرارت متقارن محوری در حالت گذرا پرداخته میشود. PAGEREF _Toc418272752 h 634-2-1 معادله حاکم PAGEREF _Toc418272753 h 634-2-2- معادلات حاکم در دستگاه مختصات عمومی PAGEREF _Toc418272754 h 644-2-3- متریک ها و ژاکوبین های تبدیل PAGEREF _Toc418272755 h 654-2-4 تبدیل معادلات از صفحه فیزیکی به صفحه محاسباتی PAGEREF _Toc418272756 h 674-2-5- گسسته سازی معادلات PAGEREF _Toc418272757 h 694-2-6 شرایط مرزی مسئله PAGEREF _Toc418272758 h 714-3 مسئله معکوس PAGEREF _Toc418272759 h 744-3-1 مسئله حساسیت PAGEREF _Toc418272760 h 754-3-2 مسئله الحاقی PAGEREF _Toc418272761 h 764-3-3 معادله گرادیان PAGEREF _Toc418272762 h 764-3-4 روش تکرار PAGEREF _Toc418272763 h 774-5: تخمین شار حرارتی مجهول در مدل سه لایه PAGEREF _Toc418272764 h 774-5-1 معادله حاکم PAGEREF _Toc418272765 h 784-5-2 شرایط مرزی مساله PAGEREF _Toc418272766 h 784-5-3 مسئله معکوس PAGEREF _Toc418272767 h 804-5-3-1 مسئله حساسیت PAGEREF _Toc418272768 h 804-5-3-2 مسئله الحاقی PAGEREF _Toc418272769 h 81فصل پنجم: نتایج PAGEREF _Toc418272770 h 82نتیجه گیری: PAGEREF _Toc418272771 h 94پیوست الف PAGEREF _Toc418272772 h 95پیوست ب PAGEREF _Toc418272773 h 96اعتبارسنجی حل مستقیم PAGEREF _Toc418272774 h 96مراجع: PAGEREF _Toc418272775 h 115
فهرست جداول
جدول2-1- دسته‌بندی روش‌های بهینه‌سازی18
جدول 4-1. خواص لایه های استفاده شده79
جدول5-1. خطایRMS برای توابع مختلف در نظر گرفته شده برای شار حرارتی88

فهرست اشکال
شکل 2-1- نمودار روند بهینه‌سازی تابع هدف19
شکل 2-2- جهت‌های سریع‌ترین افزایش21
شکل3-1. المان در نظر گرفته‌شده برای به دست آوردن معادله انتقال حرارت زیستی پنز56
شکل 4-1 نمایش فیزیک مسئله62
شکل 4-2 - نمایش صفحه مختصات فیزیکی و محاسباتی64
شکل 4-3-نمایش گره مرکزی و هشت گره همسایه آن70
شکل 4-4- نمایش صفحه محاسباتی71
شکل 4-5- نمایش شرایط مرزی در صفحه فیزیکی71
شکل 4-6- نمایش مساله سه لایه در صفحه محاسباتی78
شکل 4-7- نمایش هندسه مساله متشکل از سه لایه مختلف بافت مغز، استخوان و پوست سر80
شکل5-1 شبکه مورد استفاده در حل مسئله و موقعت سنسورها83
شکل 5-2. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابع خطی میباشد85
شکل 5-3. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابع پله میباشد85
شکل 5-4. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابعی ترکیبی از sin و cos میباشد86
شکل5-5. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با استفاده از داده های نویزدار با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابع خطی میباشد86
شکل 5-6. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با استفاده از داده های نویزدار با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابع پلهای میباشد87
شکل5-7. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با استفاده از داده های نویزدار با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابعی ترکیبی از sin و cos میباشد87
شکل 5-8. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابع خطی میباشد89
شکل 5-9. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابع پله میباشد89
شکل 5-10. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابع سینوس و کسینوس میباشد90
شکل 5-11. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با استفاده از داده های نویزدار با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابع خطی میباشد90
شکل 5-12. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با استفاده از داده های نویزدار با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابع پله میباشد91
شکل 5-13. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با استفاده از داده های نویزدار با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابع سینوس-کسینوس میباشد91
شکل 5-14. مقایسه دمای محاسبه شده و دمای دقیق.92
شکل 5-15. شار محاسبه شده92
ضمائم:
شکل1- هندسه مستطیلی با شرایط مرزی دما ، عایق و شار حرارت96
شکل2- مقایسه منحنی‌های توزیع دمای گره 1 پس از 12 ثانیه97
شکل3- مقایسه منحنی‌های توزیع دمای گره 2 پس از 12 ثانیه98
شکل4- مقایسه منحنی‌های توزیع دمای گره 4 پس از 12 ثانیه98
شکل5- مقایسه منحنی‌های توزیع دمای گره 5 پس از 12 ثانیه99
شکل6- مقایسه منحنی‌های توزیع دمای گره7 پس از 12 ثانیه99
شکل7- مقایسه منحنی‌های توزیع دمای گره 8 پس از 12 ثانیه100
شکل8- هندسه منحنی با شرایط مرزی عایق و شار حرارتی101
شکل9- مقایسه منحنی توزیع دما برای گره میانی پس از 60 ثانیه101
شکل 10- نمایش هندسه منحنی متشکل از سه لایه مختلف آزبست ، فولاد و آلومینیم102
شکل 11- نمایش کانتورهای توزیع دمای کد حاضر برای مسئله چندلایه103
شکل 12- نمایش کانتورهای توزیع دمای FLUENT برای مسئله چندلایه103
شکل 13- نمایش شبکه 30*30104
شکل 14- نمایش شبکه 40*40105
شکل 15- نمایش شبکه 50*50105
شکل 16- نمایش کانتورهای توزیع دما برای شبکه 30*30 در مسئله یک‌لایه106
شکل 17- نمایش کانتورهای توزیع دما برای شبکه 30*30 در مسئله دولایه106
شکل 18- نمایش کانتورهای توزیع دما برای شبکه 30*30 در مسئله سه لایه107
شکل 19- نمایش کانتورهای توزیع دما برای شبکه 40*40 در مسئله یک‌لایه107
شکل 20- نمایش کانتورهای توزیع دما برای شبکه 40*40 در مسئله دولایه108
شکل 21- نمایش کانتورهای توزیع دما برای شبکه 40*40 در مسئله سه لایه108
شکل 22- نمایش منحنیهای توزیع دمای گره میانی در مسئله یک‌لایه109
شکل 23- نمایش منحنیهای توزیع دمای گره میانی در مسئله دولایه110
شکل 24- نمایش منحنیهای توزیع دمای گره میانی در مسئله سه لایه110
شکل 25- نمایش کانتورهای توزیع دمای کد حاضر برای هندسه نامنظم با تقارن محوری111
شکل 26- نمایش کانتورهای توزیع دمای FLUENT برای هندسه نامنظم با تقارن محوری112
شکل 27- نمایش کانتورهای توزیع دمای کد حاضر113
شکل 28- نمایش منحنیهای توزیع دمای مرکز کره113
شکل 29- نمایش منحنیهای توزیع دمای نقطهای که در موقعیت r=5 cm قرارگرفته114
شکل 30- نمایش منحنیهای توزیع دمای نقطهای که بر روی سطح کره قرارگرفته است114
فصل اول: مقدمه1-1 مقدمه: توسعه کامپیوتر و ابزار محاسباتی، رشد روش‌های عددی را برای مدل‌سازی پدیده‌های فیزیکی تسریع کرده است. برای مدل‌سازی یک پدیده فیزیکی به یک مدل ریاضی و یک روش حل نیاز است. مدل‌سازی مسائل هدایت حرارتی نیز بهمانند دیگر پدیده‌های فیزیکی با حل معادلات حاکم امکان‌پذیر است. برای حل مسائل هدایت حرارتی به اطلاعات زیر نیاز داریم:
هندسه ناحیه حل
شرایط اولیه
شرایط مرزی (دما یا شار حرارتی سطحی)
خواص ترموفیزیکی
محل و قدرت منبع حرارتی درصورتی‌که وجود داشته باشند.
پس از حل معادلات حاکم توزیع دما در داخل ناحیه حل به دست میآید. این نوع مسائل را مسائل مستقیم حرارتی می‌گوییم. روش‌های حل مسائل مستقیم از سال‌ها پیش توسعه‌یافته‌اند. این روش‌ها شامل حل مسائلی با هندسه پیچیده و مسائل غیرخطی نیز میگردند. علاوه بر این پایداری و یکتایی این روش‌ها نیز بررسی‌شده است. روش‌های اولیه عمدتاً بر مبنای حل‌های تحلیلی بودهاند.
این روش‌ها بیشتر برای مسائل خطی و با هندسه‌های ساده قابل‌استفاده هستند. برعکس، روش‌های عددی دارای این محدودیت نبوده و برای کاربردهای مهندسی بیشتر موردتوجه هستند.
دسته دیگر از این مسائل که در دهه‌های اخیر موردتوجه قرارگرفته‌اند، مسائل معکوس حرارتی هستند. در این نوع از مسائل یک یا تعدادی از اطلاعات موردنیاز برای حل مستقیم، دارای مقدار معلومی نمی‌باشند و ما قصد داریم از طریق اندازه‌گیری دما در یک یا چند نقطه از ناحیه موردنظر، به تخمین مقادیر مجهول بپردازیم.
به‌طورکلی می‌توان گفت که در مسائل مستقیم حرارتی، علت(شار حرارتی، هندسه و...) معلوم، و هدف یافتن معلول(میدان دما) است. اما در مسائل معکوس حرارتی، معلول(دما در بخش‌ها و یا تمام میدان)، معلوم است، و هدف یافتن علت (شار حرارتی، هندسه و...) است.
مسائل انتقال حرارت معکوس که IHTP نیز نامیده می‌شوند با استناد بر اندازه‌گیری‌های دما و یا شار حرارتی، کمیت‌های مجهولی را که در آنالیز مسائل فیزیکی در مهندسی گرمایی ظاهر می‌شوند، تخمین می‌زنند. به‌عنوان‌مثال، در مسائل معکوسی که با هدایت حرارت مرتبط می‌باشند، با استفاده از اندازه‌گیری دما در جسم می‌توان شار حرارتی مرز را اندازه‌گیری نمود. این در حالی است که در مسائل هدایت حرارت مستقیم با داشتن شار حرارتی، میدان دمای جسم مشخص می‌شود. یکی از مهم‌ترین مزایای IHTP همکاری بسیار نزدیک میان تحقیقات آزمایشگاهی و تئوری است. به‌عنوان‌مثال در تحقیقات آزمایشگاهی با استفاده از حس‌گر می‌توان دمای جسم را تعیین نمود. این دما به‌عنوان داده‌های ورودی معادلات تئوری برای اندازه‌گیری شار حرارتی مورداستفاده قرار می‌گیرد. درنتیجه جواب‌های به‌دست‌آمده از روابط تئوری تطابق بسیار خوبی با جواب‌های حقیقی خواهند داشت.
هنگام حل IHTP همواره مشکلاتی وجود دارد که باید تشخیص داده شوند. به علت ناپایداری جواب‌های IHTP، این مسائل ازلحاظ ریاضی در گروه مسائل بدخیم دسته‌بندی می‌شوند. به‌عبارت‌دیگر، به‌واسطه وجود خطاهای اندازه‌گیری در آزمایش‌ها، ممکن است جواب کاملاً متفاوتی به دست آید. برای غلبه بر این مشکلات روش‌هایی پیشنهاد داده‌شده‌اند که حساسیت جواب مسئله به خطای موجود در داده‌های ورودی را کمتر می‌کند. ازجمله این روش‌ها می‌توان به استفاده از دماهای زمانه‌ای بعدی، فیلترهای هموارسازی دیجیتالی اشاره نمود.
در سالهای اخیر تمایل به استفاده از تئوری و کاربرد IHTP رو به افزایش است. IHTP ارتباط بسیار نزدیکی با بسیاری از شاخه‌های علوم و مهندسی دارد. مهندسان مکانیک، هوافضا، شیمی و هسته‌ای، ریاضی‌دانان، متخصصان فیزیک نجومی، فیزیکدانان و آماردانان همگی با کاربردهای متفاوتی که از IHTP در ذهن دارند، به این موضوع علاقه‌مند می‌باشند.
مغز در داخل استخوان جمجمه و نخاع در داخل ستون فقرات جای گرفته است. سه پرده که درمجموع منژ نامیده میشوند، مغز و نخاع را از اطراف محافظت می‌کنند. مغز بیشترین انرژی بدن را مصرف میکند و منطقهی گرمی از بدن است. وزن مغز زن و مرد باهم متفاوت است. خوب است بدانیم که هنگام سکته مغزی فشار داخل جمجمه بالا می‌رود و داخل مغز به‌شدت گرم می‌شود پس باید به‌سرعت از فشار داخل جمجمه کاست تا بیمار دچار آسیب بیشتر نشود. همچنین، تخمین زده می‌شود در مغز انسان حدود یک‌صد میلیارد سلول عصبی یا نرون فعالیت می‌کنند . نرون یا سلول عصبی بر اساس مکانیسم الکتروشیمیایی فعالیت می‌کند ، اختلاف‌پتانسیل ناشی از افزایش و کاهش بار الکتریکی در یک نرون که از منفی 70 میلی ولت تا مثبت 70 میلی ولت در نوسان است باعث رها شدن یا ریلیز مواد مخدر طبیعی یا همان ناقل‌های عصبی از انتهای سلول عصبی یا آکسون می‌شود. فعالیت الکتریکی یک‌صد میلیارد سلول عصبی ، حرارت بسیار زیادی تولید می‌کند.
مغز برای خنک کردن خود نیاز به یک سیستم خنک‌کننده قوی دارد. در مغز انسان حدود 16 هزار کیلومتر رگ و مویرگ خونی وجود دارد. یکی از وظایف اصلی این سیستم علاوه بر تأمین سوخت میلیاردها سلول ،خنک کردن مغز است. به عبارتی حرارت مغز توسط این سیستم جذب می‌شود و با گردش خود درجاهایی مثل پیشانی، صورت و گوش‌ها آزاد می‌شود و خنک می‌شود. مصرف سیگار با افزایش غلظت خون باعث می‌شود تا حرکت خون در این مویرگ‌ها سخت شود و عملیات سوخت‌رسانی و خنک کردن مغز به‌درستی انجام نشود. به عبارتی افراد سیگاری مغزشان داغ‌تر از افراد غیر سیگاری است و سوخت کمتری به مغزشان می‌رسد. ریزش مو و دیرخواب رفتن یکی از نتایج بالا بودن دمای مغز است. اختلال در عملکرد سلول‌های عصبی و به دنبال آن اختلال در آزادسازی ناقل‌های عصبی و کنترل سیستم هورمونی از دیگر نتایج این وضعیت است.
از سوی دیگر، چندی پیش پزشکان برای نجات نوزادی از روش خنک کردن مغز استفاده  کردند که در نوع خودش بی‌نظیر و شگفت‌انگیز بود. نوزاد انگلیسی که هنگام تولد بند ناف به دور گردنش پیچیده شده بود و نفس نمی‌کشید، (اکسیژن کافی به مغزش نمی‌رسید) با فن خنک کردن مغز (به مدت 3روز) به زندگی بازگشت. پزشکان برای کم کردن نیاز مغز این نوزاد به اکسیژن، با استفاده از گاز زنون مغز او را سرد کرند. برای این کار از دستگاه جدیدی استفاده شد. آنان با جای دادن آلتی در مغز نوزاد، سر نوزاد را خنک نگه داشتند.نوزاد که مغزش به مدت 3 روز با این تکنیک خنک نگه‌داشته شد؛ در حال حاضر، در آغوش مادرش به زندگی لبخند میزند.
ممکن است که تقلا برای خوابیدن، بعد از یک روز خسته‌کننده با سرشماری گوسفندان یا خوردن قرصهای خواب هم چندان مؤثر نباشد، اما پژوهشگران دانشکده پزشکی پتینزبورگ در آخرین اجلاس «خواب» سال 2011 روش جالبی را برای درمان بیخوابی پیشنهاد کردند: خنک کردن مغز!
آن‌ها یک کلاه پلاستیکی خنک‌کننده ابداع کردند که قسمت‌های پیشانی را میپوشاند و با پایین آوردن دمای مغز می‌تواند به خواب سریع فرد کمک کند. پزشکان در تحقیقی که روی افراد عادی و بیمارانی که از بیخوابی رنج میبردند انجام دادند، افراد بیخواب بعد از پوشیدن این کلاه خاص، به‌طور میانگین در زمان 13 دقیقه به خواب رفتند، یعنی زمانی برابر افراد  سالم. دانشمندان فکر می‌کنند که این کلاه با پایین آوردن دمای مغز  سبب کاهش سوخت‌وساز آن (به‌ویژه در ناحیه پیشانی مغز) میشود و به خواب سریعتر و راحتتر فرد کمک میکند. هنوز این کلاهها به‌صورت تجاری وارد بازار نشده‌اند. همچنین عوارض احتمالی استفاده از آن‌ها مشخص نشده‌اند؛ مثلاً معلوم نیست که استفاده از این کلاه‌ها سبب تشدید علائم افراد مبتلابه سینوزیت خواهد شد یا نه؟ محققان دانشگاه نیویورک در پژوهش‌های مختلف خود دریافتند، خمیازه کشیدن نقش مهمی در تنظیم درجه حرارت مغز به عهده دارد. درصورتی‌که ناحیه سر «گرم» باشد، خمیازه با تحریک جریان خون و ضربان قلب گرمای بالای آن را کاهش میدهد. چرخه خواب و استرس، تابع نوسان درجه حرارت مغز است و کار خمیازه آن‌که این دمای پیوسته در حال تغییر را تنظیم و متوازن ‌کند. توضیح ساده محققان دانشگاه وین این است که ما با خمیازه کشیدن، دمای اطراف را دست‌کاری می‌کنیم. به تعبیر دیگر، دهن‌دره همانند ترموستات مغز عمل می‌کند. گروه تحقیقاتی دانشگاه وین برای بررسی این فرضیه، تناوب خمیازه کشیدن شهروندان در ماه‌های تابستانی و زمستانی را زیر نظر گرفت. مشابه همین بررسی در هوای خشک و ۳۷ درجه آریزونا انجام شد.
پژوهش‌ها نشان داد که مردم وین در تابستان بیشتر از زمستان خمیازه می‌کشند اما در آمریکا نتیجه کاملاً برعکس بود. علت روشن بود: متوسط دمای وین در تابستان ۲۰ درجه است و این متوسط حرارت زمستانی در آریزونا است. محققان آمریکایی و اتریشی بر این اساس فرضیه‌‌ای را طرح کردند: تعداد خمیازه‌ها به فصل سال یا بلندی و کوتاهی روز یا روشنایی و تاریکی محیط ربط ندارد بلکه موضوع به درجه حرارت ۲۰ درجه برمی‌گردد.
یک افشانه بینی که می‌تواند جان هزاران مبتلابه بیماری قلبی را نجات دهد توسط محققان انگلیسی مورد کار آزمایی قرارگرفته است. یک دستگاه ویژه برای پمپاژ سرد‌کننده پزشکی در بینی بیمار در حال انتقال به بیمارستان مورداستفاده قرار می‌گیرد. کارشناسان بر این باورند که این درمان می‌تواند جان افراد زیادی را نجات داده و از ابتلای تعداد زیادی از بیماران به آسیب‌های مغزی شدید و دائمی جلوگیری کند.
خدمات اورژانس ساحل جنوب شرفی بنیاد بهداشت انگلیس اولین سرویس آمبولانسی است که از این ابداع سوئیسی به‌عنوان بخشی از کار آزمایی پزشکان بیمارستان رویال ساسکس کانتی استفاده می‌کند. ماده سردکننده که توسط یک ماسک صورت منتقل می‌شود، جریان مداومی از مایع در حال تبخیر را به حفره بینی بیمار می‌فرستد. محققان توانسته‌اند پیشرفت‌های بزرگی را در نجات زندگی بیماران قلبی به دست آورند اما بسیاری با آسیب‌های چشمگیری در سلول‌های مغزی روبرو شده و در اثر کمبود اکسیژن ناشی از توقف عملکرد قلب می‌میرند. 
ایده افشانه بینی، خنک‌سازی هر چه سریع‌تر مغز در محل تماس پایه مغز با مدخل بینی است. گفته می‌شود خنک کردن مغز می‌تواند از سلول‌های مغزی در زمان نبود اکسیژن در خون محافظت کند. اگر این درمان زودهنگام ارائه شود، بیمار شانس بهبود بیشتری داشته و این فناوری جدید به پیراپزشکان اجازه خواهد داد پیش از رسیدن بیمار به بیمارستان عملیات خنک‌سازی را آغاز کنند. در حال حاضر برخی از خدمات اورژانس انگلیس از شیوه‌های مختلف فرآیند خنک‌سازی مانند قطره نمکی سرد و پدهای خنک‌کننده پیش از رسیدن بیمار به بیمارستان استفاده می‌کنند. اما این روش‌ها به‌طور مستقیم مغز را هدف قرار نداده و به‌جای آن بر خنک‌سازی کل بدن و خون برای دستیابی به تأثیر مشابه تکیه‌دارند.
1-2- تاریخچه:مطالعات آسیب‌شناسی مغزی به‌طور تجربی نشان می‌دهد که سرد کردن مغز پس از یک ایشکمی مغزی میتواند میزان صدمات وارده بر مغز را کاهش دهد. آسیب تراماتیک مغز(TBI) که معمولاً براثر آسیب‌های خارجی در تصادفات و ... اتفاق میافتد و آسیب ایشکمیک مغز که در اثر سکته مغزی ایجاد می‌شود، سبب آسیب‌های فراوانی بر مغز میشود. آزمایش‌ها و بررسی‌های مختلف نشان داده‌اند که کاهش دمای مغز حتی در حد 1 الی 2 درجه سانتی‌گراد فواید بسیاری از قبیل: محافظت در مقابل سکته, کاهش ورم و آماس و کاهش فشار داخلی مغز (ICP) دارد. سادگی و راندمان بالای سرمادرمانی مغز باعث شده است تا پزشکان از آن به‌عنوان یک‌راه حل کلینیکی جهت درمان نوزادانی که از عارضه خفگی (نرسیدن اکسیژن) در زمان تولد رنج می‌برند، استفاده کنند. همچنین سرد کردن فوری مغز درست در دقایق اولیه پس از حمله ایشکمی، امری مهم و ضروری در کاهش پیامدها و صدمات وارده بر مغز و نجات بیمار است. این عمل (سرد کردن فوری مغز) موجب افت متابولیسم مغز شده و درنتیجه نیاز آن را به دریافت اکسیژن و دفع دی‌اکسید کربن و بالطبع خون‌رسانی کاهش میدهد. گزارش‌های منتشرشده نشان دادهاند که کمخونی اثر مخرب کمتری روی مغز بجای خواهد گذاشت. علی‌رغم اینکه هنوز به‌طور کامل مشخص نشده است که عمل خنک کردن چطور به محافظت از مغز کمک میکند، آزمایش‌های بسیاری نشان دادهاند که کاهش دما در بافت مغز از عملکرد مغز در مقابل آسیب‌های ایشکمیک محافظت می‌کند. همچنین این کار سبب کاهش التهاب و تثبیت فشار داخلی مغز می‌شود[1-3]. همچنین، در اکثر بررسی‌های بیمارستانی که روی گروه‌های کوچک که از TBI رنج میبردند، انجام‌شده است، نتایج این حقیقت که خنک کردن مغز آثار خوبی هم در کوتاهمدت و هم در بلندمدت دارد را تأیید میکند[4-7]. اخیراً یتینگ و همکاران[8] در تحقیق خود گزارش کردند که با خنک کاری مغز از طریق صورت می‌توان به بهبود عملکرد عصبی کمک کرد. آن‌ها در نتایج خود نشان دادند که با استفاده از روش خنک کاری مغز از طریق صورت می‌توان از مغز در مقابل آسیب ایشکمیک محافظت کرد. همچنین نشان دادند که مشکلات مغزی ناشی از آن قابل‌درمان است.
ملاحظات انتقال حرارت مغز در حیات کسانی که در آب‌های سرد غرق میشوند، نیز مؤثر است. به‌طوری‌که در اثر این پدیده بازگشت به زندگی افرادی که در آب‌های سرد غرق‌شده‌اند، حتی تا پس از 66 دقیقه نیز گزارش‌شده است. این مسئله عموماً به خاطر قطع فعالیت متابولیکی مغز و اثرات محافظتی این سردشدگی است. موارد ذکرشده لزوم و اهمیت بررسی انتقال حرارت از مغز را با سیال اطراف نمایان می‌سازند.
اساساً انتقال حرارت در مغز در قالب تبادل حرارت خارجی (انتقال حرارت از سر)، تبادل حرارت داخل و تولید حرارت متابولیکی است. این اثرات با شرایط مرزی، سیرکولاسیون خون، نرخ متابولیسم مغز و ابعاد سر تغییر می‌کنند. بررسی تأثیر عوامل مختلف در پدیده انتقال حرارت از مغز با دشواری روبروست. بخصوص که امکان انجام آزمایش‌های تجربی در این زمینه به دلیل خطرات موجود و محدودیت‌های ابزاری ممکن نیست. لذا این بررسی‌ها نیازمند یک مدل مطمئن با خصوصیات فیزیکی و شرایط محیطی واقعی می‌باشند.
مطالعه و بررسی عکس‌العمل خنک شدن سر در مقابل مکانیسم‌های مختلف خنک کاری، می‌تواند ابزاری در جهت طراحی و ساخت تجهیزات قابل‌حمل جهت خنک کاری‌های اورژانس در وسایل نقلیه پزشکی باشد که با آنها دمای مغز در 30 دقیقه از Cº37 به Cº34 رسیده و لذا متابولیسم آن تا 30% کاهش مییابد. این مطالعات در طراحی سیستم‌های تهویه مطبوع و ایجاد محیط‌های ارگونومیک جهت راحتی افراد نیز می‌تواند موردتوجه قرار گیرد. در یک سری مدل‌سازی‌های کامپیوتری انجام‌شده[9-11] نشان داده است که دمای مغز انسان در نقاط مرکزی و داخلی بسیار متفاوت‌اند از نقاطی که نزدیکی سطح قرار دارند. گرادیان دمای بسیار بزرگی در نزدیکی سطح مغز اتفاق می‌افتد که به‌صورت آزمایشگاهی با افزایش فاصله از سر کاهش مییابد[12,13].
هدف کلی رسیدن به دمای میانگین 33 در مغز در مدت‌زمان 30 دقیقه است[14]. البته باید خاطرنشان کرد که خنک کردن مغز تا دماهای پایین‌تر سبب افزایش ریسک ابتلا به لرزشهای غیرقابل‌کنترل و کاردیاک ارست میشود.
یکی از سؤالهای مهم برای انتخاب روش مناسب برای خنک کردن مغز این است که بفهمیم هر یک از این روشها چطور دمای مغز را کاهش میدهند. ازآنجاکه اندازهگیری نتایج حاصل از خنک کردن مغز در بافت زنده فراتر از فنّاوری حاضر است، ارائه و بهبود مدلهایی که به‌طور دقیق تغییرات دما و همچنین محدودیتها را نشان میدهد، میتواند موفقیت بزرگی باشد.
مسئله مهم دیگر تبادل گرمایی بین پوست سر و محیط اطراف است که به کمک ضریب انتقال حرارت توصیف می‌شود. برای رسیدن هدف که خنک کردن مغز در نقاط مرکزی است، نیاز به استفاده از دستگاهی است که ضریب انتقال حرارت بزرگی ایجاد کند. در حالت ایدئال، دستگاهی با این مشخصات قادر خواهد بود دمای پوست سر را همدما با دمای دستگاه ثابت نگه دارد.
عموماً گزارش‌های انتقال حرارت از مغز تاکنون به دو صورت بوده است. یک دسته از این مطالعات شبیه‌سازی را تنها از جنبه انتقال حرارت در داخل بافت‌ها مدنظر قرار داده و در بهترین حالت انتقال حرارت جابجایی را با ضریب انتقال حرارت جابجایی در مدل خود بکار گرفته‌اند[11,15-17]. دسته دیگر بدون مدل نمودن انتقال حرارت درون بافت، تنها به بررسی الگوی جریان خارج از بدن (به‌صورت تجربی) پرداخته‌اند.
همچنین مدل‌سازی از توزیع دما در سر یک انسان بالغ تحت سرما درمانی با گذاشتن یخ روی سر توسط دنیس و همکارانش[16] صورت گرفته است. گزارش زو و همکارانش[17] نیز شامل مدل‌سازی ریاضی سرد شدن مغز با شرایط مرزی دما ثابت است. سوکستانسکی و همکارش[12] با استفاده از روش تحلیلی اثر عوامل مختلف را بر دمای مغز بررسی کرده و دبی و دمای جریان خون ورودی به بافت را تنها عامل مؤثر بر دمای مغز دانسته‌اند. این مدل‌سازی‌ها با فرض ثابت بودن دمای سطح پوست همراه بوده و در آن‌ها هوای اطراف و جنبه انتقال حرارت جابجایی در سال اطراف سر در نظر گرفته نشده است.
از طرف دیگر، از جنبه خارجی کلارک و همکارانش[18] مطالعه‌ای برای تعیین جابجایی آزاد در اطراف سر را انجام داده و منتشر کرده‌اند که در این تحقیق تأثیر حالت‌های مختلف بدن (خوابیده و ایستاده) بر الگوی جریان هوای اطراف سر به‌صورت تجربی مطالعه شده و ضخامت تقریبی لایه‌مرزی حرارتی و میزان انتقال حرارت در نقاط مختلف سر به کمک سیستم نوری شلیرن و کالریمتر سطحی در آن سالها اندازه‌گیری شده است.
بسیاری از کارهای انجام‌شده در این زمینه اثرات مثبتی برای محافظت از مغز داشته‌اند و توانسته دما را تا 7 درجه سانتی‌گراد در مدت‌زمان 1 ساعت کاهش بدهد، بااین‌حال متدهایی که به کاهش دمای بیشتر کمک می‌کنند تهاجمی هستند که منجر به عوارض بعدی روی بیمار میشود. لازم به ذکر است، در حالت کلی دو روش برای اعمال خنک کاری به‌صورت غیرتهاجمی وجود دارد: خنک کردن سر به کمک دستگاه‌های خنک‌کن و خنک کردن کل بدن.
سرد کردن تمام بدن یک نوزاد تازه متولدشده در ۶ ساعت نخست تولد می‌تواند از آسیب‌های مغزی ناشی از فقدان اکسیژن در جریان زایمان‌های دشوار جلوگیری کند و یا از شدت آن به میزان قابل‌توجهی بکاهد. به گزارش فرانس پرس هزاران کودک سالانه در سطح دنیا متولد شوند که به دلیل برخی مشکلات در بدو تولد مانند نرسیدن اکسیژن به آن‌ها و یا نرسیدن خون به مغزشان در معرض خطر مرگ یا معلولیت قرار می‌گیرند. خنک کردن بدن به‌اندازه چند درجه یعنی اعمال نوعی هایپوترمی خفیف نیاز مغز به اکسیژن را کاهش داده و دیگر پروسه‌هایی را که می‌توانند به آسیب مغزی دچار شوند، کند می‌کند. این شیوه درمان به افراد بالغ نیز در بهبودی پس از تجربه ایست قلبی کمک می‌کند.
در قالب تکنیک هایپوترمی یا همان خنک کردن مغز، نوزاد درون یک پتوی خاص حاوی آب سرد قرار داده می‌شود. این پتو دمای بدن نوزاد را برای مدت ٣ روز تا سطح ٣/٩٢ درجه فارنهایت (۵/٣٣ درجه سانتی‌گراد) پایین آورده و سپس به‌تدریج بدن را دوباره گرم کرده و درجه حرارت را به وضعیت نرمال حدود ۶/٩٨ درجه فارنهایت برمی‌گرداند. این نوزادان ١٨ تا ٢٢ ماه بعد مورد معاینه قرار گرفتند که نتایج یافته‌ها نشان داد مرگ یا معلولیت‌های قابل‌توجه همچون فلج مغزی تنها در ۴۴ درصد نوزادانی که بدنشان خنک شده بود، رخ داد رقمی که در نوزادان تحت درمان‌های معمول به ۶۴ رسید و هیچ‌گونه عوارض جانبی همچون مشکلات در ریتم قلب درنتیجه این شیوه درمان رخ نداد. طبق این یافته‌ها، خنک کردن مغز نوزادان به میزان ٢ تا ۵ درجه سانتی‌گراد می‌تواند احتمال معلولیت و مرگ آن‌ها در اثر کمبود اکسیژن درنتیجه کنده شدن جفت از دیواره رحم پیش از تولد و فشردگی بند ناف را به میزان قابل‌توجهی کاهش دهد.
آزوپاردی و همکاران[19] بررسی روی گروهی از بچهها در سن 6 و 7 سالگی که به‌منظور تعیین اینکه آیا خنک کردن مغز بعد از خفگی حین زایمان یا پس از زایمان در بلندمدت اثری دارد یا خیر، انجام دادند. نتایج اولیه آنها نشانگر این بود که اثرات خوبی در افراد با IQ بالاتر از 85 دیده میشد.
ژو و همکاران[20] اثربخشی و امنیت خنک کردن ملایم سر را در انسفالوپاتی هیپوکسیک-ایشکمیک در نوزادان تازه متولدشده موردبررسی قراردادند. در تحقیق آنها نوزادان مبتلابه HIE به‌صورت تصادفی انتخاب‌شده بودند.عمل خنک کردن از 6 ساعت بعد از تولد، درحالی‌که دما در قسمت حلق و بینی حدود Cº 34 و در قسمت تحتانی حدود Cº 4.5 بود، شروع شد و 72 ساعت طول کشید. متأسفانه نتایج اولیه منجر به مرگ و ناتوانیهای شدید شده بود. ویلرم و همکارانش[15] با مدل‌سازی سرد کردن مغز نوزاد به این نتیجه رسیدند که با قرار دادن سر در محیط با دمای پایین (10 درجه سانتی‌گراد) تنها مناطق سطحی مغز تا حدود Cº33-34 سرد می‌شود و تغییر دمای محسوسی در مناطق عمقی آن به وجود نخواهد آمد.
دنیس و همکاران[16] هندسه واقعی سر انسان را در نظر گرفتند و خنک کردن سر و گردن انسان را با روش المان محدود موردبررسی قراردادند. آنها در کار خود همزمان علاوه بر استفاده از یک کلاهک خنک‌کن، پکهایی از یخ روی سر و گردن قراردادند. بر اساس نتایجشان، وسیلهی دیگری نیز برای خنک کاری موردنیاز است که دمای قسمتهای مرتبط دیگر نیز کاهش یابد و درنتیجه به هدف موردنظر که در قبل ذکرشده بود، برسند. مسئله را در چهار حالت مختلف که موقعیت مکانی خنک کاری متفاوت بوده بررسی کرده‌اند، که متأسفانه به دمای 33 درجه سانتی‌گراد در مدت 30 دقیقه نرسیده‌اند.
گلوکمن و همکاران[21] از یک کلاه خنک‌کن روی سر استفاده کردند و دمای قسمت تحتانی بدن را نیز در 34-35 ثابت نگه داشتند. نتایج آنها نشان می‌دهد بااینکه این کار اثر قابل قبولی روی نوزادانی که موردبررسی قرارگرفته بودند، نداشته است. اما در کل به زنده ماندن بیماران بدون اثرات شدید عصبی کمک میکند.
اسپوزیتو و همکاران[22] در تحقیق خود، محدودیتها و اثرات جانبی روشهای کنونی خنککاری مغز را بررسی کردهاند. همچنین در مورد مزایا و معایب تزریق مایع خنک در رگهای خونی بحث کرده‌اند. همچنین پلی و همکاران[23] ارتباط بین دمای مغز و خنک کردن سطح سر و گردن را موردتحقیق قراردادند و در کار دیگر، ناکامورا و همکاران[24] تأثیر خنک کاری سر و گردن را بر دمای کلی بدن بررسی کردهاند.
ازآنجاکه در هیچ‌یک از بررسیهای انجام‌شده به دمای ۳۳ درجه در مدت‌زمان ۳۰ دقیقه که مطلوب پزشکان است، نرسیده‌اند برای اولین بار با استفاده از روش انتقال حرارت معکوس شار حرارتی و شرایط مرزی مناسب مدنظر است. در این روش با معلوم بودن جواب هدف که کاهش دما تا ۳۳ درجه و زمان ۳۰ دقیقه است، بهترین شرایط برای رسیدن به آن محاسبه می‌شوند. همچنین معادلات موردنظر معادلات انتقال حرارت در بافت زنده پنز که غیر فوریه‌ای بوده می‌باشند. هندسه مغز به‌صورت یک نیمکره در نظر گرفته‌شده است. مسئله با استفاده از روش مختصات عمومی و در حالت متقارن محوری حل‌شده است. علت استفاده از این روش این است که قادر به اعمال روی هر هندسه پیچیده دیگر خواهد بود که در کارهای آینده قطعاً موردنیاز خواهد بود. در این روش، صفحه فیزیکی نامنظم مسئله به صفحه محاسباتی مستطیل شکل تبدیل می‌شود.
فصل دوم: بررسی روش‌های بهینه‌سازی توابع
در این فصل به معرفی و بررسی روش‌هایی که برای بهینه‌سازی توابع استفاده می‌شوند، می‌پردازیم. ابتدا به تعریف مسئله بهینه‌سازی پرداخته و در ادامه مفاهیم مربوط به روند انجام فرایند بهینه‌سازی در یک مسئله معرفی می‌شوند. انواع روش‌های مستقیم و غیرمستقیم بهینه‌سازی معرفی می‌شوند. ازآنجاکه در این پایان‌نامه از روش غیرمستقیم برای بهینه‌سازی استفاده کرده‌ایم، بنابراین بیشتر به این روش‌ها پرداخته‌ایم. در تمامی این روش‌ها محاسبه گرادیان تابع الزامی است، بنابراین بررسی خواص و نحوه محاسبه آن آورده شده است. در ادامه شرح مختصری از انواع روش‌های غیرمستقیم به همراه الگوریتم محاسباتی آن‌ها آورده شده است.
2-1 مسائل بهینه‌سازییک مسئله بهینه‌سازی می‌تواند به‌صورت زیر بیان شود:
تعیین بردار به‌گونه‌ای که تابع تحت شرایط زیر مینیمم شود.
(2-1)
که در آن یک بردار n بعدی به نام بردار طراحی، تابع هدف و و به ترتیب قیدهای برابری و نابرابری نامیده می‌شوند. در حالت کلی تعداد متغیرها و تعداد قیود یا رابطه‌ای باهم ندارند. مسئله فوق یک مسئله بهینه‌سازی مقید نامیده می‌شود. در مسائلی که قیودی وجود ندارند با یک مسئله بهینه‌سازی نامقید روبرو هستیم.
نقطه را مینیمم یا نقطه سکون تابع هدف مینامیم اگر داشته باشیم:
(2-2)
شرط بالا یک شرط لازم است درصورتی‌که ماتریس هسین معین مثبت باشد آنگاه حتماً نقطه مینیمم نسبی خواهد بود. یعنی اگر داشته باشیم:
(2-3)
البته شرط بالا در صورتی صادق است که تابع مشتق‌پذیر باشد.
2-2 دسته‌بندی روش‌های بهینه‌سازیروش‌های حل مسائل مینیمم سازی به دودسته روش‌های جستجوی مستقیم و روش‌های کاهشی تقسیم‌بندی می‌شوند.
برای استفاده از روش‌های جستجوی مستقیم در محاسبه نقطه مینیمم، تنها به مقدار تابع هدف نیاز است و نیازی به مشتقات جزئی تابع نیست. بنابراین اغلب، روش‌های غیرگرادیانی یا روش‌های مرتبه صفر نامیده می‌شوند زیرا از مشتقات مرتبه صفر تابع استفاده می‌کنند. این روش‌ها بیشتر برای مسائلی کاربرد دارند که تعداد متغیرها کم و یا محاسبه مشتقات تابع مشکل می‌باشند و به‌طورکلی کارایی کمتری نسبت به روش‌های کاهشی دارند.
روش‌های کاهشی علاوه بر مقدار تابع به مشتقات اول و در برخی موارد به مشتقات مرتبه دوم تابع هدف نیز نیاز دارند. ازآنجاکه در روش‌های کاهشی، اطلاعات بیشتری از تابع هدفی که (از طریق مشتقات آن) مینیمم می‌شود، مورداستفاده قرار می‌گیرد، این روش‌ها کارایی بیشتری نسبت به روش‌های جستجوی مستقیم دارند.
روش‌های کاهشی همچنین روش‌های گرادیانی نیز نامیده می‌شوند. دراین‌بین روش‌هایی که فقط به مشتق اول تابع هدف نیاز دارند، روش‌های مرتبه اول و آن‌هایی که به مشتق اول و دوم هر دو نیاز دارند، روش‌های مرتبه دوم نامیده می‌شوند. در جدول(2-1) روش‌هایی از هر دودسته آمده است.
جدول2-1- دسته‌بندی روش‌های بهینه‌سازی
روش‌های کاهشی روش‌های جستجوی مستقیم
بیشترین کاهش
گرادیان مزدوج
روش نیوتن
روش لونبرگ- مارکورات
میزان متغیر روش جستجوی تصادفی
جستجوی شبکه
روش تک متغیر
جستجوی الگو
2-3 راه‌حل کلیتمام روش‌های مینیمم سازی نامقید اساساً تکراری هستند و ازاین‌رو از یک حدس اولیه شروع می‌کنند و به شکل ترتیبی به سمت نقطه مینیمم پیش می‌روند. طرح کلی این روش‌ها در شکل2-1 نشان داده‌شده است.
باید توجه شود تمام روش‌های مینیمم سازی نامقید:
1. نیاز به نقطه اولیه برای شروع تکرار دارند.
2. با یکدیگر تنها در نحوه تولید نقطه بعدی از تفاوت دارند.
-76200-5219700با نقطه اولیه شروع کنید
شرط همگرایی برقرار است؟
خیر
قرار دهید
قرار دهید
را بیابید
نقطه جدید را تولید کنید
را بیابید
بله
قرار دهید و توقف کنید
00با نقطه اولیه شروع کنید
شرط همگرایی برقرار است؟
خیر
قرار دهید
قرار دهید
را بیابید
نقطه جدید را تولید کنید
را بیابید
بله
قرار دهید و توقف کنید

شکل 2-1- نمودار روند بهینه‌سازی تابع هدف
2-4 نرخ هم‌گرائیروش‌های مختلف بهینه‌سازی، نرخ همگرایی مختلف دارند. به‌طورکلی یک روش، همگرایی از مرتبه دارد اگر داشته باشیم:
(2-4)
که و نقاط محاسبه‌شده در پایان تکرارهای و هستند. نقطه بهینه و نشان‌دهنده طول یا نرم بردار است که از رابطه زیر به دست میآید:
(2-5)
اگر و باشد، روش همگرای خطی (متناظر باهمگرایی آهسته) و اگر باشد، روش همگرای مرتبه دوم (متناظر باهمگرایی سریع) نامیده می‌شود. یک روش بهینه‌سازی، همگرای فوق خطی است اگر:
(2-6)
تعریف دیگری برای روش همگرایی مرتبه دوم وجود دارد: اگر یک روش مینیمم سازی با استفاده از روند دقیق ریاضی بتواند نقطه مینیمم یک تابع درجه دوم متغیره را در تکرار پیدا کند. روش همگرای مرتبه دوم نامیده می‌شود.
2-5 گرادیان تابع
گرادیان تابع، یک بردار n مؤلفه ایست که با رابطه زیر داده می‌شود:
(2-7)
اگر از یک نقطه در فضای n بعدی در راستای گرادیان حرکت کنیم، مقدار تابع با سریع‌ترین نرخ افزایش می‌یابد. بنابراین جهت گرادیان، جهت بیشترین افزایش نیز نامیده می‌شود.
4768851778003′
1
2
1′
2′
3
4
4′
X
Y
003′
1
2
1′
2′
3
4
4′
X
Y

شکل 2-2- جهت‌های سریع‌ترین افزایش
اما جهت بیشترین افزایش یک خاصیت محلی است و نه سراسری. این مطلب در شکل2-2 نشان داده‌شده است. در این شکل، بردار گرادیان محاسبه‌شده در نقاط 1، 2 ، 3، 4 به ترتیب در جهت‌های ٰ11 ، ٰ22 ، ٰ33، ٰ44 قرار دارد. بنابراین در نقطه 1 مقدار تابع در جهت ٰ11 با سریع‌ترین نرخ افزایش می‌یابد و به همین ترتیب اگر به تعداد بی‌نهایت مسیر کوچک در جهت‌های سریع‌ترین افزایش حرکت کنیم، مسیر حرکت یک منحنی شبیه به منحنی 4-3-2-1 خواهد بود.
ازآنجاکه بردار گرادیان جهت بیشترین افزایش مقدار تابع را نشان می‌دهد، منفی بردار گرادیان جهت سریع‌ترین کاهش را نشان می‌دهد. بنابراین انتظار داریم روش‌هایی که از بردار گرادیان برای بهینه‌سازی استفاده می‌کنند نسبت به روش‌های دیگر سریع‌تر به نقطه مینیمم برسند. بنابراین دو قضیه زیر را بدون اثبات می‌آوریم.
1.بردار گرادیان جهت سریع‌ترین افزایش را نشان می‌دهد.
2. بیشترین نرخ تغییر تابع در هر نقطه ، برابر اندازه بردار گرادیان در آن نقطه است.
2-5-1 محاسبه گرادیانمحاسبه گرادیان نیاز به محاسبه مشتقات جزئی دارد. سه حالت وجود دارد که محاسبه گرادیان را مشکل می‌کند:
1. تابع در تمامی نقاط مشتق‌پذیر است، اما محاسبه مؤلفه‌های بردار گرادیان غیرعملی است.
2. رابطه‌ای برای مشتقات جزئی می‌توان به دست آورد، اما محاسبه آن نیازمند زمان محاسباتی زیادی است.
3. گرادیان تابع در تمامی نقاط تعریف‌نشده باشد.
در مورد اول می‌توان از فرمول تفاضل محدود پیشرو برای تخمین مشتق جزئی استفاده کرد:
(2-8)
برای یافتن نتیجه بهتر می‌توان از فرمول اختلاف مرکزی محدود زیر استفاده کرد:
(2-9)
در روابط بالا یک کمیت اسکالر کوچک و برداری n بعدی است که مؤلفه ام آن یک، و مابقی صفر هستند. در محاسبات، مقدار را می‌بایست با دقت انتخاب نمود، زیرا کوچک بودن بیش‌ازحد آن ممکن است اختلاف میان مقادیر محاسبه‌شده تابع در و را بسیار کوچک کرده، و موجب افزایش خطای گرد کردن شود و نتایج را با خطا همراه سازد. به همین ترتیب بزرگ بودن بیش‌ازاندازه نیز خطای برشی را در محاسبه گرادیان ایجاد می‌کند. در حالت دوم استفاده از فرمول‌های تفاضل محدود پیشنهاد میشود. برای حالت سوم با توجه به این نکته که گرادیان در تمام نقاط تعریف‌شده نیست، نمی‌توان از فرمول‌های تفاضل محدود استفاده کرد. بنابراین در این موارد مینیمم کردن فقط با استفاده از روش‌های مستقیم امکان‌پذیر است.
2-5-2 تعیین طول گام بهینه در جهت کاهش تابعدر بیشتر روش‌های بهینه‌سازی، نیاز است که نقطه مینیمم در یک راستای مشخص را تعیین نمود. بنابراین لازم است نرخ تغییر تابع هدف از یک نقطه مانند ، درراستای مشخصی مانند ، نسبت به پارامتری چون محاسبه شود. باید در نظر داشت که موقعیت هر نقطه در این راستا را می‌توان با توجه به نقطه ، به‌صورت نشان داد. بنابراین نرخ تغییر تابع نسبت به این متغیر در راستای را می‌توان به‌صورت زیر نشان داد:
(2-10)
که در رابطه فوق مؤلفه -ام است. از طرفی داریم:
(2-11)
که و مؤلفه‌های -ام و هستند. بنابراین نرخ تغییر تابع در راستای برابر است با:
(2-12)
درصورتی‌که تابع را در راستای مینیمم کند، در نقطه می‌توان نوشت:
(2-13)
بنابراین مینیمم تابع، در راستای ، در نقطه می‌باشد.
2-6 معیار هم‌گرائیمعیارهای زیر می‌توانند برای بررسی هم‌گرائی در محاسبات تکراری به کار روند:
درصورتی‌که تغییرات تابع در دو تکرار متوالی از مقدار معینی کوچک‌تر شود:
(2-14)
زمانی که مشتقات جزئی (گرادیان مؤلفه‌ها) به‌اندازه کافی کوچک شود:
(2-15)
زمانی که تغییرات بردار موردنظر در دو تکرار متوالی کوچک شود:
(2-16)
که ، و مقادیر معین کوچکی در نظر گرفته می‌شوند.
2-7 روش کاهش سریعاستفاده از قرینه بردار گرادیان به‌عنوان جهت مینیمم سازی اولین بار توسط کوشی انجام گرفت. در این روش محاسبات از نقطه‌ای مانند شروع‌شده و طی فرآیندهای تکراری با حرکت در جهت سریع‌ترین نرخ کاهش، نهایتاً به نقطه مینیمم می‌رسد. مراحل مختلف این روش را می‌توان به‌صورت زیر در نظر گرفت:
1. شروع محاسبات از یک نقطه دلخواه به‌عنوان اولین تکرار
2. یافتن جهت به‌صورت
3. محاسبه طول گام بهینه در جهت و قرار دادن و یا .
4.بررسی بهینه بودن نقطه و پایان محاسبات در صورت مینیمم بودن این نقطه، در غیر این صورت قرار دادن و ادامه محاسبات از مرحله 2.
2-8 مقدمه ای بر روش انتقال حرارت معکوس2-8-1 مقدمه
با ظهور مواد مخلوط مدرن و وابستگی شدید خواص ترموفیزیکی آن‌ها به دما و مکان، روش‌های معمولی برای محاسبه آن‌ها راضی‌کننده نیستند. همچنین انتظارات عملیاتی صنعتی مدرن هر چه بیشتر و بیشتر پیچیده شده‌اند و یک محاسبه دقیق در محل از خواص ترموفیزیکی تحت شرایط واقعی عملیات ضرورت پیدا کرد. شیوه انتقال حرارت معکوس(IHTP) می‌تواند جواب‌های رضایت بخشی برای این‌گونه حالات و مسائل به دست دهد.
سود عمده IHTP این است که شرایط آزمایش را تا حد امکان به شرایط واقعی نزدیک می‌سازد.
کاربرد عمده تکنیک IHTP شامل محدوده‌های خاص زیر می‌باشند (در میان سایرین)
محاسبه خواص ترموفیزیکی مواد به‌عنوان‌مثال؛ خواص ماده سپر حرارتی در طی ورودش به اتمسفر زمین و برآورد وابستگی دمایی ضریب هدایت قالب سرد در طی باز پخت استیل
برآورد خواص تشعشعی بالک و شرایط مرزی در جذب، نشر و بازپخش مواد نیمه‌رسانا
کنترل حرکت سطح مشترک جامد - مایع در طی جامدسازی
برآورد شرایط ورود و شار حرارتی مرزی در جابجایی اجباری درون کانال‌ها
برآورد همرفت سطح مشترک بین سطوح متناوباً در تماس
نظارت خواص تشعشعی سطوح بازتاب‌کننده گرم‌کننده‌ها و پنلهای برودتی
برآورد وابستگی دمایی ناشناخته ضریب هدایت سطوح مشترک بین ذوب و انجماد فلزات در طی ریخته‌گری
برآورد توابع واکنشی
کنترل و بهینه‌سازی عملیات پروراندن لاستیک
برآورد شکل مرزی اجسام
برآورد این‌گونه خواص از طریق تکنیک‌های رایج کاری به‌شدت دشوار یا حتی غیرممکن است. اگرچه با اعمال آنالیز انتقال حرارت معکوس، این‌گونه مسائل نه‌تنها می‌توانند حل شوند، بلکه ارزش اطلاعات مطالعات افزوده‌شده و کارهای تجربی سرعت می‌گیرند.
2-8-2 مشکلات حل مسائل انتقال حرارت معکوسبرای تشریح مشکلات اصلی حل مسائل انتقال حرارت معکوس، جامد نیمه بینهایت () در دمای اولیه صفر در نظر می‌گیریم. برای زمان‌های سطح مرزی در تحت یک شار گرمایی متناوب به فرم قرارگرفته است. جایی که و ω به ترتیب دامنه و فرکانس نوسان شار گرمایی هستند و t متغیر زمان است. بعد از گذشت حالت متغیر، توزیع دمایی شبه - ثابت در جامد با توزیع دمایی زیر به دست می‌آید:
(2-17)
جایی که پخشندگی حرارتی و k ضریب رسانایی حرارتی جامد هستند.
معادله بالا نشان می‌دهد که پاسخ دمایی دارای یک تأخیر فاز نسبت به شار اعمالی سطحی می‌باشد و این تأخیر برای مکان‌های عمیق‌تر درون جسم واضح‌تر می‌باشد. درصورتی‌که این شار بتواند برآورد شود، این تأخیر دمایی نیاز به برداشت اطلاعات پس از اعمال شار حرارتی را آشکار می‌کند.
دامنه نوسان دما در هر مکانی، ، با قرار دادن در معادله به دست می‌آید. لذا:
(2-18)
این معادله نشان می‌دهد که به‌صورت توانی با افزایش عمق و با افزایش فرکانس تغییر می‌کند.
اگر دامنه شار حرارتی سطحی (q) به‌وسیله بکار بردن اندازه‌گیری مستقیم دما در نقاط داخلی اندازه‌گیری گردد آنگاه هرگونه خطای اندازه‌گیری با عمق x و فرکانس ω به‌صورت توانی بزرگنمایی می‌شود، که به‌صورت معادله زیر نشان داده می‌شود:
(2-19)
برای تخمین شار حرارتی مرزی جانمایی یک حس‌گر در عمق x از سطح، جایی که دامنه نوسانات دما بسیار بزرگ‌تر از خطاهای اندازه‌گیری‌اند، ضروری می‌باشد. در غیر اینصوررت تشخیص اینکه نوسانات دمایی در اثر شار حرارتی یا خطای اندازه‌گیری بوده غیرممکن خواهد بود، که منجر به عدم یگانگی جواب معادله خواهد شد.
ازآنجاکه خطاها در دقت روش‌های معکوس بسیار مؤثرند، بک ([26-28]) توصیفات این‌گونه خطاها را به‌صورت 8 نکته بیان نموده است.
خطاها به مقدار اصلی اضافه می‌شوند که مقدار اندازه‌گیری شده، مقدار واقعی و یک خطای رندوم می‌باشد.
خطای دمایی دارای میانگین صفر می‌باشد. یعنی . جایی که یک عملگر اندازه است، آنگاه گفته می‌شود که خطا بدون پیش مقدار است.
خطا دارای انحراف ثابت است، که عبارت است از
(2-20)
که به معنای استقلال انحراف از اندازه‌گیری است.
خطاهای مرتبط با اندازه‌گیری‌های مختلف ناهمبسته هستند. دو خطای اندازه‌گیری و (که ) ناهمبسته هستند اگر کوواریانس و صفر باشد. یعنی
(2-21)
در این حالت خطاهای و هیچ تأثیری یا رابطه‌ای بر هم ندارند.
خطاهای اندازه‌گیری دارای یک توزیع نرمال (گوسی) است. با توجه به فرضیات 2، 3 و 4 بالا توزیع احتمال به‌وسیله معادله زیر داده می‌شود
(2-22)
پارامترهای معرفی کننده خطا مثل معلوم هستند.
تنها متغیری که دارای خطاهای رندوم می‌باشد دمای اندازه‌گیری شده است. پارامترهای اندازه‌گیری شده مکان‌های اندازه‌گیری شده، ابعاد جسم گرم شونده و تمامی کمیت‌هایی که در فرمول نویسی ظاهرشده‌اند به‌دقت مشخص هستند.
اطلاعات پیشین کمیت‌ها جهت تخمین موجود نیست (می‌تواند پارامتر یا تابع باشند) اگر این اطلاعات موجود می‌بود می‌توانست جهت بهبود تخمین مقادیر بکار رود.
در ادامه چندین تکنیک مختلف برای حل مسائل IHTP را معرفی می‌نماییم. این‌گونه تکنیک‌ها معمولاً نیازمند حل مستقیم مربوطه می‌باشد. البته ارائه روش‌هایی که مسائل معکوس را بدون ارتباط با مسائل مستقیم حل کنند بسیار دشوار است.
تکنیک‌های حل مسائل می‌توانند به‌صورت زیر طبقه‌بندی شوند:
روش‌های معادلات انتگرالی
روش‌های تبدیل انتگرال
روش‌های حل سری
روش‌های چندجمله‌ای
بزرگنمایی معادلات هدایت گرمایی
روش‌های عددی مثل تفاضل محدود، المان محدود و المان مرزی
تکنیک‌های فضایی با اعمال فیلترینگ نویز اضافی مثل روش نرم کردن
تکنیک فیلترینگ تکرارشونده [29]
تکنیک حالت پایدار
روش تابع مشخصه متوالی بک
روش لوبنرگ - مارگارت برای مینیمم کردن نرم کوچک‌ترین مربعات
روش منظم سازی تیخونوف
روش منظم سازی تکراری برآورد توابع و پارامترها
الگوریتم ژنتیک [30]
2-8-3 ارزیابی روش‌های مسائل معکوس حرارتیاگر مسائل معکوس شامل تعداد زیادی پارامتر مانند برآورد شار حرارتی گذرا در زمان‌های مختلف باشند، ممکن است نوساناتی در حل رخ دهد. یک روش برای کاهش این ناپایداری‌ها استفاده از منظم سازی تیخونوف می‌باشد.
2-8-4 تکنیک‌های حل مسائل انتقال حرارت معکوسهدف اصلی این بخش معرفی تکنیک‌هایی جهت حل مسائل انتقال حرارت معکوس و روابط ریاضی موردنیاز می‌باشد.
گر چه تکنیک‌های زیادی موجود هستند، اما در اینجا به ذکر 4 تکنیک قدرتمند بسنده می‌کنیم.
لونبرگ - مارکوت برای تخمین پارامترها
گرادیان مزدوج برای تخمین پارامترها
گرادیان مزدوج با مسئله اضافی برای تخمین پارامترها
گرادیان مزدوج با مسئله اضافی برای تخمین توابع
این روش‌ها معمولاً کافی، تطبیق‌پذیر، مستقیم و قدرتمند جهت غلبه بر مشکلات موجود در حل معادلات انتقال حرارت معکوس می‌باشند.
تکنیک I: این تکنیک یک روش تکراری برای حل مسائل کوچک‌ترین مربعات تخمین پارامترهاست. این روش اولین بار در سال 1966 توسط لونبرگ [31] ایجاد شد، سپس در سال 1963 مارکوارت [32] همان تکنیک را با استفاده از روشی دیگر به دست آورد. حل مسائل معکوس به این روش، نیازمند محاسبه ماتریس حساسیت J می‌باشد. ماتریس حساسیت به‌صورت زیر تعریف می‌گردد:
(2-23)
جایی که:

تعداد اندازه‌گیری I =
تعداد پارامترهای نامعلوم N =
دمای iام تخمین زده‌شده
پارامتر jام نامعلوم
این ضریب حساسیت نقش مهمی را در تکنیک‌های I تا III ایفا می‌کند و در ادامه روش‌های متفاوت حل بیان خواهد شد.
این روش برای حل معادلات خطی و غیرخطی بسیار مؤثر است. گر چه در مسائل غیرخطی با افزایش پارامترهای نامعلوم ممکن است حل ماتریس حساسیت به درازا بکشد.
تکنیک II روش گرادیان مزدوج در بهینه‌سازی را جهت تخمین پارامترها بکار می‌برد، که همانند تکنیک I نیازمند حل ماتریس حساسیت بوده که مخصوصاً در حالت غیرخطی وقتی تعداد پارامترها زیاد شوند کاری زمان‌بر است.
تکنیک‌های III و IV: روش گرادیان مزدوج در کوچک‌سازی را با مسئله اضافی بکار می‌برد[33-36]
روش III مخصوصاً برای مسائلی که جهت تخمین ضریب آزمایشی در تخمین توابع بکار برده می‌شوند مناسب است. مسئله اضافی در جهت کاهش نیاز به حل ماتریس حساسیت استفاده می‌شود.
تکنیک IV روشی برای تخمین توابع می‌باشد مخصوصاً وقتی‌که اطلاعات مقیاسی درباره فرم تابع کمیت نامعلوم در دسترس نباشد.
تکنیک‌های اول، سوم و چهارم به همراه شرط توقف مناسب جهت تکرارهایشان؛ جزء دسته تکنیک‌های خطی سازی تکراری هستند.
در ادامه به بررسی و معرفی گام‌های اولیه و الگوریتم حل این روش‌ها با استفاده از روش تمام دامنه می‌پردازیم.
2-8-5 تکنیک I2-8-5-1 شرح تکنیک
این روش برای حل مسائل غیرخطی ابداع شد گر چه می‌توان آن را در مسائل خطی بسیار ناهنجار که از طریق مرسوم قابل‌حل نمی‌باشند نیز اعمال کرد. گام‌های اصلی روش به‌صورت زیر است:
مسئله مستقیم
مسئله معکوس
پروسه تکرار
شرط توقف
حل الگوریتم
این روش یک متد کاهشی شدید می‌باشد. در حل مسئله مستقیم، هدف یافتن دمای گذرا می‌باشد. در حل مسئله غیرمستقیم، هدف یافتن پارامتر نامعلوم با استفاده از دمای گذرای اندازه‌گیری شده در نقاط مختلف می‌باشد.
ماتریس حساسیت یا ماتریس ژاکوبین به‌صورت زیر تعریف می‌شود:
(2-24)
N: تعداد کل پارامترهای نامعلوم
I: تعداد کل اندازه‌گیری
المان‌های ماتریس حساسیت ضریب حساسیت نامیده شده و با نشان داده می‌شود. برای معادلات خطی این ماتریس تابع پارامترهای مجهول نیست اما در حالت غیرخطی ماتریس دارای پارامتری وابسته به p (مجهول) می‌باشد.
ذکر این نکته ضروری است که ماتریس که شرط شناسایی نامیده می‌شود نبایستی برابر صفر باشد زیرا اگر این مقدار برابر صفر با حتی مقداری بسیار کوچک باشد، پارامتر مجهول را نمی‌توان از پروسه معادلات تکراری به دست آورد.
مسائلی که شرط شناسایی تقریباً صفر داشته باشند مسائل ناهنجار نامیده می‌شوند. مسائل انتقال حرارت معکوس عموماً از این دسته‌اند؛ مخصوصاً در نزدیکی حدس اولیه‌ای که برای پارامترهای نامعلوم بکار می‌بریم.
ضریب حساسیت ، میدان حساسیت دمای اندازه‌گیری شده با توجه به تغییرات پارامتر مجهول p می‌باشد. میزان اندک نشان‌دهنده این است که تغییرات زیاد باعث تغییرات اندکی در می‌شوند به‌آسانی قابل‌فهم است که در این‌گونه موارد تخمین کاری دشوار می‌باشد زیرا عملاً هر مقدار گستره بزرگی از ها را در برمی‌گیرد. در حقیقت وقتی ضریب حساسیت کوچک استJTJ≃0 بوده و مسئله ما ناهنجار می‌باشد. به همین علت داشتن ضرایب حساسیت غیر وابسته خطی با اندازه بزرگ مطلوب می‌باشد، تا مسئله معکوس به خطاهای اندازه‌گیری حساس نبوده و پارامترها به‌صورت دقیق تخمین زده شوند. لازم است که تغییرات ضریب حساسیت قبل از حل مسئله آزمایش شود. این‌گونه آزمایش‌ها بهترین مکان حس‌گر و زمان اندازه‌گیری در طی حل را به دست می‌دهد.
لونبرگ - مارکارت برای کاستن از این وابستگی، از دو پارامتر (عامل استهلاک) و (ماتریس قطری) استفاده کردند. هدف از اعمال ترم کاهش نوسانات و ناپایداری‌ها در طی شرایط ناهنجار؛ از طریق بزرگ کردن مؤلفه‌هایش در مقایسه با در شرایط موردنیاز، می‌باشد.
عامل استهلاک در ابتدای پروسه تکرار بزرگ در نظر گرفته می‌شود تا در ناحیه اطراف حدس اولیه بکار رود. با کمک این روش دیگر لازم نیست ماتریس در ابتدای پروسه نامساوی صفر باشد. چون در ابتدا ضریب بزرگ است. روش لونبرگ یک به سمت متد کاهشی شدید گرایش دارد، اما با ادامه پروسه تکرار و کوچک‌تر شدن ضریب در طی این پروسه، روش به سمت روش گوس گرایش پیدا می‌کند. شرط توقف پیشنهادی توسط دنیس و شنابل کوچک بودن فرم کوچک‌ترین مربعات، گرادیان تابع مجهول و همگرایی پارامترها را چک می‌کند.
الگوریتم محاسباتی لونبرگ - مارکارت را می‌توان در موارد استفاده از چندین حس‌گر ارتقا بخشید.
2-8-5-2 روش‌های محاسبه ضرایب حساسیت
روش‌های متعددی جهت محاسبه ضرایب حساسیت موجود است که در ادامه سه نمونه از آن‌ها ذکرشده است.
تحلیل مستقیم
مسائل مقدار مرزی
تقریب تفاضل محدود
روش تحلیل مستقیم: اگر مسئله مستقیم هدایت خطی بوده و حل تحلیل برای حوزه دمایی موجود باشد، ضریب حساسیت با تفاضل گیری جواب در جهت (پارامتر نامعلوم) به دست می‌آید.
اگر غیر وابسته به باشد، آنگاه مسئله معکوس جهت محاسبه خطی خواهد بود.
در مسائلی که چندین درجه بزرگی موجود باشد، ضریب حساسیت نسبت به هرکدام از پارامترها باید چندین مرتبه بزرگ‌تر باشد که این موضوع خود باعث ایجاد مشکلات و سختی‌هایی در مقایسه و شناسایی وابستگی خطی بودن شود. این سختی‌ها را می‌توان با آنالیز ابعادی ضرایب حساسیت یا با استفاده از فرمول زیر کاهش داد:
(2-25)
با توجه به اینکه ضریب حساسیت ذکرشده در بالا هم واحد با درجه حرارت است، مقایسه مرتبه بزرگی آن راحت‌تر است.
مسائل مقدار مرزی: یک مسئله مقدار مرزی می‌تواند با تفاضل گیری از مسئله مستقیم اصلی نسبت به ضرایب مجهول جهت به دست آوردن ضرایب حساسیت بکار رود. اگر مسئله هدایت مستقیم خطی باشد، ساختار مسئله حساسیت مربوطه ساده و مستقیم است. در حالت‌های پیشرفته حل ضرایب حساسیت می‌تواند بسیار زمان‌بر باشد و بایستی از روش‌های عددی مثل تفاضل محدود بهره گرفت.
تقریب تفاضل محدود: می‌توان تفاضل اول ظاهرشده در تعریف را از طریق تفاضل پیشرو یا تفاضل مرکزی حل کرد اما برای حل به این روش لازم است N مجهول اضافی در حالت اول و N2 مجهول اضافی در حالت دوم محاسبه شود که خود بسیار زمان‌بر خواهد بود.
2-8-6 تکنیک II 2-8-6-1 متد گرادیان مزدوجروش گرادیان مزدوج روش تکرار مستقیم و قدرتمندی درزمینه حل مسائل خطی و غیرخطی معکوس می‌باشد. در پروسه تکرار، در هر تکرار یک گام مناسب در جهت ترولی انتخاب می‌شود تا تابع موردنظر را کاهش دهد.
جهت نزولی از ترکیب خطی جهت منفی گرادیان در گام تکرار حاضر با جهت نزولی تکرار پیشین به دست می‌آید. این ترکیب خطی به‌گونه‌ای است که زاویه جهت نزولی و جهت منفی گرادیان کمتر از ۹۰° باشد تا مینیمم شدن تابع موردنظر حتمی گردد[34,37-39]. روش گرادیان مزدوج با شرط توقف مناسب به‌دست‌آمده از تکنیک تنظیم تکرارها، که در آن مقدار تکرارها به‌گونه‌ای انتخاب می‌شود که جواب پایدار به دست دهد، در حل مسائل معکوس بکار می‌رود.
الگوریتم روش به‌صورت گام‌های زیر است:
مسئله مستقیم
مسئله معکوس
پروسه تکرار
شرط توقف
الگوریتم محاسباتی
در ادامه به بررسی گام‌های فوق پرداخته خواهد شد.
در حل مسئله معکوس شار حرارتی مجهول را به‌صورت تابعی خطی به فرم زیر در نظر می‌گیریم:
(2-26)
که در آن تابع تست معلوم و پارامترهای مجهول می‌باشند.
بدین ترتیب تخمین تابع مجهول به تخمین پارامترهای مجهول ، تقلیل می‌یابد. این‌گونه پارامترها را می‌توان با روش تفاضل مربعات مجهولی حل کرد.
(2-27)
S: مجموع مربعات خطاها یا تابع موردنظر
p: بردار پارامترهای مجهول
: دمای تخمین زده‌شده در زمان
: دمای اندازه‌گیری شده در زمان
: تعداد کل پارامترهای مجهول
I: تعداد کل اندازه‌گیری‌ها، به‌طوری‌که
ذکر دو نکته در اینجا ضروری می‌نماید:
بردار گرادیان جهت سریع‌ترین افزایش را نشان می‌دهد، لذا قرینه بردار جهت سریع‌ترین کاهش را نشان می‌دهد. بنابراین روش‌هایی که از بردار گرادیان جهت بهینه‌سازی استفاده می‌کنند نسبت به روش‌های دیگر سریع‌تر به نقطه مینیمم می‌رسند.
بیشترین نرخ تغییر تابع f در هر نقطه ، برابر اندازه بردار گرادیان در آن نقطه است. در بیشتر روش‌های بهینه‌سازی نیاز است که نقطه مینیمم در یک راستای مشخص تعیین گردد. یعنی لازم است نرخ تغییر تابع هدف از یک نقطه مانند در راستای مشخصی مانند نسبت به پارامتری چون محاسبه شود.
لذا اگر نرخ تغییر تابع در راستای برابر باشد با
(2-28)
و درصورتی‌که تابع f را در جهت مینمم کند؛ مینمم تابع در نقطه خواهد بود زیرا
(2-29)
پروسه تکرار در روش گرادیان مزدوج جهت کمینه‌سازی نرم داده‌شده به‌صورت زیر می‌باشد
(2-30)
جایی که جستجوگر سایز گام، جهت نزول و بالانویس k نمایانگر تعداد تکرار است.
جهت نزولی به‌صورت پیوستگی جهت گرادیان و و جهت نزولی تکرار قبلی می‌باشد که فرم ریاضی آن به‌صورت زیر است:
(2-31)
تعاریف گوناگونی برای ضریب همبستگی موجود است. به‌عنوان‌مثال بسط پولاک - ریبیر (معادله 2-32) در مراجع[37,40,41] و بسط فلچر - ریوز (معادله 2-33) در مراجع[37,38,40] آمده است.
(2-32) γk=j=1N∇S(pk)j∇Spk-∇S(pk-1)jj=1N∇S(pk-1)2j k=1,2,…
وقتی‌که برای k=0 شرط مرزی γ0=0 برقرار باشد.
(2-33) γk=j=1N∇S(pk)2jj=1N∇S(pk-1)2j k=1,2,…
بسط جهت گرادیان نسبت به پارامتر مجهول p به‌صورت
(2-34)
می‌باشد. جایی که ماتریس حساسیت می‌باشد. به‌عبارت‌دیگر درایه jام جهت گرادیان را می‌توان از فرم صریح
(2-35)
به دست آورد.
هرکدام از بسط‌های ذکرشده در مراجع جهت باعث ایجاد زاویه کمتر از بین جهت نزول و جهت منفی گرادیان شده، درنتیجه تابع بهینه می‌گردد.[36]
این بسط‌ها در مسائل خطی هم‌ارز بوده اما در مسائل غیرخطی، بر طبق برخی مشاهدات، بسط پولاک - ریبیر باعث بهبود همگرایی می‌شود. باید دانست که اگر باشد، در تمامی تکرارها جهت نزول همان جهت گرادیان می‌باشد و طول گام بهینه کاهشی به دست خواهد آمد گر چه روش گام بهینه کاهشی به‌سرعت روش گرادیان مزدوج همگرا نمی‌شود. گام جستجو از کمینه ساختن تابع نسبت به به دست می‌آید.
(2-36)
با جایگذاری از معادله (2-30) در معادله بالا و همچنین خطی سازی بردار دمای با بسط سری تیلور گام جستجو به‌صورت ماتریس زیر به دست خواهد آمد:
(2-37)
پس از محاسبه ماتریس حساسیت به یکی از روش‌های گفته‌شده در قبل، جهت گرادیان ، ضریب همبستگی و گام جستجو پروسه تکرار تا رسیدن به‌شرط توقف که طبق قانون اختلاف می‌باشد ادامه پیدا می‌کند.
(2-38) : شرط توقف
(2-39) Yti-T(xmeas,ti≈σi
σ: انحراف معیار استاندارد
(2-40) Ԑ=i=1Iσi2=Iσ2
اگرچه استفاده از این فرضیه جهت تکنیک I لازم نیست؛ زیرا تکنیک اول به‌صورت اتوماتیک با کنترل پارامتر استهلاک و کاهش شدید صعود بردار پارامترها در پروسه تکرار از ناپایداری جواب‌ها جلوگیری می‌کند. استفاده از قانون اختلاف نیازمند اطلاعات اولیه از انحراف استاندارد خطای اندازه‌گیری می‌باشد. یک روش جایگزین می‌تواند استفاده از اندازه‌گیری‌های اضافی باشد.
2-8-6-2 الگوریتم محاسباتی تکنیک دومبا فرض آنکه دماهای اندازه‌گیری شده در زمان‌های بوده و حدس اولیه برای بردار مجهول p باشد. ابتدا قرار داده و سپس:
گام 1: حل معادله مستقیم حرارت با استفاده از و به دست آوردن بردار دمای اندازه‌گیری
گام 2: ارائه حل اگر شرط توقف (2-38) ارضا نشده باشد.
گام 3: حل ماتریس حساسیت از معادله (2-35) به یکی از روش‌های گفته‌شده
گام 4: با دانستن Y، و جهت گرادیان از معادله (2-34) به‌دست‌آمده سپس از معادلات (2-32) یا (2-33) محاسبه می‌گردد.
گام 5: جهت نزول از معادله (2-31) محاسبه می‌آید.
گام 6: با دانستن ، Y، و گام جستجو از معادله (2-37) به دست می‌آید.
گام 7: با دانستن و و حدس جدید از معادله (2-30) به دست می‌آید.
گام 8: بجای k، 1+k را جایگزین کرده به گام 1 بازمی‌گردد.
2-8-6-3 اندازه‌گیری پیوستهتا اینجا فرض بر گسسته بودن دامنه زمانی و دماهای اندازه‌گیری شده بوده است. در حالتی که تعداد داده‌ها به‌اندازه‌ای باشد که بتوان آن‌ها را تقریباً پیوسته در نظر گرفت نیازمند برخی اصلاحات در فرم اولیه، بردار گرادیان(معادله 4-18)، گام جستجو(معادله 4-21) و تلورانس (معادله 4-24) مورداستفاده در قانون اختلاف می‌باشد.
با فرض پیوستگی اطلاعات اندازه‌گیری شده انتگرال تابع در بازه زمان 0≤t≤tf به‌صورت:
(2-41)
نوشته‌شده که تابع گرادیان معادله بالا نیز به‌صورت
(2-42)
نوشته می‌گردد. به‌عبارت‌دیگر هر جزء بردار گرادیان به فرم
(2-43)
خواهد بود. در ادامه گام جستجو نیز باید به فرم پیوسته برای دامنه زمان بازنویسی گردد.
که این مهم با بهینه‌سازی تابع برحسب در دامنه محقق می‌گردد. لذا
(2-44)
که این معادله بسیار شبیه به فرم گسسته می‌باشد.
تلورانس نیز به‌صورت نوشته می‌گردد و الگوریتم حل همچنان دست‌نخورده باقی خواهد ماند.
در مسائلی که هدف تعیین ضرایب پارامتری شده تابع مجهول باشد تکنیک III راه‌حلی جایگزین جهت پرهیز از حل چندباره ماتریس حساسیت در به دست آوردن جهت گرادیان و گام جستجو می‌باشد.
2-8-7 تکنیک III 2-8-7-1 روش گرادیان مزدوج با مسئله اضافی جهت تخمین پارامترهادر این بخش به تشریح روشی دیگر از متد گرادیان مزدوج پرداخته می‌شود که با کمک حل دو مسئله کمکی، مسئله حساسیت و مسئله اضافی، به حل گام جستجو و معادله گرادیان می‌پردازد. این روش مخصوصاً در مسائلی که هدف یافتن ضرایب توابع امتحانی بکار رفته در فرم تابع مجهول می‌باشد کاربرد دارد.
جهت راحتی مراحل بعدی آنالیز، مقادیر اندازه‌گیری شده پیوسته فرض می‌گردد.
فرم معادله تفاضل مربعات به‌صورت
(2-45)
است. مطابق قبل دمای اندازه‌گیری شده و دمای تخمین زده‌شده در نقطه در بازه زمانی می‌باشد.
گام‌های اصلی حل به شرح زیر بوده که در ادامه به شرح بیشتر هرکدام پرداخته می‌شود.
مسئله مستقیم
مسئله معکوس
مسئله حساسیت
مسئله اضافی الحاقی
معادله گرادیان
پروسه تکرار
شرط توقف
الگوریتم محاسباتی
گام‌های اول و دوم همانند سابق بوده لذا از شرح مجدد خودداری می‌گردد. در گام سوم تابع حساسیت حاصل حل مسئله حساسیت به‌صورت مشتق وابسته دما در جهت آشفتگی تابع مجهول تعریف می‌شود.
این مسئله می‌تواند با فرض اینکه دما با مقدار دچار آشفتگی شده وقتی‌که چشمه حرارتی با میزان دچار انحراف گردیده به دست آید. که انحراف از مجموع انحراف هر یک از پارامترهایش حاصل‌شده است.
(2-46)
اکنون اگر در معادله مستقیم با و با جایگزین گردد، معادله حساسیت به دست خواهد آمد.
عامل لاگرانژ جهت بهینه‌سازی تابع استفاده می‌گردد. این عامل جهت محاسبه تابع گرادیان با کمک حل مسئله الحاقی در مسئله حساسیت لازم می‌باشد. در این راستا با ضرب معادله مشتق جزئی مسئله مستقیم در ضریب لاگرانژ و انتگرال‌گیری آن در حوزه زمان و جمع معادله حاصل بافرم اولیه تابع ، جایگزین به دست می‌آید.
مشتق وابسته در جهت آشفتگی از جایگزینی ، و بجای ، و در معادله به‌دست‌آمده و صرف‌نظر کردن از ترم‌های درجه دوم حاصل می‌شود. می‌توان با حل جزءبه‌جزء طرف راست مسئله و صرف‌نظر کردن از انتگرال‌های شامل به فرم ساده‌شده معادله الحاقی دست‌یافت.
بنا بر تعریف، مشتق وابسته در جهت بردار به‌صورت
(2-47)
نوشته می‌شود. استفاده از معادله الحاقی برای آن دسته از مسائلی که حل تحلیل نداشته و نیاز به استفاده از روش‌های تفاضل محدود است، مناسب می‌باشد. با این روش، گرادیان با حل تنها یک معادله الحاقی به دست می‌آید. درحالی‌که روش دوم نیازمند حل N باره مسئله مستقیم جهت به دست آمدن ضرایب حساسیت می‌باشد.
گام جستجو که جهت بهینه‌سازی تابع در هر تکرار بکار می‌رود از خطی سازی دمای تخمین زده‌شده در فرم بهینه تابع با کمک بسط سری تیلور به دست می‌آید.
(2-48)
که حل مسئله حساسیت حاصل از قرار دادن در محاسبه معادله (2-46) می‌باشد.
باید توجه داشت که در هر گام تکرار لازم است یک مسئله حساسیت جهت محاسبه حل گردد.
شرط توقف نیز همانند تکنیک به‌صورت می‌باشد.
2-8-7-2 الگوریتم محاسباتی تکنیک سومبه‌صورت خلاصه الگوریتم حل به‌صورت زیر می‌باشد. با قرار دادن ، فرضیات و مطابق تکنیک II می‌باشد.
مرحله 1: محاسبه از معادله و آنگاه حل معادله مستقیم جهت به دست آوردن
مرحله 2: بررسی شرط توقف و ارائه حل در صورت ارضاء نشدن آن
مرحله 3: حل معادله الحاقی جهت محاسبه با دانستن و
مرحله 4: با دانستن ، به دست آوردن پارامترهای بردار گرادیان
مرحله 5: با دانستن ، محاسبه و آنگاه جهت نزول
مرحله 6: با قرار دادن ، محاسبه و سپس حل مسئله حساسیت برای به دست آوردن
مرحله 7: با دانستن ، به دست آوردن گام جستجو
مرحله 8: با دانستن و، محاسبه تخمین جدید و جایگزینی k با 1+k و آنگاه بازگشت به مرحله 1
2-8-8 تکنیک IV2-8-8-1 گرادیان مزدوج با مسئله الحاقی برای تخمین توابعدر این روش هیچ اطلاعات اولیه از فرم تابع مجهول به‌جز فضای تابع موجود نیست. در اینجا تابع به‌صورت زیر تعریف می‌گردد.
(2-49)
و گام‌های حل نیز مانند تکنیک III می‌باشد.
تفاوت این روش با دو تکنیک قبل در این است که دیگر به‌صورت ساده پارامتری نوشته نمی‌شود. حل مسائل الحاقی و حساسیت در حالت کلی بسیار شبیه حالت تکنیک III می‌باشد. اما جهت محاسبه معادله گرادیان دیگر نمی‌توان مانند گذشته عمل نمود.
از مقایسه مسئله الحاقی و می‌توان معادله گرادیان را به دست آورد.
(2-50)
تابع مجهول از بهینه‌سازی به دست خواهد آمد. لذا پروسه تکرار به‌صورت
(2-51)
خواهد بود. که در آن ، جهت نزول، به‌صورت زیر می‌باشد.
(2-52)
همچنین ضریب نیز می‌تواند از هرکدام از بسط‌های پولاک - ریبیر و یا فلچر - ریوز به دست آید.
در انتها نیز از بهینه‌سازی نسبت به و پس از ساده‌سازی با اعمال بسط سری تیلور، مشتق‌گیری نسبت به و مساوی صفر قرار دادن آن، به دست می‌آید.
(2-53)
که در آن جواب مسئله حساسیت با جایگزینی می‌باشد.
ازآنجاکه معادله گرادیان در زمان نهایی همواره صفر می‌باشد لذا حدس اولیه هرگز تحت پروسه تکرار تغییر نمی‌کند. لذا تابع تخمین زده‌شده می‌تواند از جواب دقیق منحرف گردد که جهت غلبه بر این موضوع می‌توان از بازه زمانی بزرگ‌تر از بازه موردنیاز استفاده نمود. همچنین می‌توان با تکرار حل معکوس و استفاده از جواب تکرار قبل جهت حدس اولیه نیز اثر این مشکل را کاهش داد.
شرط توقف نیز مانند تکنیک پیشین می‌باشد که در موارد بدون خطا می‌تواند مقداری بسیار کوچک یا حتی صفر داشته باشد.
2-8-8-2 الگوریتم محاسباتی تکنیک چهارمبه‌صورت خلاصه الگوریتم محاسباتی این تکنیک به شرح زیر می‌باشد:
مرحله 1: حل معادله مستقیم و محاسبه بر اساس
مرحله 2: بررسی شرط توقف و ادامه حل در صورت ارضا نشدن آن
مرحله 3: با دانستن و ، حل معادله الحاقی و به دست آوردن
مرحله 4: حل با دانستن
مرحله 5: با دانستن گرادیان ، محاسبه از هرکدام از بسط‌های ذکرشده و نیز جهت نزول
مرحله 6: با قرار دادن و حل معادله حساسیت، به دست آوردن
مرحله 7: با دانستن ، به دست آوردن گام جستجو
مرحله 8: با دانستن گام جستجو و جهت نزول، محاسبه مقدار جدیدو بازگشت به مرحله 1
حل معادله مستقیم جواب‌های دقیق را به دست می‌دهد.
برای محاسبه داده‌های دارای خطا می‌توان از راه‌حل زیر استفاده نمود:
(2-54)
که در آن ω متغیر رندوم با پراکندگی نرمال که دارای هسته اصلی صفر و انحراف معیار استاندارد می‌باشد. با اطمینان 99% به‌صورت -2.576<ω<2.576 بوده که می‌تواند از زیر برنامه IMSL یا DRRNOR به دست آید [31]. این مقادیر می‌تواند بجای داده‌های آزمایشگاهی اندازه‌گیری شده جهت حل معکوس استفاده شود.
فصل سوم: مدل ریاضی
3-1 مقدمهطبیعت پیچیده انتقال حرارت در بافتهای زنده مانع مدل‌سازی ریاضی دقیقی شده است. فرضیات و ساده‌سازی‌هایی باید انجام شود. در ادامه مروری مختصر بر معادلات و توزیع دما دربافت‌های زنده خواهیم داشت.
3-2 مدل‌های هدایت گرماییاز معادله انتقال حرارت زیستی پنز [25]شروع می‌کنیم که در سال 1948 ارائه‌شده است. ویژگی این معادله ساده بودن آن و کاربردی بودنش در شرایط خاص است.مدل‌هایی که در این بخش ارائه گردیده مدل‌های ماکروسکوپیکی است که بیشتر از سایر مدل‌ها در توصیف انتقال گرما مورداستفاده قرار می‌گیرند.
3-2-1 مدل پنزمعادله پنزبر اساس فرض‌های ساده کننده‌ای طبق فاکتور زیر است:
تعادل گرمایی: انتقال حرارت بین خون و بافت در بسترهای کپیلاری و همچنین رگ‌ها انجام می‌شود. ازاین‌رو از انتقال حرارت بین خون و بافت قبل و بعد از ورود به بافت صرف‌نظرمی‌شود.
2) تزریق وریدی خون: جریان خون در مویرگ‌های کوچک، ایزوتروپیک فرض می‌شود. این فرض باعث می‌شود جهت جریان کم‌اهمیت شود.
3)آرایش رگ‌ها:
رگ‌های خونی بزرگ‌تر در همسایگی بستر مویرگ‌های کپیلاری هیچ نقشی در تبادل حرارت بین بافت و خون مویرگ ایفا نمی‌کند. بنابراین، مدل پنزهندسهی رگ‌های اطراف را در نظر نمی‌گیرد.
4) دمای خون:
فرض می‌شود که خون با همان دمای هسته بدن Ta0 به مویرگها میرسد که به‌طور مداوم با بافت‌ها که در دمای T قرار دارند، تبادل گرمایی می‌کنند. بر اساس این فرضیات معادله پنز اثر خون را به‌عنوان یک منبع حرارتی ایزوتروپیک (یا چاه گرمایی) مدل کرده است که با نرخ جریان خون و اختلاف دمای بینTa0و T متناسب است.در این مدل، خونی که مسیر خود را آغاز می‌کند، تا زمانی که به مویرگ‌هاورگه‌ای درون بافت‌ها برسد در نظر گرفته می‌شود (المان بافتی که خون در آن واردشده است را در شکل 3-1.درنظر بگیرید). المان به‌اندازه کافی بزرگ است که رگ‌ها و مویرگ‌ها را در برداشته باشد، امّا در مقایسه با ابعادی که ما موردبررسی قرار می‌دهیم کوچک است.
1311275299085


شکل3-1. المان در نظر گرفته‌شده برای به دست آوردن معادله انتقال حرارت زیستی پنز
با نوشتن معادله انرژی به‌صورت زیر داریم:
(3-1) Ein+Eg-Eout=E
در اینجا از اثر جابجایی صرف‌نظر شده و به‌جای آن ترم مربوط به تزریق وریدی خون اضافه‌شده است. ساده‌ترین راه برای بررسی این ترم این است که آن را به‌صورت ترم تولید انرژی در نظر بگیریم.
اگرنرخ انرژی اضافه‌شده توسط خون در واحد حجم بافت:q''bانرژی متابولیک تولیدشده در واحد حجم بافت:q''mبا درنظر گرفتن المان موجود در شکل 1 خون با دمای مرکزی بدن به آن وارد می‌شودTa0 و در داخل المان به دمای تعادل المان بافت که T است، می‌رسد.
(3-2) q'''b=ρbCbWbTa0-T
که در معادله فوق، Cb گرمای ویژه خون، Wb نرخ خون تزریق وریدی بر واحد حجم بافت و ρb چگالی خون هست.
با استفاده از معادله انرژی و حذف کردن ترم جابجایی و استفاده از موارد فوق داریم:
(3-3) ∇.k∇T+ρbCbWbTa0-T+q'''m=ρC∂T∂t
که Cگرمای ویژه بافت، k هدایت گرمایی و ρ چگالی بافت است.
در معادله فوق اولین‌ترم مربوط به هدایت در 3 جهت است. با توجه به سیستم مختصات موردنظر ما به سه حالت زیر تبدیل می‌شود:
مختصات کارتزین،
(3-4) ∇.k∇T=∂∂xk∂T∂x+∂∂yk∂T∂y
مختصات استوانه‌ای،
(3-5) ∇.k∇T=1r∂∂rkr∂T∂r+1r2∂∂θk∂T∂θ+∂∂zk∂T∂z
مختصات کروی،

user8309

فهرست مطالب TOC h z t "B Lotus 16,2,B Lotus 18,1,B Lotus 14,3,B Lotus 12,4"
چکیده PAGEREF _Toc374928314 h ض‌فصل اول مقدمه و معرفی بازار برق ایران، مروری بر تحقیقات انجام شده PAGEREF _Toc374928317 h 11-1مقدمه PAGEREF _Toc374928318 h 21-2بازار برق دنیا و اصول پیشنهاد قیمت در بازار برق ایران PAGEREF _Toc374928319 h 51-3تشکیل بازار برق ایران و خصوصی سازی صنعت برق PAGEREF _Toc374928320 h 91-4ساختار جدید بازار برق و عمده فروشی PAGEREF _Toc374928321 h 101-5تغییر تفکر و نوع نگاه به برق PAGEREF _Toc374928322 h 111-6شکل گیری بازار برق در ایران PAGEREF _Toc374928323 h 121-7موانع شکل گیری و یا انحراف بازار رقابتی برق PAGEREF _Toc374928324 h 131-7-1ذینفع بودن بهره بردار مستقل سیستم و بازار از مبادلات PAGEREF _Toc374928325 h 131-7-2قدرت بازار PAGEREF _Toc374928326 h 131-7-3ذخیره تولید PAGEREF _Toc374928327 h 131-7-4نیروگاههای خاص PAGEREF _Toc374928328 h 131-7-5تبانی PAGEREF _Toc374928329 h 141-7-6دسترسی منصفانه به شبکه PAGEREF _Toc374928330 h 141-7-7تعرفه های استفاده از خدمات انتقال و توزیع PAGEREF _Toc374928331 h 141-7-8بازبینی مستمر بر عملکرد بازار PAGEREF _Toc374928332 h 14فصل دوم مدل سازی با استفاده از شبکه عصبی PAGEREF _Toc374928334 h 151-2معرفی شبکه عصبی مصنوعی PAGEREF _Toc374928335 h 162-2سابقه تاریخی PAGEREF _Toc374928336 h 182-3ساختار شبکه های عصبی مصنوعی PAGEREF _Toc374928337 h 182-4مبانی محاسباتی شبکه های عصبی مصنوعی PAGEREF _Toc374928338 h 212-4-1لایه ورودی PAGEREF _Toc374928339 h 222-4-2لایه پنهانی PAGEREF _Toc374928340 h 222-4-3لایه خروجی PAGEREF _Toc374928341 h 222-4-4عناصر محاسباتی یک نرون PAGEREF _Toc374928342 h 242-4-5معرفی برخی از توابع انتقال خطی و غیرخطی قابل استفاده در شبکه عصبی PAGEREF _Toc374928343 h 262-4-5-1تابع انتقال Hard limit PAGEREF _Toc374928344 h 262-4-5-2تابع انتقال خطی PAGEREF _Toc374928345 h 262-4-5-3تابع انتقال Log sigmoid PAGEREF _Toc374928346 h 272-4-5-4تابع انتقال Radial basis PAGEREF _Toc374928347 h 272-4-5-5تابع انتقال Tan sigmoid PAGEREF _Toc374928348 h 272-5نحوه عملکرد شبکه عصبی PAGEREF _Toc374928349 h 282-6توابع آموزش PAGEREF _Toc374928350 h 29فصل سوم بهینه سازی مدل با استفاده از الگوریتم ژنتیک PAGEREF _Toc374928352 h 303-1مقدمه ای بر الگوریتم ژنتیک PAGEREF _Toc374928353 h 313-2نکات مهم در الگوریتم های ژنتیک PAGEREF _Toc374928354 h 313-3مفاهیم اولیه در الگوریتم ژنتیک PAGEREF _Toc374928355 h 32اصول پایه PAGEREF _Toc374928356 h 323-4کد کردن PAGEREF _Toc374928357 h 333-4-1انواع کدینگ PAGEREF _Toc374928358 h 343-4-2روش های کدینگ PAGEREF _Toc374928359 h 343-4-2-1کدینگ باینری PAGEREF _Toc374928360 h 343-4-2-2کدینگ جهشی PAGEREF _Toc374928361 h 343-4-2-3کدینگ ارزشی PAGEREF _Toc374928362 h 353-4-2-4کدینگ درختی PAGEREF _Toc374928363 h 353-4-3مسائل مربوط به کدینگ PAGEREF _Toc374928364 h 363-5کروموزوم PAGEREF _Toc374928365 h 383-6جمعیت PAGEREF _Toc374928366 h 383-7مقدار برازندگی PAGEREF _Toc374928367 h 393-8عملگر تقاطعی PAGEREF _Toc374928368 h 393-9عملگر جهشی PAGEREF _Toc374928369 h 413-10مراحل اجرای الگوریتم ژنتیک PAGEREF _Toc374928370 h 41فصل چهارم الگوریتم پیشنهادی به منظور تعیین استراتژی قیمت دهی برق PAGEREF _Toc374928372 h 464-1طرح پیشنهادی به منظور تعیین استراتژی قیمت دهی PAGEREF _Toc374928373 h 474-2متغیرهای ورودی PAGEREF _Toc374928374 h 504-3متغیرخروجی PAGEREF _Toc374928375 h 504-4بکارگیری الگوریتم ژنتیک جهت بدست آوردن معماری شبکه عصبی PAGEREF _Toc374928376 h 504-4-1قیود اعمال شده به فضای جستجوی الگوریتم ژنتیک جهت معماری شبکه عصبی PAGEREF _Toc374928377 h 514-4-2پارامترهای مهم تعیین شده در الگوریتم PAGEREF _Toc374928378 h 514-4-3نتایج بدست آمده از الگوریتم ژنتیک در معماری شبکه عصبی جعبه های تصمیم گیری PAGEREF _Toc374928379 h 524-4-4روش های اندازه گیری خطاهای نتایج خروجی PAGEREF _Toc374928380 h 544-4-5جداول خطاهای نتایج خروجی از الگوریتم PAGEREF _Toc374928381 h 554-4-6رگرسیون شبکه عصبی مربوط به جعبه های الگوریتم پیشنهادی PAGEREF _Toc374928382 h 574-5اعتبارسنجی نتایج در بازار واقعی برق ایران PAGEREF _Toc374928383 h 61نتایج خروجی نرم افزار در یک روز مشخص(قیمت بهینه پیش بینی شده) PAGEREF _Toc374928384 h 63فصل پنجم نتایج کلی و ارائه پیشنهادات PAGEREF _Toc374928386 h 665-1نتیجه گیری PAGEREF _Toc374928387 h 675-2پیشنهادات PAGEREF _Toc374928388 h 68مراجع PAGEREF _Toc374928389 h 69

فهرست اشکال TOC h z t "Lotus 10" c شکل 1-1: منحنی عرضه و تقاضا و نقطه تسویه بازار PAGEREF _Toc374928507 h 4شکل 2- 1: ساختمان سلول عصبی PAGEREF _Toc374928508 h 19شکل 2- 2: الگوی کلی از یک شبکه عصبی PAGEREF _Toc374928509 h 21شکل 2- 3: شماتیک ارتباطات بین لایه ها و وزن های سیناپتیکی در شبکه عصبی PAGEREF _Toc374928510 h 22شکل 2- 4: تناظر بین شبکه عصبی و شبکه عصبی مصنوعی PAGEREF _Toc374928511 h 23شکل 2- 5: نمای شماتیک یک نرون PAGEREF _Toc374928512 h 23شکل 2- 6: شبیه سازی یک نرون بیولوژیکی و مصنوعی PAGEREF _Toc374928513 h 24شکل 2- 7: برخی از توابع انتقال غیرخطی قابل استفاده در شبکه عصبی PAGEREF _Toc374928514 h 25شکل 2- 8: تابع انتقال Hard limit PAGEREF _Toc374928515 h 26شکل 2- 9: تابع انتقال خطی PAGEREF _Toc374928516 h 26شکل 2- 10: تابع انتقال Log sigmoid PAGEREF _Toc374928517 h 27شکل 2- 11: تابع انتقال Radial basis PAGEREF _Toc374928518 h 27شکل 2- 12: تابع انتقال Tan sigmoid PAGEREF _Toc374928519 h 27شکل 2- 13: نمایش لایه ای از شبکه عصبی PAGEREF _Toc374928520 h 28شکل 2- 14: نمایش شبکه عصبی سه لایه ای PAGEREF _Toc374928521 h 28شکل 3- 1: کدینگ باینری PAGEREF _Toc374928523 h 34شکل 3- 2: کدینگ جهشی PAGEREF _Toc374928524 h 35شکل 3- 3: کدینگ ارزشی PAGEREF _Toc374928525 h 35شکل 3- 4: کدینگ درختی PAGEREF _Toc374928526 h 36شکل 3- 5: فضای کدینگ و فضای جواب PAGEREF _Toc374928527 h 36شکل 3- 6: رابطه بین کروموزوم ها و جواب ها PAGEREF _Toc374928528 h 37شکل 3- 7: انواع روابط بین کروموزوم ها و جواب ها PAGEREF _Toc374928529 h 38شکل 3- 8: نمایش یک کروموزوم n بیتی PAGEREF _Toc374928530 h 38شکل 3- 9: تقاطع در کرموزوم هایی که از شکل کد شده چهار متغیر به وجود آمده اند. PAGEREF _Toc374928531 h 40شکل 3- 10: مراحل اجرای الگوریتم ژنتیک PAGEREF _Toc374928532 h 42شکل 3- 11:چرخ رولت PAGEREF _Toc374928533 h 43شکل 4- 1: شماتیک پله های قیمت در بازار، میزان تقاضا، نقطه تسویه بازار در یک ساعت مشخص PAGEREF _Toc374928535 h 47شکل 4- 2: شماتیک طرح پیشنهادی و جعبه های تصمیم گیری تعبیه شده در الگوریتم حل مساله PAGEREF _Toc374928536 h 49شکل 4- 3: نتایج خروجی الگوریتم ژنتیک برای جعبه مربوط به داده های 1 سال گذشته PAGEREF _Toc374928538 h 52شکل 4- 4: نتایج خروجی الگوریتم ژنتیک برای جعبه مربوط به داده های 1 ماه گذشته PAGEREF _Toc374928539 h 52شکل 4- 5: نتایج خروجی الگوریتم ژنتیک برای جعبه مربوط به داده های 1 هفته گذشته PAGEREF _Toc374928540 h 53شکل 4- 6: نتایج خروجی الگوریتم ژنتیک برای جعبه مربوط به داده های بارهای مصرفی نزدیک به داده مورد نظر PAGEREF _Toc374928541 h 53شکل 4- 7: رگرسیون شبکه عصبی مربوط به جعبه داده های 1 سال گذشته PAGEREF _Toc374928546 h 57شکل 4- 8: رگرسیون شبکه عصبی مربوط به جعبه داده های 1 ماه گذشته PAGEREF _Toc374928547 h 58شکل 4- 9: رگرسیون شبکه عصبی مربوط به جعبه داده های 1 هفته گذشته PAGEREF _Toc374928548 h 59شکل 4- 10: رگرسیون شبکه عصبی مربوط به جعبه داده های بارهای مصرفی نزدیک به داده مورد نظر PAGEREF _Toc374928549 h 60شکل 4- 11: فرم ثبت قیمت برای فروشندگان برق و مالکان نیروگاه ها PAGEREF _Toc374928550 h 61شکل 4- 12: فرم مخصوص خریداران برق جهت مشخص شدن نیاز بار مصرفی در روزهای آتی PAGEREF _Toc374928551 h 61شکل 4- 13: گزارش آرایش تولید فروشنده PAGEREF _Toc374928552 h 62شکل 4- 14: قیمت های بهینه استخراج شده از نرم افزار در روز 27/01/1392 و ثبت آنها در بازار واقعی PAGEREF _Toc374928553 h 63شکل 4- 15: مقدار ظرفیت مگاواتی پیشنهادی در هر پله فروش برق در روز 27/01/1392 PAGEREF _Toc374928554 h 63شکل 4- 16: آرایش تولید نیروگاه تست شده در روز 27/01/1392 PAGEREF _Toc374928555 h 64شکل 4- 17: آرایش تولید نیروگاه تست شده در روز 28/01/1392 PAGEREF _Toc374928556 h 65شکل 4- 18: آرایش تولید نیروگاه تست شده در روز 29/01/1392 PAGEREF _Toc374928557 h 65

فهرست جداول TOC h z t "Lotus 10" c جدول 2- 1: انواع توابع آموزش PAGEREF _Toc374928596 h 29جدول 3- 1: انتخاب کروموزوم ها با استفاده از مدل چرخ رولت PAGEREF _Toc374928608 h 43جدول 4- 1: متغیرهای ورودی مدل سازی PAGEREF _Toc374928611 h 50جدول 4- 2: خطاهای اندازه گیری شده توسط روش های مختلف برای جعبه مربوط به داده های 1 سال گذشته PAGEREF _Toc374928616 h 55جدول 4- 3: خطاهای اندازه گیری شده توسط روش های مختلف برای جعبه مربوط به داده های 1 ماه گذشته PAGEREF _Toc374928617 h 55جدول 4- 4: خطاهای اندازه گیری شده توسط روش های مختلف برای جعبه مربوط به داده های 1 هفته گذشته PAGEREF _Toc374928618 h 55جدول 4- 5: خطاهای اندازه گیری شده توسط روش های مختلف برای جعبه مربوط به داده های بارهای مصرفی نزدیک به داده مورد نظر PAGEREF _Toc374928619 h 56

چکیدهدر فرایند تجدید ساختار بازار برق ، روش های قیمت دهی تولید کنندگان نیرو مهمترین عامل برای بدست آوردن سود بیشتر می باشد و به همین دلیل پژوهش های زیادی با رویکرد های مختلف مانند رویکرد بهینه سازی در زمینه تعیین استراتژی های قیمت دهی صورت گرفته است. در این پژوهش سعی شده است با استفاده از مفاهیم کاربردی الگوریتم ژنتیک و استخراج یک مدل مناسب از شبکه عصبی به این مسئله نگاه شود. در واقع نو آوری این پژوهش نیز علاوه بر ارائه طرحی جدید برای حل مسئله بهینه سازی مدل، مقایسه و آزمایش واقعی خروجی های نرم افزار در بازار برق ایران و نگاه ویژه به کاربردی بودن حل مسئله با استفاده از الگوریتم پیشنهادی و مفاهیم اقتصادی بوده است. در این پژوهش پس از معرفی بازار برق ایران و ساختار حاکم بر آن، طرحی نو جهت بهینه سازی استراتژی فروش برق توسط مالکان نیروگاه ها و تولیدکنندگان ارائه گردیده است، به طوری که ابتدا طرح و الگوریتم جدید معرفی می شود و سپس تابع هدف مورد نظر ما در بهینه سازی پیش رو، در شبکه عصبی مدل می گردد تا با داشتن یک مدل مناسب و توانمند در توصیف سیستم بتوان بهینه سازی قابل قبولی با استفاده از الگوریتم ژنتیک انجام داد. در انتها در ابتکاری داوطلبانه و با استفاده از جلب اطمینان و همکاری یکی از نیروگاه های سیکل ترکیبی کشور، خروجی های الگوریتم پیشنهادی در سامانه قیمت دهی نیروگاه های کشور ثبت گردید و نتایج بدست آمده بر مبنای این طرح در فضای واقعی بازار برق ایران تست شد و خوشبختانه نتایج فراتر از انتظار پژوهش انجام شده، حاصل گردید؛ که گواه این ادعا نیز گزارشات خروجی سامانه قیمت دهی وزارت نیرو می باشد که در فصل مربوط به نتایج این پایان نامه گنجانده شده است. این موضوع موید نقاط قوت این مدل سازی و بهینه سازی می باشد.
کلمات کلیدی: قیمت بهینه، استراتژی های قیمت دهی، شبکه عصبی، الگوریتم ژنتیک، بازار برق ایران
فصل اولمقدمه و معرفی بازار برق ایران،
مروری بر تحقیقات انجام شده
مقدمهبازارهای برق به منظور ایجاد رقابت در تمام دنیا در حال راه اندازی می باشند. هدف اصلی رقابت در این بازارها، موثرتر کردن فضای رقابت و مفهوم بازار در آن ها می باشد. مفهوم کلی سرمایه گذاری، اگر ساختارهای بازار عادلانه و منصفانه باشد، این است که انگیزه ای به شرکت های فعال در بازار در جهت حداکثر سازی سودشان بدهد و سپس بازار به طریقی رفتار کند که سود هر شرکت حداکثر شود(یا متناسب با فعالیت و تصمیمات خود مشمول سود و زیان گردد). اگر این هدف قابل دست یابی باشد، صنعت برق به الگوریتم های جدیدی برای کمک به شرکت های بازار در جهت حداکثر کردن سودشان نیاز دارد. این الگوریتم ها علاوه بر مدل کردن جنبه های اقتصادی بازارهای برق لازم است ملزومات اساسی مهندسی را نیز تامین کنند.
جهت ورود به بحث های تخصصی پیرامون بازار برق ایران، مدل سازی یک تابع هدف مشخص، پیشنهاد یک الگوریتم جدید و معقول و حل و بهینه سازی مدل پیشنهادی باید بازار برق ایران را شناخت و با ساختار آن آشنایی کامل داشت.
مالکان نیروگاه ها در کشور ایران می توانند محصول تولیدی خود(برق) را به روش های گوناگونی به فروش برسانند که از مهمترین انواع قراردادهای فروش می توان به چند مورد زیر اشاره کرد که عموماً مورد استفاده نیروگاه ها جهت عقد قرارداد فروش با وزارت نیرو (شرکت توانیر و شرکت مدیریت شبکه برق ایران) قرار می گیرند:
قراردادهای عمده فروشی در بازار رقابتی
قراردادهای خرید تضمینی
قراردادهای دوجانبه
قراردادهای فروش برون مرزی
قراردادهای تبدیل انرژی
قرارداد عمده فروشی در بازار رقابتی در واقع همان بازار پویایی است که رقابت در آن بر سر قیمت نهایی فروش برق بین خریداران(برق های منطقه ای) و فروشندگان برق(نیروگاه ها) انجام می شود و موضوعی که در این پایان نامه بر روی آن کار شده است در این فضا مدل سازی و بهینه سازی می شود. قرارداد خرید تضمینی، قراردادی است که بین یک فروشنده و یک خریدار منعقد می شود و با یک نرخ ثابت کالای برق مورد معامله قرار می گیرد، در این نوع قرارداد ها عملاً ریسکی انجام نمی شود و به ازای متحمل نشدن ریسک قیمت فروش برق نیز پایین تر از نرخ های وسوسه کننده در بازار رقابتی برق می باشد به گونه ای که معمولاً نیروگاه ها با مالکیت خصوصی کمتر راضی به فروش محصول خود با نرخ های تضمینی مصوب وزارت نیرو می گردند.
قراردادهای دوجانبه نیز مابین یک تولیدکننده و یک مصرف کننده منعقد می شوند به طوری که تنها از شبکه برق سراسری برای انتقال انرژی استفاده می کنند و مابه ازای این استفاده، هزینه ای را به عنوان هزینه ترانزیت می پردازند. قراردادهای فروش برق برون مرزی با کسب مجوز های لازم از وزارت نیرو با متقاضیان برق در خارج از مرزهای کشور عزیزمان بسته شده و به نوعی صادر می گردند. همچنین قرارداد های تبدیل انرژی نیز فی مابین برخی از نیروگاه ها و وزارت نیرو منعقد شده و نیروگاه صرف نظر از بهای برق تولیدی و هزینه سوخت مصرفی و یک سری هزینه های مورد توافق، تنها وتنها درآمدی را به ازای تبدیل سوخت مصرفی به برق تولیدی دارا خواهد شد.
موضوع اصلی مورد بحث در این پایان نامه ساختار بازار رقابتی برق ایران و چگونگی شکل گیری رقابت در فضای بازار می باشد. با عنایت به راه اندازی بازار عمده فروشی برق در کشورمان از آبان ماه سال 1382 تحت نظارت هیئت تنظیم بازار برق ایران و قوانین مصوب این هیئت، موضوع پیشنهاد قیمت بهینه برای فروش برق توسط تولیدکنندگان(نیروگاه ها) و همچنین خریداران(شرکت های برق منطقه ای) اهمیت ویژه ای مخصوصاً در سال های اخیر پیدا کرده است.
موضوع بدین ترتیب می باشد که یک حداکثر قیمت(383 ریال برای هر کیلووات در حال حاضر) و حداقل قیمت(235 ریال برای هر کیلووات در حال حاضر) برای فروش برق نیروگاه ها توسط هیئت تنظیم بازار برق ایران در نظر گرفته شده است و نیروگاه ها در نرم افزاری که توسط بازار ارائه شده است هر روزه، قیمت سه روز آتی را پیش بینی می کنند و ابراز آمادگی جهت حضور در مدار شبکه می نمایند.
بعد از ابراز آمادگی نیروگاه ها و ظرفیت مگاوات اعلام شده از سوی آن ها برای حضور در مدار، نرم افزار بازار اجرا شده و متناسب با مصرف احتمالی کل کشور و به تفکیک نقاط مختلف و بر اساس پیشنهادهای خریداران و فروشندگان(بازیگران بازار)، آرایش تولید برای نیروگاه ها در روزهای آتی اعلام می گردد، نیروگاه هایی که قیمت آن ها مناسب نباشد بازنده شده و برق آنها در صورت نیاز شبکه به قیمت های بسیار نازل خریداری می گردد.
شکل 1-1 معرف خوبی از فرآیند مشارکت نیروگاه ها در بازار برق ایران و چگونگی برنده و بازنده شدن نیروگاهها را نشان می دهد. منطق بازار مینیمم کردن هزینه های خرید برق، انتقال و تلفات شبکه سراسری برق می باشد به طوری که قیمت های پیشنهادی نیروگاه ها از کم به زیاد مرتب می گردد و پیشنهاد نیروگاه ها طبعاً تا جایی پذیرفته خواهد بود که مصرف برق کشور بر اساس اعلام نیاز برق های منطقه ای تامین گردد بنابراین برنده شدن و بازنده شدن معنا پیدا می کند.
با توجه به گرایش نسبت به خصوصی سازی در صنعت برق، تمایل برای کسب سود بیشتر در ازای ریسک بالاتر افزایش یافته است و بازیگران بازار برق به دنبال کشف نقطه تسویه بازار می باشند. در بخش 1-2 ، این نقطه بسیار مهم بیشتر معرفی می شود.

شکل SEQ شکل * ARABIC 1-1: منحنی عرضه و تقاضا و نقطه تسویه بازارفاکتورهای زیادی بر پیچیده شدن مسئله دخالت دارند و بدست آوردن یک قیمت بهینه را دشوار می سازند. موقعیت جغرافیایی که نیروگاه ها و شرکت های برق منطقه ای در آن قرار دارند، قیمت های پیشنهادی دیگر بازیگران بازار برق، قیمت سوخت مصرفی تعیین شده بر اساس مصوبات، ساعات روز، روزهای هفته، تعطیلی های رسمی کشور(به طور مثال مینیمم مصرف سال کشورمان در روزهای عاشورا و تاسوعا اتفاق می افتد)، الگوی مصرف مردم که به مرور زمان تغییر می کند، محدودیت هایی که به لحاظ فنی برای نیروگاه ها وجود دارند(مانند: ظرفیت ترانس نیروگاه ها، محدودیت آب پشت سد یک نیروگاه آبی، پست مشترک ورودی برق به شبکه برای چند نیروگاه) و ... از جمله این موارد می باشند.
یکی از سختی های حل این مسئله چگونگی مدل سازی و استخراج معادلات و روابط ریاضی، از این مفاهیم انتزاعی است که با توجه به وجود درس هایی همچون برنامه ریزی ریاضی پیشرفته، تحلیل سیستم های انرژی، مبانی اقتصاد که در رشته مهندسی سیستم های انرژی وجود دارند پایه و اساس انجام چنین پژوهش هایی در این رشته تحصیلی قابل توجیه می باشد.
با توجه به اینکه یکی از ارتباطات رشته تحصیلی مهندسی سیستم های انرژی به این موضوع، مدل سازی صحیح این بازار، استخراج تابع هدف مناسب و معقول که نتایج خروجی از تابع هدف مورد نظر انتظارات لازم را برآورده کند، می باشد لذا ارتباط موضوع پایان نامه با رشته تحصیلی کاملاً مشهود می باشد. به همین علت ذکر نام دروسی که در مدل سازی و فراهم آوردن شرایط بهینه سازی و فضای حاکم بر مسئله تاثیر زیادی داشته اند، ضروری است:
درس مبانی اقتصاد: شناخت مفاهیم بازار و تاثیرگذاری عرضه و تقاضا بر روی ارائه کالای مورد نظر(برق)
درس تحلیل سیستم های انرژی: تحلیل کلی از بازار برق ایران و شناخت این سیستم پیچیده
درس برنامه ریزی ریاضی پیشرفته: تبدیل اطلاعات موجود در کشور به معادلات حاکم بر مسئله جهت حل مسئله، و همچنین بدست آوردن تابع هدف مناسب با تعریف صحیح از فضای حل که یکی از ورودی های الگوریتم ژنتیک جهت نیل به هدف بهینه سازی می باشد.
درس قابلیت اطمینان و تحلیل ریسک: از مهمترین و پیچیده ترین فاکتورهای دخیل در طرح این پروژه آنالیز ریسک و وابستگی قیمت ها به میزان ریسک می باشد، هرچه میزان ریسک بالاتر باشد و بازیگر برنده گردد، سود ماکزیمم می شود.
بازار برق دنیا و اصول پیشنهاد قیمت در بازار برق ایرانبا شروع به کار بازار برق ایران، مساله پیشنهاد قیمت برای شرکت‌های فروشنده برق دارای اهمیت بسیار بوده و فاکتور مهمی جهت کسب درآمد و سودآوری برای این شرکت‌ها محسوب می‌شود. همراه با تغییر در ساختار اقتصادی صنعت برق ایران و راه‌اندازی بازار برق، مسأله تنظیم و تامین هزینه‌های سالیانه شرکت‌های برق منطقه ای با چالش‌ها و مشکلات ویژه‌ای مواجه شد. بهترین دلیل برای این وضعیت وجود عدم قطعیت‌های مختلف تأثیرگذار بر درآمدها و هزینه‌های این شرکت‌ها در فرایند فروش انرژی به بازار برق می باشد.
با راه‌اندازی بازار برق ایران در سطح عمده فروشی و در سمت فروشندگان در آبان‌ماه سال 1382، درآمد شرکت‌های برق منطقه‌ای به نحوه قیمت دهی وابسته شده است. بنابراین بازاربرق، در شرکت‌های آب و برق منطقه‌ای تولید کننده انرژی الکتریکی، انگیزه مضاعفی جهت پیشنهاد قیمت بهینه ایجاد نموده است. محدودیت‌هایی در بازار برق ایران نظیر محدودیت‌های انتقال، عدم خروج واحدهای سیکل ترکیبی و بخاری بزرگ و... موجود است.
مسأله تنظیم و تامین هزینه متوسط و برنامه‌ریزی جهت تحقق آن از جمله مهمترین مسائل مطرح در افق زمانی میان مدت برای هر بنگاه اقتصادی است. حل دقیق این مسأله، نقشی کلیدی در جهت نیل به اهداف مورد نظر بنگاه اقتصادی و رشد و توسعه اقتصادی آن دارد. در فضای سنتی صنعت برق، حل مسأله برنامه‌ریزی هزینه‌ها با توجه به عدم قطعیت نه‌چندان قابل توجه موجود در درآمدها و هزینه ها، با مشکل چندانی مواجه نبود، اما با ایجاد فضای رقابتی در صنعت برق و جداسازی بخش‌های تولید، انتقال و توزیع و در نتیجه تصمیم‌گیری مستقل بنگاه‌های اقتصادی، مسأله تخمین هزینه درفضای سنتی به مسأله کنترل هزینه‌ها و درآمدهای بنگاه‌های اقتصادی تغییر یافت. از طرف دیگر مسأله تخمین و تنظیم درآمدها و هزینه‌های بنگاه‌های اقتصادی به علت تغییر رفتار بازیگران بازار با توجه به اطلاعات ناقصشان از محیط بازار برق دارای عدم قطعیت محسوسی می‌باشد. همچنین تخمین درآمدها و هزینه‌های هر بنگاه اقتصادی در افق زمانی میان‌مدت باید به گونه‌ای صورت گیرد که اهداف موجود دراستراتژی قیمت‌دهی را نیز برآورده سازد و بالعکس. حل مسائل برنامه‌ریزی میان مدت مستلزم مدل سازی عدم قطعیت‌های موجود در متغیرهای مسأله و بکارگیری روش‌های بهینه‌سازی است. آشنایی با برخی تحقیقات انجام‌شده در این زمینه لازم است.
در مرجع [1] رفتار بهینه مصرف‌کننده‌ها جهت خرید انرژی از بازار برق با توجه به قید بودجه آن‌ها که محدودکننده میزان هزینه خرید انرژی می‌باشد تعیین شده است. استراتژی تعیین میزان تعرفه توسط بهره‌بردار شبکه انتقال بلژیک برای مصرف‌کنندگان و تولیدکنندگانی که از خدمات آن بهره می‌گیرند با در نظر گرفتن قید هزینه بهره بردار تنظیم می‌گردد [2]. قید بودجه به گونه‌ای عمل می‌کند که سود بهره‌بردار ناشی از ارائه خدمات انتقال و هزینه سرمایه‌گذاری آن از حد معینی بیشتر باشد. در این شرایط نیاز به روشی کارا جهت مدل‌سازی عدم قطعیت‌های موجود در مسأله تخمین درآمدها و هزینه‌ها در افق زمانی میان مدت و هماهنگ با استراتژی‌های قیمت‌دهی و با در نظرگرفتن اهداف و قیود بنگاه اقتصادی ضروری به نظر می‌رسد.
در مرجع [3] مدلی جهت مدیریت ریسک ناشی از قیمت سوخت، تقاضا، دبی آب و قیمت برق که نیروگاه‌های آبی یا حرارتی در بازار برق با آن‌ها مواجه هستند ارائه شده است. در مرجع [4] از درخت تصمیم به منظور مینیمم کردن هزینه‌های بهره‌برداری هفتگی واحدهای تولیدی با توجه به عدم قطعیت تقاضا استفاده شده است. در مرجع [5] مدلی ریاضی به منظور بهره‌برداری بهینه برای سیستم تولید که از واحدهای آبی و حرارتی تشکیل شده، ارائه شده است. در این مرجع عدم قطعیت‌های جریان آب ورودی به سد برای واحد آبی و قیمت سوخت در مورد نیروگاه حرارتی درنظر گرفته شده‌است. در مرجع [6] با استفاده از درخت تصمیم، مدلی به منظور ماکزیمم کردن درآمد با توجه به وجود قراردادهای میان مدت برای واحدهای آبی ارائه شده‌است.
به علت عدم قطعیت‌های موجود در بازار برق، شناسایی و مدل‌سازی عدم قطعیت‌ها در درآمدها و هزینه‌های شرکت برق منطقه‌ای در افق زمانی میان مدت امری ضروری است. با توجه به اینکه عدم قطعیت‌ها در افق زمانی میان‌مدت مدل‌سازی می‌شوند و به علت اینرسی بالای قیمت سوخت درایران از عدم قطعیت موجود در قیمت سوخت صرف‌نظر می‌شود. بنابراین تنها، نیاز به مدل‌سازی رفتار قیمت تسویه بازار به‌طور ماهانه می‌باشد. البته می‌توان عدم قطعیت ناشی از وقوع پیش‌آمدهای اتفاقی در سیستم قدرت و تغییرات تقاضا را نیز جهت مدل‌سازی دقیق‌تر مسأله در نظر گرفت. با جمع‌آوری اطلاعات قیمت تسویه بازار برق برای هر ماه در سال‌های گذشته و انتخاب بازه‌های تغییر قیمت تسویه بازار (تعیین بازه‌های پیشامدهای قیمت پایین، متوسط و بالا) و بهره‌گیری از مدل فرکانسی، احتمال وقوع پیشامدهای مختلف برای مقدار قیمت تسویه بازار در هر ماه تعیین می‌گردد[7].
تولیدکنندگان با ارائه مقدار تولید و قیمت پیشنهادی در بازار برق شرکت می‌کنند. بهره‌بردار بازار نیز پیشنهاد برنده را مشخص می‌کند. در مبادلات قراردادی مانند قراردادهای دوطرفه روند مناظره و بحث بین دو طرف لازم است. البته شایان ذکر است که قیمت دهی درطرف مصرف هم به مرور زمان و با توسعه بازار در سمت خرید برق، دارای اهمیت خواهد شد.
مسأله پیشنهاد قیمت در بازارهای برق به مبادلات حراج مربوط است و تولیدکنندگان با ارائه پیشنهاد قیمت و مقدار تولید به بهره بردار بازار، در آن شرکت می‌کنند و بهره‌بردار بازار، برندگان و مقدار پول تخصیص یافته به آنان را مشخص می‌کند.
قوانین تخصیص پول به شرکت کنندگان نیز عبارتند از:
پرداخت به میزان پیشنهاد (PAB)
تخصیص یکنواخت (UP)
به طور خیلی خلاصه می توان گفت که در بازار PAB ، نیروگاه ها بر اساس قیمتی که می دهند و در سامانه مربوطه ثبت می کنند، در صورتی که در بازار برنده شوند مبلغی را که به ازای هر کیلووات ساعت برق اعلام داشته اند دریافت می نمایند. در این بازار ها انگیزه ای در جهت پیشنهاد قیمت بهینه(قیمتی که سود را بیشینه گرداند تا جایی که بازیگر بازنده و متضرر نشود) به وجود می آید و استراتژی پیش روی نیروگاه ها کشف و یا به عبارت دیگر حدس قیمت سایر بازیگران بازار می باشد. در نوع دیگر اجرای بازار یعنی به روش UP ، آخرین قیمت پذیرفته شده در بازار(بعد از این قیمت سایر بازیگران بازنده اعلام می شوند) مبنای پرداخت به تمام نیروگاه های برنده شده ماقبل قرار می گیرد یعنی پرداخت به ازای حاصلضرب ظرفیت برنده شده هر نیروگاه برنده در آخرین قیمت برنده شده در بازار انجام می شود. در نظر اول کمی ظالمانه به نظر می رسد اما در بسیاری از کشورهای پیشرفته از این روش استفاده می گردد، چرا؟
پاسخ به این سوال بسیار راحت می باشد! در واقع منطق اصلی از اجرای این بازار ها بیشینه کردن سود به وسیله بیشینه کردن درآمد حاصل از فروش نیست بلکه نیروگاه ها را تشویق به کاهش هزینه های تولید خود می کند. یعنی ارزش قیمت هر کیلووات برق در هر روز بازار مشخص می گردد و از همه بازیگران برنده به آن قیمت مشخص برق خریداری می گردد و رقابتی بین نیروگاه ها در جهت کاهش هزینه ها، کاهش آلاینده ها، افزایش راندمان سیکل های تولید، کاهش هزینه های بهره برداری از نیروگاه و همچنین کاهش هزینه های ساخت و احداث اولیه نیروگاه ها شکل می گیرد و این موضوع درنهایت به نفع کل کشور خواهد بود.
مساله پیشنهاد قیمت به طور کلی به صورت یافتن قیمت بهینه و تعیین استراتژی مناسب جهت رقابت با فروشندگان دیگر تعریف می‌شود. مساله مدنظر ما شرکت در حراج می‌باشد که به صورت مناقصه اجرا می‌شود. به بیان دیگر مساله پیشنهاد قیمت عبارت خواهد بود از تعیین قیمت‌های بهینه در افق زمانی بهره‌برداری از بازارهای بلادرنگ (از چند دقیقه در بازارگرفته تا چندین ساعت در بازارهای روزانه) به‌طوری‌که عوامل موثر بر پارامترهای مورد توجه فروشنده (مانند سود، درآمد، ریسک و ...) در نظر گرفته‌شود.
با توجه به مطالعات انجام شده عواملی که فروشنده باید درهنگام پیشنهاد قیمت در مناقصه‌های انرژی لحاظ کند در زیرخلاصه شده اند:
عدم قطعیت‌ها
نحوه بستن بازار و پرداخت پول به برندگان بازار
ساختار و قوانین بازار
هزینه تولید
قیود حاکم بر ژنراتور و قیود شبکه انتقال
لحاظ کردن سود بلندمدت
نحوه قیمت‌دهی طرف مصرف
قراردادهای دوطرفه
وجود بازارهای مختلف و تأثیر آنها بر یکدیگر
البته دو مورد آخر پس از توسعه بازار برق ایران و راه‌اندازی بازارهای مختلف و قراردادهای دوجانبه در مساله قیمت‌دهی دخیل خواهند بود. مطالعات انجام‌شده در زمینه مساله پیشنهاد قیمت به دو بخش قابل تقسیم‌اند: PAB و UP.
بدیهی است که نحوه مدل‌سازی و فرمول‌بندی مساله در بازارهای مختلف به دلیل تفاوت قوانین کاملا متفاوت است. مدیریت بازار برق ایران به صورت حراج PAB است. مطالعات انجام‌شده نشان می‌دهد که به مساله پیشنهاد قیمت به صورت جدی در بازارهای PABپرداخته نشده است. دلیل این امر شاید این باشد که حراج PAB در بسیاری از بازارهای دنیا به‌کار گرفته نمی‌شود و اکثر بازارهای دنیا بر مبنای حراج UP می‌باشد. به علاوه بازارهایی که حراج PAB مبناست، حجم کمی از معاملات را به خود اختصاص داده است. از آن ‌جا که حراج بازار برق ایران بر مبنای حراج PAB است نیاز به تحقیقات جدی در این زمینه احساس می‌شود.
بررسی مساله پیشنهاد قیمت از دید یک تولیدکننده انرژی در ابتدای راه است. در حراج PAB به این دلیل که پول تخصیص یافته بابت هر مگاوات انرژی برابر با قیمت پیشنهادی ارائه شده ازسوی فروشنده می‌باشد، مساله پیشنهاد قیمت از اهمیت دسته از قیود در محیط سنتی وجود نداشته ولی درمحیط جدید باید لحاظ شوند.
قید درآمد، قیدی است که یک شرکت به واسطه سیاست‌های مالی خود لحاظ می‌کند. به‌طور مثال از سیاست‌های کلی شرکت این نتیجه به‌دست آمده که در آمد شرکت در طول یک دوره پیشنهاد قیمت از یک مقدار خاص نباید کمتر باشد. این مساله در فرآیند پیشنهاد قیمت باید لحاظ شود.
قید حداقل فروش، قیدی است که برای اجتناب از جریمه پیشنهاد قیمت لحاظ می‌شود زیرا اگر قیمت واحدهای بخاری یا سیکل ترکیبی برنده نشوند دچار جریمه 0,9 حداقل قیمت می‌شوند. بنابراین حداقل تولید مجاز واحدهای بخاری به ‌فروش خواهد رسید. پس قیمت این واحدها باید به‌گونه‌ای ارائه شود تا تولید موجب ضرر نشود و از طرفی دچار جریمه نیز نگردد. در فرآیند حل مساله پیشنهاد قیمت، جهت دستیابی به ‌روش‌های کارا جهت حل مساله باید پارامترهایی که بر پاسخ مساله و قیمت بهینه تاثیر می‌گذارند، استخراج گردند. این پارامترها بسته به قوانین بازار، شرایط شبکه انتقال و موقعیت جغرافیایی تغییر می‌کنند. بنابراین برای هر شرکتی باید پارامترهای موثر به صورت جداگانه استخراج شوند.
تشکیل بازار برق ایران و خصوصی سازی صنعت برقشاید نتوان کشوری را یافت که متاثر از موج تحولات یک دهه اخیر صنعت برق نباشد. این تحولات در قالب بحث تجدید ساختار باعث شفافیت و تفکیک وظایف بخشهای مختلف گردیده که به تدریج باعث ایجاد بازار برق در سطح عمده فروشی و به دنبال آن در سطح خرده فروشی شده است. موفقیت این برنامه‌ها متاثر از عوامل مختلفی نظیر اجرای صحیح برنامه‌های تجدید ساختار و تقویت نتایج تجدید ساختار با اجرای برنامه خصوصی‌سازی در صنعت برق می باشد. در این میان اجرای برنامه آزادسازی به موقع مشترکین، پیشگیری از شکل گیری پدیده قدرت بازار، باز بینی منظم بازار، ایجاد فضایی منصفانه برای دستیابی همه علاقمندان به فعالیت در صنعت برق، تدوین تعرفه خدمات انتقال و توزیع، تعریف خدمات پشتیبان و تدوین تعرفه متناسب برای آنها و غیره از جمله مطالب مهمی هستند که اهمیت بسزایی در موفقیت یا شکست برنامه تجدید ساختار و بازار برق دارند.
تلاش برای تحقق بخشیدن به تئوری های اقتصادی و تشکیل آرمان شهر بازار رقابت کامل اگر چه(به شکل کامل) هیچ گاه از لای صفحات و متون اقتصادی فراتر نرفته اما این حسن بزرگ را داشته که بهبود قابل توجهی در سامان دهی به بازار را باعث شود. گر چه صنعت برق در ابتدا و با احداث واحدهای کوچک و خصوصی تولید برق حیات خود را آغاز کرد اما به تدریج و با درک اهمیت این صنعت روند دولتی شدن(و بنابراین انحصاری شدن) آن آغاز شد. بنابراین صنعت برق به عنوان یک صنعت یکپارچه و کاملا انحصاری در اذهان شکل گرفت که هر کسی توان ورود به این عرصه و انجام فعالیت در آن را نداشت. با همین ذهنیت بود که دولت ها(به طور عام) کنترل صنعت برق را در دست گرفتند. به تدریج و با بروز مشکلاتی در اداره دولتی صنعت برق، همانند ناتوانی دولت در تامین مالی مناسب برای این صنعت، ناکارایی سرمایه گذاری و بهره برداری و… این سئوال شکل گرفت که به چه نحوی می توان از پتانسیل بخش خصوصی در این صنعت استفاده کرد؟ پاسخ به این سئوال همزاد شکستن ائتلاف عمودی این صنعت و ورود تدریجی بخش خصوصی به حوزه های مختلف فعالیت آن است. اولین نتایج این موضوع تفکیک بخشهای تولید، شبکه و عرضه بود. بنابراین با تفکیک انجام شده این امکان فراهم شد تا برخی متخصصان اقتصاد صنعت برق به امکان ایجاد رقابت در بخش تولید فکر کنند و این در واقع زمینه تشکیل بازار عمده فروشی برق بود. تحولات بعدی صنعت برق را باید مدیون این جسارت و تجربه قلمداد کرد.
ساختار جدید بازار برق و عمده فروشیهمان طور که اشاره شد بروز مشکلات ناشی از ساختار سابق صنعت برق باعث گردید سیاستگزاران و تصمیم گیرندگان این صنعت تجدید نظری اساسی در نوع نگاه به این صنعت و چگونگی اداره آن صورت دهند. جدای از مشکلاتی که دلیل اصلی تجدید ساختار بود، تلاش برای ایجاد فضایی جدید که انعطاف پذیری بیشتری داشته و با اهداف کلان اقتصادی نیز هماهنگ باشد، به طور مضاعفی اجرای برنامه های تجدید ساختار را تجویز می کرد. بنابراین به طور کلی اهداف تجدید ساختار را می توان به صورت زیر ذکر کرد:
الف- بهبود فضا و قاعده بازی برای ارتقای کارایی
ب- ایجاد فرصت های شغلی بیشتر
ج- شفاف نمودن و تفکیک بخشهای مختلف از هم
د- ایجاد فضای مناسب برای محوری نمودن علائم اقتصادی در تصمیم سازی
ه- جایگزینی تفکر بنگاهی در صنعت برق به جای تلقی خدمت عمومی از برق
اما نکته قابل توجه اینکه بحث تجدید ساختار و خصوصی سازی دو مقوله متفاوت از هم هستند. در واقع تجدید ساختار می تواند زمینه های خصوصی سازی صحیح را فراهم کند. اهداف خصوصی سازی را می توان به صورت زیر خلاصه کرد:
الف- کاهش تصدی دولت و تقویت بعد نظارتی آن با واگذاری امور به بخش خصوصی
ب- کاهش بار مالی دولت و انتقال آن به بخش خصوصی
سایر اهداف ریز را می توان در موارد فوق خلاصه کرد. در واقع این موارد باعث شد مجموعه اقداماتی در صنعت برق صورت پذیرد که به طور کلی باعث تغییر نوع نگاه به کالای برق شدند.
تغییر تفکر و نوع نگاه به برقدر واقع برای درک انگیزه های تجدید ساختار و تشکیل بازار برق باید توجه داشت که مدتهای مدیدی این تصور در میان سیاستگزاران و متخصصان صنعت برق کشورهای مختلف نهادینه شده بود که صنعت برق از یک انحصار ذاتی برخوردار است و قابلیت و انعطاف پذیری لازم جهت رقابتی شدن را ندارد. تاسیسات هزینه برآن باید در تملک دولت باشد و بخش خصوصی در این زمینه نه علاقمندی خواهد داشت و نه حضورآن نتیجه مثبتی ! این عقیده در اوایل دهه 90 میلادی با تحرکات اولیه صنعت برق کشورانگلستان متزلزل شد[8] و اکنون تقریبا به فرضیه ای فراموش شده تبدیل گردیده است. اگر صنعت برق را به چهار بخش عمده تولید، انتقال، توزیع و عرضه(خدمات مشترکین)‌ تقسیم کنیم،‌ تجربه بسیاری از کشورها نشان می دهد دو بخش تولید و عرضه(خدمات مشترکین) انعطاف پذیری کافی برای رقابتی شدن را دارند. به همین خاطر و همان طور که در بخش مربوط به ساختارهای صنعت برق ملاحظه خواهد شد تمرکز زدایی اولین اقدام در اجرای تغییرات ساختاری این صنعت بود بلکه زمینه برای تفکیک بخشهای دارای پتانسیل رقابتی از سایر بخش ها فراهم گردد. سپس در بخش تولید با فراهم کردن زمینه برای مشارکت بخش خصوصی و احداث نیروگاه توسط سرمایه گذاران داخلی و خارجی و یا واگذاری ظرفیت های نصب شده موجود، فراهم سازی زمینه رقابت(با افزایش تولید کنندگان) و ایجاد شرایطی برای رقابت درکاهش هزینه ها و فروش برق به مدیر شبکه، سعی در جایگزینی فضای رقابتی بجای شرایط انحصار گردیده که در بسیاری از کشورها این امر موفقیت آمیز بوده است. اما بخش انتقال با توجه به ماهیتی که دارد و این واقعیت که نمی توان دو یا چند شبکه موازی درکنار هم تاسیس کرد تا برای انتقال برق با هم رقابت نمایند، تقریبا هنوز هم به شکل انحصاری اداره شده و به عنوان شبکه ملی باقی مانده است.
در بخش توزیع نیز که کلیه فعالیتها از نقطه دریافت برق از شبکه انتقال تا تحویل به مصرف کنده نهایی انحصاری بود، ابتدا بخش خطوط‌ از بخش مشترکین تفکیک شده سپس این بخش یا در تملک دولت باقی مانده و یا در برخی کشورها تجهیزات توزیع به بخش خصوصی واگذار شده اند[9]. هرچند تجربه و مطالعات انجام شده نشان از عدم تفاوت معنی دار کارایی و کاهش هزینه در واگذاری این شرکت ها به بخش خصوصی دارد اما حسن این کار فراهم سازی زمینه رقابتی شدن است که معمولاً افزایش کارایی را به دنبال داشته است. در بخش خدمات مشترکین نیز کلیه امور از درخواست مشترک برای اتصال به شبکه برق تا صدور صورتحساب و وصول مطالبات و … توسط شرکت های خرده فروشی انجام می گردد. از آنجایی که این بخش از شرایطی متفاوت با بخشهای انتقال و توزیع برخوردار می باشد، فعالیتهای این بخش از خاصیت انحصاری برخوردار نبوده و بنابراین شرکت های خرده فروش همزمان می توانند برای جلب رضایت مشتری با هم رقابت نمایند که به بهبود کیفیت و کاهش هزینه ها منتهی خواهدشد. لذا واگذاری امور به بخش خصوصی وایجاد زمینه مناسب برای رقابتی کردن این بخش نتایج مثبت قابل توجهی به همراه داشته است.
در واقع آنچه در صنعت برق در طی دهه اخیر اتفاق افتاده بر یک محور اساسی استوار است بدین معنی که به تدریج نگاه کالایی به برق جایگزین تفکر تلقی برق به عنوان یک خدمت عمومی شده است[10]. در واقع در فضای بازار این ایده مورد تاکید قرار گرفته که هر علاقمندی که محدودیت ها و استانداردهای شبکه را رعایت نماید می تواند از شبکه(همانند جاده ها) استفاده و برق تولیدی خود را به مشتری تحویل دهد. این نگاه را می توان اساس تحولات نوین صنعت برق قلمداد کرد.
شکل گیری بازار برق در ایراندر ایران نیز از چند سال قبل برنامه هایی برای اجرای فرایند تجدید ساختار و ایجاد بازار برق تدارک دیده شده است. لیکن پیشنهاد تشکیل بازار برق در ایران به تغییراتی برمی گردد که در سال 1382 در ساختار برق کشور(تشکیل شرکتهای مادر تخصصی، پیش بینی تشکیل شرکت مدیریت بازار(مدیریت شبکه برق ایران)، تغییر نظام مبادلات و بودجه ای شرکتها، حذف یارانه بین بنگاهی و…) پیش بینی شده بود. در همین راستا دستورالعملی برای خرید و فروش رقابتی برق توسط هیات تنظیم بازار برق ایران تهیه شد که مقدمه ای برای تشکیل بازار برق در ایران است[11]. اولین جلسه هیات تنظیم در تاریخ 09/07/1382 تشکیل و اصول ایجاد یک بازار رقابتی در فضایی منطقی پایه گذاری گردید[12]. گرچه این دستورالعمل محتاط عمل کرده و قیمت ها در آن تنها در یک بازه معین(با تعریف یک نرخ پایه و تعریف ضرایبی برای اوقات مختلف و انحراف پیشنهاد نرخ خریداران و فروشندگان در یک بازه معین) شکل خواهند گرفت، اما به هر حال زمینه ای برای ایجاد بازار برق در ایران محسوب می شود. در شرایط فعلی اکثر واحدهای تولید و عرضه دولتی بوده و به نظر نمی رسد مکانیزم پیشنهادی در کوتاه مدت تحولی در صنعت برق به وجود بیاورد اما مقدمه مناسبی در کشور فراهم شده است که می تواند زمینه را برای تحولات آینده فراهم نماید. در این دستورالعمل بهای پرداختی به تولید کنندگان بر اساس قیمت پیشنهادی و قدرت تحویلی آنان خواهد بود که با اعمال قیمت نهایی بازار و پرداخت بها بر اساس آن به همه تولید کنندگان در یک ساعت معین(نظامی که اکثر کشورها هم اکنون آن را پیاده می کنند) تفاوت دارد[13].

موانع شکل گیری و یا انحراف بازار رقابتی برقایجاد بازار رقابتی صحیح در بخش برق علی رغم نتایج بسیار ارزشمند آن می تواند بسیار شکننده بوده و از سوی دیگر نتایج آن(با فرض عدم پیش بینی و برنامه ریزی صحیح، عدم نظارت مناسب و عدم ایجاد شرایط مساعد برای ورود بخش خصوصی به بازار) می تواند عقیم و یا حتی مخرب باشد. ایالت کالیفرنیا نمونه ای از شکست بازار و مخرب بودن طراحی نامناسب بازار می باشد. در زیر به مواردی که می تواند باعث انحراف یا شکست بازار شود اشاره می شود[10].
ذینفع بودن بهره بردار مستقل سیستم و بازار از مبادلاتدر واقع در ابتدای امر لازم است نهادهایی(شرکت هایی) مسئولیت هماهنگی عرضه کنندگان و تقاضا کنندگان(خریداران و فروشندگان عمده) را به عهده داشته باشند. حال اگر این نهادها نتوانند بی طرفی خود را حفظ کنند، عملاً ممکن است توسعه پتانسیل تولید و شبکه و بهره برداری بهینه از منابع موجود بر اساس عملکرد بازار صورت نگیرد.
قدرت بازاردر واقع در صورتی که هر یک از تقاضا کنندگان و عرضه کنندگان بازار سهم بزرگی از بازار را به خود اختصاص دهند(در برخی کشورها سهم فوق 15% می باشد) به طوری که بتوانند بر عملکرد بازار اثر گذاشته و باعث تغییر و انحراف قیمت های بازار شوند، این موضوع می تواند به شکست بازار منتهی شود.
ذخیره تولیددر صورتی که در بخش تولید(عرضه)به اندازه کافی ذخیره تولید وجود نداشته باشد این امر می تواند به انحراف و شکست بازار منتهی شود.
نیروگاههای خاصبرخی نیروگاهها (حتی گاهی اوقات یک نیروگاه کوچک)به واسطه موقعیت خاص خود می توانند در پایداری شبکه نقش بسیار مهمی ایفا نمایند، حال اگر این نیروگاهها در اختیار بخش خصوصی قرار گیرند و مرکز کنترل نتواند اختیار تعیین زمان ورود و خروج آنها را داشته باشد،صاحب این قدرت می تواند از این موقعیت برای انحراف قیمت های بازار استفاده نماید.
تبانیاین موضوع که به شکل گیری قدرت بازار برای گروه خاصی منتهی می گردد می تواند باعث انحراف و حتی شکست بازار منتهی گردد.
دسترسی منصفانه به شبکهیکی از ویژگی های هر بازار رقابت کامل امکان ورود و خروج فعالان به این بازار است.در صنعت برق این موضوع باید با تهیه دستورالعمل معینی برای دسترسی بیطرفانه علاقمندان به شبکه دنبال شود. زیرا عدم تهیه یک دستورالعمل منسجم می تواند به ایجاد تبعیض میان فعالان صنعت منتهی گردد.
تعرفه های استفاده از خدمات انتقال و توزیعتدوین تعرفه های استفاده از خدمات انتقال و توزیع می تواند باعث شفاف شدن مبادلات شده و تولیدکنندگان و عرضه کنندگان می دانند در صورت استفاده از بخشهای انتقال و توزیع برای جابجایی انرژی و قدرت مورد نیاز چه مبلغی باید به شبکه بپردازند.این موضوع در تصمیم گیری خریداران برای انتخاب فروشنده برق بسیار حائز اهمیت است.
بازبینی مستمر بر عملکرد بازارطبیعی است در صورتی که مکانیزم بازار به طور مستقیم و دقیق دنبال نشود تشخیص یک مشکل تنها می تواند پس از فروپاشی بازار صورت گیرد.
البته نکات دیگری را نیز می توان ذکر کرد که مواد فوق از اهم آنها انتخاب شده اند.
فصل دوممدل سازی با استفاده از شبکه عصبی
معرفی شبکه عصبی مصنوعیقدرت و سرعت کامپیوترهای امروزی به راستی شگفتانگیز است؛ زیرا کامپیوترهای قدرتمند می‌توانند میلیون‌ها عملیات را در کمتر از یک ثانیه انجام دهند. شاید آرزوی بسیاری از ما انسان‌ها این باشد که ای کاش می‌شد ما نیز مانند این دستگاه‌ها کارهای خود را با آن سرعت انجام می‌دادیم، ولی این نکته را نباید نادیده بگیریم که کارهایی هستند که ما می‌توانیم آن‌ها را به آسانی و در کمترین زمان ممکن انجام دهیم، ولی قوی‌ترین کامپیوترهای امروزی نیز نمی‌توانند آن‌ها را انجام دهند و آن قدرت تفکری است که مغز ما انسان‌ها دارد. حال تصور کنید که دستگاهی وجود داشته باشد که علا‌وه بر قدرت محاسبه و انجام کارهای فراوان در مدت زمان کوتاه، قدرت تفکر نیز داشته باشد یا به قول معروف هوشمند باشد! این تصور در حقیقت هدف فناوری هوش مصنوعی یا به اختصار AI است[14].
یکی از راه‌حل‌های تحقق این هدف، شبکه‌های عصبی است. شبکه‌های عصبی در واقع از شبکه‌های عصبی و سیستم عصبی انسان الگوبرداری می‌کنند. برخی از محققان براین باورند که هوش مصنوعی و شبکه‌های عصبی دو راه‌حل متفاوت و در دو جهت مختلف هستند، ولی این باور را نمی‌توان کاملاً صحیح دانست؛ چرا که در حقیقت علم شبکه‌های عصبی و هوش‌مصنوعی وابسته به هم هستند. بدین‌معنا که قبل از این‌که Symbolها بتوانند توسط هوش مصنوعی شناسایی شوند، باید مراحلی طی شود. مثلاً تصور کنید که Symbol هایی مانند خانه، انسان یا میز وجود دارند. قبل از این که AI بتواند هر کدام از این Symbol ها را شناسایی کند، باید از توانایی‌ها و صفات هر کدام از این‌ها اطلاع کامل حاصل کند. مثلاً تصور کنید که یک روبات که هوش مصنوعی دارد، یک انسان را می‌بیند، ولی از کجا می‌فهمد که این جسم یک انسان است؟ مثلاً بر اساس مشخصاتی مثل داشتن دو پا، دست، صورت، دهان و قدرت تکلم. اما شما وقتی یک انسان دیگر را می‌بینید، نیازی ندارید که اول تعداد پاهای او را بشمارید و بعد بگویید که این جسم، انسان است. مغز انسان‌ها می‌تواند با دیدن یک جسم فقط برای یک بار یاد بگیرد و اگر مجدداً آن جسم را مشاهده کرد، می‌تواند سریع تشخیص دهد و قسمت‌های مختلف مغز می‌توانند به صورت همزمان فعالیت کنند و از اطلاعات درون مغز استفاده نمایند. شبکه‌های عصبی در بسیاری از پروژه‌های هوش مصنوعی به کار گرفته می‌شود. مثلاً برای برنامه‌های تشخیص و الگوبرداری، شناسایی تصویر و کاراکتر، روبات‌ها و برنامه‌های فیلترینگ اطلاعات. این شبکه‌ها امروزه حتی در اتومبیل‌های بی‌سرنشین نیز کاربرد دارد. به طوری‌که با دیدن و بررسی رانندگی انسان‌ها، می‌توانند رانندگی کنند.
شبکه های عصبی نسبت به کامپیوتر های معمولی مسیر متفاوتی را برای حل مسئله طی می کنند. کامپیوتر های معمولی یک مسیر الگوریتمی را استفاده می کنند به این معنی که کامپیوتر یک مجموعه از دستور العمل ها را به قصد حل مسئله پی می گیرد. بدون اینکه قدم های مخصوصی که کامپیوتر نیاز به طی کردن دارد شناخته شده باشند، کامپیوتر قادر به حل مسئله نیست. این حقیقت قابلیت حل مسئله ی کامپیوتر های معمولی را به مسائلی محدود می کند که ما قادر به درک آنها هستیم و می دانیم چگونه حل می شوند. اما اگر کامپیوتر ها می توانستند کار هایی را انجام دهند که ما دقیقا نمی دانیم چگونه انجام دهیم، خیلی پر فایده تر بودند.
شبکه های عصبی اطلاعات را به روشی مشابه با کاری که مغز انسان انجام می دهد پردازش می کنند. آنها از تعداد زیادی از عناصر پردازشی(سلول عصبی) که فوق العاده بهم پیوسته اند تشکیل شده است که این عناصر به صورت موازی باهم برای حل یک مسئله مشخص کار می کنند. شبکه های عصبی با مثال کار می کنند و نمی توان آنها را برای انجام یک وظیفه خاص برنامه ریزی کرد. مثال ها می بایست با دقت انتخاب شوند در غیر این صورت زمان سودمند، تلف می شود و یا حتی بدتر از این، شبکه ممکن است نادرست کار کند. امتیاز شبکه عصبی این است که خودش کشف می کند که چگونه مسئله را حل کند، عملکرد آن غیر قابل پیش گویی است.
از طرف دیگر کامپیوتر های معمولی از یک مسیر مشخص برای حل یک مسئله استفاده می کنند. راه حلی که مسئله از آن طریق حل می شود باید از قبل شناخته شود و به صورت دستورات کوتاه و غیر مبهمی شرح داده شود. این دستورات سپس به زبان های برنامه نویسی سطح بالا برگردانده می شود و بعد از آن به کدهایی که کامپیوتر قادر به درک آنها است تبدیل می شود. به طور کلی این ماشین ها قابل پیش گویی هستند و اگر چیزی به خطا انجام شود به یک اشتباه سخت افزاری یا نرم افزاری بر می گردد.
شبکه های عصبی و کامپیوتر های معمولی با هم در حال رقابت نیستند بلکه کامل کننده یکدیگرند. وظایفی وجود دارد که بیشتر مناسب روش های الگوریتمی هستند نظیر عملیات محاسباتی و وظایفی نیز وجود دارد که بیشتر مناسب شبکه های عصبی هستند. حتی فراتر از این، مسائلی وجود دارد که نیازمند به سیستمی است که از ترکیب هر دو روش بدست می آید(به طور معمول کامپیوتر های معمولی برای نظارت بر شبکه های عصبی به کار گرفته می شوند) به این قصد که بیشترین کارایی بدست آید.
شبکه های عصبی معجزه نمی کنند اما اگر خردمندانه به کار گرفته شوند نتایج شگفت آوری را خلق می کنند.

سابقه تاریخیبه نظر میآید شبیهسازیهای شبکه عصبی یکی از پیشرفتهای اخیر باشد. اگرچه این موضوع پیش از ظهور کامپیوترها بنیانگذاری شده و حداقل یک مانع بزرگ تاریخی و چندین دوره مختلف را پشت سر گذاشته است.
خیلی از پیشرفتهای مهم با تقلیدها و شبیهسازیهای ساده و ارزان کامپیوتری بدست آمده است. در پی یک دوره ابتدائی اشتیاق و فعالیت در این زمینه، یک دورهی بیمیلی و بدنامی را هم پشت سرگذاشته است. در طول این دوره سرمایه گذاری و پشتیبانی حرفهای از این موضوع در پایینترین حد خود بود، پیشرفتهای مهمی به نسبت تحقیقات محدود در این زمینه صورت گرفت که بدین وسیله پیشگامان قادر شدند تا به گسترش تکنولوژی متقاعدکنندهای بپردازند که خیلی برجستهتر از محدودیتهایی بود که توسط Minsky و Papert شناسانده شد. Minsky وPapert کتابی را در سال 1969 منتشر کردند که در آن عقیده عمومی راجع به میزان محرومیت شبکههای عصبی را در میان محققان معین کرده بود و بدین صورت این عقیده بدون تجزبه و تحلیلهای بیشتر پذیرفته شد. هماکنون، زمینه تحقیق شبکههای عصبی از تجدید حیات علایق و متناظر با آن افزایش سرمایهگذاری لذت میبرد.
اولین سلول عصبی مصنوعی در سال 1943 بهوسیله یک neurophysiologist به نامWarren McCulloch و یک منطق دان به نام Walter Pits ساخته شد اما محدودیتهای تکنولوژی در آن زمان اجازه کار بیشتر به آنها نداد.
ساختار شبکه های عصبی مصنوعیشبکه های عصبی مصنوعی جز آن دسته از سیستمهای دینامیکی قرار دارند که با پردازش روی دادههای تجربی، دانش یا قانون نهفته در ورای دادهها را به ساختار شبکه منتقل میکنند. به همین خاطر به این سیستمها هوشمند میگویند، چرا که بر اساس محاسبات روی دادههای عددی یا مثالها، قوانین کلی را یاد می گیرند. برای نخستین بار شخصی به نام سگال اعلام کرد که مغز از عناصر اصلی ساختاری به نام نرون تشکیل شده است و هر نرون بیولوژیکی به عنوان اجتماعی از مواد آلی، اگر چه دارای پیچیدگی یک میکروپروسسور است، ولی دارای سرعت محاسباتی برابر با یک میکروپروسسور نیست. دانشمندان علم بیولوژی دریافتهاند که عملکرد نرونهای بیولوژیکی از قبیل ذخیرهسازی و حفظ اطلاعات، در خود نرونها و ارتباطات بین نرونها نهفته است. گرچه همه نرونها کارکرد یکسانی دارند، ولی اندازه و شکل آنها بستگی به محل استقرارشان در سیستم عصبی دارد.
با وجود این همه تنوع، بیشتر نرونها از سه قسمت اساسی تشکیل شدهاند:
بدنه سلول (که شامل هسته و قسمت های حفاظتی دیگر است)
دندریت
اکسون
دو قسمت آخر، عناصر ارتباطی نرون را تشکیل می دهند. شکل 2-1 ساختمان سلول عصبی را نشان میدهند.

شکل 2- SEQ شکل_2- * ARABIC 1: ساختمان سلول عصبینرون ها بر اساس ساختارهایی که بین آنها پیامها هدایت میشوند به سه دسته تقسیم میگردند:
نرونهای حسی که اطلاعات را از ارگانهای حسی به مغز و نخاع می فرستند.
نرونهای محرک که سیگنالهای فرمان را از مغز و نخاع به ماهیچهها و غدد هدایت میکنند.
نرونهای ارتباطی که نرونها را به هم متصل میکنند.
روابط بین نرونهای ارتباطی موجبات انجام کارهای پیچیده را از قبیل تفکر، احساسات، ادراک و محفوظات فراهم میآورد. با توجه به مقدمات فوق، میتوان گفت که با تمام اغراقها در مورد شبکههای عصبی مصنوعی، این شبکهها اصلا سعی در حفظ پیچیدگی مغز ندارند. از جمله شباهت این دو سیستم میتوان به موارد زیر اشاره نمود:
بلوکهای ساختاری در هر دو شبکه مصنوعی و بیولوژیکی، دستگاههای محاسباتی خیلی ساده هستند و علاوه بر این، نرونهای مصنوعی از سادگی بیشتری برخوردار هستند.
ارتباطهای بین نرونها، عملکرد شبکه را تعیین میکند اگر چه نرونهای بیولوژیکی از نرونهای مصنوعی که توسط مدارهای الکتریکی ساخته میشوند، بسیار کندتر هستند(یک میلیون بار)، اما عملکرد مغز، خیلی سریعتر از عملکرد یک کامپیوتر معمولی است. علت این پدیده بیشتر به خاطر ساختار کاملا موازی نرونها است و این یعنی همه نرونها معمولا به طور همزمان کار میکنند و پاسخ میدهند.
شبکههای عصبی مصنوعی هم دارای ساختار کاملا موازی هستند. اگرچه بیشتر شبکههای عصبی مصنوعی هم اکنون توسط کامپیوترهای سریع پیادهسازی میشوند، اما ساختار موازی شبکههای عصبی، این امکان را فراهم میآورد که به طور سختافزاری، توسط پردازشگرهای موازی، سیستمهای نوری و تکنولوژی پیاده سازی شوند.
شبکههای عصبی مصنوعی با وجود این که با سیستم عصبی طبیعی قابل مقایسه نیستند ویژگیهایی دارند که آنها را در بعضی از کاربردها مانند تفکیک الگو، رباتیک، کنترل و به طور کلی در هرجا که نیاز به یادگیری یک نگاشت خطی و یا غیرخطی باشد، ممتاز مینماید. این ویژگی ها به شرح زیر هستند:
قابلیت یادگیری: استخراج نتایج تحلیلی از یک نگاشت غیرخطی که با چند مثال مشخص شده، کار سادهای نیست. زیرا نرون یک دستگاه غیرخطی است و در نتیجه یک شبکه عصبی که از اجتماع این نرونها تشکیل میشود نیز یک سیستم کاملا پیچیده و غیرخطی خواهد بود. بهعلاوه، خاصیت غیرخطی عناصر پردازش، در کل شبکه توزیع میگردد. پیادهسازی این نتایج با یک الگوریتم معمولی و بدون قابلیت یادگیری، نیاز به دقت و مراقبت زیادی دارد. در چنین حالتی سیستمی که بتواند خود این رابطه را استخراج کند، بسیار سودمند بهنظر میرسد. خصوصا افزودن مثالهای احتمالی در آینده به یک سیستم با قابلیت یادگیری، به مراتب آسانتر از انجام آن در یک سیستم بدون چنین قابلیتی است، چراکه در سیستم اخیر، افزودن یک مثال جدید به منزله تعویض کلیه کارهای انجام شده قبلی است. قابلیت یادگیری یعنی توانایی تنظیم پارامترهای شبکه(وزنهای سیناپتیکی) در مسیر زمان که محیط شبکه تغییر میکند و شبکه شرایط جدید را تجربه میکند، با این هدف که اگر شبکه برای یک وضعیت خاص آموزش دید و تغییر کوچکی در شرایط محیطی آن(وضعیت خاص) رخ داد، شبکه بتواند با آموزش مختصر برای شرایط جدید نیز کارآمد باشد.
پراکندگی پردازش اطلاعات بهصورت متن: آنچه شبکه فرا میگیرد(اطلاعات یا دانش) در وزنهای سیناپسی مستتر میباشد. رابطه یکبهیک بین ورودیها و وزنهای سیناپتیکی وجود ندارد. میتوان گفت که هر وزن سیناپسی مربوط به همه ورودیها است ولی به هیچیک از آنها به طور منفرد و مجزا مربوط نیست. بهعبارت دیگر هر نرون در شبکه، از کل فعالیت سایر نرونها متاثر است. در نتیجه، اطلاعات بهصورت متن توسط شبکههای عصبی پردازش میشوند. بر این اساس چنانچه بخشی از سلولهای شبکه حذف شوند و یا عملکرد غلط داشته باشند باز هم احتمال رسیدن به پاسخ صحیح وجود دارد. اگر چه این احتمال برای تمام ورودیها کاهش یافته ولی برای هیچ یک از بین نرفته است.
قابلیت تعمیم: پس از آنکه مثالهای اولیه به شبکه آموزش داده شد، شبکه میتواند درمقابل یک ورودی آموزش داده نشده قرار گیرد و یک خروجی مناسب ارائه کند. این خروجی بر اساس مکانیزم تعمیم، که همانا چیزی جز فرایند درونیابی نیست به دست میآید. به عبارت روشنتر، شبکه، تابع را یاد میگیرد، الگوریتم را میآموزد یا رابطه تحلیلی مناسبی را برای تعدادی نقاط در فضا به دست میآورد.


پردازش موازی: هنگامیکه شبکه عصبی در قالب سختافزار پیاده میشود، سلولهایی که در یک تراز قرار میگیرند میتوانند بهطور همزمان به ورودیهای آن تراز پاسخ دهند. این ویژگی باعث افزایش سرعت پردازش میشود. در واقع در چنین سیستمی، وظیفه کلی پردازش بین پردازندههای کوچکتر مستقل از یکدیگر توزیع میگردد.
مقاوم بودن: در یک شبکه عصبی هر سلول به طور مستقل عمل میکند و رفتار کلی شبکه، برآیند رفتارهای محلی سلولهای متعدد است؛ این ویژگی باعث می شود تا خطاهای محلی از چشم خروجی نهایی دور بمانند.
مبانی محاسباتی شبکه های عصبی مصنوعیدر شکل های 2-2 و 2-3 الگوی کلی یک شبکه عصبی مصنوعی نشان داده شده است. در الگوی نشان داده شده در شکل 2-2، سه لایه قابل تشخیص است.

شکل 2- SEQ شکل_2- * ARABIC 2: الگوی کلی از یک شبکه عصبیلایه ورودیلایه ورودی: یک لایه از نرونها که اطلاعات را از منابع بیرونی دریافت میکنند و آنها را به شبکه منتقل میکنند.
لایه پنهانیلایه پنهانی: یک لایه از نرونها که اطلاعات را از لایه ورودی دریافت میکنند و آنها را به صورت مخفی پردازش می کنند.
لایه خروجیلایه خروجی:لایهای از نرونها که اطلاعات پردازششده را دریافت میکنند و آنها را به سیستم میفرستند.

شکل 2- SEQ شکل_2- * ARABIC 3: شماتیک ارتباطات بین لایه ها و وزن های سیناپتیکی در شبکه عصبیبایاس: مانند یک افست روی سیستم عمل میکند. عمل بایاس به اینگونه است که یک سرآغاز برای فعال سازی نرون ایجاد میکند. بایاس روی لایه مخفی و لایه خروجی عمل میکند.
تناظر بین شبکه عصبی و شبکه عصبی مصنوعی در شکل 2-4 قابل مشاهده است.

شکل 2- SEQ شکل_2- * ARABIC 4: تناظر بین شبکه عصبی و شبکه عصبی مصنوعیتعداد نرونهای ورودیها به تعداد متغیر ورودی و تعداد نرونهای خروجی به تعداد متغیرهای پاسخ بستگی دارد. تعداد نرونهای لایه مخفی هم به کاربرد شبکه بستگی دارد. مهمترین عنصر شبکههای عصبی، نرون است. نرونها شامل عناصر محاسباتی هستند که عمل یک شبکه عصبی را انجام می دهند. شکل 2-5 یک نرون از شبکه عصبی را نشان میدهد.

شکل 2- SEQ شکل_2- * ARABIC 5: نمای شماتیک یک نرونعناصر محاسباتی یک نرونورودیها و خروجیها: ورودیها باan ، a2 ، a1 و خروجیها با bj نمایش داده شدهاند.
وزن ها: این متغیرها باwnj ،w2j و w1j نمایش داده میشوند که هر کدام به یک ورودی مرتبط هستند. این متغیرها همانند سیناپسها در سلولهای عصبی واقعی هستند. آنها ضرایب تطبیقپذیری در شبکه هستند که شدت سیگنال ورودی را معین میکنند. هر ورودی با وزن مربوطهاش ضرب شده و نرون از حاصلجمع این حاصلضربها استفاده میکند. اگر علامت وزن مثبت باشد، حاصلضرب وزن در ورودی اثر نرون را تقویت میکند و اگر منفی باشد، اثر نرون را کم میکند. در یک شبکه عصبی مقدار وزنها با توجه به یک توزیع آماری مشخص میشوند و سپس در طول آموزش شبکه این مقادیر تغییر کرده و به مقدار ثابتی خواهند رسید.
بایاس ورودی: ورودی دیگر به نرون، T است که به سرآغاز یا بایاس معروف است.
بایاس یک مقدار تصادفی است که به صورت زیر در معادله نرون وارد می شود:
(2-1) Total Activation= xi= i=1n(wij ai)- Tj Total Activation به اندازه بایاس ورودی بستگی دارد. اگر بایاسی به نرون وارد نشود، بایاس صفر فرض می شود.
در شکل 2-6 اجزای یک نرون بیولوژیکی و مصنوعی مقایسه شده است.

شکل 2- SEQ شکل_2- * ARABIC 6: شبیه سازی یک نرون بیولوژیکی و مصنوعیتابعانتقال، برروی Total Activation عمل کرده وخروجی نرون مشخص میشود. تابع انتقال میتواند به صورت خطی یا غیرخطی عمل کند. تعدادی از توابع انتقال بهصورت شکل 2-7 میباشند.

شکل 2- SEQ شکل_2- * ARABIC 7: برخی از توابع انتقال غیرخطی قابل استفاده در شبکه عصبی
معرفی برخی از توابع انتقال خطی و غیرخطی قابل استفاده در شبکه عصبیاز توابع انتقال دیگر رایج در شبکه عصبی می توان توابع زیر را نام برد:
تابع انتقال Hard limitاین تابع انتقال در صورتی که n<0 باشد خروجی 0 (صفر) و در صورتی که n≥0 باشد خروجی 1 می دهد. منحنی این تابع در شکل 2-8 قابل مشاهده است.

شکل 2- SEQ شکل_2- * ARABIC 8: تابع انتقال Hard limitتابع انتقال خطیاین تابع همان مقدار ورودی را به عنوان خروجی چاپ می کند.

شکل 2- SEQ شکل_2- * ARABIC 9: تابع انتقال خطی
تابع انتقال Log sigmoidاین تابع انتقال مقادیر ورودی را در محدوده ی ∞- تا ∞ دریافت و خروجی بین 0 و 1 تولید می نماید.

شکل 2- SEQ شکل_2- * ARABIC 10: تابع انتقال Log sigmoidتابع انتقال Radial basis
شکل 2- SEQ شکل_2- * ARABIC 11: تابع انتقال Radial basisتابع انتقال Tan sigmoid
شکل 2- SEQ شکل_2- * ARABIC 12: تابع انتقال Tan sigmoidنحوه عملکرد شبکه عصبیهمان‌طور که در شکل 2-13 مشاهده می‌کنید، نرون‌ها به صورت گروهی لایه‌بندی می‌شوند. وقتی سیگنال یا پالسی  به یک لایه ارسال می‌شود، این سیگنال از لایه بالایی شروع به فعالیت می‌کند و توسط نرون‌های آن لایه بررسی و اصلاح می‌گردد. در حقیقت هر نورون قدرت سیگنال را بالا می‌برد و آن پالس را به لایه بعدی انتقال می‌دهد.

شکل 2- SEQ شکل_2- * ARABIC 13: نمایش لایه ای از شبکه عصبیهمان‌طور که در شکل 2-14 مشاهده می‌کنید، این شبکه دارای سه لایه است. لایه 1 یا لایه بالایی این شبکه که در حقیقت لایه ورودی است، پارامترهای پالس را تنظیم می‌کند و این مقادیر را همراه سیگنال یا پالس به لایه‌های بعدی پاس می‌دهد، ولی نرون‌های لایه 3 یا لایه خروجی‌ که در پایین‌ترین سطح شبکه قرار دارد، هیچ سیگنالی را به لایه دیگری نمی‌فرستند و در واقع فقط خروجی دارند.

شکل 2- SEQ شکل_2- * ARABIC 14: نمایش شبکه عصبی سه لایه ایحال قسمت اصلی کار شبکه فرا می‌رسد؛ یعنی آموختن به شبکه عصبی.
برای این‌که به شبکه عصبی موجود توانایی آموختن بدهیم، بعد از این‌که سیگنال از لایه اول شبکه به لایه پایینی شبکه می‌رود، باید اطلاعات هر نورون را که روی سیگنال ما اثر می‌گذارد، بروزآوری و اصلاح کنیم. این رویه را به اصطلاح BP یا Back Propagation می‌گویند.
در حقیقت با این کار یعنی مقایسه خروجی‌ای که خودمان محاسبه کرده‌ایم با خروجی شبکه، می‌توانیم مقدار اشتباهاتی که شبکه ما انجام می‌دهد را به دست آوریم. مثلاً تصور کنید که در یک سلول نورون در لایه آخر شبکه یا لایه خروجی اشتباهی داریم، هر نورون در واقع رکورد تمامی نرون‌هایی که سیگنال از آن عبور می‌کند را نگهداری می‌نماید و می‌داند که کدام یک از نرون‌های قبلی یا به اصطلاح نرون‌های والد باعث این اشتباه می‌شوند. همچنین می‌دانیم که هر کدام از این نرون‌های شبکه یک مقدار اشتباه را محاسبه کرده‌اند و از این طریق شبکه ما می‌تواند یاد بگیرد و اگر مقدار دیگری نیز به آن داده شد، می‌تواند توانایی محاسبه داشته باشد.
توابع آموزشدر نرم افزار MATLAB 7.8(2009a) هر یک از توابع موجود در جدول 2-1 را به عنوان تابع آموزش شبکه می توان استفاده نمود.
جدول 2- SEQ جدول_2- * ARABIC 1: انواع توابع آموزشآموزش به روش پس انتشار شبه نیوتن trainbfg
آموزش به روش پس انتشار شیب به روش Powell-Beale traincgb
آموزش به روش پس انتشار شیب به روش Fletcher-Powell traincgf
آموزش به روش پس انتشار شیب به روش Polak-Ribiere traincgp
آموزش به روش پس انتشارکاهش شیب traingd
آموزش به روش الگوریتم کاهش شیب پس انتشار به وسیله ی قاعده ی آموزش سازگار traingda
آموزش به روش الگوریتم کاهش شیب پس انتشار مومنتوم و پس انتشار آموزش سازگار traingdx
آموزش به روش پس انتشار شیب Levenberg-Marquardt trainlm
آموزش به روش پس انتشار Resilient trainrp
آموزش به روش پس انتشار گرادیان مقیاس بندی شده trainscg
فصل سومبهینه سازی مدل با استفاده از الگوریتم ژنتیک
مقدمه ای بر الگوریتم ژنتیکالگوریتم ژنتیک از دسته الگوریتم های بهینه سازی تکاملی و برگرفته از نظریه تکامل زیستی داروین (١٨۵٩) است. این الگوریتم اول بار توسط جان هولند معرفی شد الگوریتم ژنتیک برای بهینه سازی مسائل پیچیده به ویژه در مسائلی که اطلاعات کافی در مورد فضای جستجو در دسترس نیست بسیار مورد استفاده قرار می گیرد. اگرچه الگوریتم ژنتیک تضمین نمی کند که بهترین جواب ممکن را تولید کند اما معمولا در زمان کوتاهی با تقریب مناسب جواب بهینه را تولید خواهد کرد. برای حل هر مسئله به کمک الگوریتم ژنتیک، مجموعه ای از جواب های ممکن برای مسئله، با جمعیتی از کروموزوم ها مدل می شود. به هر کروموزوم بر اساس میزان برآورده کردن مطلوبات مورد نظر یک ضریب تناسب نسبت می دهیم. با اعمال عملگرهای الگوریتم ژنتیک مانند تولید مثل ژنتیکی ، جهش ژنتیکی و انتخاب گونه های قوی تر بر این جمعیت، به تدریج مجموعه جواب به سمت جواب های بهینه پیش می رود. در زیر برخی از این عملگرهای ژنتیکی توضیح داده شده اند:
انتخاب گونه های قوی تر: در هر نسل کروموزوم هایی که جواب های مناسب تر را مدل می کنند برای تولید نسل جدید انتخاب می شوند و گونه های ضعیف تر به تدریج حذف می شوند.
تولید مثل ژنتیکی: ژن های دو کروموزوم انتخاب شده برای تولید مثل به صورت تصادفی با هم ترکیب می شوند و کروموزوم های جدیدی تولید می شود.
جهش ژنتیکی: به صورت تصادفی تغییراتی در برخی ژن های موجود در تعدادی از کروموزوم ها ایجاد می کنند که منجر به تولید کروموزوم های جهش یافته می شود.
نکات مهم در الگوریتم های ژنتیکالف- شرایط جمعیت اولیه می‌تواند در سرعت رسیدن به جواب بسیار تأثیرگذار باشد. یعنی اگر جمعیت اولیه مناسب‌تر باشد، بسیار سریع‌تر به جواب می‌رسیم. بنابراین گاهی در بعضی از مسئله‌ها به جای آن که جمعیت اولیه به صورت تصادفی ایجاد شود، از اعمال شرایط خاص مسئله به جمعیت اولیه نیز استفاده می‌شود.
ب- با توجه به وجود پارامترهای تصادفی در الگوریتم مسئله حتی در صورت استفاده از جمعیت اولیه یکسان ممکن است در اجراهای مختلف الزاماً جواب های یکسان به دست نیاید و البته در صورت استفاده از جمعیت اولیه متناوت این پدیده ملموس تر خواهد بود.
ج- تابع هدف در این‌گونه از الگوریتم‌ها از اهمیت بسزایی برخوردار است؛ چرا که معمولاً در اکثر مسائل در اثر ترکیب، حالت‌هایی رخ می‌دهد که منطبق بر شرایط مسئله نیست و حتی فاقد معنی و مفهوم است. بنابراین تابع ارزش باید به گونه‌ای طراحی شود که به ازای این حالات مقادیر بسیار کمی برگرداند و از طرفی باید برای نزدیک شدن به هدف بسیار خوب تخمین بزند(این همان نکته ای است که در مدل سازی با استفاده از شبکه عصبی و همچنین استخراج یک تایع هدف مناسب در فصل قبل به آن پرداخته شده است که نتایج کار را در فصل های آتی مشاهده خواهد شد).
د- یکی از پدیده‌های جالب این است که ممکن است در نسل‌های میانی نمونه‌هایی بروز کنند که از نظر تابع ارزش و خوب بودن بسیار مناسب باشند. یک روش این است که اینگونه موارد را شناسایی کنیم و در نسل بعدی نیز از آن‌ها استفاده کنیم. به این تکنیک نخبه‌گرایی می‌گویند که عملاً تأثیر بسزایی در رسیدن به جواب مسئله دارد[15].
مفاهیم اولیه در الگوریتم ژنتیکاصول پایه
الگوریتم های ژنتیکی براساس تئوری تکاملی داروین می باشند و جواب مساله ای که از طریق الگوریتم ژنتیک حل می شود مرتباً بهبود می یابد. الگوریتم ژنتیک با یک مجموعه از جواب ها که از طریق کرموزومها نشان داده می شوند شروع می شود. این مجموعه جواب ها جمعیت اولیه نام دارند. در این الگوریتم جواب های حاصل از یک جمعیت برای تولید جمعیت بعدی استفاده می شوند. در این فرایند امید است که جمعیت جدید نسبت به جمعیت قبلی بهتر باشد. انتخاب بعضی از جواب ها از میان کل جواب ها(والدین) به منظور ایجاد جواب های جدید یا همان فرزندان بر اساس میزان مطلوبیت آن ها می باشد. طبیعی است که جواب های مناسب تر شانس بیشتری برای تولید مجدد داشته باشند. این فرایند تا برقراری شرطی که از پیش تعیین شده است مانند تعداد جمعیت ها یا میزان بهبود جواب ادامه می یابد.
شمای کلی الگوریتم ژنتیک
١) تولید جمعیت تصادفی شامل n کروموزوم
٢) بررسی تابع هدف (x) f هر کروموزوم در جمعیت
٣) ایجاد یک جمعیت جدید بر اساس تکرار قدم های زیر:
3-١) انتخاب دو کروموزوم والد از یک جمعیت بر اساس میزان مطلوبیت آن ها
3-٢) درنظر گرفتن مقدار مشخصی برای احتمال اعمال عملگر تقاطعی
وسپس انجام عملیات ترکیب بر روی والدین به منظور ایجاد فرزندان. اگر هیچ ترکیب جدیدی صورت نگیرد، فرزندان همان والدین خواهند بود.
٣-3) در نظر گرفتن احتمال جهش وسپس تغییرفرزندان با اعمال عملگرجهشی
3-۴) جایگزینی فرزندان جدید در جمعیت جدید
۴) استفاده از جمعیت جدید برای اجراهای بعدی الگوریتم
5) توقف اجرای الگوریتم در صورت مشاهده شرایط توقف و برگرداندن بهترین جواب در جمعیت فعلی
۶) رفتن به قدم ٢
همانطور که مشاهده می شود، اصول پایه ای الگوریتم ژنتیک بسیار عمومی است. بنابراین برای مسائل مختلف فاکتورهای مختلف زیادی وجود دارد که باید مورد بررسی قرار گیرد. اولین سؤال این است که ایجاد یک کروموزوم چگونه است؟ یا اینکه چه نوعی از کدینگ انتخاب شود؟
دوعملگر بسیار مهم و پایه ای الگوریتم ژنتیک عملگرهای تقاطعی وجهشی می باشند. سؤال بعدی این است که برای ترکیب والدین به منظور ایجاد فرزندان جدید چگونه والدین را انتخاب کنیم. این کار به طرق مختلف می تواند صورت بگیرد، اما ایده اصلی در تمامی آن ها این است که والدین بهتر انتخاب شوند، به این امید که والدین بهتر باعث ایجاد فرزندان بهتر شوند. مساله ای که ممکن است در اینجا مورد سؤال باشد این است که اگر جمعیت جدید تنها از طریق فرزندان جدید ایجاد شود، این فرایند منجر به حذف بهترین کرموزوم های نسل قبل می گردد. برای جلوگیری از این پیشامد، همیشه بهترین جواب نسل قبل را بدون هیچ تغییری به نسل جدید منتقل می کنیم.
کد کردنالگوریتم ژنتیک بجای اینکه بر روی پارامترها یا متغیرهای مساله کارکند، با شکل کد شده آن ها بطور مناسب سر و کار دارد. روش های کدگذاری متداول در الگوریتم ژنتیک عبارتند از کدینگ باینری، کدینگ درختی، کدینگ ارزشی و کدینگ جهشی. تعداد بیت هایی که برای کدگذاری متغیرها استفاده می شود وابسته به دقت مورد نظر برای جواب ها، محدوده تغییرات پارامترها و رابطه بین متغیرها می باشد.
انواع کدینگکدینگ به دو صورت کلی می باشد :
کدینگ مستقیم
در این روش کل یک جواب به عنوان یک کروموزوم در نظر گرفته می شود. برای مسائل پیچیده چنین روشی مناسب نیست، زیرا عملگرهای ژنتیکی بخاطرگستردگی زیاد فرزندان، غیرکاربردی می شوند و در نتیجه منجر به جواب های غیرقابل قبول و غیرقانونی می شوند.
کدینگ غیرمستقیم
در این روش تنها قسمتی از یک جواب بصورت یک کروموزوم کد می شود.
روش های کدینگکدینگ باینریاین نوع کدینگ، متداولترین نوع کدینگ می باشد. در این روش کدگذاری، هر کروموزوم یک رشته از بیت های شامل ٠و ١ می باشد. کدینگ باینری می تواند حالت های زیادی را پوشش دهد.

شکل 3- SEQ شکل_3- * ARABIC 1: کدینگ باینریاز طرف دیگر این نوع کدینگ برای خیلی از مسائل حالت طبیعی ندارد و اغلب اوقات لازم است که بعد از تقاطع و جهش اصلاحاتی صورت بگیرد.

user8323

2-2-3-2- مسأله مکانیابی حداکثر پوشش21
2-2-3-3- مسائل p-center22
2-2-3-4- مسائل p-median23
2-2-4- مسائل دیگر مکانیابی24
2-2-5- مسائل مکانیابی تسهیلات با تقاضای تصادفی و تراکم25
2-2-5-1- مرور ادبیات مسائل مکانیابی تسهیلات با تقاضای تصادفی و تراکم26
2-2-5-2- مکانیابی تسهیلات با تقاضای تصادفی و تراکم29
2-3- نظریه صف35
2-3-1- مشخصات صف36
2-3-2- قانون لیتِل38
2-3-3- صف M/M/139
2-4- مسائل بهینه سازی چندهدفه40
2-4-1- فرمول بندی مسائل بهینه سازی چندهدفه40
2-4-2- الگوریتم‌های تکاملی برای بهینه سازی مسائل چندهدفه بر مبنای الگوریتم ژنتیک41
2-4-2-1- الگوریتم ژنتیک مرتب سازی نامغلوب42
2-4-2-2- الگوریتم NSGA-II محدود شده45
2-4-2-3- الگوریتم ژنتیک رتبه بندی نامغلوب46
2-4-3- الگوریتم‌های تکاملی برای بهینه سازی مسائل چندهدفه بر مبنای سیستم ایمنی مصنوعی49
2-4-3-1- سیستم ایمنی مصنوعی49
2-4-3-1-1- مفاهیم ایمنی49
2-4-3-1-2- ایمنی ذاتی51
2-4-3-1-3- ایمنی اکتسابی51
2-4-3-1-4- تئوری شبکه ایمنی52
2-4-3-1-5- الگوریتم ایمنی مصنوعی53
2-4-3-1-6- سیستم ایمنی مصنوعی و مسائل بهینه سازی چندهدفه54
2-4-3-2- الگوریتم MISA56
2-4-3-3- الگوریتم VIS61
2-4-3-4- الگوریتم NNIA64
2-5- روش‌های اندازه گیری عملکرد الگوریتم‌های چندهدفه67
2-5-1- فاصله نسلی68
2-5-2- درجه توازن در رسیدن همزمان به اهداف69
2-5-3- مساحت زیر خط رگرسیون70
2-5-4- تعداد جواب‌های غیرمغلوب نهائی71
2-5-5- فاصله گذاری71
2-5-6- گسترش72
2-5-7- سرعت همگرائی73
2-5-8- منطقه زیر پوشش دو مجموعه73
2-6- جمع بندی74
فصل سوم: مدل سازی مسأله و توسعه الگوریتم‌ها76
3-1- مسأله موردتحقیق77
3-2- طراحی الگوریتم‌ها81
3-2-1- تطبیق الگوریتم‌ها با مسئله موردبررسی81
3-2-1-1- ساختار حل‌ها81
3-2-1-2- معیار توقف82
3-2-2- تطبیق الگوریتم NSGA-II برای مسئله موردبررسی83
3-2-3- تطبیق الگوریتم CNSGA-II برای مسئله موردبررسی84
3-2-4- تطبیق الگوریتم NRGA برای مسئله موردبررسی85
3-2-5- تطبیق الگوریتم MISA برای مسئله موردبررسی85
3-2-6- تطبیق الگوریتم VIS برای مسئله موردبررسی85
3-2-7- تطبیق الگوریتم NNIA برای مسئله موردبررسی86
فصل چهارم: تجزیه و تحلیل داده‌ها87
4-1- تولید مسأله نمونه88
4-2- اندازه گیری عملکرد الگوریتم‌ها براساس معیارها89
4-3- تجزیه و تحلیل نتایج92
فصل پنجم: نتیجه گیری و مطالعات آتی100
5-1- نتیجه گیری101
5-2- مطالعات آتی102
فهرست منابع و مراجع103
پیوست الف: محاسبه معیارهای هشت گانه برای الگوریتم های استفاده شده105
پیوست ب: نمودارهای بدست آمده از تجزیه و تحلیل نتایج113
پیوست ج: یک نمونه مسئله حل شده توسط الگوریتم NSGA-II118
پیوست د: کد برنامه نویسی الگوریتم NSGA-II در محیط MATLAB123

فهرست اشکال
شکل 2-1- مدل پایه‌ای صف36
شکل 2-2- مجموعه حل‌های غیرمغلوب41
شکل 2-3- نمایشی از نحوه عملکرد NSGA-II43
شکل2-4- الگوریتم NRGA47
شکل 2-5- سلول B، آنتی ژن، آنتی بادی، اپیتوپ، پاراتوپ و ادیوتوپ50
شکل 2-6- فلوچارت الگوریتم MISA57
شکل 2-7- یک شبکه تطبیقی برای رسیدگی به حافظه ثانویه60
شکل 2-8- فلوچارت الگوریتم VIS62
شکل 2-9- تکامل جمعیت NNIA65
شکل 2-10- نمایش حل‌های مناسب69
شکل 2-11- مساحت زیر خط رگرسیون70
شکل 2-12- بیشترین گسترش73
شکل 3-1- مکانیسم عملگر تقاطع83
شکل 4-1- نمودار همگرایی الگوریتم‌ها براساس شاخص MID90
شکل 4-2- نتیجه بدست آمده از آنالیز واریانس برای معیار تعداد جواب‌های غیرمغلوب94
شکل 4-3- نتیجه بدست آمده از آزمون توکی برای معیار تعداد جواب‌های غیرمغلوب95
شکل 4-4- نتیجه به دست آمده از آنالیز واریانس برای تعداد جواب‌های غیرمغلوب97

فهرست جداول
جدول 4-1- مشخصات هر نمونه88
جدول 4-2- گروه بندی الگوریتم‌ها براساس معیار تعداد جواب‌های غیرمغلوب96
جدول 4-3- مقایسه الگوریتم‌ها ازنظر معیارهای مختلف و در حالت‌های گوناگون98
جدول 4-4- متوسط معیارهای الگوریتم‌ها و رتبه بندی الگوریتم‌ها براساس آن99
4221207272
82867519050 1
00 1

تعریف مسأله

1-1- مقدمه
با رشد روز افزون معاملات تجاری در سطح جهان و در سال‌های اخیر، ظهور پدیده تجارت الکترونیک و بانکداری الکترونیک به عنوان بخش تفکیک ناپذیر از تجارت الکترونیک مطرح شد. بانکداری الکترونیک اوج استفاده از فناوری انفورماتیک و ارتباطات و اطلاعات برای حذف دو قید زمان و مکان از خدمات بانکی است. ضرورت یک نظام بانکی کارامد برای حضور در بازارهای داخلی و خارجی ایجاب می‌کند تا بانکداری الکترونیک نه به عنوان یک انتخاب، بلکه ضرورت مطرح شود. امروزه پایانه فروش، پایانه شعب، دستگاه‌های خودپرداز و ... نماد بانکداری الکترونیک است و یافتن مکان بهینه برای این پایانه‌ها و دستگاه‌ها می‌تواند نقش مهمی در حضور یک بانک یا مؤسسه در بازارهای داخلی و خارجی داشته باشد [1].
1-2- مکانیابی تسهیلات
فرض کنید که یک شرکت رسانه‌ای می‌خواهد که ایستگاه‌های روزنامه را در یک شهر ایجاد کند. این شرکت در حال حاضر جایگاه‌هایی را به صورت بالقوه در شهرهای همسایه اش مشخص کرده‌است و هزینه ایجاد و نگهداری یک جایگاه را می‌داند. همچنین فرض کنید که تقاضای روزنامه در هر شهر همسایه مشخص است. اگر این شرکت بخواهد تعدادی از این ایستگاه‌ها را ایجاد کند، باتوجه به مینیمم کردن کل هزینه‌های ایجاد و نگهداری این ایستگاه‌ها و همچنین متوسط مسافت سفر مشتریان، این ایستگاه‌ها در کجا باید واقع شوند؟
سؤال قبل یک مثال از مسأله مکانیابی تسهیلات بود. مکانیابی تسهیلات یعنی اینکه مجموعه‌ای از تسهیلات (منابع) را به صورت فیزیکی به گونه‌ای در یک مکان قراردهیم که مجموع هزینه برآورده کردن نیازها (مشتریان) باتوجه به محدودیت‌هایی که سر راه این مکانیابی قرار دارد، مینیمم گردد.
از سالهای 1960 به این طرف مسائل مکانیابی یک جایگاه ویژه‌ای را در حیطه تحقیق در عملیات اشغال کرده‌اند. آنها وضعیت‌های مختلفی را درنظر گرفته‌اند که می‌توان به موارد ذیل اشاره کرد: تصمیم گیری در مورد مکان کارخانجات، انبارها، ایستگاه‌های آتش نشانی و بیمارستان‌ها.
به طور اساسی، یک مسأله مکانیابی بوسیله چهار عنصر زیر توصیف می‌شود:
مجموعه‌ای از مکانها که در آن‌ها، تسهیلات ممکن است ایجاد یا باز شوند. برای هر مکان نیز بعضی اطلاعات درمورد هزینه ساخت یا باز نمودن یک تسهیل در آن مکان مشخص می‌شود.
مجموعه‌ای از نقاط تقاضا (مشتریان) که برای سرویس دهی به بعضی از تسهیلات اختصاص داده شوند. برای هر مشتری، اگر بوسیله یک تسهیل معینی خدمت‌رسانی شود، بعضی اطلاعات راجع به تقاضایش و درمورد هزینه یا سودش بدست می‌آید.
لیستی از احتیاجات که باید بوسیله تسهیلات بازشده و بوسیله تخصیص نقاط تقاضا به تسهیلات برآورده شود.
تابعی از هزینه یا سودهایی که به هر مجموعه از تسهیلات اختصاص پیدا می‌کند.
پس هدف این نوع مسائل، پیدا کردن مجموعه‌ای از تسهیلات است که باید باتوجه به بهینه کردن تابع مشخصی باز شوند.
مدل‌های مکانیابی در یک زمینه گسترده از کاربردها استفاده می‌شود. بعضی از این موارد شامل موارد ذیل است: مکانیابی انبار در زنجیره تأمین برای مینیمم کردن متوسط زمان فاصله تا بازار؛ مکانیابی سایت‌های مواد خطرناک برای مینیمم کردن درمعرض عموم قرار گرفتن؛ مکانیابی ایستگاه‌های راه آهن برای مینیمم کردن تغییرپذیری زمان بندی‌های تحویل بار؛ مکانیابی دستگاه‌های خودپرداز برای بهترین سرویس دهی به مشتریان بانک و مکانیابی ایستگاه‌های عملیات تجسس و نجات ساحلی برای مینیمم کردن ماکزیمم زمان پاسخ به حادثه‌های ناوگان دریایی. با اینکه این پنج مسأله توابع هدف مختلفی دارند، همه این مسائل در حوزه مکانیابی تسهیلات واقع می‌شوند. درواقع، مدل‌های مکان‌یابی تسهیلات می‌توانند در موارد ذیل متفاوت باشند: توابع هدفشان، معیارهای فاصله‌ای که به کار می‌برند، تعداد و اندازه تسهیلاتی که قرار است مکانیابی شوند و چندین معیار تصمیم گیری مختلف دیگر. بسته به کاربرد خاص هر مسأله، درنظرگرفتن این معیارهای مختلف در فرموله کردن مسأله، منتهی به مدل‌های مکانیابی بسیار متفاوتی خواهدشد.
1-3- بیان مسأله
هدف از اجرای این تحقیق، مکان‌یابی سیستم‌های خدمات رسانی ثابت با ظرفیت خدمت محدود می‌باشد. یعنی دستگاه‌های خدمت‌رسان به چه تعداد و در چه محل‌هایی استقرار یابند و چه مراکز تقاضایی به این دستگاههای خدمت‌رسان تخصیص یابند. در چنین سیستم‌هایی، زمانی که برای انجام سرویس موردنیاز است تصادفی است و همچنین تقاضای انجام خدمت در نقاط تصادفی از زمان می‌رسند که این تقاضا از جمعیت بزرگی از مشتریان سرچشمه می‌گیرد و معمولاً این سرویس‌دهی در نزدیک ترین تسهیل انجام می‌شود. چنین سیستم‌های خدمت‌رسانی، سیستم‌های صف را تشکیل می‌دهند. مدل‌های مختلفی برای حل این مسائل مکان‌یابی سیستم صف ارائه شده‌است.
دو ناحیه کاربردی وجود دارد که ما با این مدل‌ها روبه رو می‌شویم [4]: اولی در طراحی سیستم ارتباط کامپیوتری مانند اینترنت می‌باشد. در یک سیستم ارتباط کامپیوتری، ترمینال‌های مشتری (کاربران اینترنت) به کامپیوترهای میزبان (سرورهای پروکسی، سرورهای آینه) وصل می‌شوند که قابلیت پردازش بالا و/یا پایگاه داده‌های بزرگ میزبان دارند. زمانی که طول می‌کشد تا سرور درخواست را پردازش کند بستگی به سرعت پردازش سرور و و نوع درخواست دارد که آن هم تصادفی است. زمانی که مشتری برای پاسخ سرور منتظر می‌ماند نیز بستگی به تعداد و اندازه درخواست‌های داده‌ای است که در حال حاضر در صف هستند. به طور کلی، درخواست‌های مشتری‌ها به نزدیکترین سرور وصل می‌شود. این مکان و ظرفیت سرورها، پارامترهای طراحی بحرانی هستند. این انتخاب پارامترها تأثیری قابل توجه روی کیفیت خدمات دارد، به طوری که بوسیله یک مشتری درک می‌شود.
کاربرد دوم شامل طراحی یک سیستم دستگاه خودپرداز برای بانک است. مشتری‌ها به صورت تصادفی به یک دستگاه خودپرداز می‌رسند. اگر هنگامی‌که آن‌ها می‌رسند، دستگاه آزاد باشد، آن‌ها بلافاصله سرویس دهی می‌شوند. در غیر این صورت ، آن‌ها به صف می‌پیوندند یا آن جا را ترک می‌کنند. زمان تصادفی که یک مشتری در یک دستگاه سپری می‌کند بستگی به تعداد و نوع تراکنشی (مثلاً مانده حساب، دریافت وجه، انتقال وجه و غیره) دارد که او انجام می‌دهد. منبع قابل توجه دیگر زمان مشتری در یک دستگاه، شامل تأخیر ارسال در مدت شبکه ارتباط بانک است. از آن جا که دستگاه‌ها ثابت هستند، مشتری‌ها باید به یک مکان خودپرداز مراجعه کنند تا یک تراکنش را انجام دهند. گاهی اوقات، مردم در طول مسیر خود (مثلاً از خانه به محل کار) برای استفاده از یک دستگاه خودپرداز به آن مراجعه می‌کنند؛ گاهی اوقات هم، آن‌ها آن را طبق یک مسیر از پیش برنامه‌ریزی‌شده (مثلاً مسیر روزانه بین خانه و کار) استفاده می‌کنند. به طور کلی، آن‌ها از تسهیل با کمترین هزینه قابل‌دسترس استفاده می‌کنند. برای مثال، هنگامی‌که هزینه‌ها بوسیله مسافت سفر تعیین می‌شود، مشتری‌ها نزدیکترین تسهیل به محل کار/خانه یا نزدیکترین مسیر روزانه شان را انتخاب می‌کنند. ما فرض می‌کنیم که مشتری‌ها هیچ اطلاعی از تأخیرات دستگاه‌های خودپرداز ندارند و از این رو نزدیکترین تسهیل را برای درخواست سرویسشان انتخاب می‌کنند.
فرضیاتی که برای این مسأله درنظر گرفته می‌شود به شرح زیر می‌باشد:
گره مشتری وجود دارد که هر یک درخواستی را برای سرویس ایجادمی‌کند؛
تعداد درخواست‌ها در واحد زمان، یک جریان پوآسن مستقل را تشکیل می‌دهند؛
گره خدمت‌رسان بالقوه وجود دارد؛
مشتریان از مراکز تقاضا به سمت مکان این دستگاه‌ها حرکت می‌کنند؛
هر جایگاه خدمت فقط یک خدمت دهنده دارد؛
زمان سرویس یک دستگاه به صورت تصادفی و توزیع نمایی دارد؛
مکان دستگاه‌ها ثابت هستند؛
مشتری‌ها بوسیله نزدیکترین دستگاه خودپرداز خدمت‌رسانی می‌شوند؛
میزان زمان انتظار مشتریان در صف نباید از یک حد ازپیش تعیین شده، فراتر رود؛
ماکزیمم تعداد دستگاه‌های خدمت‌رسان از قبل تعریف شده‌است.
در مسائل مکان‌یابی تک هدفه، هدف مسأله معمولاً هزینه یا پوشش بوده‌است، امّا در مسائل چندهدفه، حداقل یک هدف دیگر وجود دارد که باتوجه به طبیعت این گونه مسائل، با هدف اوّلی درتضاد است.
براین اساس، ما مروری بر روی اهدافی که در مسائل مکان‌یابی چندهدفه توسعه یافته می‌کنیم. این اهداف می‌توانند به صورت زیر توصیف شوند:
هزینه: انواع مختلفی از هزینه وجود دارد. این انواع می‌توانند به دو قسمت ثابت و متغیر تقسیم شوند. هزینه‌های ثابت شامل هزینه شروع و نصب به همراه سرمایه گذاری می‌باشد. هزینه‌های متغیر می‌تواند هزینه حمل و نقل، عملیات، تولید، خدمات، توزیع، تدارکات، دفع پسماند، نگهداری و محیطی باشد. هزینه حمل و نقل بیشترین و هزینه نصب بعد از آن قرار دارد. مسائل مختلفی از یک معیار «هزینه کل» استفاده کرده‌اند که شامل همه هزینه‌ها تحت یک هدف می‌شود.
ریسک‌های محیطی: این هدف شامل ریسک حمل و نقل، ریسک طبیعی، دفع پسماند یا ریسک رفتاری، یا «اثرات نامطلوب» عمومی است که جایگاه بزرگی دارد. به هر حال نسبت ریسک محیطی در مسائل مکان‌یابی کمتر از دیگر هزینه‌هاست.
پوشش: تقریبا مجموعه کامل مسائل مکان‌یابی درباره پوشش مسافت، زمان، مبلغ و یا حتی انحراف پوشش است. اگرچه بسیاری از مسائل از مسافت و پوشش جمعیّت به عنوان هدفشان استفاده می‌کنند، اما در بعضی مسائل نیز زمان مهّم است.
مفهوم تساوی نیز در این طبقه قرار می‌گیرد، زیرا این نوع مسائل، روشی منصفانه در برخورد با مسأله پوشش دارند.
سطح و کارائی خدمت: در این طبقه، هدف سطح سرویس به همراه کارائی قرارمی‌گیرد.
سود: بعضی مسائل به سود خالص (تفاوت بین سودها و هزینه‌ها) علاقمندند.
اهداف دیگر: بعضی اهداف دیگر که در مسائل مکان‌یابی استفاده می‌شوند، مانند دستیابی به منابع به همراه ریسک‌های سیاسی و اجتماعی که نمی‌توانند در دیگر دسته‌ها قرار بگیرند.
سه هدف برای مسأله موردنظر ما درنظر گرفته شده‌است که هدف اول، مینیمم کردن متوسط تعداد مشتریان درحال سفر؛ هدف دوم، مینیمم کردن متوسط تعداد مشتریان در حال انتظار و هدف سوم، ماکزیمم کردن مجموع کارکرد دستگاه‌ها در واحد زمان می‌باشد.
1-4- روش حل
به طور کلی مسائل مکانیابی تسهیلات اصولاً NP-Hardهستند و بعید است بدون کاربرد الگوریتم‌های فراابتکاری بتوان حلّی بهینه را در زمان معقول پیدا کرد و زمان محاسباتی نیز با توجه به اندازه مسأله به صورت نمایی افزایش می یابد.
مسائل بهینه یابی چندهدفه، به طور کلی با یافتن حل‌های بهینه پارتو یا حل‌های مؤثّر کارمی‌کنند. چنین حل‌هایی غیرمغلوب هستند، یعنی هنگامی‌که همه اهداف درنظر گرفته شوند، هیچ حل دیگری برتر از آن‌ها نیست. بیشترین روش‌هایی که برای حل مسائل بهینه سازی چندهدفه به کار می‌روند، روشهای ابتکاری و فراابتکاری هستند.
برای مسائلی که در کلاس NP-Hard قرار می گیرند، تاکنون روش‌های دقیقی که بتواند در حالت کلی و در زمانی معقول به جواب دست یابد توسعه داده نشده‌است. از این رو روش‌های ابتکاری و فراابتکاری مختلفی را برای حل این دسته از مسائل به کار می برند تا به جواب‌های بهینه یا نزدیک به بهینه دست یابند.
در این تحقیق سعی شده‌است که از چندین الگوریتم بهینه سازی چندهدفه استفاده شود. الگوریتم NSGA-II به این خاطر انتخاب شده‌است که این الگوریتم در بسیاری از مقالات به عنوان الگوریتم مرجع مقایسه گردیده‌است. الگوریتم CNSGA-II نیز به این علت انتخاب شده‌است که روشی مناسب برای برخورد با محدودیت‌های حل مسأله ارائه می‌کند. چون باتوجه به ماهیت مسأله، چندین محدودیت سر راه حل مسأله ایجاد شده‌است که راهکار مناسبی برای رسیدگی به این محدودیت‌ها ایجاب می‌کند. الگوریتم NRGA نیز چون جزء جدیدترین الگوریتم‌های ارائه شده در زمینه بهینه سازی چندهدفه می‌باشد مورداستفاده قرار گرفته‌است. در سال‌های اخیر، الگوریتم‌های بهینه سازی مبتنی بر ایمنی مصنوعی بسیار مورد توجه قرار گرفته‌است که به همین علت، ما در این تحقیق سعی بر آن داریم که از کارآمدترین این الگوریتم‌ها استفاده کنیم. از میان الگوریتم‌های چندهدفه ایمنی، ما از MISA، VIS و NNIA استفاده کرده ایم که در ادامه و در بخش‌های بعدی به نتایج خوبی که دراثر استفاده از این الگوریتم‌ها بدست می‌آید، اشاره می‌کنیم.
1-5- اهمیت و ضرورت تحقیق
امروزه پایانه فروش، پایانه شعب، دستگاه‌های خودپرداز و ... نماد بانکداری الکترونیک است و یافتن مکان بهینه برای این پایانه‌ها و دستگاه‌ها می‌تواند نقش مهمی در حضور یک بانک یا مؤسسه در بازارهای داخلی و خارجی داشته باشد.
در این تحقیق سعی شده‌است که محدودیت‌ها و چالش‌های فراروی این مسأله در دنیای واقعی تا حد ممکن درنظر گرفته شود. به همین منظور محدودیت‌هایی ازقبیل ماکزیمم دستگاه خدمت‌رسانی که می‌تواند به کار گرفته شود و حدّ بالای زمان انتظار برای مشتریان منظور شده‌است. همچنین به‌دلیل اینکه یک هدف، پاسخگوی انگیزه ایجاد شده برای انجام این طرح نمی‌باشد، این مسأله به صورت یک مسأله چند هدفه درنظر گرفته شده‌است تا به دنیای واقعی هر چه نزدیکتر گردد تا در درجه اول سود بانک یا مؤسسه ازطریق انتخاب بهینه دستگاه‌های خودپرداز افزایش یابد و در درجه دوم رضایت مشتریان جلب گردد، به صورتی که هم پوشش مناسب برای خدمت‌رسانی داده شود و هم مدت زمان خدمت‌رسانی به مشتریان حداقل گردد.
1-6- اهداف تحقیق
اهدافی که برای اجرای این تحقیق درنظر گرفته شده‌است عبارتند از:
مروری بر مدل‌های مکانیابی تسهیلات به صورت کلّی
مروری بر مدل‌های مکانیابی تسهیلات با تقاضای تصادفی و تراکم
بهینه نمودن استفاده از دستگاه‌های‌های خدمت‌رسان؛ یعنی دستگاه‌های خدمت‌رسان به چه تعداد و در چه محل‌هایی استقرار یابند و چه مراکز تقاضایی به این دستگاههای خدمت‌رسان تخصیص یابند، به‌صورتی که هم رضایت مشتریان جلب شود (این هدف را به صورت کمینه کردن مجموع زمان خدمت‌رسانی به مشتریان که شامل زمان سفر مشتریان از مراکز تقاضا به مراکز خدمت‌رسانی و زمان انتظار آنها برای خدمت‌رسانی درنظر گرفته ایم) و هم مجموع کارکرد دستگاه‌ها بیشینه گردد.
تطبیق الگوریتم‌های مختلف با مسئله مورد بررسی
تجزیه و تحلیل الگوریتم‌های مختلف با استفاده از روشهای مقایسه الگوریتم‌ها
1-7- جمع بندی
مسأله مکانیابی تسهیلات در حالت کلی به عنوان یک مسأله NP-Hard شناخته می‌شود. به‌خصوص در حالتی که محدودیت‌های دیگری نظیر محدودیت انتظار مشتریان در صف و محدودیت در تعداد تسهیلات باز شده نیز مطرح باشد، پیچیدگی این مسأله چندین برابر می‌شود.
هدف اول، مینیمم کردن متوسط تعداد مشتریان درحال سفر؛ هدف دوم، مینیمم کردن متوسط تعداد مشتریان در حال انتظار و هدف سوم، ماکزیمم کردن مجموع کارکرد دستگاه‌ها در واحد زمان می‌باشد.
پایان نامه دارای ساختار زیر است: در فصل دوم برای آنکه خواننده با مفاهیمی که در این پایان‌نامه به کار گرفته شده‌است و همچنین موضوعاتی که در این تحقیق مطرح می‌شود، مروری جامع بر ادبیات موضوعات در بخش‌های مختلف اعم از مکانیابی تسهیلات به صورت کلی، مکانیابی تسهیلات باتوجه به مسأله مطرح شده و محدودیت‌های ایجاد شده به عمل آمده‌است. همچنین الگوریتم‌های چندهدفه‌ای که در این پروژه - ریسرچبه کار گرفته شده‌است به طور عمومی معرفی و تشریح می‌شوند. باتوجه به اینکه سه الگوریتم از این الگوریتم‌ها از مبحث ایمنی مصنوعی است، سعی شده‌است تا مروری مختصر بر این موضوع نیز انجام شود. در آخر نیز روش‌های اندازه گیری عملکرد الگوریتم‌های چندهدفه معرفی شده‌اند.
در فصل سوم ابتدا درمورد مسئله مورد بررسی این تحقیق توضیحات کافی داده می شود و اهداف و محدودیت های فراروی آن شرح داده می شود. سپس، در قسمت طراحی الگوریتم‌ها، الگوریتم‌های درنظر گرفته شده را با مسئله مورد بررسی تطبیق می دهیم.
در فصل چهارم پس از اینکه درمورد تولید مسائل نمونه صحبت کردیم، به تجزیه و تحلیل و مقایسه الگوریتم‌ها خواهیم پرداخت که این کار را به این صورت انجام می‌دهیم که ابتدا معیارهای مختلف را برای تمامی الگوریتم‌ها اندازه گیری کرده و سپس این نتایج را باتوجه به روش‌های موجود درزمینه تحلیل واریانس، مورد تجزیه و تحلیل قرارمی‌دهیم.
در فصل پنجم نیز پس از مروری کلّی بر تحقیقی که انجام شده، چند زمینه تحقیق برای مطالعات آتی به خوانندگان پیشنهاد می‌شود.
4221207272
82867519050 2
00 2

مرور ادبیات

2-1- مقدمه
در این فصل، ابتدا به بحث درباره موضوع مکانیابی تسهیلات می پردازیم. در ابتدا، به مروری بر ادبیات این موضوع می پردازیم. در ادامه، مسائل پوشش که مهمترین و پرکاربردترین مباحث در این حوزه است را توضیح داده و مدل های دیگر مکانیابی تسهیلات را معرفی می نمائیم. سپس باتوجه به اینکه مسئله ما در حیطه مسائل مکانیابی تسهیلات با تقاضای تصادفی و تراکم می باشد، به مرور ادبیات این حیطه و خصوصیات این نوع مدل ها می پردازیم. سپس سیستم صف و مسائلی که در این حوزه و ادامه تحقیق، موردنیاز است، شرح داده می شود. همچنین الگوریتم‌های چندهدفه‌ای که در این پروژه - ریسرچبه کار گرفته شده‌است به طور عمومی معرفی و تشریح می‌شوند. باتوجه به اینکه سه الگوریتم از این الگوریتم‌ها از مبحث ایمنی مصنوعی است، سعی شده‌است تا مروری مختصر بر این موضوع نیز انجام شود. در آخر نیز روش‌های اندازه گیری عملکرد الگوریتم‌های چندهدفه معرفی شده‌اند.
2-2- مکانیابی تسهیلات
2-2-1- مرور ادبیات در موضوع مکانیابی تسهیلات [5]
می‌توان استدلال نمود که تحلیل‌های مکانیابی در قرن هفدهم و با مسأله پیِر دِ فِرمَت شروع شد: فرض کنید که سه نقطه در یک صفحه وجود دارد، نقطه چهارمی را پیداکنید به صورتی که مجموع فواصلش تا سه نقطه فرض شده مینیمم گردد. اِوانجلیستا توریچلی نیز یکی از کسانی است که ساختارهای فضایی که نیاز به یافتن یک چنین میانه‌های فاصله‌ای یا «نقاط توریچلی» دارند، به آن نسبت داده شده‌است. به هر حال در قرن اخیر، با «مسأله وِبِر» از آلفرد وِبِر و بعضی از گسترش‌های بعدی اش در مسئله درِزنر و همکارانش دوران جدید تحلیلهای مکانیابی با کاربردش در مکانیابی صنعتی شروع می‌شود. مسأله وِبِر نقاطی را در یک سطح پیدا می‌کند که مجموع فواصل اقلیدسی وزن‌دهی شده آن تا یک مجموعه نقاط ثابت مینیمم گردد. این مسأله به این صورت تفسیر می‌شود که مکان یک کارخانه را به گونه‌ای پیداکنیم که کل مسافت وزن دهی شده آن از تأمین کنندگان و مشتریان مینیمم گردد، که وزن‌ها بیانگر حجم مبادلات می‌باشد، مثل وزن موادی که باید از یک تأمین‌کننده منتقل شود یا حجم محصولات نهایی که برای یک مشتری ارسال می‌شود.
تنها در دهه 60 و 70، با فراهم بودن گسترده قدرت محاسبات برای پردازش و تحلیل مقادیر بزرگی از داده‌ها بود که ما شروع واقعی بهینه سازی جدید و به همراه آن، تحقیق در مسائل مکانیابی را مشاهده می‌کنیم. این دوره را به این دلیل دوره بلوغ تحلیلهای مکانیابی می‌نامند که گرایش زیادی به مطالعه p-median کلاسیک، p-center، پوشش مجموعه، مکانیابی تأسیسات ساده و مسائل تخصیص درجه دوم و گسترش آنها پیدا شد.
در این دوره، کوپر مسأله تک تسهیلی وِبِر را گسترش داد تا مسأله تخصیص-مکانیابی چندتسهیلی را ایجاد کند. سپس مارانزانا این مسأله را از فضای پیوسته به شبکه گسترش داد. به هر حال حکیمی است که شالوده تحقیق در p-median و مسائل دیگر در یک شبکه را کامل می‌کند. مسأله p-median شبیه مسأله وِبِر در یک سطح، مکان p نقطه را در یک شبکه به گونه‌ای پیدا می‌کند که کل مسافت وزن دهی شده با تقاضا را تا نزدیکترین تسهیل مینیمم می‌کند. به علاوه حکیمی مسأله p-center اصلی را ارائه می‌کند که مکان p نقطه را در یک شبکه به گونه‌ای پیدا می‌کند که ماکزیمم مسافت تقاضا تا نزدیکترین تسهیل مینیمم گردد. نتیجه مهم قضیه حکیمی نیز مشخص است، یعنی اینکه یک حل در مسأله p-median، همیشه در گره‌های یک شبکه در مسأله واقع می‌شود، درحالیکه یک حل در مسأله p-center لزومی ندارد که در گره‌ها واقع شود. کاریف و حکیمی اثبات می‌کنند که مسائل p-center و p-median، NP-Hard هستند.
مدلهای پوشش، مسائلی را درنظر می‌گیرند که تقاضاها باید در یک مسافت مطمئنی از زمان سفر پوشش داده شوند. تورِگاس و همکارانش روش حلی را برای اینگونه مسائل که در کاربرد با نام مسأله پوشش مجموعه (LSCP) شناخته می‌شود را فرمول بندی و ارائه کردند. مکان تسهیلات برای خدمات اورژانسی از این مسأله الهام می‌شوند. چِرچ و رِوِله، مسأله مکانیابی حداکثر پوشش (MCLP) را ارائه کردند. این مسأله، مکانهای بهینه‌ای را برای تعداد معیّنی از تسهیلات پیدا می‌کند که جمعیّتی که درون یک فاصله خدمت‌رسانی مشخص، پوشش داده می‌شوند، حداکثر گردد.
دیگر مسأله بنیادی با مفهوم پوشش، مسأله تخصیص درجه دوم (QAP) می‌باشد که به دلیل طبیعت درجه دوّم فرموله کردن تابع هدفش به این نام خوانده می‌شود. تعدادی (N) تسهیل که در همان تعداد جایگاه (N) به گونه‌ای واقع می‌شوند که کل هزینه انتقال مواد درمیان آنها مینیمم گردد. هزینه حرکت مواد بین هر دو مکان بوسیله ضرب یک وزن یا جریان در فاصله بین مکان‌ها بدست می‌آید. مدل خطی آن بوسیله کوپمنس و بِکمن ارائه شد که مورد خاصی از مسأله حمل و نقل شناخته شده‌است. این مسأله NP-Hard علائق بسیاری را برای تحقیق ایجاد کرد و هنوز هم حل آن در هر اندازه ای، بسیار سخت به نظر می‌رسد.
دهه 80 و 90 تحقیقاتی را در تحلیل مکانیابی دید که به رشته‌های دیگر نیز گسترش پیدا کرد و نتایج سودمندی را از دیدگاه مدل سازی و کاربرد بدست آورد. این نوآوری‌ها تا به امروز نیز ادامه دارد.
از جمله این مدل‌ها می‌توان به مکان‌یابی رقابتی، مکان تسهیلات گسترده، مکانیابی تصادفی، مسیریابی، مکان‌یابی هاب و جلوگیری از جریان اشاره کرد. به عنوان کاربردهای جدید در این دوران می‌توان به ناحیه‌هایی ازجمله برنامه ریزی خدمات اورژانسی، کاربردهای محیط زیستی همچون تسهیلات زیان آور و ترکیب مکانیابی با مدیریت زنجیره تأمین اشاره کرد.
مدلهای مکانیابی رقابتی: حکیمی مدلهای رقابتی را درون تئوری مکانیابی وارد کرد. بیشتر نتایج در این زمینه یک فضای گسسته یا یک شبکه را درنظر می‌گیرند. اخیراً مدل‌های مکانیابی رقابتی پیوسته توسط داسکی و لاپورته ارائه شده‌است.
مدلهای مکانیابی تسهیلات گسترده: یک تسهیل اگر در مقایسه با محیطش، خیلی کوچکتر از یک نقطه به نظر برسد، گسترده نامیده می‌شود. چنین مدل‌هایی بارها در وضعیت‌های طراحی شبکه به کار گرفته شده‌است. مِسا و بوفی یک سیستم دسته بندی شامل مسائلی برای تعیین خط مسیر حمل و نقل مواد خطرناک ارائه کردند. اخیراً یک مثال بوسیله بریمبرگ و همکارانش آورده شده‌است که مسأله مکانیابی یک دایره درون یک کره را درنظر می‌گیرد، به صورتی که فاصله از تسهیلات موجود باید مینیمم گردد.
مکانیابی تصادفی: مدلهای مکانیابی تصادفی هنگامی رخ می‌دهند که داده‌های مسأله فقط به روشی احتمالی شناخته شوند. بِرمن و همکارانش مسائلی را درنظر گرفتند که ورود به تسهیلات به صورت تصادفی است و اثر تراکم نیز باید درنظر گرفته می‌شد. لوگندران و تِرِل یک مسأله LA با ظرفیت نامحدود را با تقاضاهای تصادفی حسّاس به قیمت درنظر گرفتند. بِرمن و کراس یک کلاس کلی از «مسائل مکانیابی با تقاضای تصادفی و تراکم» را ارائه کردند.
مسیریابی مکان: ترکیب تحلیلهای مکانیابی با زمینه‌های شناخته شده مسائل مسیریابی وسایل نقلیه، ناحیه جدید دیگری از مدل سازی، یعنی مسیریابی مکان را ایجاد می‌کند.
مکانیابی هاب: در چنین مسائل مکانیابی، هاب‌ها به عنوان متمرکزکننده‌ها یا نقاط سوئیچینگ ترافیک عمل می‌کنند، خواه برای مسافران خطوط هوایی باشد، خواه بسته‌های کوچک در سیستمهای سوئیچینگ. جریان بین منابع و مقاصد اساس مدل سازی این دسته از مسائل را تشکیل می‌دهد. اُکِلی اساس تحلیلهای مکانیابی هاب را بنانهاد. آن مدل‌ها به صورتی مدل سازی شد تا بهترین مکان‌ها برای متصل کردن ترمینال‌ها را باتوجه به مینیمم کردن هزینه‌های کل تراکنش‌ها، پیدا کند.
جلوگیری از جریان: در بسیاری از مسائل مکانیابی، تقاضاها فرض می‌شوند که در گره‌های یک شبکه رخ می‌دهند. یک تغییر جالب که بوسیله مسائل فرض می‌شود این است که تقاضا بوسیله جریانی از وسایل نقلیه یا پیاده‌هایی که از میان اتصالات شبکه عبور می‌کنند، ارائه می‌شوند. ازجمله کاربردهای این حیطه می‌توان به دستگاه‌های خودپرداز و ایستگاه‌های نفتی اشاره کرد. چنین مسائلی اولین بار توسط هاچسون و بِرمن و همکارانش ارائه شد.
مکانیابی یا جابجایی وسایل خدمات اورژانسی: مقدار شگرفی از تحقیقات در مطالعه مکانیابی وسایل خدمات اورژانسی ایجاد شده‌است. چَپمن و وایت اولین کار را برحسب محدودیت‌های کاربردی که در LSCP کاربرد دارد، ارائه کردند. مطالعه میرچندانی و اُدُنی زمان‌های سفر تصادفی را در مکانیابی تسهیلات اورژانس درنظر می‌گیرد. همچنین باتوجه به کاربردهای وسایل اورژانسی، مدل MEXCLP که توسط داسکین ارائه شده‌است، مدل MCLP را با محدودیت‌های احتمالی گسترش می‌دهد. رِپِده و برناردو، مدل TIMEXCLP را ارائه کردند که MEXCLP را با تغییر تصادفی در تقاضا گسترش می‌دهد.
کاربردهای مرتبط با محیط زیست: تسهیلات زیان آور و مفاهیم دیگر: بعضی از تحلیلهای مکانیابی در موضوع محیط زیست، مربوط به مکان تسهیلاتی می‌شود که برای جمعیت مجاورشان مضر یا نامطبوع هستند. گُلدمن و دیِرینگ و همچنین چِرچ و گارفینکل جزء اولین افرادی بودند که مکانیابی برای تسهیلات زیان آور یا تسهیلاتی که ترجیح می‌دهیم دور از دسترس باشند را درنظر گرفتند.
تحلیلهای مکانیابی با مدیریت زنجیره تأمین: مدیریت زنجیره تأمین (SCM) شامل تصمیمات درمورد تعداد و مکان تسهیلات و جریان شبکه در حیطه تأمین، تولید و توزیع می‌شود. در اولین کارها در برنامه ریزی پویا، بالُو از برنامه نویسی پویا برای جابجایی انبارها در طول دوره برنامه‌ریزی استفاده می‌کند. جئوفریون و پاورز محیطی یکپارچه را بین مکان و SCM درنظر می‌گیرد.
2-2-2- معیارهای دسته بندی مدلهای مکانیابی
مدلهای مکانیابی تسهیلات می‌توانند باتوجه به اهداف، محدودیتها، حل‌ها و دیگر خصوصیات دسته بندی شوند. در زیر، هشت معیار رایجی که برای دسته بندی مدل‌های مکانیابی تسهیلات سنتی استفاده می شود، آورده شده‌است ‍‍[6]:
مشخصات مکان: مشخصات مکان تسهیلات و جایگاه‌های تقاضا شامل مدل‌های مکانیابی پیوسته، مدل‌های شبکه گسسته، مدل‌های اتصال هاب و غیره می‌شود. در هر یک از این مدل‌ها، تسهیلات می‌توانند فقط در جایگاه‌هایی واقع شوند که توسط شرایط مکانی مجاز هستند.
اهداف: هدف یکی از معیارهای مهم برای دسته بندی مدل‌های مکانیابی است. هدف مدل‌های پوشش، مینیمم کردن تعداد تسهیلات برای پوشش همه نقاط تقاضا یا ماکزیمم کردن تعداد تسهیلاتی است که باید پوشش داده شوند. هدف مدل‌های p-center مینیمم کردن ماکزیمم فاصله (یا زمان سفر) بین نقاط تقاضا و تسهیلات است. آن‌ها اغلب برای بهینه کردن تسهیلات در بخش‌های عمومی همچون بیمارستان‌ها، اداره‌های پست و آتش‌نشانی‌ها استفاده می‌شوند. مدل‌های p-median سعی می‌کنند که جمع فاصله (یا متوسط فاصله) بین نقاط تقاضا و نزدیکترین تسهیلشان مینیمم گردد. شرکت‌هادر بخش‌های عمومی اغلب از مدل‌های p-median استفاده می‌کنند تا برنامه توزیع تسهیل را به گونه‌ای بریزند که مزایای رقابتشان را بهبود دهند.
روش‌های حل: روش‌های حل مختلف در مدل‌های مکانیابی مختلف همچون مدل‌های بهینه‌سازی و مدل‌های توصیفی بدست می‌آیند. مدل‌های توصیفی از رویکردهای ریاضی همچون برنامه نویسی ریاضی یا برنامه نویسی عددی استفاده می‌کنند تا حل‌های مختلف را برای سبک و سنگین کردن اکثر اهداف مهم در مقابل یکدیگر جستجو کنند. در مقابل، مدل‌های توصیفی، از شبیه سازی یا رویکردهای دیگری استفاده می‌کنند تا موفقیت دستیابی به الگوی مکانیابی را افزایش دهند تا حلی با درجه مطلوب بدست آید. روش‌های حل ترکیبی نیز بوسیله گسترش مدلهای توصیفی با تکنیک‌های بهینه سازی توسعه داده شده‌است تا مسائل مکانیابی تعاملی یا پویا (مثل سرورهای متحرک) را بسازند.
مشخصات تسهیلات: مشخصات تسهیلات نیز مدل‌های مکانیابی را به انواع مختلف تقسیم می‌کند. مثلاً، محدودیت تسهیل می‌تواند منجر به مدلی با یا بدون ظرفیت خدمت‌رسانی شود، و تکیه تسهیلات به یکدیگر می‌تواند به مدل‌هایی منجر شود که همکاری تسهیلات را به حساب آورند یا نیاورند.
الگوی تقاضا: همچنین مدل‌های مکانیابی می‌توانند براساس الگوهای تقاضا دسته بندی شوند. اگر یک مدل تقاضای انعطاف پذیر داشته باشد، پس آن تقاضا محیطی متفاوت با تصمیمات مکانیابی تسهیلات مختلف خواهد داشت؛ درحالیکه یک مدل با تقاضای غیرانعطاف پذیر، به علت تصمیمات مکانیابی تسهیلات، با آن الگوی تقاضا متفاوت نخواهد بود.
نوع زنجیره تأمین: مدل‌های مکانیابی می‌تواند بوسیله نوع زنجیره تأمینی که درنظر می‌گیرند تقسیم شوند (یعنی مدلهای تک مرحله‌ای درمقابل مدل‌های چند مرحله ای). مدل‌های تک‌مرحله‌ای بر روی سیستمهای توزیع خدمت تنها با یک مرحله تمرکز می‌کنند، درحالیکه مدل‌های چندمرحله ای، جریان خدمات را در طول چند سطح سلسله مراتبی درنظر می‌گیرند.
افق زمانی: افق زمانی، مدل‌های مکانیابی را به مدل‌های استاتیک و پویا دسته بندی می‌کند. مدل‌های استاتیک، کارایی سیستم را با درنظر گرفتن همزمان همه متغیرها بهینه می‌کند. درمقابل، مدل‌های پویا، دوره‌های زمانی مختلف را با تغییر داده‌ها درطول این دوره‌ها درنظر می‌گیرند و حل‌هایی را برای هر دوره زمانی با وفق دادن با شرایط مختلف ارائه می‌کند.
پارامترهای ورودی: روش دیگری برای دسته بندی مدل‌های مکانیابی براساس خصوصیت پارامترهای ورودی به مسأله است. در مدلهای قطعی، پارامترها با مقادیر مشخص پیش بینی می‌شوند و بنابراین، این مسأله، برای حل‌های ساده و سریع، ساده سازی می‌شود. به هر حال، برای بیشتر مسائل جهان واقعی، پارامترهای ورودی ناشناخته هستند و طبیعتاً ماهیت احتمالی/تصادفی دارند. مدل‌های مکانیابی احتمالی/تصادفی برای رسیدگی به ماهیت پیچیده مسائل جهان واقعی از توزیع احتمالی متغیرهای تصادقی استفاده می‌کنند یا مجموعه‌ای از طرحهای ممکن را برای پارامترهای نامعیّن درنظر می‌گیرند.
همچنین مدل‌های مکانیابی می‌توانند براساس مشخصات دیگری همچون مدل‌های تک محصولی درمقابل مدلهای چندمحصولی و یا مدلهای کششی درمقابل مدلهای فشاری متمایز شوند.
2-2-3- مسائل پوشش
ایده اصلی پشت مدلهای پوشش مکانیابی تسهیلات به گونه‌ای است که بعضی خدمات موردنیاز مشتریان فراهم شود. دو هدف برای مکانیابی تسهیلات وجود دارد که آیا همه مشتریان در شبکه با حداقل تسهیلات پوشش داده می‌شوند یا هر تعدادی از مشتریان که ممکن است با تعداد مشخصی از تسهیلات پوشش داده شوند. در اینجا به مسائل پوشش در شبکه می‌پردازیم [7]،[8].
2-2-3-1-مسأله پوشش مجموعه
برای ساده سازی، فرض می‌کنیم که همه مشتریان و تسهیلات در گره‌های شبکه واقع می‌شوند. در ادامه، ما از اندیس i برای اشاره به مشتریان و از اندیس j برای اشاره به تسهیلات استفاده می‌کنیم. همچنین تقاضاها (یا وزن‌ها) در گره i را با و تعداد تسهیلاتی است که باید مکانیابی شوند را با p نمایش می‌دهیم. همچنین ما را به عنوان کوتاهترین مسیر (یا زمان، هزینه یا هر عدم مطلوبیت دیگری) بین گره تقاضای و جایگاه تسهیل در گره تعیین می‌کنیم. اگر گره i بتواند بوسیله تسهیل در مکان j پوشش داده شود، قرارمی‌دهیم، درغیر اینصورت . همچنین را مجموعه همه جایگاه‌های کاندیدشده‌ای قرار می‌دهیم که می‌توانند گره تقاضای i را پوشش دهند. اینکه p تسهیل در کجا واقع شوند و کدام تسهیل باید کدام گره تقاضا را سرویس دهد، تصمیمات کلیدی در اینگونه مسائل هستند.
مسائل پوشش مجموعه در ابتدای دهه 70 ایجاد شد. هدف LSCP مکانیابی حداقل تعداد تسهیلات به گونه‌ای است که هر گره تقاضا بوسیله یک یا چند تسهیل «پوشش» داده شود. به طور کلی، تقاضا در یک گره i توسط تسهیل j پوشش داده شده نامیده می‌شود اگر فاصله (یا زمان سفر) بین گره‌ها کمتر از فاصله بحرانی D باشد. به علاوه، D به ماکزیمم فاصله یا زمان خدمتی که تصمیم‌گیرنده مشخص می‌کند اشاره می‌کند.
با این توضیحات، می‌توان مدل مکان پوشش مجموعه را که اولین بار توسط تورِگاس و همکارانش ارائه شد، به صورت زیر فرموله کرد:
(1.2)
(2.2)
(3.2)
تابع هدف (1.2) تعداد تسهیلاتی که استفاده می‌شوند را مینیمم می‌کند. محدودیت (2.2) تعیین می‌کند که برای هر نقطه تقاضای i، حداقل یک تسهیل باید در مجموعه ایجاد گردد که بتواند این گره را پوشش دهد. محدودیت‌های (3.2) محدودیت‌های تکمیلی هستند.

2-2-3-2- مسأله مکانیابی حداکثر پوشش
درمقابل مسأله پوشش مجموعه که در بالا آورده شد، مسأله مکانیابی حداکثر پوشش (MCLP) سعی نمی‌کند که همه مشتریان را پوشش دهد. تعداد p تسهیل را فرض کنید که هدف ما مکانیابی این تسهیلات به گونه‌ای است که بیشترین تعداد ممکن از مشتریان را پوشش دهیم. منظور از پوشش را نیز در بالا آوردیم.
با تعیین این محدودیت‌های مدل پوشش مجموعه، چِرچ و رِوِله مسأله مکانیابی حداکثر پوشش را به صورت زیر فرمول بندی کردند:
(4.2)
(5.2)
(6.2)(3.2)
(7.2)
که اگر گره تقاضای i پوشش داده شود، برابر یک خواهد بود، درغیر اینصورت صفر می‌شود. تابع هدف (4.2) تعداد تقاضاهایی که پوشش داده می‌شوند را ماکزیمم می‌کند. محدودیت (5.2)، متغیرهای مکان و پوشش را به همدیگر مرتبط می‌کند و نشان می‌دهد که گره تقاضای i نمی‌تواند به عنوان پوشش داده شده تلقی گردد مگر اینکه ما حداقل یک تسهیل را در یکی از جایگاه‌های کاندید شده مستقر کنیم که بتواند آن گره را پوشش دهد. محدودیت (6.2) تعداد تسهیلات را به p محدود می‌کند و محدودیت‌های (3.2) و (7.2) محدودیت‌های تکمیلی هستند.
اگر تعداد تسهیلاتی که برای پوشش تمام تقاضاها نیاز است، از منابع دردسترس بیشتر شود، یک گزینه، راحت کردن الزامات برای پوشش کامل می‌باشد.
2-2-3-3- مسائل p-center
نوع دیگری از مسائل کلاسیک پوشش، اصطلاحاً مسائل p-center نامیده می‌شود. هدف مسائل p-center ، مکانیابی تعداد معین p تسهیل به گونه‌ای است که بزرگترین فاصله بین هر مشتری و نزدیکترین تسهیلش تا حد ممکن کوچک شود. اگرچه از دیدگاه نظری، مسائل p-center متفاوت هستند، اما یک روش دوبخشی ساده می‌تواند به کار گرفته شود تا مسائل p-center را به عنوان بخشی از مسائل پوشش حل نماید. این مسأله می‌تواند به صورت زیر فرمول بندی شود که Q ماکزیمم فاصله است که باید مینیمم گردد:
(8.2)
(9.2)
(10.2)
(6.2)
(11.2)
(3.2)
(12.2)محدودیت (9.2) ما را مطمئن می‌کند که هر گره تقاضا تخصیص داده شده‌است، درحالیکه محدودیت (10.2) تصریح می‌کند که این تخصیصها می‌توانند فقط در تسهیلاتی که بهره برداری شده‌اند ایجاد شود. محدودیت (6.2) بیان می‌کند که دقیقاً p تسهیل می‌تواند ایجاد شود. محدودیت (11.2) ماکزیمم فاصله را برحسب متغیرهای تصمیم تعیین می‌کند. این محدودیت‌ها تصریح می‌کنند که Q باید بزرگتر یا مساوی با فاصله‌ای باشد که برای هر گره تقاضا تخصیص داده می‌شود.
2-2-3-4- مسائل p-median
درمقابل مسائل p-center با اهداف مینیماکسش که در قسمت قبل توضیح داده شد، مسائل p-median اهداف مینیمم مجموع دارند. به عبارت دیگر مسائل p-median ، p تسهیل را به‌گونه‌ای مکان‌یابی می‌کنند که مجموع فواصل بین همه مشتریان و نزدیکترین تسهیل مرتبطشان مینیمم گردد. رِوِله و سواین مسأله p-median را به صورت زیر فرمول بندی کردند:
(13.2)
(9.2)
(10.2)
(6.2)
(3.2)
(12.2)
تابع هدف (13.2) کل فاصله‌ای که در تقاضا ضرب شده‌است را مینیمم می‌کند. از آنجائیکه تقاضاها مشخص هستند و کل تقاضا ثابت است، این هدف در حکم مینیمم کردن متوسط فاصله ضرب در تقاضا است. به خاطر داشته باشید که این فرمول بندی خیلی شبیه به فرمول بندی مسأله p-center است مگر در تابع هدف و محدودیت شماره (11.2).

2-2-4- مسائل دیگر مکانیابی [8]
در این بخش به اختصار به انواع دیگری از مدل‌های مکانیابی که در مقالات استفاده شده‌است اشاره می‌کنیم. اولین نوع، مدل‌هایی هستند که به تسهیلات نامطلوب اشاره می‌کنند. چنین مدل‌هایی به مکانیابی تسهیلاتی همچون تأسیسات تصفیه فاضلاب، محل‌های بازیافت زباله‌ها، نیروگاه‌ها یا زندان‌ها می‌پردازند که همسایگی آنها با نواحی مسکونی نامطلوب به نظر می‌رسد.
به عنوان سیستم‌هایی که معمولاً شامل دو یا چند سطح از تسهیلات می‌شوند، از سیستمهای سلسله مراتبی استفاده می‌کنیم. بسیاری از سیستمها در طبیعت سلسله مراتبی هستند. این تسهیلات معمولاً برحسب نوع خدماتی که ارائه می‌کنند سلسله مراتبی هستند. مثلاً مراکز مراقبت‌های پزشکی را درنظر بگیرید که شامل کلینیک‌های عمومی، بیمارستان‌ها و مراکز دارویی هستند.
نوع دیگری از مدل‌ها، به مدل‌های مکانیابی می‌پردازد که اهداف «یکسان» دارند. این مدل‌ها، تسهیلات را به گونه‌ای مکانیابی می‌کنند که برای همه مشتریان به طور مساوی دردسترس باشند.
ناحیه فعال دیگر در این زمینه، مکانیابی هاب‌هاست. هاب به عنوان توپ در مرکز یک چرخ است و منظور از آن، تسهیلاتی است که به بعضی جفت‌های منبأ-مقصد به عنوان گره‌های معاوضه و حمل و نقل سرویس دهی می‌کند و در سیستمهای ترافیک و ارتباطات استفاده می‌شود.
نوع دیگر از مدل‌های مکانیابی، مدل‌های مکانیابی رقابتی است. مثالی از این نمونه به این صورت است که دو فروشنده انحصاری یک محصول را درنظر بگیرید که تسهیلی را هر کدام در یک پاره خط ایجاد می‌کنند. آنها از ابزاری مشابه استفاده می‌کنند و در مکان و قیمت رقابت می‌کنند.
در پایان، تسهیلات گسترده و مسائل جانمایی تسهیلات را درنظر بگیرید. در هر دو زمینه، به خاطر اینکه اندازه تسهیلات در قیاس با فضایی که در آن واقع شده‌اند قابل چشم پوشی نیست، تسهیلات نمی‌توانند به صورت یک نقطه بر روی نقشه نشان داده شوند و خیلی بزرگتر از آن هستند که به صورت یک نقطه درنظر گرفته شوند. به عنوان نمونه‌هایی از مسائل جانمایی، آرایش ایستگاه‌های کاری در یک اداره و قراردادن اتاق‌ها در یک بیمارستان را می‌توان نام برد.
2-2-5- مسائل مکانیابی تسهیلات با تقاضای تصادفی و تراکمما در این بخش به مسائل پیدا کردن مکان‌های بهینه برای مجموعه‌ای از تسهیلات در حضور تقاضای مشتریان تصادفی و تراکم در آن تسهیلات می‌پردازیم. ما به این گونه مسائل به عنوان «مسائل مکانیابی با تقاضای تصادفی و تراکم» (LPSDC) نگاه می‌کنیم [9]. اکثراً ما بحث درباره مسائل را به شبکه محدود می‌کنیم، حتی اگر این مدل‌ها بتواند به مکان‌های گسسته گسترش یابند.
اهمیت مشهود پرداختن به مسائل مکانیابی تسهیلات در حضور عدم قطعیت‌های گوناگون، منجر به تعداد زیادی از مقالات در این موضوع می‌شود. اصولاً مدل‌های LPSDC بر روی دو منبع از عدم قطعیت متمرکز می‌شود: (1) مقدار واقعی و مقدار زمانی که تقاضا بوسیله هر مکان مشتری تولید می‌شود و (2) از دست دادن تقاضا (یا جریمه پولی) به علت ناتوانی تسهیل در فراهم کردن سرویس مناسب به (بعضی از) مشتریان به علت تراکم در آن تسهیل.
این گونه مسائل به پیدا کردن بهترین مکان‌ها برای مجموعه‌ای از تسهیلات می‌پردازند تا ظرفیت سرویس (تعداد خدمت دهندگان) را در تسهیل j مشخص کند. نتیجه چنین سیستمی می‌تواند به صورت یک سیستم صف با M صف و سرویس دهنده مشاهده شود. حتی تحلیل‌های توصیفی چنین سیستمهایی (یعنی با فرض اینکه تصمیمات مکانیابی در حال حاضر گرفته شده‌اند) می‌تواند توانایی حال حاضر سیستم صف را گسترش دهد. چنین مسائلی، قابلیت‌های مسائل مکان‌یابی «کلاسیک» (که بیشتر آن‌ها NP-complete شناخته می‌شوند) را با پویایی پیچیده سیستم‌های صف ترکیب می‌کند. بنابراین، در ساختن یک مدل LPSDC کاربردی، بعضی فرض‌ها و تخمین‌های ساده سازی باید انجام شود تا مدل را قابل حل کند.
یک ناحیه مهم کاربرد مدل‌های LPSDC، مکان‌یابی تسهیلات خدمات اورژانسی (مانند بیمارستان‌ها)، ایستگاه‌های پلیس، ایستگاه‌های آتش نشانی و آمبولانس‌ها هستند. توانایی پاسخگویی به یک درخواست برای خدمت‌رسانی در زمان مناسب، به چنین سیستم‌هایی اختصاص دارد (مثلاً استاندارد رایج برای آمبولانس‌ها در آمریکای شمالی برای پاسخگویی به تلفن‌های با ارجحیت بالا، 3 دقیقه می‌باشد). خصوصیت پایه چنین سیستم‌هایی غیرقابل پیش بینی بودن تعداد و زمان رسیدن تلفن‌ها برای درخواست و اثری که روی کارایی سیستم تراکمی می‌گذارد است و هنگامی‌که بعضی از این تسهیلات درخواست‌های بسیاری را برای خدمت در دوره زمانی مشخصی دریافت می‌کنند، نتیجه آن مشخص می‌شود. به راستی که از لحاظ تاریخی، مسأله مکان‌یابی تسهیلات خدمات اورژانسی، محرّک اصلی برای تحقیقات بیشتر در این زمینه را فراهم کرده‌است.
دیگر ناحیه مهم کاربرد این مسائل که کمتر مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته‌است، مکان‌یابی خرده فروشی‌ها یا تسهیلات خدمت‌رسانی دیگر است که مقدار کل تجارت (تقاضای مشتری) در یک تسهیل ممکن است هنگامی‌که نرخ خدمت‌رسانی به علت تراکم کاهش می‌یابد، به طور معکوس عمل کند. درحالی که بعضی از مدل‌هایی که برای مکان‌یابی تسهیلات اورژانسی توسعه پیدا کرده‌اند، می‌توانند به خوبی برای تسهیلات غیراورژانسی نیز به کار روند، این دو دسته از کاربردها، خصوصیات مختلف خودشان را نیز ایجاد می‌کنند.
2-2-5-1- مرور ادبیات مسائل مکانیابی تسهیلات با تقاضای تصادفی و تراکم [10]
باتوجه به انعطاف پذیری تقاضا، دسترسی به یک تسهیل می‌تواند برحسب مجاورت با مشتریان بالقوه اش (وِرتر و لاپیِره)، به صورت کل زمان موردنیاز برای دریافت سرویس (پارکر و سرینیواسان) مدل سازی شود. در این مورد یا موارد دیگر، شکل تابع تقاضای مورداستفاده، گسترشی از انعطاف پذیری تقاضا را نشان می‌دهند. بیشتر توابع تقاضای رایج در مقالات به شکل‌های زیر هستند: تابع خطی (وِرتر و لاپیِره؛ پارکر و سرینیواسان)؛ تابع نمایی (بِرمن و پارکان؛ بِرمن و کاپلان و درِزنِر)؛ و تابع مرحله‌ای (بِرمن و کِراس).
اگر انتخاب مشتری را درنظر بگیریم ( که بدین معنی است که هر عضو این حق را دارد که خود تسهیلش را انتخاب کند و نه اینکه توسط یک مرکز به یکی اختصاص پیدا کند)، یک گروه از مقالات، انتخاب بهینه را فرض می‌کنند، یعنی، هر مشتری، تسهیلی که برحسب مزیتش بهینه است را انتخاب می‌کند. بسیاری از نویسندگان به سادگی فرض می‌کنند که مشتریان به نزدیکترین تسهیل مراجعه می‌کنند، درحالیکه پارکر و سرینیواسان فرض می‌کنند که مشتریان، تسهیلی که بیشترین منفعت را دارد انتخاب می‌کنند. درمقابل، گروه دوم مطالعات، انتخاب احتمالی را فرض می‌کنند، یعنی، انتخاب تسهیل توسط مشتری، براساس توزیع احتمالی است که از سودمندی و مجاورت هر تسهیل ایجاد می‌شود. این فرض اغلب در محیط بازار استفاده می‌شود و شاید یک کار اصولی از هاف، مؤثرترین مدل در این دسته باشد. همچنین ماریانوف و همکارانش یک مسأله مکانیابی تسهیلات با تراکم را پیشنهاد کردند که از یک مدل انتخابی احتمالی برای نشان دادن رفتار تخصیص مشتریان استفاده می‌کرد.
مسأله موردنظر ما که تا حدودی در تئوری مکان‌یابی تسهیلات، پایه‌ای به حساب می‌آید، توجّهات بسیاری را در مقالات به خود جلب کرده‌است؛ مخصوصاً اینکه تقابل جنبه‌های مکانیابی و تصادفی (صف بندی)، آن را چالش برانگیز کرده‌است [11]. این مسأله متعلق به دسته‌ای از مسائل مکانیابی با تقاضای تصادفی و تراکم و سرویس دهندگان ثابت (LPSDC) است که توسط بِرمن و کراس مرور شده‌است. مطالعه مدل‌هایی از این نوع، با ماریانوف و سِرا در سال 1998 شروع شده‌است. مقالات دیگری نیز در این زمینه نوشته شده‌است که می‌توان به مقالات بِرمن، کراس و وانگ؛ ماریانوف و ریوس؛ ماریانوف و سِرا؛ وانگ، باتا و رامپ اشاره کرد. به علت پیچیدگی باطنی مسأله، همه مقالاتی که در بالا آورده شده، ساده سازی‌های بزرگی را انجام داده‌اند: فرض می‌شود که تقاضا گسسته است، یا فرض می‌شود که تعداد یا ظرفیت تسهیلات (یا هر دو) ثابت هستند، فرض می‌شود که مکان‌های تسهیلات بالقوه گسسته و بینهایت هستند، فرض می‌شود که فرایند رسیدن تقاضا پواسن باشد و همچنین معمولاً فرض می‌شود که فرایند خدمت‌رسانی نمایی است.
ترکیب حالت تصادفی (شامل تراکم بالقوه در تسهیلات) در مدل‌های نوع پوشش تسهیلات، با مسأله مکانیابی حداکثر پوشش موردانتظار (MEXCLP) توسط داسکین شروع شد؛ و تعداد قابل ملاحظه‌ای از دیگر کاربردها نیز در ادامه آن آورده شد. اما این مدل شامل بعضی ساده سازی‌های بزرگی بود، برای مثال: احتمال اینکه یک خدمت‌رسان مشغول باشد، مستقل از هر خدمت دهنده دیگری است و این موضوع برای همه خدمت دهندگان یکسان است؛ این احتمالات نسبت به مکان و حجم کار یکسان هستند. ماریانوف و سِرا فرض کردند که: (1) تقاضای مشتریان توسط یک فرایند پواسن تولید می‌شود؛ (2) توزیع زمان خدمت نمایی است؛ (3) هر تسهیل به صورت یک سیستم صف M/M/1/a با ظرفیت محدود a عمل می‌کند؛ و (4) همه تقاضاها هنگامی‌که برای خدمت‌رسانی به سیستم می‌رسند، اگر سیستم پر باشد، فرض می‌شود که تقاضا از دست می‌رود. توسط این مدل، تقاضای مشتریان ممکن است ازبین برود، چون یا تسهیل در شعاع پوشش آن وجود ندارد و یا تسهیلات مسدود شده‌اند. هدف، قرار دادن m تسهیل به گونه‌ای است که تقاضا‌ها را هرچه بیشتر پاسخ دهد. ماریانوف و ریوس این مدل را برای مکانیابی دستگاه‌های خودپرداز به کار گرفتند. در مدل آن‌ها، دستگاه‌ها، حافظه کوچکی دارند که هر کدام می‌تواند تعداد ثابتی، b، درخواست را نگهدارند که آن به این علت است که درخواست‌های دستگاه‌ها، اندازه ثابتی (53 بایت) دارند. همچنین دستگاه‌ها به صورت یک صف M/M/1، حداکثر b درخواست در صف (یعنی حافظه) را انجام می‌دهد. اگر یک درخواست درحالی برسد که حافظه پر است، آن درخواست ازدست می‌رود (و باید دوباره فرستاده شود)، و برای اینکه مطمئن باشیم که این رویداد نادر است، یک محدودیت سطح سرویس اعمال شده‌است. به هر حال تعداد کل دستگاه‌ها،به جای اینکه به عنوان قسمتی از فرایند بهینه سازی تعیین شود، ثابت هستند. مدل LSCP این مدل توسط ماریانوف و سِرا گسترش داده شد که در آن، هدف، پیدا کردن حداقل تعداد تسهیلات به گونه‌ای است که همه مشتریان، یک تسهیل در شعاع پوششان داشته باشند و محدودیت بر روی حداکثر نسبت تقاضای از دست رفته (یا حداکثر زمان انتظار) رعایت شود. باید به یاد داشته باشیم که این مدل، فرض می‌کند که مشتریان به جای اینکه به نزدیکترین تسهیل مراجعه کنند، می‌توانند به هر تسهیل باز شده‌ای در شعاع پوشش تخصیص یابند. بنابراین، آنها به جای مکانیسم انتخاب مشتری، مکانیسم انتخاب هدایت شده را انتخاب می‌کنند.
2-2-5-2- مکانیابی تسهیلات با تقاضای تصادفی و تراکم
دو منبع بالقوه برای از دست دادن تقاضا به صورت زیر است [12]:
عدم پوشش: این مورد زمانی اتفاق می‌افتد که هیچ کدام از تسهیلات به اندازه کافی به مشتری نزدیک نیستند که سطح مناسبی از راحتی را فراهم کنند.
عدم سرویس: این مورد زمانی اتفاق می‌افتد که مشتری تصمیم می‌گیرد که یک تسهیل را ملاقات کند، اما باتوجه با سطح سرویسی که در آنجا دریافت می‌کند، ناراضی می‌شود. علت‌های زیادی ممکن است وجود داشته باشد که حادثه شکست خدمت اتفاق افتد: یکی از رایج ترین آنها (و مرتبط ترین به تصمیمات مکانیابی) تراکم (پرجمعیتی) در آن تسهیل است.
برای مدل سازی تقاضایی که به علت تراکم از دست می‌رود، ما هر تسهیل را به صورت یک صف مارکفی با ظرفیت ثابت معین درنظر می‌گیریم و فرض می‌کنیم که اگر این ظرفیت به دست آمده باشد، تقاضای مشتری هنگامی‌که درطول این دوره می‌رسد، از دست می‌رود (یعنی، مشتریان بالقوه‌ای که هنگام پر بودن سیستم می‌رسند، مسدود می‌شوند).
مدل‌های LPSDC اصولاً به تقابل چهار مجموعه از عناصر مربوط می‌شود [9]:
مشتریان: که برای انجام خدمت، درخواست می‌دهند.
تسهیلات: که به منابعی (خدمات دهندگان) که برای انجام خدمات موردنیاز است مکان می‌دهند.
خدمت دهندگان: که خدمت درخواست شده را انجام می‌دهند، و
درخواست انجام خدمت: که توسط مشتریان انجام می‌شود و بوسیله اتصال یک مشتری با یک خدمت دهنده دردسترس، رسیدگی می‌شود.
دیگر اجزاء موردنیاز برای توصیف یک مدل LPSDC به صورت زیر هستند: انواع فراهم شدن خدمت (که یا مشتریان به تسهیلات سفر می‌کنند تا به خدمت دهندگان دست یابند و یا خدمت‌دهندگان متحرّک، به مکان مشتریان سفر می‌کنند)، طبیعت و نتایج تراکم (هنگامی‌که یک تسهیل درخواست‌های بسیار زیادی برای انجام خدمت دریافت می‌کند، چه عکس العملی از خود نشان می‌دهد؟)، فرضیات رفتار مشتری (مشتریان تصمیم می‌گیرند که برای بدست آوردن خدمت، به کدام تسهیل مراجعه کنند یا یک «مرجع مرکزی» وجود دارد که مشتریان را به تسهیلات متصل می‌کند)، نوع اهداف و احتیاجات خاص دیگر مانند «استانداردهای پوشش» (که معمولاً به صورت محدودیت‌ها بیان می‌شود).
یک شبکه مشخص را فرض می‌کنیم ، که N، مجموعه گره‌ها و A مجموعه کمان‌هاست. برای از استفاده می‌کنیم که به کوتاهترین مسیر از x به y است.
مشتریان: فرض می‌شود که مشتریان در گره‌های شبکه واقع می‌شوند. نسبت را برای همه درخواست‌هایی که برای انجام خدمت از گره ایجاد می‌شود درنظر می گیریم که . معمولاً فرض می‌شود که کل تقاضای مشتریان برای خدمت‌رسانی، یک فرایند پوآسن از جنس زمان با نرخ است. همچنین فرایند درخواست خدمت برای هر گره i، یک فرایند پوآسن با نرخ می‌باشد. درحالیکه بیشتر مدل‌ها، از ساختار تقاضای مشتریانی که در بالا توضیح داده شد استفاده می‌کنند، بعضی تلاشها برای دخالت دادن امکان ازدست دادن تقاضا به علت تراکم انجام شده‌است. این می‌تواند بوسیله تعریف دوباره نرخ تقاضا در گره i به صورت تعریف شود که C، بعضی اندازه‌های هزینه تراکم است که بوسیله مشتریان اتفاق می‌افتد و یک تابع غیر افزایشی است. در ادامه این بخش، به طور عمومی فرض می‌کنیم که تحت تأثیر تراکم قرار نمی‌گیرد.
تسهیلات: ما فرض می‌کنیم که حداکثر M تسهیل وجود دارد که باید مکان‌یابی شود. ما فرض میکنیم که یک مجموعه گسسته از مکان‌های بالقوه تسهیلات X تعیین شده‌است (که ) و . این فرضیات نیز بدون از دست دادن عمومیت انجام می‌شود: باتوجه به استدلالاتی که توسط بِرمن، لارسون و چیو انجام شده‌است می‌توان نشان داد که اگر به تسهیلات اجازه دهیم که در هر جایی در طول کمان واقع شوند، یک حل بهینه در یک مجموعه گسسته از مکان‌ها بدست می‌آید که شامل گره‌های شبکه است که بوسیله بعضی نقاط داخلی در طول کمان ایجاد شده‌است. بنابراین، با تکمیل کردن مجموعه گره‌های اصلی بوسیله بعضی گره‌های «ساختگی» اضافی، می‌توان فرض کرد که X گره‌ای است.
خدمت دهندگان: هر تسهیل j می‌تواند بین 1 و K خدمت دهنده داشته باشد. بسته به ماهیت خدمتی که بوسیله این تسهیل انجام می‌شود، خدمت دهندگان یا ثابت هستند، یعنی به طور ثابت در تسهیل واقع می‌شوند، یا متحرک هستند، یعنی برای انجام خدمت به مکان مشتریان سفر می‌کنند. تعداد خدمت دهندگانی که در تسهیل j واقع می‌شوند، یک متغیرتصمیم گیری در مدل می‌باشد.
درخواست خدمت: معمولاً یک درخواست برای انجام خدمت، به یک «یارگیری» بین مشتری ایجاد کننده درخواست و یکی از خدمت دهندگان موجود در سیستم احتیاج دارد. این کار معمولاً به صورت زیر انجام می‌شود:
اول باید تعیین کنیم که آیا مکان i بوسیله سیستم پوشش داده می‌شود یا خیر؟ معمولاً برای اینکه یک مشتری پوشش داده شود فرض می‌شود که با استاندارد‌های پوشش معینی مطابقت دارد (مثلاً، تعداد خدمت دهنده کافی باید در اطراف مشتری واقع شده باشد و غیره). این استانداردهای پوشش اغلب از طریق قانونگذاری یا قوانین اجرایی ایجاد می‌شود. اگر مکان مشتری i پوشش داده نشده باشد، همه درخواست‌های خدمت که از i ایجاد می‌شود، به صورت خودکار بوسیله سیستم برگردانده می‌شود (صرفنظر از اینکه آیا سیستم در حال حاضر متراکم هست یا خیر؟). معمولاً برای از دست دادن پوشش مجموعه یک جریمه درنظر گرفته می‌شود. یک تفسیر دیگر از گسترش ندادن پوشش به یک مشتری این است که مشتری بوسیله بعضی خدمات «دیگر» یا «ذخیره» پوشش داده شود (مثلاً، یک خدمت آمبولانس غیردولتی)؛ پس جریمه پوشش ندادن، می‌تواند به عنوان حق الزحمه قرارداد فرعی تفسیر می‌شود.
زمانی که معین می‌شود که درخواست خدمت از یکی از مشتریان «پوشش داده شده» بیاید، یک ارزیابی انجام می‌شود که آیا حالت فعلی سیستم اجازه می‌دهد که فرایند درخواست انجام شود یا خیر؟ این ارزیابی معمولاً در دو مرحله اتفاق می‌افتد: اول، قوانین منطقه‌ای و مکان مشتری برای تعیین «زیرسیستم» مشتری، استفاده می‌شود، یعنی، کدام تسهیلات و خدمت دهندگان می‌توانند به طور بالقوه به این درخواست پاسخ دهند (این ممکن است شامل همه خدمت دهندگان در شبکه شود و یا فقط خدمت دهندگانی که در شعاع سفر معینی از مکان مشتری واقع شده‌اند و غیره). بعد، تعداد درخواست‌های انجام نشده در زیرسیستم ارزیابی می‌شود و تصمیم گیری می‌شود که آیا این درخواست پذیرفته شود یا رد شود؟ این تصمیم معمولاً براساس ظرفیت زیرسیستم صورت می‌پذیرد (مثلاً برای یک صف «ازدست رفته»، اگر هیچ خدمت دهنده‌ای در حال حاضر دردسترس نباشد، یک عدم پذیرش ممکن است اتفاق بیفتد؛ در موارد دیگر ممکن است این محدودیت وجود داشته باشد که چه تعداد درخواست می‌تواند در یک زمان مشخص در صف وجود داشته باشد). معمولاً یک جریمه مرتبط با قبول نکردن یک درخواست وجود دارد. باز هم تأکید می‌کنیم، برخلاف نپذیرفتن یک درخواست از مشتریانی که پوشش داده نشده‌اند که به صورت خودکار است، نپذیرفتن درخواست یک مشتری که پوشش داده شده‌است، براساس حالت سیستم است. به خاطر داشته باشید که قوانین منطقه ای، درجه همکاری بین تسهیلات گوناگون و خدمت دهندگان را در سیستم معین می‌کند.
بعد، درخواست پذیرفته شده به یکی از تسهیلات متصل می‌شود (یعنی تخصیص پیدا می‌کند). این تخصیص ممکن است به قوانین اتصال مطمئن بستگی داشته باشد، همانطور که به حالت فعلی سیستم بستگی دارد (مثلاً، یک درخواست ممکن است به نزدیکترین تسهیل متصل شود و یا ممکن است به نزدیکترین تسهیل با حداقل یک خدمت دهنده آزاد متصل شود و غیره). همچنین قوانین اتصال به فرضیات رفتار مشتریان نیز بستگی دارد، یعنی اینکه کدام تسهیل باید این درخواست را انجام دهد به مشتری بستگی دارد یا به بعضی مراجع مرکزی. ما، این مورد را که مشتری تصمیم می‌گیرد که کدام تسهیل باید به درخواستش رسیدگی کند به عنوان «انتخاب کاربر» و موردی که یک مرجع مرکزی این تصمیم را می‌گیرد به عنوان «انتخاب هدایت شده» می‌شناسیم.
معمولاً یک درخواست پذیرفته شده در یک تسهیل معین، در صف قرار می‌گیرد تا یک خدمت دهنده، دردسترس قرار گیرد. زمانی که این اتفاق می‌افتد، خدمت دهنده و مشتری «یارگیری» کرده‌اند. درمورد خدمت دهندگان متحرک، لازم است که این خدمت‌دهندگان از مکان فعلی شان به مکان مشتری سفر کنند (که متحمل هزینه سفر می‌شوند).
معمولاً مسائل مکانیابی با خدمت دهندگان متحرک، دارای مشخصات زیر هستند:
این تخصیص بستگی به حالت فعلی خدمت دهندگان در زمان ارسال دارد. برای خدمت دهندگان ثابت، این تخصیص ممکن است قبل از تصمیم گیری برای انجام خدمت اتفاق بیفتد، بنابراین ممکن است گفته شود که خدمت دهندگان متحرک ممکن است با یکدیگر همکاری کنند، درحالیکه خدمت دهندگان ثابت تمایلی به این کار ندارند.
اگر یک کاربر، درخواستی را انجام دهد و نزدیکترین خدمت دهنده مشغول باشد، خدمت دهنده دیگری ارسال می‌شود. یعنی، این تخصیص، در حالت مطلق، به نزدیکترین تسهیل اتفاق نمی‌افتد.
مسائل مکانیابی احتمالی اغلب می‌توانند به خوبی به صورت مجموعه مستقلی از سیستم‌های صف، مدل سازی شوند. این استقلال، ازطریق ابزاری ناشی می‌شود که حتی اگر زمان‌های خدمت از یک توزیع نمایی پیروی کنند، درمورد هنگامی‌که زمان سفر احتمالی است، این امر صادق نیست. بنابراین، تئوری صف M/G/m مناسب‌تر از تئوری M/M/m است.
حال به فرموله کردن مسأله می‌پردازیم. محدودیت‌های مسأله معمولاً شامل موارد ذیل است:
- یک حد بالای M بر روی کل تعداد تسهیلاتی که می‌توانند واقع شوند:
(14.2)
- یک حد بالای K بر روی کل تعداد خدمت دهندگانی که می‌تواند واقع شوند:
(15.2)
- استانداردهای پوشش: بسته به احتیاجات پوششی که استفاده می‌شود، می‌تواند شکل‌های گوناگونی به خود بگیرد. شاید ساده ترین (و قدیمی‌ترین) شکل این محدودیت‌ها، به این نیاز دارد که حداقل تعداد مشخصی از این خدمت دهندگان ،، باید در حداکثر فاصله مشخصی از هر مکان مشتری i، واقع شوند. اجازه دهید زیرمجموعه‌ای از مکان‌های تسهیلات بالقوه در فاصله موردنیاز از i باشد. پس این محدودیت می‌تواند به صورت زیر بیان شود:
(16.2)
شکل پیچیده تر این محدودیت پوشش، ممکن است احتیاجاتی احتمالی را به زمان‌های پاسخ تحمیل کند. مثلاً، یک پاسخ سه دقیقه‌ای زمان پاسخ را درنظر بگیرید که برای درخواست‌های آمبولانس با ارجحیت بالا موردنیاز است. شکل دیگری از محدودیت‌ها، ممکن است یک حد بالایی را بر روی نسبت درخواست‌هایی که برگردانده می‌شود ،، اعمال کند. به طور خلاصه، ما می‌توانیم یک محدودیت عمومی را به صورت زیر ارائه کنیم. اجازه دهید که یک متغیر تصادفی باشد که بیانگر «سطح سرویسی» است که بوسیله سیستم به نقاط تقاضای مشتری i تحویل می‌شود (مثلاً، زمان پاسخ). اجازه دهید، ، بیانگر حداقل فراوانی مطلوب این اتفاق باشد (مثلاً، 95% از این زمان). بنابراین، یک محدودیت سطح سرویس کلی می‌تواند به صورت زیر بیان شود:
(17.2)
اکنون، مسأله LPSDC عمومی می‌تواند به صورت زیر فرمول بندی شود:
(18.2)
باتوجه به محدودیت‌های (15)، (16) و (17)

بدیهی است که برای اینکه فرمول بندی بالا را ساده کنیم، به بعضی روشها احتیاج داریم تا پارامترهای کارایی سیستم گوناگونی را که در توسعه تابع هدف و محدودیت‌ها استفاده شد را ارائه کنیم (یعنی، احتمال برگرداندن ، زمان انتظار صف و غیره). متأسفانه، معمولاً بیان تحلیلی کلی برای این مقادیر دردسترس نیست. این منجر به دو رویکرد ممکن می‌شود: رویکرد اول نیاز دارد که فرضیاتی ساده سازی مطمئنی را بر روی عملیات سیستم ایجاد کنیم (مانند قوانین منطقه‌ای ساده، زمان‌های سفر قابل اغماض و غیره). دومین رویکرد شامل استفاده از تکنیک‌هایی براساس توصیف است (مثل شبیه سازی) تا اندازه‌های کارایی سیستم موردنیاز را برای مقادیر خاص بردار مکان x محاسبه کنیم. علاوه بر آن می‌توان از بعضی تکنیک‌های ابتکاری استفاده کرد.
2-3- نظریه صف
انتظار در صف هر چند بسی ناخوشایند است، اما متأسفانه بخشی از واقعیت اجتناب ناپذیر زندگی را تشکیل می‌دهد. انسان‌ها در زندگی روزمره خود با انواع مختلف صف، که به از بین رفتن وقت، نیرو و سرمایه آن‌ها می‌انجامد، روبه رو می‌شوند. اوقاتی که در صف‌های اتوبوس، ناهارخوری، خرید و نظایر آن‌ها به هدر می‌رود، نمونه‌های ملموسی از این نوع اتلاف‌ها در زندگی است. در جوامع امروزی صف‌های مهمتری وجود دارد که هزینه‌های اقتصادی و اجتماعی آن‌ها به مراتب بیش از نمونه‌های ساده فوق است.
2-3-1- مشخصات صف [13]
یک مدل صف در شکل (2-1) نشان داده شده‌است. آن می‌تواند یک مدل صف مثل ترتیب ماشین آلات یا اپراتورها باشد.

شکل 2-1- مدل پایه‌ای صف
یک مدل صف بوسیله مشخصات زیر توصیف می‌شود:
فرایند رسیدن مشتریان
معمولاً فرض می‌کنیم که زمان بین رسیدن‌ها مستقل هستند و یک توزیع رایج دارند. در بسیاری از کاربردهای عملی، مشتریان باتوجه به یک جریان پواسن (یعنی زمان بین رسیدن‌ها نمایی) می‌رسند. مشتریان ممکن است یک به یک و یا به صورت دسته‌ای برسند.
رفتار مشتریان
مشتریان ممکن است صبور باشند و راضی باشند که (برای یک مدت طولانی) منتظر بمانند. یا مشتریان ممکن است کم حوصله باشند و بعد از مدتی صف را ترک کنند.
زمان‌های رسیدن
معمولاً فرض می‌کنیم که زمان‌های رسیدن مستقل هستند و به طور یکسان توزیع شده‌اند و مستقل از زمان بین رسیدن‌ها هستند. مثلاً زمان‌های رسیدن ممکن است به صورت قطعی یا نمایی توزیع شده باشد. همچنین ممکن است که زمان‌های رسیدن، وابسته به طول صف باشد.
نظم سرویس
ترتیبی که مشتریان ممکن است به صف وارد شوند به صورت‌های زیر می‌تواند باشد:
کسی که اول می‌آید، اوّل هم سرویس دهی می‌شود، مثل ترتیب رسیدن‌ها
ترتیب تصادفی
کسی که آخر می‌آید، اول سرویس دهی می‌شود.
حق تقدّم
اشتراک پردازنده (در کامپیوتر که قدرت پردازششان را در میان کل کارها در سیستم، به طور مساوی تقسیم می‌کنند).
ظرفیت سرویس
ممکن است یک سرور تک و یا گروهی از سرورها به مشتریان کمک کنند.
اتاق انتظار
ممکن است محدودیتهایی در رابطه با تعداد مشتریان در سیستم وجود داشته باشد.
یک کد سه قسمتی برای مشخص کردن این مدل‌های به صورت a/b/c استفاده می‌شود که حرف اول توزیع زمان بین رسیدن‌ها و حرف دوم توزیع زمان سرویس را مشخص می‌کند. مثلاً برای یک توزیع عمومی از حرف G و برای توزیع نمایی از حرف M (که M بیانگر فاقد حافظه بودن است) استفاده می‌شود. حرف سوم و آخر نیز تعداد سرورها را مشخص می‌کند. این نمادسازی می‌تواند با یک حرف اضافه که دیگر مدل‌های صف را پوشش دهد، گسترش یابد. مثلاً، یک سیستم با توزیع زمان بین رسیدن و زمان سرویس دهی نمایی، یک سرور و داشتن اتاق انتظار فقط برای N مشتری (شامل یکی در سرویس) بوسیله چهار کد حرفی M/M/1/N نشان داده می‌شود.
در این مدل پایه، مشتریان یک به یک می‌رسند و همیشه اجازه ورود به سیستم را دارند، همیشه اتاق وجود دارد، هیچ حق تقدّمی وجود ندارد و مشتریان به ترتیب رسیدن سرویس دهی می‌شوند.
در یک سیستم G/G/1 با نرخ رسیدن و میانگین زمان سرویس ، مقدار کار که در واحد زمان می‌رسد برابر است. یک سرور می‌تواند به یک کار در واحد زمان رسیدگی کند. برای جلوگیری از اینکه طول صف بینهایت نشود، باید .
معمولاً از نماد زیر استفاده می‌کنند:

اگر ، نرخ اشتغال یا بکارگیری سرور نامیده می‌شود، چون کسری از زمان است که سرور، مشغول کارکردن است.
2-3-2- قانون لیتِل [13]
اگر E(L)، میانگین تعداد مشتریان در سیستم، E(S)، میانگین زمان اقامت مشتری در سیستم باشد و ، متوسط تعداد مشتریانی باشد که در واحد زمان وارد سیستم می‌شوند، قانون لیتِل، رابطه بسیار مهمی را بین این سه نماد می‌دهد و به صورت زیر بیان می‌شود:
(19.2)در اینجا فرض می‌شود که ظرفیت سیستم برای رسیدگی به مشتریان کافی است (یعنی، تعداد مشتریان در سیستم به سمت بینهایت میل نمی‌کند).
به طور حسی، این نتیجه می‌تواند به صورت زیر فهمیده شود: فرض کنید که مشتریان هنگامی‌که به سیستم وارد می‌شوند، یک دلار در واحد زمان می‌پردازند. این پول می‌تواند به دو روش گرفته شود. روش اول اینکه به مشتریان اجازه دهیم که به طور پیوسته در واحد زمان بپردازند. پس متوسط درآمدی که توسط سیستم کسب می‌شود، برابر E(L) دلار در واحد زمان است. روش دوم این است که به مشتریان اجازه دهیم که برای اقامتشان در سیستم، 1 دلار را در واحد زمان در موقع ترک سیستم بپردازند. در موازنه، متوسط تعداد مشتریانی که در واحد زمان، سیستم را ترک می‌کنند برابر متوسط تعداد مشتریانی است که به سیستم وارد می‌شوند. بنابراین سیستم، یک متوسط درآمد دلار را در واحد زمان کسب می‌کند.
با به کار بردن قانون لیتِل در صف، رابطه‌ای بین طول صف، و زمان انتظار W به دست می‌آید:
(20.2)
2-3-3- صف M/M/1
این مدل، حالتی را درنظر می‌گیرد که زمان بین رسیدن‌ها، نمایی با میانگین ، زمان‌های سرویس، نمایی با میانگین و یک سرور مشغول کار است. مشتریان به ترتیب رسیدن، سرویس دهی می‌شوند. ما نیاز داریم که:
(21.2)درغیراینصورت، طول صف منفجر خواهد شد (قسمت قبل را ببینید). مقدار ، کسری از زمان است که سرور، مشغول کار است.
میانگین تعداد مشتریان در سیستم و همچنین میانگین زمانی که در سیستم گذرانده می‌شوند به صورت زیر بیان می‌شود:
(22.2)
و با استفاده از قانون لیتِل،
(23.2)
میانگین تعداد مشتریان در صف، ، می‌تواند از E(L) و با کم کردن میانگین تعداد مشتریان در سیستم بدست آید:
(24.2)
میانگین زمان انتظار، E(W)، از E(S) و با کم کردن میانگین زمان سرویس بدست می‌آید:
(25.2)
2-4- مسائل بهینه سازی چندهدفه
بسیاری از مسائل کاربردی در جهان واقعی را مسائل بهینه سازی ترکیباتی چندهدفه تشکیل می‌دهند، زیرا متغیر‌های مجزا و اهداف متضاد به طور واقعی در ذات آنها است. بهینه سازی مسائل چندهدفه نسبت به مسائل تک هدفه متفاوت بوده، زیرا شامل چندین هدف است که باید در بهینه‌سازی به همه اهداف همزمان توجه شود. به عبارت دیگر الگوریتم‌های بهینه سازی تک هدفه، حل بهینه را با توجه به یک هدف می یابند و این در حالی است که در مسائل چندهدفه (با چندهدف مخالف و متضاد) معمولاً یک حل بهینه مجزا را نمی توان بدست آورد. بنابراین طبیعی است که مجموعه ای از حل‌ها برای این دسته از مسائل موجود بوده و تصمیم گیرنده نیاز داشته باشد که حلّی مناسب را از بین این مجموعه حل‌های متناهی انتخاب کند و در نتیجه حل مناسب، جواب‌هایی خواهد بود که عملکرد قابل قبولی را نسبت به همه اهداف داشته باشد.
2-4-1- فرمول بندی مسائل بهینه سازی چندهدفه
مسائل بهینه سازی چندهدفه را به طور کلی می‌توان به صورت زیر فرموله کرد:
(26.2)

x یک حل است و S مجموعه حل‌های قابل قبول و k تعداد اهداف در مسأله و F(x) هم تصویر حل x در فضای k هدفی و هم مقدار هر یک از اهداف است.
تعریف حل‌های غیرمغلوب: حل a حل b را پوشش می‌دهد، اگر و تنها اگر:
(27.2)
(28.2)
به عبارت دیگر، حل‌های غیرمغلوب، به حل‌های گفته می‌شود که حل‌های دیگر را پوشش داده ولی خود، توسط حل‌های دیگر پوشش داده نمی‌شوند. در شکل (2-2) چگونگی پوشش سایر حل‌ها (دایره‌های با رنگ روشن) توسط مجموعه حل‌های غیرمغلوب (دایره‌های تیره رنگ) نشان داده شده‌است. در این شکل، جبهه‌ی پارتو با خط چین نشان داده شده‌است.
هدف B
هدف A
هدف B
هدف A

شکل 2-2- مجموعه حل‌های غیرمغلوب
2-4-2- الگوریتم‌های تکاملی برای بهینه سازی مسائل چندهدفه بر مبنای الگوریتم ژنتیک
با توجه به آنکه بسیاری از مسائل بهینه سازی، NP-Hard هستند، بنابراین حل به روش‌های دقیق در یک زمان معقول غیرممکن بوده و در نتیجه، استفاده از روش‌های فراابتکاری در این موارد مناسب می باشد. درحقیقت الگوریتم‌های فراابتکاری برای زمانی که محدودیت زمانی وجود دارد و استفاده از روش‌های حل دقیق میسّر نبوده و یا پیچیدگی مسائل بهینه سازی زیاد باشد، به دنبال جواب‌های قابل قبول هستند.
اولین پیاده سازی واقعی از الگوریتم‌های تکاملی، «الگوریتم ژنتیک ارزیابی برداری» توسط دیوید اسکافر در سال 1984 انجام گرفت. اسکافر الگوریتم را به سه بخش انتخاب، ترکیب و جهش که به طور جداگانه در هر تکرار انجام می‌شدند، تغییر داد. این الگوریتم به صورت کارآمدی اجرا می‌شود، اما در برخی از حالات مانند اریب بودن اهداف، با مشکل مواجه می‌شود. درواقع هدف اول الگوریتم‌های بهینه یابی چندهدفه، یعنی رسیدن به جواب‌های بهینه پارتو، به نحو شایسته‌ای توسط این الگوریتم بدست می‌آید، ولی جواب‌های بدست آمده از گستردگی و تنوع خوبی برخوردار نیستند.
در ادامه این قسمت، به سه الگوریتم تکاملی چند هدفه که مبنای اصلی آنها، الگوریتم ژنتیک می‌باشد، می‌پردازیم. الگوریتم NSGA-II به این خاطر انتخاب شده‌است که این الگوریتم در بسیاری از مقالات به عنوان الگوریتم مرجع مقایسه گردیده‌است. الگوریتم CNSGA-II نیز به این علت انتخاب شده‌است که روشی مناسب برای برخورد با محدودیت‌های حل مسأله ارائه می‌کند؛ چون باتوجه به ماهیت مسأله، چندین محدودیت سر راه حل مسأله ایجاد شده‌است که راهکار مناسبی برای رسیدگی به این محدودیت‌ها ایجاب می‌کند. الگوریتم NRGA نیز چون جزء جدیدترین الگوریتم‌های ارائه شده در زمینه بهینه سازی چندهدفه می‌باشد مورداستفاده قرار گرفته‌است.
2-4-2-1- الگوریتم ژنتیک مرتب سازی نامغلوب
دب و همکارانش [14]، یک نخبه گرایی دسته بندی یا مرتب سازی نامغلوب را در الگوریتم‌های ژنتیک پیشنهاد دادند. در اغلب مواقع، این الگوریتم شباهتی به NSGA ندارد، ولی مبتکران نام NSGA-II را به دلیل نقطه پیدایش آن، یعنی همان NSGA، برای آن حفظ کردند.
در این روش، ابتدا جمعیت فرزندان، ، با استفاده از جمعیت والدین، ، ساخته می‌شود. در اینجا به جای پیدا کردن جواب‌های نامغلوب از ، ابتدا دو جمعیت با یکدیگر ترکیب شده و جمعیت با اندازه 2N را ایجاد می‌کنند. سپس از یک مرتب سازی نامغلوب برای دسته بندی تمام جمعیت استفاده می‌شود، البته این مرتب سازی، نسبت به مرتب سازی بر روی ، به تعداد مقایسه بیشتری نیاز دارد. در این شیوه، یک مقایسه عمومی در بین اعضای که مجموع دو جمعیت فرزندان و والدین است، انجام می‌شود و پس از ایجاد صف‌های متفاوت نامغلوب، به ترتیب اولویت (اولویت صفها نسبت به هم) جمعیت بعدی، یکی یکی از این صف‌ها پر می‌شود. پر کردن جمعیت ، با بهترین صف نامغلوب شروع شده و سپس به ترتیب با دومین صف نامغلوب و همین طور سومین و الی آخر، تا زمانی که پر شود، ادامه می‌یابد. از آنجا که اندازه برابر 2N است، تمام اعضای آن ممکن است نتوانند در قرارگیرند و به راحتی جواب‌های باقیمانده را حذف خواهیم کرد. شکل (2-3) نحوه عمل الگوریتم NSGA II را نمایش می‌دهد.

شکل 2-3- نمایشی از نحوه عملکرد NSGA-II


درمورد جواب‌هایی که در صف آخر با استفاده از عملگر نخبه گرایی ازبین می‌روند، باید مهارت بیشتری به کار برده و جواب‌هایی که در ناحیه ازدحام کمتری قراردارند را حفظ کرد. درواقع برای رعایت اصل چگالی در بین جواب‌ها، جواب‌هایی که در ناحیه ازدحامی کوچکتری هستند، برای پر کردن ، در اولویت قرار دارند.
یک استراتژی شبیه بالا در پیشرفت مراحل اولیه از تکامل الگوریتم، تأثیر زیادی نخواهد داشت، چرا که اولویت‌های زیادی در جمعیت ترکیب شده از فرزندان و والدین وجود دارد. احتمالاً جواب‌های نامغلوب زیادی وجود دارند که آماده قرارگرفتن در جمعیت قبل از آن که اندازه‌اش از N تجاوز کند، می‌باشند. یک مسأله مهم و در عین حال سخت این است که مابقی جمعیت چگونه باید پر شود؟ اگرچه درخلال مراحل بعدی شبیه سازی الگوریتم، احتمالاً بیشتر جواب‌های موجود در جمعیت با اندازه 2N، در رده جواب‌هایی با بهترین درجه نامغلوب بودن قرار می‌گیرند و تعداد آن‌ها از N متجاوز خواهد شد، اما الگوریتم بالا با یک راهکار موقعیتی انتخاب، وجود مجموعه متنوعی از جواب‌ها در جمعیت را تضمین می‌کند. با چنین راهکاری، یعنی زمانی که به‌نحوی تمام ناحیه بهینه پارتو توسط جمعیت پوشانده می‌شود، در ادامه الگوریتم، جواب‌های گسترده تری را در فضای جواب فراهم خواهدآورد.
در ادامه، الگوریتم NSGA-II را به اختصار آورده ایم [15]:
گام 1: جمعیت فرزندان و والدین را با یکدیگر ترکیب کرده و را می‌سازیم:

جمعیت حاصل را با استفاده از یک مرتب سازی نامغلوب به صفوف دسته بندی می‌کنیم.
گام 2: قرارمی‌دهیم، i=1، سپس تا زمانی که ، عملیات زیر را تکرار می‌کنیم:

گام 3: روال مرتب سازی ازدحام را اجرا کرده و با استفاده از مفهوم فاصله ازدحام، ارزشهای متفاوتی را برای از جواب‌های تعیین می‌کنیم.
گام 4: جمعیت فرزندان را از با استفاده از یک الگوریتم انتخاب مسابقه‌ای ازدحام و عملگرهای ترکیب و جهش ایجاد می‌کنیم.
گام سوم از الگوریتم بالا، مرتب سازی برحسب ازدحام جواب‌ها در صف i (منظور آخرین صفی است که احتمالاً برخی از جواب‌های موجود در آن نتوانسته‌اند در جمعیت قرار گیرند)، با بکارگیری مفهوم فاصله ازدحام انجام می‌شود. بنابراین، جمعیت به صورت نزولی تحت میزان بزرگی ارزش فاصله ازدحام مرتب شده و در گام چهارم یک عملگر انتخاب مسابقه‌ای ازدحام که مبنای مقایسه آن همان فاصله ازدحام است بکار برده می‌شود. لازم به ذکر است، مرتب سازی نامغلوب واقع در گام اول می‌تواند به همراه عمل پر کردن جمعیت به صورت موازی انجام شود. درواقع هر بار که یک صف نامغلوب، پیدا شده و تست می‌شود که ازنظر اندازه می‌تواند به جمعیت اضافه شود یا نه، درصورتی که نتواند، دیگر نیازی نیست که مرتب سازی بیشتری انجام دهیم. این موضوع، به کاهش زمان اجرا الگوریتم کمک می‌کند.
2-4-2-2- الگوریتم NSGA-II محدود شده
اگر در حین حل مسأله‌ای که باید حل شود، حل‌هایی ایجاد شود که با محدودیت‌های مسأله مغایرت داشته باشد و آن‌ها را نقض کند و درنتیجه غیرقابل قبول باشد، چگونه باید با این موضوع برخورد کرد؟ روش‌های مختلفی برای مقابله با این موضوع وجود دارد که از جمله آن‌ها می‌توان به توابع جریمه و یا نادیده گرفتن و حذف حل غیرقابل قبول ایجاد شده اشاره کرد.
الگوریتم CNSGA-II، همانند الگوریتم NSGA-II عمل می‌کند، تنها با این تفاوت که برای رسیدگی به محدودیت‌ها، روشی را برمی‌گزیند که براساس مفهوم غلبه و امتیازدهی عمل می‌کند [14].
این روش که به محدودیت رسیدگی می‌کند، از انتخاب تورنمنت دودویی استفاده می‌کند که دو حل از جمعیت، انتخاب و حل بهتر انتخاب می‌شود. باتوجه به محدودیتها، هر حل می‌تواند یا قابل قبول و یا غیرقابل قبول باشد. بنابراین، ممکن است حداکثر سه وضعیت به وجود آید:
هرد و حل قابل قبول باشند؛
یکی از حل‌ها قابل قبول و دیگری غیرقابل قبول باشد؛
هر دو حل غیر قابل قبول باشند.
برای مسائل بهینه سازی تک هدفه، از یک قانون ساده برای هر مورد استفاده می‌کنیم:
مورد 1) حلی که تابع هدف بهتری دارد را انتخاب می‌کنیم.
مورد 2) حل قابل قبول را انتخاب می‌کنیم.
مورد 3) حلی که کمترین انحراف از محدودیت‌ها را دارد انتخاب می‌کنیم. باتوجه به اینکه در هیچدام از موارد، اندازه تابع هدف و محدودیت‌ها با یکدیگر مقایسه نشده‌اند، هیچ نیازی به داشتن پارامترهای جریمه نیست، این موضوعی است که این رویکرد را مفید و جذاب کرده‌است.
درمورد مسائل بهینه سازی چندهدفه، دو مورد آخر می‌تواند همانطور که هستند استفاده شوند و مورد اول نیز می‌تواند با استفاده از اپراتور مقایسه ازدحام، حل شود. برای مقایسه کردن در این الگوریتم، تعریف «غلبه» را بین دو حل i و j تعریف می‌کنیم.
تعریف 1) حل i اگر یکی از وضعیت‌های زیر درست باشد، گفته می‌شود که از لحاظ محدودیت بر حل j غلبه دارد:
حل i قابل قبول است ولی حل j نیست.
حل i و j هر دو غیر قابل قبول می‌باشند، اما حل i انحراف از محدودیت کمتری دارد.
حل i و j قابل قبول هستند و حل i، حل j را مغلوب می‌کند.
اثر استفاده از مفهوم غلبه محدودیت این است که، هر حل قابل قبول، رتبه غیرمغلوبی بهتری از هر حل غیرقابل قبول دارد. همه حل‌های قابل قبول، باتوجه به سطح غلبه شان و براساس مقادیر توابع هدفشان رتبه بندی می‌شوند. به هر حال، از بین دو حل غیر قابل قبول، حلی که کمترین انحراف از محدودیت را دارد، دارای رتبه بهتری است. به هر حال، این اصلاح، در مفهوم غلبه، تغییری در پیچیدگی NSGA-II ندارد. بقیه فرایند CNSGA-II، همانطور که قبلاً درمورد NSGA-II توضیح داده شد، اجرا می‌شود.

user6-758

سپاسگزاری
بر خود لازم می‌دانم که از توجه، راهنمایی و تشویق اساتید گرامی دکتر محمد حسین دهقانی و دکتر سید حسین هندی و سایر دوستان مخصوصاً خانمها راضیه دهقانی و سمیرا معقول، و آقایان محمد محمدی ثابت، امین موسوی، هومان مرادپور، رسول اسفندیاری و کیارش جلالپور، سپاسگزاری نمایم.
چکیده
ترمودینامیک سیاه‌چاله‌های لاولاک در حضور
میدانهای الکترومغناطیسی غیرخطی
توسط:
علی دهقانی
در گرانش لاولاک تلاشهایی برای فهمیدن نقش جملات خمش مراتب بالا از دیدگاههای مختلف، به ویژه در زمینهی فیزیک سیاهچالهها، شده است. در این پایاننامه با در نظر گرفتن گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور کلاسهای نمائی و لگاریتمی الکترودینامیک غیرخطی، دو نوع جدید از جوابهای سیاهچالهای توپولوژیکی در ابعاد 1+6 بُعد و بالاتر را که شاملِ سیاهچالههای باردارِ استاتیک مجانباً تخت، و لایههای سیاه باردارِ چرخانِ مجانباً آنتی دوسیته میباشد معرفی میکنیم. تأثیرات میدانهای الکترومغناطیسی غیرخطی را بر جوابها بررسی میکنیم و خواهیم دید که به ازای مقادیر مناسب برای پارامترهای متریک، این جوابها میتوانند به عنوان سیاهچاله (لایه سیاه)هایی با دو اُفق رویداد، یک اُفق اکستریم و یا یک تکینگی عُریان تفسیر شوند. کمیتهای پایای ترمودینامیکی از قبیل دما، آنتروپی، جرم، بار الکتریکی و ... را برای جوابها محاسبه کرده و نشان میدهیم که قانون اول ترمودینامیک برای سیاهچالههای باردارِ استاتیک مجانباً تخت و لایههای سیاه باردارِ چرخانِ مجانباً آنتی دوسیته برقرار است. در ادامه تحلیل پایداری ترمودینامیکی را برای سیاهچالههای باردارِ استاتیک مجانباً تخت با محاسبه دترمینان ماتریس هسیان در دو آنسامبل کانونی و کانونی بزرگ انجام داده و نشان میدهیم که پایداری سیاهچالهها در گرانش لاولاک مرتبه سوم میتواند به نوع آنسامبل انتخابی بستگی داشته باشد، بدین معنی که جملات خمش مراتب بالا روی پایداری سیاهچالهها تأثیر میگذارد. در این بین نتایجی به دست میآید که نشان میدهد حضور میدانهای الکترومغناطیسی غیرخطی تأثیر یکسانی در رفتار آنسامبلهای متفاوت دارد. در پایان تحلیل پایداری ترمودینامیکی را برای لایههای سیاه باردارِ چرخانِ مجانباً آنتی دوسیته انجام داده و نشان میدهیم که حضور جملات خمش مراتب بالا و میدانهای الکترومغناطیسی غیرخطی تأثیر یکسانی در پایداری لایههای سیاه در آنسامبلهای کانونی و کانونی بزرگ دارد. همچنین نشان میدهیم که لایههای سیاه فیزیکی (با دمای مثبت) دارای رفتار ترمودینامیکی پایداری هستند.
کلمات کلیدی : گرانش اینشتین، گرانش لاولاک، خمش مراتب بالا، سیاهچالههای توپولوژیکی، ترمودینامیک سیاهچالهها، الکترودینامیک غیرخطی.
فهرست
عنوان صفحه
TOC o "1-3" h z u فصل اول1
مقدمه1
1-1 قراردادِ یکایی1
1-2 معرفی مفاهیم ارجاعی: ذرات نقطه‌ای، ریسمان‌ها و لایه‌ها3
1-3 انگیزه، هدف و ساختار تحقیق10
فصل دوم17
گرانش در ابعاد بالا17
2-1 بُعد چهارم و نظریه نسبیت عام اینشتین17
2-2 نظریه میدان‌های کلاسیکی: فرمول‌بندی لاگرانژی میدان‌های گرانشی25
2-3 کُنشِ مرزی نظریه نسبیت عام27
2-4 ایزومتری و میدان‌های برداری کیلینگ28
2-5 جواب‌های نظریه نسبیت عام29
2-5-1 فضازمانِ آنتی دوسیته در بُعد30
2-5-2 حل استاتیک باردار بُعدی معادلات میدان اینشتین در حضور ثابت کیهان‌شناسی31
2-6 گرانش لاولاک: گسترش استاندارد نسبیت عام به ابعاد بالا32
2-7 کُنش مرزی در گرانش لاولاک مرتبه سوم36
2-8 روش کانترترم و رفع واگرایی در محاسبه کمیت‌های پایا37
فصل سوم42
نظریهی الکترودینامیک غیرخطی42
3-1 الکترودینامیک ماکسول43
3-1-1 جرم الکترومغناطیسی و مسئلهی واگرائی خودانرژی بارهای نقطهای45
3-1-2 اصل برهمنهی خطی در نظریه ماکسول47
3-2 نظریه الکترودینامیک غیرخطی48
3-2-1 معادلات میدان در نظریه الکترودینامیک غیرخطی51
3-2-2 محاسبه‌ی شدت میدان مطلق 55
3-2-3 معادلاتِ موج در نظریههای الکترودینامیک غیرخطی56
3-3 جمعبندی58
فصل چهارم60
ترمودینامیک سیاه‌چاله‌ها در گرانش لاولاک60
4-1 ترمودینامیک سیستمها در طبیعت61
4-2 ترمودینامیک سیاهچالهها64
4-3 ترمودینامیک سیاهچالهها در گرانش خمش مراتب بالا68
4-4 کمیتهای ترمودینامیکی70
4-4-1 بار الکتریکی70
4-4-2 پتانسیل الکتریکی71
4-4-2 سرعت زاویه‌ای71
فصل پنجم73
ترمودینامیک جوابهای گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور کلاسهای نمائی و لگاریتمی نظریه الکترودینامیک غیرخطی73
5-1 کُنش و معادلات میدان گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور میدانهای الکترومغناطیسی غیرخطی74
5-2 جوابهای سیاهچالههای باردار استاتیک در گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور شکلهای نمائی و لگاریتمی الکترودینامیک غیرخطی75
5-2-1 جوابهای باردار استاتیک 1+6 بُعدی79
5-2-2 معرفی جرمِ هندسی در گرانش لاولاک مرتبه سوم82
5-2-3 خصوصیات فضازمانِ جوابهای باردار استاتیک 1+6 بُعدی83
5-2-4 جوابهای سیاهچالههای باردار استاتیک بُعدی91
5-3 بررسی ترمودینامیک سیاهچالههای لاولاک مرتبه سوم در حضور میدانهای الکترومغناطیسی غیرخطی94
5-4 طبیعتِ پایداری سیاه‌چاله‌ها در آنسامبل‌های کانونی و کانونی بزرگ99
5-4-1 بررسی پایداری ترمودینامیکی سیاهچالههای باردار مجانباً تخت در آنسامبل کانونی100
5-4-2 بررسی پایداری ترمودینامیکی سیاهچالههای باردار مجانباً تخت در آنسامبل کانونی بزرگ105
5-5 لایههای سیاهِ چرخانِ باردار مجانباً در گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور شکلهای نمائی و لگاریتمی الکترودینامیک غیرخطی110
5-6 بررسی ترمودینامیک لایههای سیاه چرخانِ باردار مجانباً گرانشِ لاولاک مرتبه سوم در حضور میدانهای الکترومغناطیسی غیرخطی114
5-7 طبیعتِ پایداری لایههای سیاه در آنسامبل‌های کانونی و کانونی بزرگ120
5-7-1 بررسی پایداری ترمودینامیکی لایههای سیاه چرخانِ باردار مجانباً در آنسامبل کانونی120
5-7-2 بررسی پایداری ترمودینامیکی لایههای سیاه چرخانِ باردار مجانباً در آنسامبل کانونی بزرگ123
فصل ششم127
نتیجهگیری و پیشنهادات127
پیوست الف132
پیوست ب134
پیوست ج135
مراجع137

فهرست شکلها
شکل 1- SEQ شکل_1- * ARABIC 1: نظریه به عنوان نظریه مادر برای پنج نظریه اَبرریسمان 10 بُعدی و نظریه اَبرگرانش 11 بُعدی ............................................................................................................................................................................................................. 8
شکل 2-1: شکل سمت چپ تقسیم فضای فیزیکی به صفحاتِ زمان ثابت در چارچوبِ 4 مختصهای فضا و زمان در نظریه نیوتن. یک نقطه در این چارچوب یک رویداد نامیده میشود و مسیر یک ذره در فضا و زمان توسط پیوستاری یک بُعدی از رویدادها، تحت عنوان جهانخط، مشخص میشود. شکل سمت راست لایه‌بندی فضازمان در نظریه نسبیت خاص را نشان میدهد ................................................................... .................................................................................19
شکل 2-2: دستگاه مختصات یک نگاشت از خمینه به فضای اقلیدسی است ..................................................................22
شکل 2-3: یک تبدیل مختصات بین دو مجموعه مختصات ...................................................................................23
شکل 3-1: تغییرات بر حسب. شکل سمت چپ به ازای مقادیر و . شکل میانی به ازای مقادیر و ؛ دیده میشود که با افزایش سه مدل در فاصلهی مکانی خیلی کوچک برهم منطبق میشوند. شکل سمت راست رفتار در نزدیکی مبدأ به ازای مقادیر و را نشان میدهد ....................................55
شکل 5-1: مقایسه رفتار تابعهای متریک (لگاریتمی، نمائی و ماکسولی) برای فضازمانهای مجانباً تخت . به ازای مقادیر ............................................................................................................86
شکل 5-2: مقایسه رفتار تابعهای متریک (لگاریتمی، نمائی و ماکسولی) برای فضازمانهای مجانباً. به ازای مقادیر .................................................................................................86
شکل 5-3: تغییرات تابع متریک نسبت به برای کلاسهای (شکل مشکی رنگ) و (شکل آبی رنگ) برای حالتهای متفاوت پارامترِ جرم. به ازای مجموعه مقادیر............................................................................................................................................................................................................88
شکل 5-4: تغییرات تابع متریک نسبت به برای کلاسهای(شکل مشکی رنگ) و (شکل آبی رنگ) به ازای مقادیر،، و . در شکل خطوط باریک مربوط به حالت (سیاهچاله با یک اُفق)، خطوط پررنگ مربوط به حالت (سیاهچاله با دو اُفق)، خطوط نقطهای مربوط به حالت (سیاهچاله با اُفق اکستریم) و خطوط خط-نقطهای مربوط به حالت (تکینگی عریان) هستند...............................................................................................................................................................................................90
شکل 5-5: برای کلاس- تغییرات دما بر حسب (شکل سمت چپ) و تغییرات دما بر حسب (شکل سمت راست). به ازای مقادیر ........................................................................................................................102
شکل 5-6: برای کلاس- تغییرات ظرفیت گرمایی بر حسب. شکل سمت چپ تغییرات در دامنههای کوچک را نشان میدهد. شکل سمت راست تغییرات در مقادیر بزرگتر را نشان میدهد. به ازای مقادیر .............................................................................................................................................................................103
شکل 5-7: برای کلاس- تغییرات دما بر حسب (شکل سمت چپ) و تغییرات دما بر حسب (شکل سمت راست). به ازای مقادیر ......................................................................................................................104
شکل 5-8: برای کلاس- تغییرات ظرفیت گرمایی بر حسب. به ازای مقادیر ........................................................................................................................................................................................................104
شکل 5-9: برای کلاس- از چپ به راست به ترتیب تغییرات جرم، دما، ظرفیت گرمایی و دترمینان ماتریس هسیان (در آنسامبل کانونی بزرگ) بر حسب. به ازای مقادیر .........................................................................................................................................................................................................107
شکل 5-10: برای کلاس- از چپ به راست به ترتیب تغییرات جرم، دما، ظرفیت گرمایی و دترمینان ماتریس هسیان (در آنسامبل کانونی بزرگ) بر حسب. به ازای مقادیر .........................................................................................................................................................................................................108
شکل 5-11: برای کلاس- از چپ به راست به ترتیب تغییرات جرم، دما و ظرفیت گرمایی بر حسب. به ازای مقادیر .........................................................................................................................122
شکل 5-12: : برای کلاس- از چپ به راست به ترتیب تغییرات جرم، دما و ظرفیت گرمایی بر حسب. به ازای مقادیر ...........................................................................................................................122
شکل 5-13: تغییرات دترمینان ماتریس هسیان در آنسامبل کانونی بزرگ . شکل سمت چپ مربوط به کلاس و شکل سمت راست برای کلاس. به ازای مقادیر .........................................................................................................................................................................................................124

فصل اولمقدمه1-1 قراردادِ یکاییبرای کاربردهای بعدی، ابتدا مشخص می‌کنیم که در چه یکایی از یکاهای فیزیکی کار می‌کنیم. در این پایان‌نامه از واحدهای طبیعی استفاده می‌کنیم به جز مواردی که خلاف آن ذکر شود. در واحدی که کار میکنیم ثانیه به طور دقیق برابر است با متر. بنابراین برای سرعت نور خواهیم داشت و برای گذردهی الکتریکی و تراویی مغناطیسی خلأ مقدار را اختیار می‌کنیم. در نتیجه ثابت کولن برابر به دست می‌آید. علاوه بر این برای ثابت پلانک و ثابت بولتزمن نیز مقدار واحد را انتخاب می‌کنیم:

بنابراین در واحدهای طبیعی داریم:

و برای سادگی انتخاب می‌کنیم:

بنابراین با مختصر نویسی داریم . از آن‌جایی که کُنشِ، بنا به تعریف، انتگرالِ زمانی یک لاگرانژین (با واحدِ انرژی) است بنابراین تمام کُنش‌ها بدون بُعد خواهند بود یعنی . در نتیجه برای عنصرِ حجم خواهیم داشت:

و برای داشتن یک کُنش بدون بُعد لازم است که چگالی لاگرانژی دارای یکای

باشد. برای مثال با این تحلیل پارامتر غیرخطی در فصل سوم (نظریه الکترودینامیک غیرخطی) دارای یکای جرم خواهد بود.
ثابتِ گرانشِ اینشتین ، که در معادلاتِ میدانِ اینشتین ظاهر می‌شود، برحسبِ ثابتِ گرانش نیوتن در چهار بُعد فضازمانی به صورت

است و آن را نیز، در هر بُعدی از فضازمان، برابر با واحد انتخاب می‌کنیم. ثابت گرانش نیوتن در ابعاد بالا به صورتِ زیر در می‌آید

و بنابراین ثابتِ گرانشِ اینشتین در هر بُعد برحسب ثابتِ گرانشِ نیوتن در همان بُعد نوشته می‌شود که مقدار آن، همان‌طور که ذکر شد، برابر واحد اختیار می‌شود.
1-2 معرفی مفاهیم ارجاعی: ذرات نقطه‌ای، ریسمان‌ها و لایه‌ها
بنیادی‌ترین ذرات در طبیعت به صورت ذراتِ نقطه‌ای فرض می‌شوند زیرا بدون ساختارند و نمی‌توان برای آن‌ها بُعدی در نظر گرفت. یک نقطه در فضایبُعدی، بدون بُعد است. می‌توان ذره‌ی نقطه‌ای را درون یک فضازمان بُعدی (که بُعد اضافی زمان است) توصیف کرد. با وجودِ مفهوم زمان، حرکت برای ذره‌ی نقطه‌ای معنی پیدا می‌کند. حرکت ذره در فضازمان بُعدی یک خط 1+0 بُعدی است، یعنی بدون بُعد مکانی. به این موجود 1 بُعدی جهان‌خط می‌گوییم. با گسترش نظری ایده‌ی ذره به ریسمان، به‌عنوان مولدهای احتمالی ذرات بنیادی و رد ایده‌ی نقطه‌ای بودن آن‌ها، می‌توان برای ریسمان‌ها در فضازمان بُعدی یک جهان‌سطح 1+1 بُعدی در نظر گرفت. بنابراین فضازمانی که یک ریسمان تجربه می‌کند یک جهان‌صفحه است. بر اساس نظریه ریسمان اجزای تشکیل دهنده‌ی ماده، نه ذرات، بلکه ریسمان‌ها هستند. مطابق با این دیدگاه یک الکترون در حقیقت ریسمانی‌ست دارای ارتعاش و چرخش، اما در مقیاسی بسیار کوچک، بنابراین در مقیاس انرژی شتاب‌دهنده‌های امروزی به صورت ذره احساس می‌شوند. این نظریه برای تکامل به لایه‌ها احتیاج دارد. لایه‌ها گسترش ایده‌ی ریسمان‌ها هستند و برخلاف ریسمان‌ها اشیائی چند-بُعدی هستند. لایه شئ‌ای شبیه ریسمان اما با ابعاد دلخواه است. ریسمان را می‌توان یک لایه در نظر گرفت. ذره‌ی نقطه‌ای لایه است. یک پوسته که در هر لحظه از زمان به شکل یک رویه باشد یک لایه است و به همین ترتیب لایه، لایه، لایه (دو نوع)، لایه الی لایه را داریم. این لایه‌ها می‌توانند کل فضای حجمی یک فضازمان را پر کنند. نوع خاصی از لایه‌ها تحت عنوان لایه‌ها وجود دارند که می‌توانند در فضازمان‌های با ابعاد بالا غوطه‌ور باشند و نقش شرایط مرزی دیریکله را در نظریه اَبرریسمان بازی کنند. لایه‌ها ذرات نقطه‌ای هستند. لایه‌ها مشابه ریسمان‌ها و اشیائی یک بُعدی هستند. دو انتهای آن‌ها می‌تواند بر روی هم قرار گرفته و تشکیل یک حلقه دهند و همانند ریسمان‌ها می‌توانند در تمامی جهات حرکت کنند. به همین دلیل می‌توانند ارتعاش داشته باشند و دارای نوسانات کوانتومی هستند. لایه شئ گسترده شده در بُعد فضایی است و بنابراین در ادامه‌ی امتداد ایده‌ی جهان‌خط و جهان‌صفحه می‌توان برای آن‌ها جهان‌حجم‌هایی بُعدی در نظر گرفت. این‌ها تعمیم ذره‌ی نقطه‌ای بدون ساختار داخلی به ابعاد بالا هستند. ویژگی بارز آن‌ها این است که مکان‌هایی در فضا هستند که انتهای ریسمان‌ها بر روی آن‌ها قرار می‌گیرد.لایه‌ها دارای جرم مشخصی هستند و با استفاده از این واقعیت که انتهای ریسمان‌ها می‌تواند بر روی آن‌ها قرار گیرد می‌توان جرم‌شان را حساب کرد. با ضعیف‌تر شدن اندرکُنش ریسمان‌ها جرم لایه افزایش می‌یابد. در مطالعه‌ی جهان‌صفحه‌ی ریسمان‌ها از فرض ضعیف بودن اندرکنش ریسمان‌ها استفاده می‌شود. در نتیجه لایه‌ها اجسام بسیار سنگینی هستند به گونه‌ای که حرکت دادن آن‌ها بسیار دشوار بوده و از این لحاظ به سختی می‌توان آن‌ها را اشیائی پویا در نظریه ریسمان محسوب کرد. دلیل اصلی شکل‌گیری انقلابِ مربوط به ورود لایه‌ها به حوزه‌ی فیزیک نظری، اَبرگرانش 11-بُعدی است. این نظریه بر پایه‌ی دو ایده شکل گرفت: اَبَرتقارن و نسبیت عام. این نظریه با نظریه‌های اَبرگرانشی مستخرج از نظریه‌ی ریسمان نیز مرتبط است و نظریه‌پردازان از این ارتباط، قبل از انقلاب دوم ریسمان به خوبی آگاه بودند. اما ارتباط آن با جهان‌صفحه نظریه ریسمان ناشناخته بود. بدتر از همه این‌که این نظریه هیچ همگونی با مکانیک کوانتومی نداشت. به همین دلیل نظریه‌پردازان ریسمان با تردید به آن نگاه می‌کردند، زیرا بر این باور بودند که مکانیک کوانتومی و گرانش کاملاً به یک‌دیگر وابسته هستند. با گسترش یافتن این ایده‌ها بین نظریه‌پردازان طی چند سال، مسیر این نظریه در اواسط دهه‌ی 90 به ناگاه عوض شد. با این‌که هنوز هم ریسمان‌ها اشیائی مهم به شمار می‌رفتند اما وجود لایه‌ها با ابعاد مختلف در این نظریه ضروری به نظر می‌رسید و گاه در بعضی موارد حتی دارای اهمیتی به اندازه خود ریسمان‌ها بودند. در مواردی هم لایه‌ها به عنوان سیاه‌چاله‌های دمای صفر توصیف می‌شدند.
فرض اولیه در نظریه ریسمان این است که ذرات اشیائی نقطه‌گونه نیستند بلکه مدهای نوسانی از ریسمان‌ها هستند. ریسمان‌ها بی‌نهایت باریک هستند و بر اساس فرضیات نظریه ریسمان دارای طولی بسیار کوچک در حدود هستند [1,4]. جرم کل ریسمان به سه بخش تقسیم می‌شود:
جرم سکون ریسمان که بین دو لایه قرار گرفته است.
انرژی ارتعاشی مربوط به هر مُد ثانویه ریسمان، که از طریق رابطه‌ی این انرژی به عنوان جرم تعبیر می‌شود.
نوسانات کمینه مربوط به عدم قطعیت کوانتومی (تحت عنوانِ انرژی نقطه صفر کوانتومی).
برخلاف انرژی نوسانی، سهم مربوط به انرژی نقطه‌ی صفر قابل حذف نیست. سهم انرژی نقطه صفر در جرم مقداری منفی است. تمام اثرات مربوط به جرم سکون، انرژی‌های ارتعاشی و انرژی نقطه صفر جمع می‌شوند تا مجذور جرم کل حاصل شود و اگر انرژی نقطه صفر بر بقیه‌ی سهم‌ها چیره شود این مجذور جرم است که منفی می‌شود. یک ریسمان نسبیتی در پایین‌ترین حالت انرژی کوانتومی خود دارای جرم منفی است. ریسمان در این حالت تاکیون نامیده می‌شود. دیدگاه کنونی در مورد تاکیون‌ها این‌ست که آن‌ها نشانه‌ی بی‌ثباتی نظریه هستند. انرژی نوسانی سبب کاهش اثر منفی نوسانات کوانتومی در جرم می‌شود. در نتیجه کوچک‌ترین افزایش در سهم انرژی نوسانی مجاز، بر اساس مکانیک کوانتومی، سبب می‌شود مجذور جرم کل صفر شود که نتیجهای رضایتبخش است. زیرا ذرات بدون جرم مانند فوتون، و تا‌به‌حال از لحاظ نظری گراویتون، در طبیعت وجود دارند. کم‌ترین مقدار انرژی حاصل از نوسانات، ارتباطی به ابعاد فضا ندارند. اما نوسانات کوانتومی نقطه صفر این‌گونه نیستند. وقتی چیزی نوسان می‌کند، به عنوان مثال راستای ارتعاش ریسمان پیانو، دارای راستای معینی برای مثال به سمت بالا و پایین است. اما نوسانات کوانتومی ممکن در تمامی جهات رخ می‌دهد. هر بُعد جدیدی که تعریف شود، راستای جدیدی را در اختیار نوسانات کوانتومی جهت ارتعاش قرار می‌دهد. راستای بیشتر به معنای نوسانات نقطه‌ی صفر بیشتر و در نتیجه سهم منفی بیشتر است. آن‌چه باقی می‌ماند، توضیح نحوه‌ی برقراری تعادل بین نوسانات ریسمان و نوسانات اجتناب‌ناپذیر کوانتومی نقطه صفر است. نظریه‌پردازان ریسمان با محاسبه دریافته‌اند که کمینه‌ی ابعاد لازم، جهت حذف اثر نوسانات کوانتومی توسط نوسانات ریسمان، 1+25 بُعد است که منجر به ایجاد حالات ریسمانی بدون جرم می‌شود که مطلوب ماست. در مقیاس‌های فاصله‌ای بزرگ‌تر از طول ریسمان‌ها، هر مد نوسانی منطبق بر ذراتی متفاوت است که با خواصی هم‌چون جرم، بار و ویژگی‌های دیگری که توسط دینامیک ریسمان‌ها تعیین می‌شود. شکاف و ترکیب ریسمان‌ها متناظر است با انتشار و جذبِ ذرات که به معنی برهم‌کُنش بین ذرات است و بنابراین سازوکار انواع نیروها در بنیادی‌ترین سطح فیزیک، با فرض وجودِ احتمالی ابعاد اضافی، توصیف می‌شود.
در نظریه ریسمان یکی از مدهای نوسانی ریسمان‌ها متناظر با یک ذره‌ی بدون جرم با اسپین 2 (همان گراویتون پیش‌بینی شده در نسبیت عام) است و بنابراین این ذره مسئول نیروی گرانشی خواهد بود. در نتیجه نظریه ریسمان یک نظریه مکانیک کوانتومی خودسازگار ریاضیاتی‌ست، که وجود گراویتون به عنوان یکی از محصولات این نظریه در آن ایجاب می‌کند که آن را به عنوان نظریه گرانش کوانتومی احتمالی به حساب آوریم. نظریه ریسمان شامل دو گونه ریسمان، ریسمان‌های باز و ریسمان‌های بسته، است. این دو نوع ریسمان ذرات متفاوتی را در بر می‌گیرند. برای مثال تمام نظریه‌های ریسمان شامل ریسمان‌های بسته‌ای با مد نوسانی گراویتون هستند، درحالی‌که فقط ریسمان‌های باز می‌توانند متناظر با ذراتی چون فوتون‌ها باشند. دلیل این امر آن است که دو انتهای ریسمان‌های باز همیشه می‌توانند به یکدیگر متصل شوند و یک ریسمان بسته تشکیل دهند بنابراین تمامی این نظریه‌ها شامل گراویتون نیز می‌شوند و گرانش به صورت طبیعی ظاهر می‌شود. در نتیجه‌ی بررسی این‌که "چطور می‌توان یک نظریه ریسمان شامل فرمیون‌ها داشت" اَبرتقارن، به عنوان ارتباطی ریاضی بین بوزون‌ها و فرمیون‌ها، ابداع شد. نظریه‌های ریسمان شامل ارتعاشات فرمیونی تحت عنوان نظریه‌های اَبرریسمان شناخته می‌شوند. انواع متفاوتی از نظریه‌های اَبرریسمان وجود دارند که به عنوان حدهای متفاوت یک نظریه مادر، تحت عنوان نظریه، شناخته می‌شوند.

شکل 1- SEQ شکل_1- * ARABIC 2 نظریه به عنوان نظریه مادر برای پنج نظریه اَبرریسمان 10 بُعدی و نظریه اَبرگرانش 11 بُعدی
از آن‌جایی که نظریه اَبرریسمان تمامی سازوکارهای بنیادی طبیعت را شامل می‌شود بسیاری از فیزیک‌دانان معتقدند که مناسب‌ترین کاندید برای نظریه‌ی همه چیز احتمالی‌ست. نظریه اَبرریسمان در کنار اَبرتقارن، که فرض می‌کند به ازای هر ذره‌ی بوزونی یک ذره‌ی فرمیونی وجود دارد، تعداد ابعاد نظریه را به 1+9 بُعد کاهش می‌دهد. در حال حاضر پنج نظریه‌ی اَبرریسمانِ نوع ، نوع ، نوع ، نوع و نوع وجود دارند که می‌توانند توصیف‌گر طبیعت باشند. برای مثال نظریه‌های اَبرریسمان نوع دارای لایه‌های با شماره‌های زوج است: ، ، ، و هم‌چنین لایه‌های سالیتونی و اشیای پیچیده دیگر. در مقابل مدل دارایلایه‌هایی با شماره‌های فرد است: ، ، ،لایه‌های سالیتونی و تعدادی لایه‌های دیگر که بسیار پیچیده‌اند. یک شبکه پیوسته از دوگانگی‌ها در نظریه ریسمان وجود دارد به طوری که با شروع از یک لایه دلخواه و اِعمال چند دوگانگی و تغییر شکل ناشی از آن‌ها به نوع دیگری از لایه دست می‌یابیم. در واقع بین نظریه‌های اَبرریسمان به ظاهر متفاوت می‌توان ارتباط برقرار کرد. دوگانگی نوعِ مقیاس‌های فاصله‌ای بلند و کوتاه در نظریه‌های اَبرریسمان را به هم مرتبط می‌سازد، در حالی‌که دوگانگی نوعِ شدت جفت‌شدگی‌های قوی و ضعیف را در نظریه‌ها به هم مربوط می‌سازد. دوگانگی نوعِ نیز دوگانگی‌های و را به یک‌دیگر مربوط می‌سازد. برای مثال دوگانگی نوعِ می‌تواند نظریه‌های اَبرریسمان مدل و را به هم مربوط سازد. اگر یک لایه را تماماً به دور بُعد دایروی شکل بپیچانیم از دید ناظری فاقد دستگاهی جهت تشخیص ابعاد دقیق بُعد دایره‌ای شکل،لایه را به شکل یک نقطه‌ی بی‌بُعد می‌بیند: یکلایه. بنابراین اگر یکی از 10 بُعد موجود در مدل را تا کرده و به شکل دایره در آوریم، و اگر این دایره آن‌قدر کوچک باشد که نتوان آن را مشاهده کرد، در این حالت نظریه ریسمان 9 بُعدی به نظر می‌رسد. در جهان 9 بُعدی جدیدی که بدین شکل ساخته می‌شود دیگر نمی‌توان تفاوتی میان مدل‌های و قائل شد. می‌توان این فشرده‌سازی برای سایر ابعاد را نیز ادامه داد و به 1+3 بُعد فیزیکی رسید. در نظریه ریسمان ابعاد اضافی از نوع ابعاد فشرده هستند. به منظور درک ابعاد فشرده، برای نمونه می‌توان یک استوانه بینهایت دراز دو بعدی را در نظر گرفت. موجودی که روی این سطح در راستای طولی استوانه حرکت می‌کند به جای خود باز نمی‌گردد، اما در عوض اگر به سمت چپ یا راست حرکت عرضی کند به جای اول خود باز می‌گردد. به بُعدی که در راستای طولی استوانه است بُعد نافشرده و به بُعد عرضی استوانه بُعد فشرده می‌گوییم. در پارادایم فکری نظریه ریسمان، ابعاد بالا از نوع بُعد فشرده هستند. اگر بُعد عرضی این استوانه مانند یک نخ بسیار باریک باشد برای ما یک رویه‌ی یک بُعدی (خط) خواهد بود. یک فضای دو بُعدی فشرده مانند کره نیز می‌توانیم داشته باشیم و با گسترش منطق ریاضی می‌توان اَبرکره کاملاً فشرده در ابعاد بالا داشت. این موضوع که "آیا ابعاد اضافی به خودی‌خود در ارتباط احتمالی بین نظریه‌های فیزیکی در ابعاد بالا (به ویژه نظریه اَبرریسمان) با جهان واقعی نقشی دارند یا نه"، هنوز واضح نیست، در واقع بسیار مبهم و پیچیده است.
1-3 انگیزه، هدف و ساختار تحقیقرفتار قوانینِ طبیعت تاکنون در چهار نیروی بنیادی خلاصه شده است: گرانش، الکترومغناطیس، نیروی ضعیف و نیروی قوی. در مکانیک کلاسیک یا دیدگاه کلاسیکی فیزیک، قوانینی برای پدیدههای طبیعت نوشته شده است که توصیف کنندهی رفتار آن پدیدهها هست ولی چیزی دربارهی ماهیت و سازوکار این رفتار نمیگوید. برای مثال قانون پایستگی انرژی و قانون گرانشی نیوتن. در اینجا میتوان با روابط ریاضی مربوط به این قوانین کار کرد، کمیات را در آنها قرار داد و به یک نتیجه و رفتار رسید. فیزیک مدرن به سطح عمیقتر پدیدهها نگاه میکند، برای مثال با گلوئونها سازوکار برهمکُنش قوی را توضیح میدهند، بوزونهای و را مسئول نیروها در برهمکُنش ضعیف میدانند و فوتونها مسئولیت برهمکُنشهای الکترومغناطیسی را بر عهده دارند. اما تاکنون هیچ چیز و سازوکاری پیدا نشده است که ماهیت گرانش را توضیح دهد. یعنی هیچ توضیح رضایتبخشی برای گرانش بر حسب نیروهای دیگر یا ذرات بنیادی وجود ندارد. تنها توصیفی که تاکنون توانسته است سازوکار گرانش را توسطِ اجزایی بنیادی توضیح دهد نظریه‌ی بحث‌برانگیز ریسمان است که حیاتش منوط به وجودِ ابعادِ اضافی در فضازمان است [1].
از دید یک نظریه ریسمان، رفتار هندسی فضازمانِ توصیف شده توسط نظریه نسبیت عام حد کلاسیکی یک نظریه گرانش کوانتومی‌ست که به واسطه‌ی مقیاس‌های عظیم انرژی از دنیای ماکروسکوپیک ما جدا شده است، و این رفتار به عنوان تجلی‌ای از خمشِ فضازمان توسط ما درک می‌شود. بنابراین با کارکردن در پارادایم میدان‌های کلاسیکی گرانشی در ابعاد بالا می‌توانیم به رفتارهای حدی نظریه‌های منتج‌شده از ریسمان دست پیدا کنیم. در نتیجه با محدود کردن خود در پارادایم میدان‌های کلاسیکی گرانشی در ابعاد بالا، در حضور خمش مراتب بالا، انتظار می‌رود ویژگی‌هایی از جمله "انواع فضازمان‌های مشابه جواب‌های نظریه نسبیت عام (گسترش یافته شده به ابعاد بالا)" ، "وجود تکینگی در فضازمان" و "اُفق رویداد"، دوباره ولی با پیچیدگی‌های بیشتر، ظهور کنند. در این بین می‌توان از یک نظریه گرانشی خمش مراتب بالا بدون فرضِ اَبرتقارن استفاده کرد. این نظریه گرانشی در ابعاد بالا می‌تواند، به منظور داشتن ویژگی‌های نظریه نسبیت عام، گسترش استاندارد نظریه نسبیت عام در ابعاد بالا باشد. در این بین حل‌های سیاه‌چاله‌ای گرانش در ابعاد بالا می‌تواند نقش مهمی را در ارتباط بین گرانش و اَبرریسمان (کاندیدای نظریه گرانش کوانتومی احتمالی) ایفا کند. در اولین قدم، سیاه‌چاله‌ها به عنوان سیستم‌هایی که می‌توان آن‌ها را به صورت نیمه کلاسیکی، یعنی با لحاظ کردن بعضی ملاحظات کوانتومی، در نظر گرفت می‌توانند مهم‌ترین نقش را ایجاد ارتباطِ هم‌زمانِ مفاهیمی هم‌چون خمش مراتبِ بالا، گرانش کوانتومی، ابعاد بالا و ترمودینامیک سیاه‌چاله‌ها داشته باشند. از سوی دیگر از طریق مطالعهی لایهها در نظریه ریسمان است [2,4] که کُنشی غیرخطی برای میدان‌های الکترومغناطیسی از نوع کُنش بورن-اینفلد، که قبلاً به طور مستقل برای تعمیم کلاسیکی نظریه الکترومغناطیس ماکسول پیشنهاد شده بود، پیدا می‌شود [4]. این لایه‌های چند بُعدی از یک دینامیک غیرخطی برای میدانهای الکترومغناطیسی مانند الکترودینامیک نظریه بورن-اینفلد تبعیت میکنند. همانند سیاه‌چاله‌ها، مفهومی تحت عنوان لایه‌های سیاه را می‌توان وارد حوزه‌ی نظری بررسی‌ها کرد، که نام لایه‌ی سیاه اشاره به اُفق‌های توپولوژیکی با شکل‌های کاملاً منحصربه‌فرد دارد. لایه‌های سیاه همانند سیاه‌چاله‌ها نقشی کلیدی در درکِ مفاهیمی هم‌چون خمش مراتب بالا، گرانش کوانتومی، ابعاد بالا و ترمودینامیکِ اُفق‌شان دارند. بنابراین انگیزه‌های لازم برای یافتن جواب‌های نظریه گرانش خمش مراتب بالا در حضور یک دینامیک غیرخطی از میدان‌های الکترومغناطیسی به دست می‌آید.
در حال حاضر باور عمومی فیزیک‌دانان بر این است که نظریه‌ی گرانشی اینشتین حد انرژی‌های پایین یک نظریه‌ی گرانش کوانتومی است. بنابراین صرف‌نظر از طبیعت بنیادی گرانش کوانتومی، باید یک کُنش مؤثر در انرژی‌های پایین وجود داشته باشد که گرانش را در سطحی کلاسیکی توصیف کند. این کُنش مؤثر شامل کُنش اینشتین-هیلبرت به علاوه‌ی جملات خمش مراتب بالا می‌شود. ظهور جملات خمش مراتب بالا در بازبهنجارش نظریه میدان‌های کوانتومی در فضازمان‌های خمیده [6] و یا در ساختن کُنش‌های مؤثر انرژی پایین در نظریه ریسمان دیده می‌شود .[7] در کیهان‌شناسی جهان‌لایه‌ای (که با نظریه ریسمان سازگار است) نیز فرض بر این است که ماده و میدان‌های پیمانه‌ای در یک لایه جایگزیده و درون یک فضازمان با ابعاد بالاتر محصور شده‌اند و میدان گرانشی می‌تواند در سرتاسر این فضازمان با ابعاد بالا منتشر شود. این‌ها دلایلی هستند که نیاز به بررسی گرانش در ابعاد بالا را مهم و بنیادی جلوه می‌دهند. در این راستا چارچوبی که برای بررسی گرانش در ابعاد بالا، از یک کُنش مؤثر کلاسیکی، انتخاب می‌کنیم چارچوبی‌ست که فرضیات اینشتین در نسبیت عام را نگه دارد و در عین حال در ابعاد بالا در انرژی‌های پایین نظریه اَبریسمان سازگار باشد. چنین چارچوبی مدل گرانش لاولاک است [8,9]. از آن‌جایی که تنها کُنش‌های مؤثری که شامل جملات مراتب بالا از مشتقات مرتبه دوم متریک هستند بدون شبح می‌باشند [10]، و گرانش لاولاک از چنین خاصیتی برخوردار است، بنابراین مناسب‌ترین کُنش برای برای بررسی گرانش در ابعاد بالا به نظر می‌رسد. در نتیجه به نظر لازم می‌آید که اثرات خمش مراتب بالا را در ویژگی‌ها و ترمودینامیکِ جواب‌های سیاه‌چاله‌ای بررسی نماییم. در این پایان‌نامه گرانش لاولاک را تا چهار جمله اول بررسی می‌کنیم که آن را تحتِ عنوانِ گرانش لاولاک مرتبه سوم ارجاع می‌دهیم (اولین جمله در کُنش لاولاک با شماره‌ی صفر مشخص می‌شود). از سوی دیگر در حد انرژیهای پایین نظریههای ریسمان کُنشی غیرخطی از نوع کُنش بورن-اینفلد ظاهر میشود [11-14]. در این کُنش یک لاگرانژی جدید به جای لاگرانژی ماکسول قرار میگیرد که مشکل نامتناهی شدن خود انرژی ذراتِ باردار نقطهای را، به صورت کلاسیکی، حل میکند[15]. این کُنش می‌تواند به عنوان تصحیحات ریسمانی بر روی نظریه ماکسول در نظر گرفته شود. بنابراین طبیعی به نظر می‌رسد که، با توجه به مطالب گفته شده، به دنبال جواب‌های سیاه‌چاله‌ای و همچنین لا‌یه‌های سیاه در ابعاد بالا باشیم. هنوز فهم دقیق و کاملی در مورد ارتباط بین چارچوبهای نظریِ گرانشِ خمش مراتب بالا، نظریه ریسمان، فیزیکِ سیاهچالهها، و مفهومِ ابعاد بالاتر از 1+3 بُعد بدست نیامده است و به همین دلیل تاکنون گرانش لاولاک نقش یک آزمایشگاه را برای فیزیکدانان در ابعاد بالا داشته است. سیاه‌چاله‌ها و لایه‌های سیاه در ابعاد بالا نقطه برخورد مفاهیمی هم‌چون خمش مراتبِ بالا، گرانش کوانتومی، ابعاد بالا و ترمودینامیکِ اُفق‌شان هستند و از این حیث پیدا کردن چنین جواب‌هایی ضروری می‌باشد. بنابراین انگیزه‌ای علمی ایجاد می‌شود که سیاه‌چاله‌ها و لایه‌های سیاه مربوط به گرانش خمش مراتب بالا، در حضور یک دینامیک غیرخطی برای میدان‌های الکترومغناطیسی، پیدا و بررسی شوند. تاکنون گرانش لاولاک مرتبه سوم فقط در حضور دینامیک غیرخطی بورن-اینفلد برای میدانهای الکترومغناطیسی مورد بررسی قرار گرفته است [16]. هدف این تحقیق پیدا کردن جواب‌های گرانش مرتبه سوم در حضورِ کلاس‌های نمائی و لگاریتمی از نظریه الکترودینامیک غیرخطی (به عنوان کُنش‌های بورن-اینفلد گونه) و بررسی ترمودینامیک اُفق جواب‌ها است.
در این راستا چنین طرحی برای ساختار پایان‌نامه در نظر گرفته‌ایم:
ابتدا در فصل دوم نظریه نسبیت عام اینشتین را با تأکید بر روی بُعد چهارم زمان مرور می‌کنیم و به بررسی اصول و مهم‌ترین نتایج این نظریه می‌پردازیم. در این بین، مفاهیمی را که برای بحث در ابعاد بالا به آن‌ها نیازمندیم ابتدا در حوزه نسبیت عام مطرح می‌کنیم، بنابراین تعمیم آنها به ابعاد بالا سرراستتر خواهد بود. در ادامه گرانش لاولاک مرتبه سوم را، به عنوان امتداد استاندارد نظریه نسبیت عام به ابعاد بالا، معرفی می‌کنیم.
در فصل سوم به مطالعه‌ی نظریه الکترودینامیک غیرخطی به عنوان تعمیمی از نظریه ماکسول می‌پردازیم. در این بین دو انگیزه‌ی مهم نظری وجود دارد: رفع مشکل نامتناهی شدن خودانرژی بارهای نقطه‌ای در نظریه ماکسول و پیروی کردن میدان‌های الکترومغناطیسی در جهان‌حجم‌های -لایه‌ها از یک دینامیک غیرخطی برای میدان‌های الکترومغناطیسی، نظیر الکترودینامیکِ شبه بورن-اینفلد. در ادامه مشکل نظری معادلات ماکسول و ناسازگاری درونی نظریه را خاطر نشان می‌سازیم و به معرفی نظریه الکترودینامیک غیرخطی، به منظور رفع این ناسازگاری می‌پردازیم. در پایان با به دست آوردن میدان‌های الکتروستاتیکی مقایسه‌هایی بین کلاس‌های نمائی، لگاریتمی و بورن-اینفلد انجام می‌دهیم و سپس ایده‌ی اصل برهم‌نهی غیرخطی برای میدان‌ها را، با توجه به معادلات موج نظریه، ارائه می‌دهیم.
در فصل چهارم نیز به منظور ورود به بحث ترمودینامیک سیاه‌چاله‌ها ابتدا به بیان قوانین مرسوم ترمودینامیک برای سیستم‌ها در طبیعت می‌پردازیم. سپس در تناظر با قوانین ترمودینامیک مرسوم، قوانین ترمودینامیک مربوط به سیاه‌چاله‌ها را مرور می‌کنیم و سپس این بحث را به سیاه‌چاله‌های ابعاد بالا می‌کشانیم.
در فصل پنجم، که مهم‌ترین فصل این تحقیق محسوب می‌شود، با توجه به انگیزه‌های گفته شده جواب‌های سیاه‌چاله‌ها و لایه‌های سیاه گرانش لاولاک را در حضور دو کلاس نمائی و لگاریتمی از نظریه الکترودینامیک غیرخطی را پیدا می‌کنیم. سپس جواب‌ها را به تمام ابعاد گسترش می‌دهیم. در این بین شاهد خصوصیات جدیدی از گرانش خمش مراتب بالا خواهیم بود که نظیر آن در گرانش اینشتین دیده نمی‌شود. در ادامه به بررسی ترمودینامیک و محاسبه کمیت‌های پایای ترمودینامیکی برای جواب‌ها خواهیم پرداخت. در انتها نیز تحلیلی از پایداری ترمودینامیکی سیاه‌چالهها و لایههای سیاه ارائه خواهیم داد.
در نهایت فصل ششم را با جمع‌بندی نتایج و مرور کار انجام شده و ارائه چند طرح پیشنهادی به پایان می‌رسانیم.

فصل دومگرانش در ابعاد بالاابتدا در بخش اول، نظریهی نسبیت عامِ اینشتین را به عنوان چارچوبی که در آن به مفاهیمی چون فضا، زمان و گرانش میاندیشیم مرور میکنیم. در این نظریه زمان به منزلهی بُعد چهارم، به عنوان یک اِلزام و نه یک فرض، در نظر گرفته میشود. سپس به مطالعهی مهمترین رئوس نظریه نسبیت عام و مفاهیم استخراج شده از آن میپردازیم. در ادامه گرانش لاولاک که گسترش استاندارد نظریه نسبیت عام به ابعاد بالا است را با توجه به انگیزه‌های گفته شده در فصل مقدمه معرفی می‌کنیم.
2-1 بُعد چهارم و نظریه نسبیت عام اینشتیندر یک دستگاه مختصات متعامدِ تختِ دو بُعدی، عنصر ناوردای فاصله بینهایت کوچک توسط رابطهی فیثاغورث تعیین میشود. گسترش این رابطه به یک دستگاه مختصات متعامدِ تخت سه بُعدی به رابطهی ناوردای میانجامد. از لحاظ منطق ریاضیاتی میتوان این گسترشِ مختصاتِ متعامدِ تخت را همچنان ادامه داد. به این دستگاههای مختصاتی، چارچوبهای دکارتی میگوئیم. یک چارچوب دکارتی 3 بُعدی، که آن را با نشان می‌دهیم، میتواند موقعیت و فاصلهی تمام اجسام در فضای فیزیکی را تعیین کند. میتوان مختصهی چهارمی، تحت عنوانِ زمان، به چارچوب دکارتی 3 بُعدی اضافه کرد که موقعیت و فاصلهی اجسام را در فضا و زمانِ فیزیکی نمایش دهد. در این چارچوب 1+3 مختصهای دو جسم میتوانند در یک مکان باشند ولی در زمانهای متفاوت؛ و در یک زمان میتوان دو جسم در مکانهای متفاوت داشت. در این چارچوب، صفحاتِ زمان ثابت، فضای فیزیکی را به صورتِ صفحاتی تخت لایهبندی میکند (شکل 1-1). این ترسیم تفکر نیوتنی از فضا و زمانِ مطلق است. در نظریه نیوتنی دو رویداد میتوانند، به طرز کاملاً خوشتعریف و بدون ابهامی، همزمان رخ دهند؛ یعنی فرضِ همزمانی مطلق. در آن تعیین زمان مستقل از انتخاب فضای مرجع است، یعنی برای هر دو چارچوبِ دکارتی لختی گذر زمان یکسان است و این مبنایی نظری برای تبدیل گالیلهای است. برای انجام یک تحلیل همزمانی بین دو رویداد باید تأخیر زمانی در رسیدن اطلاعات به ناظر نیز لحاظ شود. چنین الزامی ناشی از وجود یک ثابت جهانی برای سرعت انتشار نور است. اینشتین این تحلیل را ابتدا با معرفی اصل ثابت بودن سرعت نور در تمام چارچوبهای لخت ارائه داد: "اصلِ ثابت بودن سرعت نور : نور همیشه در فضای تهی با یک سرعت ثابت c منتشر میشود که مستقل از چگونگی حرکت جسمِ تابشکننده است. این قانون پیامد طبیعی داشتن یک نظریه برای پدیدههای الکترومغناطیسی به شکل کنونیاش است. قوانین باید طوری اصلاح شوند که تأخیر در رسیدن اطلاعات در نظریه لحاظ شده باشد". با تحلیل مسئلهی همزمانی، و با توجه به این واقعیت تجربی که سرعت نور یک ثابت جهانیست، میتوان دریافت که حتی یک مورد همزمانی مطلق برای ناظرهای لخت مختلف نمیتوان یافت. این پیامدی اساسی از ثابتِ جهانی بودنِ سرعتِ نور است[17] . تنها چیزی که میتوان یافت یک تعریف قراردادی همزمانی رویدادها برای ناظریست که نسبت به دو رویداد ساکن است و همچنین از لحاظ موقعیت مکانی در فاصلهی یکسانی از دو رویداد قرار دارد. از آنجا که به دلیل عدم هرگونه هم‌زمانی مطلق هیچ تفکیک معقول عینی از پیوستار فضازمان به یک فضای 3 بُعدی به همراه یک بُعد زمانی وجود ندارد، قوانین طبیعت باید قابل قبولترین شکل خود را هنگامی اختیار کنند که به صورتِ
شکل 2-1 : شکل سمت چپ تقسیم فضای فیزیکی به صفحاتِ زمان ثابت در چارچوبِ 4 مختصهای فضا و زمان در نظریه نیوتن. یک نقطه در این چارچوب یک رویداد نامیده میشود و مسیر یک ذره در فضا و زمان توسط پیوستاری یک بُعدی از رویدادها، تحت عنوان جهانخط، مشخص میشود. شکل سمت راست لایه‌بندی فضازمان در نظریه نسبیت خاص را نشان میدهد.
قوانینی در پیوستار فضازمان بیان شوند. بنابراین دستگاه مختصات متعامد تخت 3 بُعدی را به پیوستار 1+3 بُعدی از فضازمان گسترش میدهیم. برای اینکه بتوانیم زمان را وارد عنصر دیفرانسیلی فاصله کنیم لازم است که از یک ثابت جهت برگرداندن اندازهگیریهای زمانی به مکانی استفاده کنیم. در واقع در طبیعت تنها یک ثابت جهانی برای سرعت وجود دارد که همان سرعت نور در شرایط خلأ است و همین ثابت است که منجر به تعریف یک فاصلهی ناوردا در پیوستار فضازمانی میشود. بنابراین برای عنصر ناوردای فاصلهی فضازمانی خواهیم داشت: . علامت منفی از این واقعیت ناشی میشود که سرعت نور در یک چارچوب مفروض کمیتی مثبت است. ضرایب مختصه‌های این عنصر ناوردای طول همان ضرایب متریک برای یک سطح شبه‌اقلیدسی هستند و آن را با نمادگذاری نمایش می‌دهیم. از آن‌جایی که طبق تعریف‌مان این عنصر طول در هر چارچوب لَختی ناورداست بنابراین از این ناوردایی در بین دو چارچوب، تبدیلات لورنتس به عنوان تنها تبدیلات خطی استخراج میشوند، و به تبع آن اثرات اتساع زمان و انقباض طول پیشبینی میشوند. تحت تبدیلات لورنتس، الکترودینامیک ماکسول در همهی چارچوبهای لخت دارای شکل یکسانی خواهد بود و برای اجسام متحرک باردار به جوابهای فیزیکی صحیحی میانجامد. در واقع این تبدیلات همارزی تمام دستگاههای مختصات لخت را نشان میدهد که تحت عنوان اصل نسبیت خاص شناخته میشود. اصل نسبیت خاص نتیجهی عدم آشکارسازی هرگونه ناهمارزی برای چارچوبهای لخت است [17]. همهی آنچه که گفته شد اساس نظریهی نسبیت خاص است که برای چارچوبهای لخت مختصاتی تدوین شده است، و بنابراین نظریهایست برای فضازمان 4-بُعدی تخت که تحت عنوانِ فضای مینکوفسکی شناخته میشود.
لایه‌بندی‌ای که نظریه نسبیت خاص برای فضازمان فیزیکی ارائه می‌دهد به صورت مخروط‌های نوری برای هر ناظر (یا رویداد) مفروضی در فضازمان است (شکل 1-1). بنابراین در نسبیت خاص (یا پیکربندی مینکوفسکی برای فضازمان) هیچ مفهوم خوش تعریفی برای دو رویدادِ جدا که در یک زمان اتفاق میاُفتند وجود نخواهد داشت. ولی چه دلیلی برای قبول چنین لایه‌بندی‌ای از فضازمان در دست داریم؟ تاکنون تمامی آزمایشات چنین ساختاری از فضازمان را در کره‌ی زمین تأیید کرده‌اند. فرض چنین ساختاری برای فضازمان فیزیکی بسیاری از مشکلاتِ فیزیک پیش‌نسبیتی را حل می‌کند. ولی مواردی وجود دارد که نشان می‌دهند چنین ساختاری از فضازمان (پیکربندی مینکوفسکی) فقط بخشی از واقعیت را تفسیر می‌کند و نمی‌تواند اثراتی ناشی از بازتاب فضازمان مانند "حرکت تقدیمی حضیض عطارد"، "خم شدن مسیر نور در مجاورت اجرام سنگین" و "انتقال به سرخ گرانشی" را توضیح دهد. پیکربندی مینکوفسکی از فضازمان معادل با هموردایی قوانین فیزیک برای تمامی ناظرهای چسبیده به چارچوب لخت است. در این‌جا می‌توان پرسید یک ناظر غیرلخت فضازمان را چگونه لایه‌بندی می‌کند یا قوانین فیزیک را به چه شکل می‌بیند؟ اگر هم‌ارزی همه دستگاه‌های مختصات را برای تدوین قوانین طبیعت به منزله‌ی یک اصل ارتقا دهیم به نظریه نسبیت عام دست می‌یابیم به شرط آن‌که قانون ثابت بودن سرعت نور، یا فرضیه‌ی وجود عینی متریک مینکوفسکی را، دست‌کم در نواحی بی‌نهایت کوچکی از فضای چهار بُعدی حفظ کنیم. در چنین تعمیمی از اصل نسبیت خاص به اصل هموردایی عام از اصلِ هم‌ارزی استفاده شده است. این اصل محصولِ واقعیتِ تجربی برابری جرم لختی و جرم گرانشی است. حد خطی بودن نسبت میان جرم‌های گرانشی و لختی چیزی نزدیک به یک در است (براساس آزمایشات دیکه در 1964 و براجینسکی در 1971) [19]. یعنی با دقت بسیار بالایی جرم گرانشی با جرم لختی برابر است. این یعنی وجود رابطه‌ای میان حرکت‌های شتاب‌دار و میدان‌های گرانشی. معادل بودن این دو پدیده اینشتین را به سمت ایجاد یک اصل فیزیکی به نام اصل هم‌ارزی سوق داد. بیان اصل هم‌ارزی به صورت قوی: "در هر نقطه از فضازمان در یک میدان گرانشی می توان یک «دستگاه مختصات لخت موضعی» انتخاب کرد به طوری که در ناحیه به قدر کافی کوچک در اطراف آن نقطه قوانین فیزیکی به همان شکل قوانین در دستگاه مختصات بدون شتاب در غیاب گرانش باشند."
این اصل دلالت بر این دارد که یک «دستگاه مختصات جهانی» وجود ندارد و در هر نقطه در فضازمان چهار بُعدی می‌توان یک مجموعه چهار مختصه‌ی پیدا کرد که مبدأ آن در قرار داشته باشد و متریک به صورت موضعی لورنتسی باشد؛ یعنی . در این دستگاه مختصات لخت موضعی روابط زیر برقرارند:
(2-1-1)
این شرط از لحاظ ریاضی مطابق با وجودِ یک ناحیه‌ی شبه‌اقلیدسی (یا فضازمان مینکوفسکی) در هر ناحیه‌ی بسیار کوچکی از یک خمینه‌ی عام‌تر (خمینه‌ی ریمانی) است. بنابراین زبان ریاضیاتی مربوط به نظریه نسبیت عام زبان هندسه‌ی دیفرانسیل تانسوری خواهد بود. برای کاربرد‌های بعدی بهتر است تعریف دقیق‌تری از خمینه‌ها داشته باشیم. خمینه چیزی بیشتر از فضای پیوسته‌ای از نقاط که ممکن است به طور سرتاسری خمیده (دارای خمش) باشند، نیست. اما این خمینه‌ها به طور موضعی (یعنی در ناحیه محدودی از سطح‌شان) مانند صفحه در فضای تخت هستند. فرض می‌شود یک خمینه به دفعات مشتق‌پذیر است. خمینه یک سازهی ریاضی است که برای توصیف فضازمان به کار میرود، حال آنکه نظریه نسبیت خاص نوع ویژهای از فضازمان را در بر میگیرد، فضازمانی که نه خمشی دارد و در نتیجه نه گرانشی، بنابراین خمینهی مربوط به آن شبهاقلیدسی خواهد بود. بر طبق اصل هم‌ارزی در هر نقطه‌ای از فضازمان هر ناظری می‌تواند دستگاه مختصاتی را بیابد که متریک آن به صورت لورنتسی (مینکوفسکی) باشد، در مورد خمینه‌ها هم می‌توانیم بگوییم که در هر ناحیه‌ی کوچکی از خمینه می‌توان آن ناحیه را موضعاً اقلیدسی در نظر گرفت. متریک لورنتسی یک متریک شبه اقلیدسی است. این متریک در هر ناحیه از فضا – زمان موضعاً برقرار است که این خود ناشی از موضعی بودن نظریه نسبیت خاص در مقابل نظریه نسبیت عام است. به طور عام یک خمینه نمی‌تواند توسط یک سیستم مختصاتی یکتا و سرتاسری پوشانده شود. یعنی هیچ نگاشتی از کل خمینه به فضای وجود ندارد و مجبوریم خمینه را تکه تکه کنیم (یعنی به تکه‌های باز تقسیم کنیم). این بازه‌های باز را می‌نامیم و هر بازه می‌تواند به فضای تخت اقلیدسی نگاشته شود.

شکل 2-2 : دستگاه مختصات یک نگاشت از خمینه به فضای اقلیدسی است.
بر طبق تعریف در خمینه نگاشت‌های وجود دارد که یک ناحیه (بازه) باز در است. اگر یک نقطه در باشد بنابراین یک بردار در خواهد بود. چنین نگاشتی یک «دستگاه مختصات» نامیده می‌شود و ناحیه‌ی (بازه) مختصاتی است. یک دستگاه مختصات شامل مجموعه‌ای از نگاشت‌ها است. دستگاه مختصات نماینده‌ی نقاط در است که توسط علائم نمایش داده می‌شود. خمینه‌ها دارای این خاصیت هستند که ضرب مستقیم دو خمینه‌ی و با ابعادِ و یک خمینه با بُعد ، شامل جفت نقاط مرتب با و است. به طور کلی فرض می‌کنیم کلیه خمینه‌های مورد بحث، ریمانی هستند. خمینه‌‌های ریمانی دسته‌ای از خمینه‌ها هستند که برای توصیف فضازمان‌های نسبیت عامی از آنها استفاده می‌کنیم.
بنابراین با توجه به توضیحات داده شده متریک یک فضازمان عام ریمانی را می توان به صورت

شکل 2-3 : یک تبدیل مختصات بین دو مجموعه مختصات
6882491683385مشخص کرد که در آن مؤلفه های دستگاه مختصات و خمش فضا را تعیین می‌کنند. اطلاعات مربوط به یک فضازمان خمیده و چگونگی انحراف آن از رابطهی فیثاغورث در تانسور متریک کُدگذاری میشود. عناصر متریک دستگاه‌های مختصات عام توسط دستور به یکدیگر مربوط میشوند. به زبان خمینه‌ها اگر دو ناحیه و دارای فصل مشترک باشند که و به ترتیب دارای مختصه‌هایو هستند می‌توانیم یک تبدیل مختصات وارون‌پذیر به صورت در تعریف کنیم. آنگاه بیان ریاضی اصل نسبیت عام این میشود که دستگاه‌های معادلاتی که «قوانین عام طبیعت» را بیان می کنند در دستگاه‌های مختصات ریمانی یکسانند. قضاهایی که گفته شدند به هندسه ریمانی موسوم هستند و از این پس فرض می کنیم که فضاهای مورد بحث ریمانی (خمینه‌های ریمانی) هستند. با در نظر گرفتن وجود چنین لایه‌بندی‌ای برای فضازمانِ فیزیکی 1+3 بُعدی پدیده‌های "حرکت تقدیمی حضیض عطارد"، "انتقال به سرخ گرانشی" و "خم شدن مسیر نور در مجاورت اجرام سنگین و به تبع آن اتساع زمانی گرانشی" پیش‌بینی یا تفسیر می‌شوند. اثر اتساع زمانی گرانشی به ما می‌گوید که اجسام از مکان‌هایی که گذر زمان در آن‌جا سریع‌تر است به مکان‌هایی که گذر زمان کمتر است سقوط می‌کنند. فرض چنین ساختارِ هندسی برای فضازمان باید در حد میدان‌های گرانشی ضعیف به نظریه گرانشی نیوتن برسد. در این‌جا، با توجه به فرمالیزم ریاضیاتی به کار رفته شده، می‌توان اصلی با عنوان اصل تطابق تعریف کرد. مطابق این اصل داریم:
"در میدان‌های گرانشی ضعیف پیکربندی ریمانی فضازمان به یک پیکربندی مینکوفسکی میل می‌کند. در حد سرعت‌های پایین و میدان‌های گرانشی ضعیف نیز پیکربندی ریمانی فضازمان به یک پیکربندی اقلیدسی از فضا و زمان میل می‌کند."
معادله پواسون برای پتانسیل گرانشی نیوتن به صورت است که در آن توزیع جرم ماده است. در طرف چپ این معادله عملگر لاپلاسی، که تولید کننده‌ی مشتقات مرتبه دوم است، وجود دارد و در طرف راست اندازه‌ای از توزیع جرم. یک تعمیم نسبیت عامی از این معادله، با توجه به نوع لایه‌بندی ارائه شده توسط اصلِ هم‌ارزی و ورود بُعد زمان به عنصر ناوردای فاصله، باید ارتباطی از نوع تانسوری بین دو طرف این معادله برقرار کند تا در تمام چارچوب‌ها شکلی یکسان، مطابق با اصل هوردایی عام، داشته باشد. چنین تعمیمی توسط اینشتین در سال 1915 به صورت زیر ارائه شد [18]:
(2-1-1)
که همان ثابت عددی موسوم به ثابت گرانش اینشتین است. طرف چپ این رابطه تانسور اینشتین نام دارد و برآوردی از خمشِ فضازمان است، طرف راست موسوم به تانسور انرژی-تکانه نیز انرژی و تکانهی ماده و میدان را اندازه میگیرد که نقش چشمه گرانشی را بازی می‌کنند. معادلات میدان اینشتین توضیح می‌دهد که چطور خمشِ فضازمان به حضور تکانه-انرژی ماده و میدان واکنش نشان می‌دهد که در تطابق با فرم ضعیف اصلِ ماخ به صورتِ "توزیع ماده شکل هندسه را تعیین می‌کند" است. اصل ماخ در فرم قوی‌اش به صورت "ماده وجود هندسه را تعیین می‌کند، در صورت نبود ماده هندسه‌ای نیز وجود نخواهد داشت" با نسبیت عام سازگار نیست. به طور خلاصه می‌توان نظریه نسبیت عام را، مطابق با رهیافت اینشتین، از پنج اصلِ زیر به دست آورد:
فرم ضعیف اصل ماخ
اصل هم‌ارزی
اصل هموردایی عام
اصل تطابق
اصل جفت‌شدگی گرانشی کمینه
آخرین اصل، که توسط اینشتین به صورت ضمنی استفاده شد، بیان می‌کند که در تعمیم روابط نسبیت خاص به نسبیت عام نباید جملاتی که به صورت صریح شامل تانسور انحنای ریمان هستند به معادلات اضافه گردند.
2-2 نظریه میدان‌های کلاسیکی: فرمول‌بندی لاگرانژی میدان‌های گرانشیدر مکانیک کلاسیک کُنش به صورت تعریف می‌شود که در آن لاگرانژین سیستم است. کمینه کردن تابع با استفاده از حساب وردشی به اصل کمترین کُنش یا اصل هامیلتون منجر می‌شود. در مکانیک کلاسیک با تعریف اختلاف انرژی جنبشی و پتانسیل به عنوان لاگرانژین، برای یک ذره‌ی نقطه‌ای، قانون دوم نیوتن بدست می‌آید. نظریه میدان کلاسیکی بر اساس اصل کمترین کُنش تعریف می‌شود. تنها تفاوت در جابجا شدن مختصه‌های با یک مجموعه از میدان‌های وابسته به فضازمان ، است و در نتیجه کُنش نهایی تابعی از این میدان‌ها خواهد شد. در نظریه میدان‌ها، می‌توان لاگرانژین را به عنوانِ انتگرالِ فضایی یک چگالی لاگرانژی ، که تابعی‌ست از میدان‌های و مشتق‌های به صورت تعریف کرد و بنابراین کُنش، در گذار به یک فضازمان خمیده، یعنی یک پیکربندی ریمانی 1+3 بُعدی (خمینه‌ی )، به صورت زیر خواهد شد
(2-2-1)
که در آن اشاره بر دترمینان متریک فضازمان مورد نظر دارد. وقتی که یک گذار از نظریه نسبیت خاص به نسبیت عام انجام می‌دهیم متریک به میدانِ دینامیکی تانسوری تحول پیدا می‌کند [20]. با انتخاب یک میدان اسکالر به صورت و وردش کوچک روی ها به معادلات میدان اینشتین در فضای تهی، با فرض بی‌نهایت بودن امتداد فضازمان (معادل با فرض بی‌نهایت بودنِ خمینه‌ی )، دست پیدا می‌کنیم:
(2-2-2)
به این جمله کُنش اینشتین-هیلبرت گفته میشود. می‌توان معادلات عام‌تر میدان گرانشی اینشتین را، با احتساب ثابت کیهان‌شناسی و در حضور یک توزیع پیوسته ماده باردار و برهم‌کُنش آن با میدان‌های الکترومغناطیسی و گرانشی، یک‌جا با تعریف کُنش عام به صورت
(2-2-3)
به دست آورد که آثار ماده و میدان در جمله‌ی کُنش توسط کُنش ماده‌ی لحاظ شده است. تانسور انرژی-تکانه نیز از وردش و مرتب کردن آن مطابق رابطه‌ی
(2-2-4)
به دست می‌آید [19].
2-3 کُنشِ مرزی نظریه نسبیت عامبا وردش دادنِ کُنش (2-2-3) نسبت به تانسور متریک، برای یک فضازمان متناهی، عبارت خوشتعریفی به دست نمیآید. در واقع جملاتی مربوط به مرز فضازمان در معادلات میدان نهایی ظاهر میشوند. بنابراین برای یک فضازمان متناهی، متناظر با پیکربندی ریمانی با مرزِ ، کُنش اینشتین-هیلبرت بنیادی‌ترین کُنش محسوب نمی‌شود. زیرا در وردش این کُنش نسبت به تانسور متریک در یک فضازمان دارای مرز جمله‌ای دارای انتگرال سطحی که شامل مشتق نرمالِ است ظاهر می‌شود که فقط در بی‌نهایت تأثیر این جمله‌ی سطحی از بین می‌رود. بنابراین برای خوش تعریف کردن کُنش، باید یک انتگرال مرزی به کُنش حجمی اضافه کنیم تا معادلات میدان گرانشی اینشتین به دست آید. این جمله اثری در معادلات میدان عام گرانشی ایجاد نمی‌کند و تابعی از هندسه‌ی مرزی فضازمان است. این جمله اولین بار توسط گیبونز و هاوکینگ به صورت زیر ارائه شد[21] :
(2-3-1)
که در آن دترمینان متریک مرزِاست و ردِ انحنای خارجی مرز می‌باشد. بنابراین این کُنش مرزی در کنار جمله‌ی کُنش اینشتین-هیلبرت، در فضازمان‌های دارای مرز متناهی، معادلات میدان اینشتین را به دست می‌دهد.
2-4 ایزومتری و میدان‌های برداری کیلینگیک خمینه (که توصیف ریاضی‌وار فضازمان نسبیت عامی است) دارای یک تقارن است اگر هندسه آن تحت یک تبدیل مشخص –که خمینه را به خودش می‌نگارد– یکسان باقی بماند. این یعنی وقتی از نقطه‌ای به نقطه‌ی دیگر می‌رویم متریک تغییری نکند. چنین تقارن‌هایی در متریک را ایزومتری می‌نامیم. مستقل بودن مؤلفه‌های متریک از یک یا چند مختصه شرط وجود داشتن ایزومتری را تضمین می‌کند (ولی عکس این مطلب صحیح نیست). بنابراین یک فضازمان می‌تواند دارای تقارن باشد. برای مثال اگر در یک دستگاه مختصات (مثلاً در کاربردهای کیهان‌شناسی) مؤلفه‌های متریک مستقل از زمان باشند می‌گوییم که فضازمان دارای تقارن زمان گونه است و پایا است. به یک متریک ناوردای شکل می‌گویند هر گاه تحت تبدیل مختصات ، متریک تبدیل یافته‌ی دارای شکل یکسانی، از لحاظ وابستگی به شناسه‌هایش ، نسبت به متریک اولیه‌اش باشد، که برای تمامیها به صورت
(2-4-1)
نشان می‌دهیم. مؤلفه‌های متریک توسط روابط
(2-4-2)

تبدیل می‌شوند. در صورت معتبر بودن دستور (2-4-1) می‌توانیم را با عوض کنیم و خواهیم داشت:
(2-4-3)
هر تبدیل مختصات که شرط (2-4-3) را برقرار نماید، یک ایزومتری نامیده می‌شود. حال برای به دست آوردن شرطی برای وجود ایزومتری‌ها می‌توانیم ایزومتری‌های بی‌نهایت کوچک را در نظر بگیریم که برای آنها حرکت نقاط کوچک هستند. با تغییر مختصات بی نهایت کوچک
(2-4-4)
و با قراردادن آن در دستور (2-4-3) تا مرتبه‌ی اول بر حسب رابطه‌ی زیر را، به شکل هموردا، به دست خواهیم آورد
(2-4-5)
ها را بردارهای کیلینگ می نامیم. دستور (2-4-5) معادله‌ی کیلینگ خوانده می‌شود و هر میدان برداری که در این معادله صدق کند بردارهای کیلینگ نامیده می‌شود [19]. حال مسئله تعیین کردن تمام ایزومتری‌های بی نهایت کوچک به مسئله پیدا کردن بردارهای کیلینگ متریک تبدیل می‌شود. هر ترکیب خطی از بردارهای کیلینگ با ضرایب ثابت هنوز هم یک بردار کیلینگ است. هر بردار کیلینگی وجود یک کمیت پایسته مرتبط با خطوط ژئودزیک را تضمین می‌کند، این یعنی متریک در راستای بردار کیلینگ تغییر نمی‌کند.
2-5 جواب‌های نظریه نسبیت عامدر این بخش ابتدا به معرفی حلِ (آنتی)دوسیته در بُعد می‌پردازیم. در ادامه، با توجه به نوع قراردادی که در انتخاب یکاها اختیار کردیم، با استفاده از نرم‌افزار میپل تانسور اینشتین را در می‌نویسیم و سپس حل ایستای باردار بُعدی معادلات میدان اینشتین را برای کاربردهای بعدی می‌یابیم.
2-5-1 فضازمانِ آنتی دوسیته در بُعددر اینجا برای کاربردهای بعدی فضازمان (آنتی)دوسیته را معرفی می‌کنیم. این متریک را دوسیته در سال 1917 در رابطه با کیهان‌شناخت کشف کرد و فرم بُعدی آن به صورت
(2-5-1)
است که در آن نوع هندسه مرز را مشخص میکند. فضاهای هندسی (آنتی) دوسیته یا حل معادلات میدان تهی اینشتین با ثابت کیهانشناسی هستند که تعداد ابعاد فضازمان است و هم شعاع انحنای این فضا است. فضای توسط فرم درجه دو
(2-5-2)
تعریف می شودکه دریک فضای بامتریک
(2-5-3)
غوطه ور است. یک فضای تخت شبه اقلیدسی است که دارای دو مؤلفه ی زمانی و مؤلفهی فضایی است. این فضا را می توان با اضافه کردن یک مؤلفه ی زمانی به (فضای مینکوفسکی بُعدی با مؤلفهی فضایی و یک مؤلفهی زمانی) بدست آورد یعنی. پس به صورت

تعریف می شود. فضای دارای توپولوژی میباشد. این فضا دارای گروه تقارنی است. این متریک یک حل دقیق معادلات میدان اینشتین در دنیای تهی با ثابت کیهانشناسی مثبت است. می‌بینیم که در اینجا فضای دوسیته جانشین فضای مینکوفسکی در دنیای تهی می‌شود، اسکالر ریچی ثابت و برابر ِ است. هر فضا با (اسکالر ریچی ثابت و منفی) را فضای آنتی دوسیته می‌نامیم.
2-5-2 حل استاتیک باردار بُعدی معادلات میدان اینشتین در حضور ثابت کیهان‌شناسی با نوشتن معادلات میدان اینشتین در بُعد در حضور میدان‌های الکترومغناطیسی و حل کردن این معادلات به جواب زیر دست پیدا می‌کنیم
(2-5-4)
که در آن ، که نوع تقارن به کار رفته در فضازمان را مشخص میکند، متریکِ یک اَبَرسطح بُعدی با خمشِ ثابتِ مثبت، منفی و یا صفر با حجمِ میباشد. تابع متریکِ به صورت زیر است
(2-5-5)
که در آن ثابت کیهان‌شناسی در هر بُعد دلخواه به صورتِ تعریف می‌شود. واضح است که این متریک در حد مجانباً (آنتی)دوسیته است. جواب‌های گرانش مشتقات بالا در حد میدان‌های ضعیف در هر بُعدی باید به این جواب میل کنند. بنابراین این جواب معیاری از درستی جواب‌هایمان در نظریه‌های گرانشی مشتقات بالا خواهد بود.
2-6 گرانش لاولاک: گسترش استاندارد نسبیت عام به ابعاد بالاتانسور گرانشی اینشتین () به همراه یک جملهی کیهانشناسی() ، در هر بُعد، تنها تانسور متقارن و پایستهای () است که میتوان از مشتقاتِ مرتبهی اول و دوم متریک تشکیل داد به طوری که این تانسور نسبت به مشتقاتِ مرتبه دومِ متریک خطی باشد[22,23]. اینشتین رابطه تانسوری را به عنوان معادلاتِ عامِ تعیین کنندهی میدانِ گرانشی معرفی کرد که در آن ثابت گرانش اینشتین است. بنا به فرضهای اینشتین، طرف چپ معادله چنین خواصی دارد:
الف) تانسور سمت چپ این معادله (–موسوم به تانسور اینشتین) به مشتقهای مرتبه اول و دوم ِمتریکِ فضا-زمان محدود میشود.
ب) تانسور اینشتین باید نسبت به مشتقهای مرتبه دوم خطی باشد، یعنی جملات مربعی میتوانند فقط از ترکیب دو مشتقِ مرتبه اولِ متریک تشکیل شوند.
ج) همچنین به دلیل قانون بقای انرژی-تکانه (که سمت راستِ معادلات میدان به طرف چپ تحمیل میکند) دیورژانس باید همواره صفر شود.
د) باید متقارن باشد (این تقارن را نیز سمت راست معادلات میدان به طرف چپ تحمیل میکند).
با این مفروضات تانسور به شکل بهدست میآید. بهطور کلی پذیرفتن کامل این فرضیاتِ اینشتین بحثبرانگیز است. اینشتین دو شرط اول را بهطور طبیعی از معادلهی پواسون استخراج کرده است (یعنی وقتی میخواهیم در تقریب مرتبه اول از معادلات میدان اینشتین به معادلات کلاسیکی نیوتن برسیم معادله پواسون ظاهر میشود). به دلایل نظری، در صورت نپذیرفتن کامل فرضهای اعمالی اینشتین بر روی تانسورِ میتوان نظریه را طوری تغییر داد که جملات دیگری در طرف چپ این معادلهی تانسوری ظاهر شود. در این صورت به معادلاتی دست پیدا میکنیم که در حالتهای حدی، بسته به نوع تغییری که بر فرضهای اولیه اعمال میکنیم، به معادلات میدان اینشتین کاهش پیدا میکنند. به چنین نظریههایی، نظریههای گرانشیِ "تعمیم یافته یا اصلاح شده" گفته میشود. نظریههای گرانشی و تئوری لاولاک نمونهای از این نظریههای گرانشی اصلاح شده هستند. کُنش ارائه شده برای این نظریهها کلیتر و پیچیدهتر از کُنش اینشتین-هیلبرت است و طبیعتاً جوابهای معادلاتِ میدان جدید نیز پیچیدهتر از جوابهای معادلات میدان اینشتین خواهد بود. در بین سالهای 72-1970 لاولاک، طی یک دورهی تحقیقاتی، شرط وابستگی خطی تانسور اینشتین به مشتقات مرتبهی دوم (شرطِ ب) را کنار گذاشت و عامترین تانسور اینشتین را –که دیگر شرایط را ایجاب کند- یافت [8,9]. خصوصیت مهم لاگرانژی لاولاک این است که این لاگرانژی نسبت به تانسور ریمان غیرخطی است و تفاوتِ معادلاتِ میدانِ ناشی از این لاگرانژی لاولاک با معادلاتِ میدانِ اینشتین تنها در فضا-زمانهای بالاتر از 4 بُعد مشخص میشود، یعنی در 4 بُعد جوابهای معادلاتِ میدانِ لاولاک به جوابهای گرانشِ اینشتین کاهش پیدا میکنند. بنابراین با وضعیتی روبرو هستیم که میتوان آن را طبیعیترین تعمیمِ نسبیت عام به ابعاد بالاتر دانست [22]. همان‌طور که در مقدمه گفته شد اینکه ممکن است فضا-زمان ابعادی بالاتر از 1+3 بُعد داشته باشد به نظریههای میدان وحدت یافته و یا حتی به عنوان شرطی اجباری در نظریه ریسمان، برمیگردد. روش لاولاک یک فرمالیزم ریاضیاتی‌ست که با انجام روند تکرار طی یک دستورالعمل منجر به ساخت لاگرانژی لاولاک، مطابق با فرضیات اینشتین، در ابعاد دلخواه می‌شود. بنابراین تمام اصولی که برای رسیدن به نظریه نسبیت عام باید لحاظ شوند در این‌جا نیز به قوت خود باقی می‌مانند. بنابراین نسبیت عام حالت حدی گرانش لاولاک در 1+3 بُعد و هم‌چنین حد میدان‌های گرانشی ضعیف است. در این‌جا از آوردن روش لاولاک خودداری می‌کنیم (برای جزئیات بیشتر به [8] مراجعه شود). لاگرانژی لاولاک به صورت
(2-6-1)
نوشته میشود، که در آن بُعد فضازمان را مشخص میکند و یک ثابت اختیاری است که دارای ابعاد میباشد و بر طبق نتیجهای که از نظریه ریسمان به دست میآید این ضرایب باید مثبت باشند [60]. علامت اشاره به قسمتِ جزء صحیحِ حدِ بالای علامتِ مجموع دارد. به شکل
(2-6-2)
است که در آن تانسور انحنای ریمان در بُعد و دلتای کرونکر پادمتقارنِ تعمیم یافته، به صورتِ است. به ازای خواهیم داشت ، که با احتساب یک ثابت مناسب در لاگرانژی نهایی یک جملهی کیهانشناسی در معادلات میدان حاصل میگردد. به ازای خواهیم داشت ، که همان لاگرانژین اینشتین-هیلبرت است. به ازای، جملات مرتبه دوم تئوری لاولاک حاصل میشود که، وقتی مطالعات محدود به مرتبه دوم گرانش لاولاک باشند، به گرانش گاوس-بونه معروف است. لاگرانژی گاوس-بونه به صورت زیر معرفی میشود
(2-6-3)
تأثیراتِ گرانش گاوس-بونه (جملات مرتبه دومِ گرانش لاولاک) در فضازمانهای 1+4 بُعد به بالا ظاهر میشود. به ازای جملاتِ مرتبه سومِ تئوری لاولاک حاصل میشود که به صورت زیر است
(2-6-4)
تأثیرات این جملات در فضا-زمانهای 1+6 بُعد به بالا ظاهر میشود، و با ترکیب کردن این جمله مرتبه سوم با جملات قبلی، معادلات میدان اینشتین بسیار پیچیدهتر از قبل خواهند شد. در این تحقیق گرانش لاولاک را تا چهار جمله‌ی اول (با احتساب ثابت کیهان‌شناسی) مورد بررسی قرار می‌دهیم و جواب‌های معادلات میدان این گرانش را در ابعاد دلخواه، در حضور میدان‌های الکترومغناطیسی غیرخطی، به دست می‌آوریم. جوابهای گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور یک تانسور انرژی-تکانه دارای خصوصیاتی است که در گرانش اینشتین و گرانش گاوس-بونه مشاهده نمیشود. این خصوصیات در فصل پنجم بررسی میشوند. در یک فضازمان تهی وردش کُنش لاولاک تا مرتبه سوم منجر به تولید معادلاتِ میدانِ تهی لاولاک به صورتِ
(2-6-5)
می‌شود که در آن همان تانسور اینشتین است، و و به ترتیب تانسورهای مرتبه دوم و سوم لاولاک هستند و به صورت زیر به دست می‌آیند
(2-6-8)

2-7 کُنش مرزی در گرانش لاولاک مرتبه سومبا توجه به توضیحات مربوط به گرانش لاولاک کُنش گرانشی لاولاک به صورت زیر نوشته می‌شود
(2-7-1)
و همان‌طور که دیده می‌شود این کُنش در یک فضازمان بُعدی نوشته می‌شود. همان‌طور که برای فضازمان‌های 1+3 بُعدی در نظریه نسبیت عام توانستیم یک مرز نسبت دهیم، و با اضافه کردن یک جمله مرزی در کُنش معادلات میدان اینشتین را تولید کنیم، در این‌جا نیز به کُنش لاولاک می‌توان یک جمله‌ی مرزی اضافه کرد بدون این‌که تأثیری در معادلات میدان لاولاک ایجاد شود. وظیفه‌ی این کُنش مرزی این‌ست که برای خمینه‌های متناهی جمله‌ای متناسب با انتگرال سطحی که شامل مشتق نرمالِ است و در وردش کُنش لاولاک ایجاد می‌شود را حذف نماید. یعنی ایده‌ی گیبونز-هاوکینگ را به گرانش مشتقات بالا گسترش دهیم. این جمله اثری در معادلات میدان عام گرانشی لاولاک ایجاد نمی‌کند و تابعی از هندسه‌ی مرزی فضازمان است. بنابراین برای خوش‌تعریف کردن کُنش باید جملاتی مرزی متناظر با جملات مرتبه دوم و سوم لاولاک به کُنش اولیه اضافه گردند. جمله‌ی مرزی کُنش در گرانش لاولاک مرتبه سوم شکل پیچیده‌ای دارد و به صورت زیر می‌باشد [26]
(2-7-2)
که در آن دترمینان متریک مرزِاست و ردِ انحنای خارجی مرز می‌باشد. در رابطه‌ی بالا جمله‌ی اول در براکت همان جمله‌ی گیبونز-هاوکینگ و دو جمله‌ی دیگر به ترتیب مربوط به جملات مرتبه دوم و سوم کُنش لاولاک هستند. کمیت‌های و نیز به صورت زیر تعریف می‌شوند
(2-7-3)

در این روابط و به ترتیب تانسورهای بُعدی اینشتین و لاولاک مرتبه دوم برای متریک مرزِ هستند. و نیز معرف ردِ عبارت‌های زیر می‌باشند
(2-7-4)

2-8 روش کانترترم و رفع واگرایی در محاسبه کمیت‌های پایادر کُنش‌های گرانشی (2-2-3) و (2-7-1) معرفی شده برای هر دو گرانش اینشتین و لاولاک (به همراه جمله‌ی مرزی کُنش) یک مشکل اساسی وجود دارد: این کُنش‌ها برای فضازمان‌هایی که رفتار مجانبی تخت یا دارند بی‌نهایت می‌شوند. هم‌چنین در محاسبه کمیت‌های پایا از قبیل جرم به مشکل بر می‌خوریم و برای فضازمان جرمی معادل بی‌نهایت می‌یابیم. در مرجع [24] واگرایی‌های کُنش گرانشی برای فضازمان‌های مجانباً تخت و مجانباً بررسی شده است. برای رفع این واگرایی‌ها از تکنیکی موسوم به روش کانترترم استفاده می‌شود. در این روش جمله‌ای به کُنش اصلی اضافه می‌گردد که وظیفه آن حذف واگرایی‌هاست. در نتیجه با داشتن جمله‌ی کانترترم در کُنش نهایی، واگرایی‌ها از بین می‌روند و بیان‌های خوش‌تعریفی برای تانسور انرژی-تکانه و کُنشِ گرانشی خواهیم داشت. جمله‌ی کانترترم باید به صورتی باشد که تحت تبدیلات مختصات ناوردا باشد و در معادلاتِ حرکتِ ناشی از کُنشِ حجمی تأثیری نگذارد. پس باید تابعی از هندسه‌ی مرز فضازمان باشد که در تقارن‌ها و معادلات میدان حجم تأثیری نگذارد. در نتیجه جمله‌ی کانترترم فقط تابعی از ناورداهای انحنای مرز به صورت زیر خواهد بود
(2-8-1)
از روی این کُنش دیده می‌شود که ساختِ کانترترم برای فضازمان‌های مجانباً یکتاست. زیرا در آن فقط مقیاس انحنای مطابق رابطه‌ی (2-8-1) دیده می‌شود. در نتیجه با یک بار ساختن آن، می‌توان آن را برای تمام فضازمان‌های مجانباً و هم‌چنین در تمام دستگاه‌های مختصات به کار برد. در این تحقیق چون به بررسی فضازمان‌های مجانباً نیز علاقه‌مند هستیم از جمله‌ی کانترترم نیز در کنار کُنش اصلی برای این فضازمان‌ها استفاده می‌کنیم. کُنش اصلی در این تحقیق، کُنش لاولاک به علاوه‌ی کُنش مرزی‌ست. با توجه به این‌که تاکنون روش کانترترم برای گرانش لاولاک ابداع نشده است ولی می‌توان برای فضازمان‌های با مرزِ تخت، مطابق رابطه (2-8-1) کانترترم مناسب را پیدا کرد. برای فضازمان‌های با مرزِ تخت، انحنای مرز است، و می‌توان نشان داد که برای گرانش‌های مختلف، از جمله گرانش اینشتین و لاولاک مرتبه سوم، کانترترم یکسانی به دست می‌آید که به صورتِ زیر می‌باشد
(2-8-2)
که در آن فاکتور مقیاس طول بوده و به مقیاس انحنای و ضرایب لاولاک بستگی دارد و در حالتِ خواهیم داشت . بنابراین کُنش نهایی محدود برای گرانش لاولاک مرتبه سوم با مرز تخت به صورت زیر خواهد بود
(2-8-3)
با توجه به تعریف ارائه شده توسط براون و یورک [25] برای تانسور انرژی-تکانه‌ی مرز داریم
(2-8-4)
که برای گرانش لاولاک مرتبه سوم به نتیجه‌ی زیر می‌رسیم
(2-8-5)
سه جمله‌ی اول در رابطه‌ی بالا نتیجه‌ی وردشِ کُنشِ مرزی نسبت به است و آخرین جمله نیز از وردشِ نسبت به به دست می‌آید. برای محاسبه کردن کمیت‌های پایای فضازمان، یک سطح فضاگونه در با متریکِ انتخاب می‌کنیم و متریک مرز را به فرم به صورت زیر می‌نویسیم
(2-8-6)
که در آن مختصه‌های متغیرهای زاویه‌ایِ پارامتریزه کننده‌ی ابرسطوحِ ثابت حولِ مبدأ هستند. هرگاه یک میدان برداری کیلینگِ روی مرز وجود داشته باشد، کمیت‌های پایای موضعی متناظر با تانسور انرژی-تکانه (رابطه‌ی) می‌تواند به صورت زیر نوشته شود
(2-8-7)
که در آن دترمینان متریک است، و بردار زمان‌گونه واحد عمود بر میباشد. برای فضازمان‌هایی با میدان‌های برداری کیلینگ زمان‌گونه‌ی و دورانیِ می‌توان جرم و تکانه‌ی زاویه‌ای را به صورت زیر به دست آورد
(2-8-8)

و بنا به فرض اولیه تمامی این کمیت‌های پایا توسط سیستمی با مرزِ محصور شده‌اند. این کمیت‌ها همگی به موقعیتِ مرزِ در فضازمان بستگی دارند، گرچه هر کدام از آن‌ها مستقل از نوع انتخاب خاصِ لایه‌بندی درون سطحِ است [26].

فصل سومنظریهی الکترودینامیک غیرخطیانگیزه‌ی مهم برای مطالعه‌ی نظریه الکترودینامیک غیرخطی در بین فیزیکدانان نظری به نظریه‌ی اَبرریسمان برمی‌گردد. -لایه‌ها می‌توانند حامل میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی باشند. ریسمان‌های باز در دو سر انتهایی‌شان با این میدان‌های الکترومغناطیسی جفت می‌شوند. با استفاده از دوگانگی نشان داده‌اند که یک -لایه با یک میدان الکتریکی عملاً با یک -لایه متحرک بدون میدان الکتریکی معادل است. قید وجود یک کران بالایی سرعت، معادل با سرعت نور، برای -لایه‌ها ایجاب می‌کند که شدت میدان الکتریکی نمی‌تواند از یک مقدار بیشینه تجاوز کند. وجود یک بیشینه‌ی میدان الکتریکی در دینامیک میدان‌ الکترومغناطیسی تأثیرات غیرخطی می‌گذارد که با دینامیکی که توسط نظریه ماکسول توصیف می‌شود تفاوت دارد. در واقع نشان داده شده است که میدان‌های الکترومغناطیسی در جهان‌رویه‌های-لایه‌ها توسط نظریه بورن-اینفلد (یا شبه بورن-اینفلد) توصیف می‌شوند. در واقع جالب است که لاگرانژی نظریه بورن-اینفلد که صرفاً برای رفع مشکلات نظریه ماکسول طراحی شده بود در حد پایین انرژی نظریه اَبرریسمان ظاهر می‌شود. در این فصل ابتدا به بررسی مهم‌ترین نتایج نظریه خطی الکترودینامیک ماکسول می‌پردازیم. در ادامه با معرفی مسئله‌ی واگرایی خودانرژی برای ذرات باردار نقطه‌ای در مجموعه معادلاتِ میدان ماکسول، و به منظور رفع آن، به بررسی نظریه الکترودینامیک غیرخطی به عنوان تعمیمی از نظریه خطی ماکسول می‌پردازیم. در اینجا سه کلاس از نظریههای الکترودینامیک غیرخطی را، که دارای ویژگیهایی از قبیل متناهی شدن مقدار خودانرژی الکتروستاتیکی بارهای نقطهای و انحراف از قانون کولن هستند، بررسی می‌کنیم. خصوصیات معادلات میدان، میدان‌های الکتروستاتیکی و معادلات موج را برای سه کلاس متفاوت از نظریه‌های الکترودینامیک غیرخطی به دست می‌آوریم و به تحلیل جواب‌ها می‌پردازیم.
3-1 الکترودینامیک ماکسولبه بیان ساده، نظریه الکترودینامیک ماکسول، توصیفیست کلاسیکی از میدانهای الکتریکی و مغناطیسی، تولید میدانها توسط بارهای ساکن و جریانهای الکتریکی، و نحوهی انتشارشان به صورت موج و واکنش آنها نسبت به ماده. این نظریه با توزیعی ماکروسکوپی از بار و جریان الکتریکی سروکار دارد. این بدین معنی‌ست که مفاهیمِ "بار و جریان جایگزیده"، اعتبارِ فرایندهای حدگیری حساب دیفرانسیل را بدیهی فرض میکنند. در این فرایندهای حدگیری احتمال اینکه توزیع بار و جریان در ناحیهی بسیار کوچکی از فضا جایگزیده باشند لحاظ میشود. در سرتاسر این فصل از چنین فرایندهای حدگیری، تحت عنوان حد کلاسیکی، استفاده میکنیم. یعنی با دید صرفاً کلاسیکی به ذرات باردار و میدانها نگاه میکنیم. معادلات میدان ماکسول، معادلات حاکم بر پدیدههای الکترومغناطیسی هستند که از یک کُنش به شکل زیر
(3-1-1)

–1

3-منظور نمودن اطلاعات مربوط به برتری (ارجحیت) تصمیم گیرنده به شکل پویا (تعیین ارجحیت همزمان با جستجو)
4-منظور نمودن اطلاعات برتری (ارجحیت) تصمیم گیرنده بعد از اتمام فرایند جستجو


راهکار اول:
شامل روشهایی است که طی آن جستجو بدون درنظرگرفتن هرگونه اولویتی از جانب تصمیم گیرنده انجام میشود.
راهکار دوم:
اهداف مختلف را براساس اولویتهای تصمیم گیرنده در قالب یک هدف پذیرفته و بهینه سازی را به صورت تک هدفه انجام میدهد. این بدان معناست که خواستهها و رجحانهای تصمیم گیرنده در قالب اوزانی به توابع هدف نسبت داده میشود. راهکار سوم شامل روشهایی می باشد که به تصمیم‌گیرنده این امکان را می دهد که به طور کاملا فعال، اولویتهای خود را در فرایند جستجو اثر دهد. در روش آخر، این امکان برای کاربر یا تصمیم گیرنده وجود دارد که بعد از اتمام فرایند جستجو، انتخاب را براساس اولویتهای خود انجام دهد. در این روش، پس از اتمام جستجو، مجموعهای شامل جوابهای قابل قبول تولید می شود و برای اعمال نظر در اختیار شخص تصمیم گیرنده قرار میگیرد.
2-3- سابقه مطالعات صورت گرفته در زمینه الگوریتمهای تکاملی چندهدفه
Goldberg، پیشنهاد داد که می توان بهینه سازی چند هدفه را با استفاده از فرایند رتبه بندی پارتو مورد بررسی قرار داد. بدین معنا که با توجه به چیرگی اعضای پارتو، به هر عضو از جمعیت یک مقدار نسبی برازندگی نسبت دهیم. این فرایند که با نام مرتب سازی غیرپست شناخته میشود، سنگ بنای تمامی الگوریتمهای بهینه سازی تکاملی چند هدفه قرار گرفته است (شکل (1-2)).
خود Goldberg نظریه خود را به مرحله اجرا درنیاورد، اما مدت اندکی بعد، الگوریتم NSGA بر پایه این تفکر معرفی و به طور قابل‌ملاحظه‌ای مورد پذیرش جامعه علمی قرار گرفت.

شکل (1-2): رهیافتهای مختلف رتبه بندی پارتودر شکل سمت چپ، به اعضای جمعیت حاضر مقدارهای برازندگی نسبی براساس روش Goldberg نسبت داده شده است مقدار برازندگی 1، به جوابهای غیرپست جمعیت اختصاص داده می شود و جوابهای دارای این برازندگی از درون جمعیت حذف می شوند. سپس برازندگی 2 به جوابهای غیرپست باقیمانده در مجموعه حاضر تعلق می گیرد و آنها هم کنار می روند. این روال تا جایی که تمامی اعضای جمعیت دارای برازندگی خاص خود شوند ادامه می یابد. در شکل سمت راست، روش نسبت دادن مقدار برازندگی نسبی بدین صورت است که اگر هیچ جوابی وجود نداشت که بر راه حل مورد نظر ما غلبه نماید به آن راه حل مقدار 1، اگر یک جواب بر آن غلبه نماید مقدار 2، و اگر دو جواب وجود داشت که بر آن غلبه می کرد، مقدار 3 برای برازندگی آن درنظرگرفته می شود. این فرایند تا جایی که تمامی جوابها دارای مقدار برازندگی شوند ادامه می یابد.
2-3-1- الگوریتمهای تعاملی چند هدفه (Multi-Objective Evolutionary Algorithms)پس از ارائه پیشنهاد بسیار کارآمد Goldberg، در دهه اخیر تعدادی از الگوریتمهای تکاملی چند هدفه (MOEAs)‌ پیشنهاد شدهاند که در زیر نام تعدادی از آنها آورده شده است.
1-بردار ارزیابی الگوریتم ژنتیک (VEGA)
2-الگوریتم ژنتیک چند هدفه (MOGA)
3-الگوریتم ژنتیک جبهه پارتو نیچه (NPGA)
4-الگوریتم ژنتیک برپایه وزن دهی (WBGA)
5-الگوریتم ژنتیک برپایه مرتب سازی غیرپست (NSGA)
6-الگوریتم تکاملی با استفاده از پارتو SPEA))
7-الگوریتم پیشرفته (SPEA-II) SPEA
8-استراتژی تکاملی پارتو (PAES)
9-الگوریتم انتخابی برپایه پارتو (PESA)
10-الگوریتم تکاملی چندهدفه پویا (DMOEA)
بعضی از ویژگیهای این الگوریتمها در جدول (2-1) آمده است.
در الگوریتمهای بهینه سازی چند هدفه، فضا یا موقعیت معمولا توسط فاصله اعضاء از هم و در فضای هدف تعریف می شود. تقسیم برازندگی یا دیگر روشهای مشابه به منظور حفظ پراکندگی جوابها در فضای هدف مورد استفاده قرار می گیرند. شکل (2-2) برخی از این روشها را نمایش میدهد.
در شکلهای شماتیک فوق،‌راه حل های غیرپست توسط نقاط توپر و راه حلهای مغلوب توسط نقاط توخالی نمایش داده شدهاند.
در شکل (2-2) در قسمت (a) به اشتراک گذاردن برازندگی نمایش داده شده که در این روش همانند آنچه که در NSGA و MOGA مورد استفاده قرار گرفته است، از مقدار برازندگی عضوی که در فضای عضو دیگر قرار می‌گیرد کاسته می شود.

جدول (2-1): ویژگیهای تعدادی از الگوریتمهای تکاملی چندهدفهردیف الگوریتم تابع برازشی نخبه‌گرایی جمعیت خارجی مزیت‌ها اشکالات
1 VEGA تطبیق هر زیر جمعیت با اهداف متفاوت ندارد ندارد الگوریتم روبه جلوی چندهدفه همگرایی در حد هر حدف
2 MOGA جبهه پارتو ندارد ندارد توسعه الگوریتم ژنتیک چندهدفه همگرایی به کندی
3 NPGA بدون هیچ تابع هدف ندارد ندارد انتخاب مسابقه‌ای وجود پارامترهای اضافی
4 WBGA اهدف نرمال‌شده با وزن‌دهی متوسط ندارد ندارد توسعه الگوریتم مشکل اندازه پارامتر Niche
5 NSGA بر پایه مرتب سازی غیر پست ندارد ندارد همگرایی سریع غیرهمگرایی در تابع هدف
6 SPEA بر پایه مرتب سازی غیرپست خارجی دارد دارد روش بدون پارامتر مشکل اندازه
7 SPEA-II توانایی در نقاط غالب دارد دارد اطمینان از حصول نقاط حدی برازش دشوار
8 PAES جبهه پارتو دارد دارد جهش تصادفی با رویکرد اجرایی ساده رویکرد غیراجرایی
9 PESA نبود تابع ارزیابی دارد دارد سادگی در اجرای محاسبات رویکرد
10 DMDEA رده‌بندی بر پایه عضو دارد ندارد قابلیت بهنگام کردن چگالی اعضا دشواری اجرا

شکل (2-2): فرمهای مختلف محاسبه فضا و موقعیت را در الگوریتمهای MOEA جهت ایجاد پراکندگیقسمت (b)‌ نشان می دهد که رتبه بندی شلوغی همانند آنچه که در الگوریتم NSGA-II مورد استفاده قرار گرفته است. فاصله نزدیک ترین راه حل غیرپست را تا جواب موردنظر محاسبه می نماید. در قسمت (c) موقعیت خطوط مشخصه نشان داده شده است. همانند آنچه که در الگوریتمهای PAES، PESA‌ و PESA_II مورد استفاده قرار گرفته است. هرچه تعداد راه حلهای داخل یک خانه مشخص بیشتر باشد، امکان انتخاب شدن کمتری در انتظار اعضای آن خانه میباشد.
قسمت (d) چیرگی‌است در این روش، آن راه حلی که دقیقا بر راه حلهای اطراف خود غلبه می کند توسط پارامتر ε نمایش داده میشود. با این تفاسیر قرار گرفتن جوابهای بسیار نزدیک به مجموعه غیرپست در میان مجموعه جواب نهایی عملا غیرممکن می گردد.
تاکنون بیشترین بررسیها بر روی الگوریتمهای NSGA، MOGA و NPGA صورت گرفته است و مقبولیت زیادی در میان الگوریتمهای بهینه سازی تکاملی چندهدفه دارا می باشند. امروزه نیز بسیاری از الگوریتمهای MOEA به نوعی مفهوم رتبه بندی چیرگی را مورد استفاده قرار می دهند و در عین حال، گاهاً برای حفظ پراکندگی بر روی فضای هدف، نخبه گرایی و یا فرمهای دیگری از نسبت دادن برازندگی براساس فضا و موقعیت جواب نیز مورد استفاده قرار می گیرند.

2-3-2- الگوریتمهای بهینه سازی نخبه گرا براساس رتبه بندی پارتو
عبارت نخبه گرائی در ادبیات الگوریتمهای تکاملی به معنای نگهداری و حفظ والدین خوب و انتقال آنها از نسلی به نسل دیگر جهت شرکت دادن آنها در فرآیند انتخاب و ترکیب می باشد. سابقه اولین استفاده از مفهوم نخبه گرائی حدودا به همان سالهای اولیه توسعه الگوریتمهای MOGA، NSGA و NPGA برمیگردد و به طور مشخص و مفصل در حدود سال های 94-1993 مورد بررسی قرار گرفت.
در بعضی الگوریتمهای MOEA نخبه گرا، استراتژی نخبه گرائی، حفظ جوابهای غیرپست می باشد. حفظ این جوابها معمولا توسط یک جمعیت خارجی ممکن میشود. بسیاری از طرح های اولیه این الگوریتم توسط Zitzler‌ مورد بررسی قرار گرفت ولی اولین پروژه - ریسرچمنتشر شده در این زمینه، پروژه - ریسرچParks و Miller است. آنان در الگوریتم خود از یک جمعیت خارجی استفاده کردند که اعضای آن تقریباً تمامی راهحلهای غیرپست می باشند. در این الگوریتم، جمعیت موردنظر محدود بوده و یک راه حل تنها در صورتی میتواند وارد آن شود که به طور قانع کنندهای با جوابهای موجود متفاوت باشد. در ادامه کار، طی فرآیند انتخاب، الگوریتم بهینه سازی به طور فعالی از جمعیت موردنظر استفاده مینماید. در پروژه - ریسرچمذکور، استراتژیهای مختلف انتخاب از میان جمعیت خارجی، مورد بررسی قرار گرفتهاند.
حدوداً سالهای 1994،‌ Zitzler و Thiele کاربردی‌ترین الگوریتم MOEA را که تا به حال ارائه شده است، پیشنهاد دادند. این الگوریتم که SPGA نام دارد از دو جمعیت مجزا که یکی خارجی و دیگری داخلی میباشد استفاده شده است. در الگوریتم مذکور، جمعیت خارجی که محدود نیز می باشد جهت ذخیره جوابهای غیرپست قبلی مورد استفاده قرار می گیرد. در ادامه روند بهینه سازی، با به دست آوردن یک جواب غیرپست جدید از درون جمعیت جدید داخلی و وارد شدن آنها به مجموعه پارتو دو اتفاق رخ می دهد:
الف) جوابهایی که جواب غیرپست جدید بر آنها چیره شده است از این مجموعه حذف می شوند.
ب) تعدادی از این راه حلها نیز به صورت دستهای از جمعیت خارج می شوند.
اتفاق دوم برای اطمینان از محدود بودن مجموعه پارتو رخ می دهد.
در این الگوریتم، جمعیت داخلی جدید با انتخاب از درون مجموعه ای که ترکیب دو جمعیت داخلی و خارجی قبلی است حاصل می گردد. ایده جالب یا شاید نقطه قوت این الگوریتم نوع تعامل دو جمعیت داخلی و خارجی در نسبت دادن مقادیر برازندگی می باشد.
در الگوریتم SPGA، به هر عضو از جمعیت خارجی و براساس تعداد جوابهایی از جواب داخلی که جواب مذکور می تواند بر آنها غلبه کند یک توانایی نسبت داده می شود سپس به هرکدام از اعضای مجموعه داخلی یک عدد تقریبی برازندگی براساس مجموع تواناییهای جوابهای خارجی غلبه کننده بر آن نسبت داده می شود. فرایند تخصیص برازندگی مذکور یک رهیافت تکاملی- همکاری بین دو جمعیت خارجی و داخلی می باشد.
تعداد زیادی از الگوریتم های مختلف MOEA‌ نیز بر همین اساس ولی با تغییرات کوچکی در نحوه نسبت دادن مقادیر برازندگی، نحوه انتخاب از جمعیت و نیز روشهای مختلف حفظ پراکندگی ارائه شده است. الگوریتمهایی نظیر PAES، PESA و NSGA-II از آن جملهاند. هدف اصلی آنها ایجاد تغییراتی در ساختار این الگوریتمها جهت حفظ پراکندگی و محدود کردن فضای هدف که الگوریتمهای MOGA و NSGA با آنها دست به گریبان بوده اند می باشد. علاوه بر این، کنترل میزان نخبه گرائی از جمله مواردی است که در همین راستا مورد بررسی قرار گرفته است.
الگوریتمهای تکاملی چندهدفه که در آنها مرتب سازی به صورت غیرپست انجام می شود عموما سه مشکل عمده دارند:‌
1- پیچیدگی در محاسبات 2- رویکرد بدون نخبه گرایی 3- نیاز برای تعیین پارامترهای مشترک
برای رفع مشکلات موجود، الگوریتم NSGA-II توسط Srinvas و Deb در 2001 پیشنهاد شد که الگوریتمی سریع در محاسبات می باشد و در آن، انتخاب برپایه ترکیبی از دو نسل متفاوت (والد و فرزندان) می باشد که با انتخاب بهترین جوابها همراه است. این مدل نیاز به محاسبات کمتری دارد و به دلیل رویکرد نخبه گرایی آن و پارامترهای مشترک کمتر، نتایج بهتری از شبیه سازی با این روش به دست می آید.
گامهای این الگوریتم از این قرار می باشند:
الف) تولید تصادفی جمعیت والد (P0) با اندازه N
ب) مرتب سازی جمعیت والد براساس نقاط غیرپست
ت) برای هر جواب غیرپست، یک تابع برازش (رتبه) معادل سطح غیرپست آن درنظر بگیرد
ث) تولید جمعیت فرزندان (Q0) با اندازه N با استفاده از انتخاب و تزویج
ج) تولید نسل از روی نسل اولیه مطابق دستورات ذیل:
تولید مجموعه جواب (Qt،Pt) با نام Rt با اندازه 2N با ترکیب جمعیت والد (Pt) و جمعیت فرزندان (Qt)
مرتب سازی جمعیت ترکیب شده () مطابق با فرآیند مرتب سازی الگوریتم غیرپست به منظور تعیین جبهههای غیرپست (Fl، ….، F2، F1)
تولید جمعیت والد نسل بعد (Pt+1) با اندازه N با اضافه کردن جوابهای غیرپست با رتبه اول (F1) و جبهههای متوالی با رتبه غیرپست (Fl، ….، F2، F1) از اندازه N بیشتر می شود.
بدین منظور برای تولید N عضو، نیاز است که بعضی از جوابهای غیرپست با رتبه بدتر از آخرین جبهه حذف می شوند، این بدین معنی است که مرتب سازی برپایه عملگرهای مقایسهای اذحام براساس فاصله آنها در هر جوابی از جبهه غیرپست F1 ام انجام میشود. بدین ترتیب، جمعیت والد جدید () با اندازه N ساخته می شود.
انجام انتخاب، تزویج و جهش بر نسل جدید به منظور تولید فرزندان جدید با اندازه N
چ) تکرار گام 5 تا زمانی که تعداد نسلها به حداکثر تعداد برسد.
مراحل مختلف الگوریتم NSGA-II در شکل (2-3) مشخص می باشد:

شکل (2-3): مراحل مختلف الگوریتم NSGA-II2-4- شناخت و تعیین مشخصات فعالیتهای پروژه
2-4-1- مراحل برنامه ریزی و کنترل پروژهبرای انجام برنامه ریزی و کنترل یک پروژه نیاز به ساخت سیستم برنامه ریزی و کنترل پروژه است. گامهای برنامه ریزی و کنترل پروژه عبارتند از:
تحلیل پروژه: شامل مراحل مروری بر اهداف و شرایط اجرایی، تفکیک پروژه و تهیه فهرست فعالیتها، بررسی روابط میان فعالیتها و تهیه فهرست روابط میان فعالیتها و نهایتاً ترسیم پروژه می‌باشد.
برآورد مدت، هزینه و منابع اجرایی: شامل مراحل برآورد حجم عملیات و منابع مورد نیاز فعالیتها، برآورد مدت و هزینه اجرای فعالیتها، برآورد هزینه های غیرمستقیم پروژه و تهیه بودجه مفصلی پروژه می باشد.
زمان بندی پروژه: شامل تعیین مراحل زمان بندی شبکه (پروژه)، تهیه جداول مشخصات اجرایی فعالیتها و بررسی اثر وقوع شرایط نامناسب نظیر شرایط نامطلوب جوی و بررسی سایر مسائل و مشکلات احتمالی می باشد.
برنامه ریزی منابع و شناخت رابطه زمان- هزینه: شامل مراحل برنامه ریزی و تخصیص منابع، بررسی رابطه زمان- هزینه و تاریخ گذاری پروژه است.
تهیه برنامه نهایی و اجرایی پروژه: شامل مراحل صدور دستور کار یا مجوز شروع پروژه، تهیه برنامه نهایی و اجرایی پروژه، تامین منابع اجرایی پروژه و هدایت و اجرای پروژه می باشد.
ارزشیابی و نظارت پروژه: شامل مراحل ارزشیابی پیشرفت اجرای فعالیتها، ارزشیابی هزینههای اجرا، مقایسه نتایج به دست آمده با پیش بینیها، به هنگام کردن پروژه و تهیه گزارشهای لازم برای مدیریت می باشد.
تصمیم گیری مدیریت: این گام از برنامه ریزی و کنترل پروژه شامل مراحل ارزیابی پیشنهادها، تصمیم گیری مدیریت و اعمال واکنش های مناسب و مقتضی است.
اطلاعاتی که در گامهای اول و دوم برنامه ریزی به دست می اصول کلی سیستم برنامه ریزی و کنترل پروژه را می سازند و از همین جهت، سرنوشت سیستم برنامه ریزی و کنترل پروژه، وابسته به چگونگی انجام گامهای اول و دوم می باشد. درگامهای سوم و چهارم برنامه ریزی و کنترل پروژه، اطلاعات تهیه شده در گامهای اول و دوم پردازش و تحلیل شده و ظاهر سیستم برنامه ریزی و کنترل پروژه ساخته می شود.
شناخت فعالیتهای پروژه: مدیر پروژه برای تحلیل پروژه با شناخت فعالیتهای آن و تهیه شبکه، باید یک گروه کاری از افرادی که در کار طراحی، اجرا، نظارت و بهره برداری از این گونه پروژهها تجربه وتخصص دارند تشکیل دهد.
کار شناخت اجزاء یا فعالیتهای پروژه از طریق ریز و خرد کردن یا تقسیم و تفکیک پروژه که روشی منظم یا سیستماتیک است انجام می شود.
2-4-2- روشهای ریز کردن پروژه (Breakdown)روش ریز کردن پروژه روشی از بالا به پائین و از کلیات به جزئیات و به طور کلی، روشی سلسله مراتبی است. ابتدا کل یک پروژه (یا سطح اول) با انتخاب و استفاده از شیوههایی که به آنها اشاره خواهد شد، به چندین بخش عمده (یا عناصر سطح دوم) تقسیم می شود سپس هریک از عناصر سطح دوم، به نوبه خود، به چندین کار دیگر (عناصر سطح سوم) تفکیک می شوند. ریز کردن کارها در هر سطح، بنا به نیاز یا تمایل یا تا آنجا که صلاح باشد به همین ترتیب به عناصر سطوح پائینتر ادامه می یابد و سرانجام در جایی که آنرا سطح فعالیت ها می نامند، خاتمه می یابد. مهمترین روشهای تجزیه کردن پروژه عبارتند از:
روش تجزیه کردن براساس مراحل
روش تجزیه کردن براساس موضوعات و کارهای اصلی و عمده
روش تجزیه کردن براساس سازمان ها و واحدهای سهیم در اجرای پروژه
ممکن است که در گامهای مختلف کار برنامه ریزی و مهمتر از آنها در هنگام اجرای پروژه، با وضعیتهای روبرو شود که برای اعمال نظارت درست و ثمربخش باید فعالیتهای پروژه را بار دیگر مورد بررسی قرار داد. نتیجه این بررسی و اصلاح، به ادغام چند فعالیت با یکدیگر یا تجزیه یک کار به چند فعالیت دیگر منجر میشود.
در تجزیه کارها و فعالیتهای پروژه و به بیان دیگر در تهیه نمودار کارهای پروژه به برآورد مدت و هزینه اجرایی هر فعالیت و همچنین تقدم و تاخر یا روابط میان آنها توجه ویژهای داشت. در این گام، تنها فعالیتهای لازم برای تامین هدف های پروژه تشخیص داده می شود.
2-4-3- انواع روابط میان دو فعالیت
منظور از روابط یا بستگی میان دو فعالیت، تعریف قیود و الزامات ضروری میان شروع یا خاتمه یک فعالیت با شروع و خاتمه هریک از فعالیتهای بعدی و هریک از فعالیتهای قبلی آن است. روابط میان هر دو فعالیت از فعالیتهای یک پروژه را میتوان به چهار نوع به شرح زیر گروه بندی کرد.
رابطه فیزیکی: بستگی یا رابطه میان ماهیت، طبیعت یا فیزیک دو فعالیت است به گونهای که اجرا یا شروع یکی از آنها قبل از خاتمه دیگری ممکن نیست. رابطه دو فعالیت پی کنی و پی ریزی و فعالیتهای حفر کانال و لوله گذاری و مانند آنها را رابطه فیزیکی می نامند. اکثر روابط میان فعالیتها در یک پروژه، بسته به موضوع و اندازه آن از نوع رابطه فیزیکی است در این نوع روابط، حجم هر فعالیت، کوچکترین یا کمترین اندازه ممکن عملیاتی و اجرایی را دارد و به این ترتیب نمی توان آن را به چند فعالیت دیگر تقسیم کرد.
رابطه منطقی: گاهی دو فعالیت با هم بستگی یا رابطه فیزیکی ندارند. به عبارت دیگر، اجرای یکی از آنها به خاتمه یا شروع دیگری بستگی ندارد اما منطقی است یا به صلاح و بهتر است که یکی از آنها پس از خاتمه دیگری اجرا شود. این بستگی را رابطه منطقی می نامند.
رابطه سازمانی: برخی از موارد، بخشنامهها، آیین نامهها و مقررات وضع شده از طرف مدیریت تراز اول سازمان مولد پروژه، موجب رعایت روابط خاصی میان دو فعالیت می شود. این نوع بستگی را رابطه سازمانی مینامند. رابطه سازمانی رابطهای است که از نظر مدیریت سازمان منطقی است و عدم رعایت آن موجب نقض قوانین، مقررات و تعهدات مشخصی می گردد.
رابطه محدودیت منابع: در بسیاری از پروژهها، محدودیت استفاده از منابع اجرایی، موجب میشود که فعالیتی بعد از خاتمه فعالیت دیگری اجرا شود. در حالی که میان آن دو هیچ گونه رابطه فیزیکی، منطقی یا سازمانی وجود ندارد. این نوع بستگی را که ناشی از نیاز دو فعالیت به منابع اجرایی خاصی با مقدار محدود می باشد رابطه ناشی از کمبود یا محدودیت استفاده از منابع می نامند.
در تشخیص روابط میان فعالیتها، تنها به دنبال روابط فیزیکی، روابط منطقی و روابط سازمانی (در صورت وجود روابط منطقی و سازمانی میان فعالیتهای پروژه) باید بود به بیان دیگر، در این مرحله از گام اول برنامه ریزی، فرض این است که در استفاده از منابع محدودیت وجود ندارد. یعنی هر مقدار منابع اعم از مهارتها و تخصصهای مختلف انسانی، ماشین آلات و تجهیزات، مواد مولد و مصالح وپول در هر زمانی که لازم باشد در اختیار است دلایل پذیرش چنین اصلی این است که:
در بسیاری از موارد، میان برنامه ریزی پروژه و اجرای آن، یک فاصله زمانی وجود دارد. در نتیجه برنامه ریز اطلاع دقیقی از منابع سازمان یا کم و کیف منابع در مواقع اجرای پروژه ندارد.
مقدار منابعی که مدیر پروژه به آنها نیاز دارد، در بسیاری موارد حتی تا قبل از اجرای پروژه، معین و مشخص نیست.
مقادیر یا تعداد منابعی که برای اجرای پروژه قبلا تعیین شده یا در اختیار سازمان پروژه قرار می گیرد در طول اجرای پروژه تغییر می کند بنابراین وقتی که مدیر منابع مشخص یا ثابت نیست یا مرتبا تغییر می کند بهتر است که اساساً مقادیر آن محدود و معین تصور نشود. به بیان بهتر، مقادیر منابع تنها تا پایان کار ترسیم شبکه و زمان بندی آن (پایان گام سوم برنامه ریزی) نامحدود و نامعین فرض می شود.
افرادی که با سیستم برنامه ریزی و کنترل پروژه آشنایی کافی دارند میدانند که مدیر پروژه اساساً برای استفاده بهینه از منابع اجرایی پروژه، باید با انجام برنامه ریزی منابع و تصمیم گیریهای مقتضی در چگونگی استفاده از آنها مقادیر مورد نیاز را تعیین و مشخص نماید و انجام چنین کاری هم در این گام برنامه ریزی ممکن نیست.
بدین ترتیب، فرض استفاده نامحدود از منابع در انچام گامهای اول، دوم و سوم برنامه ریزی موجب می شود که شبکه پروژه به صورت مدلی درآید که در قید هیچ مقدار مشخصی از منابع نیست. بنابراین در هنگام اجرای پروژه و در هر زمانی که مقادیر
منابع مورد نیاز پروژه، مشخص و یا محدود شود، این مقادیر جدید در مدل یا شبکه اولیه قرار داده می شود و تاثیرات محدود استفاده از منابع بر شکل شبکه و مدت اجرای پروژه بررسی می شود.
حال پس از تفکیک پروژه و تهیه فهرست فعالیت ها و بررسی روابط میان فعالیت ها و تهیه فهرست روابط فعالیت های پروژه با توجه به قوانین رسمی شکبه های مسیر بحرانی (یا همان سیستم برنامه ریزی و کنترل پروژه یا روش های تحلیل شبکه) شبکه مورد نظر رسم می شود.
2-4-4- اصول برآورد فعالیت
اگر مدت اجرای فعالیت ها معلوم نباشد، نمی توان شبکه را زمان بندی کرد و مدت اجرای پروژه و مشخصات اجرایی فعالیت ها را محاسبه نمود. مدت اجرای فعالیت با حجم کار، موضوع و شرایط اجرای فعالیت و همچنین با نوع، تعداد کیفیت منابع اجرایی آن به طور مستقیم بستگی دارد. مدت اجرای فعالیت ها بر اساس پارامترهای مربوط به آن، با روش های مختلفی برآورد می شود. موضوع پروژه، اندازه آن و سوابق اجرایی قبلی و پیچیدگی آن از عواملی موثر در تعیین روش های برآورد حجم عملیات، مدت و منابع اجرایی فعالیت ها و هزینه های اجرای پروژه است. شناخت و برآورد حجم عملیات یا حجم کار فعالیت ها و پیچیدگی آنها، در برخی از پروژه ها به ویژه پروژه هایی که از نظر موضوع، چارچوب یا اندازه آنها، اطلاعات و تجربه کمی در سازمان وجود دارد، کار ساده ای نیست. اما به طور یقین در تمام پروژه ها، کار برآورد حجم عملیات از کار برآورد مدت اجرا و شناخت نوع، تعداد و کیفیت منابع اجرایی آن آسان تر است.
به طور کلی می توان گفت هیچ روش علمی و فرموله شده ویژه ای برای برآورد حجم عملیات، مدت اجرا و تعداد و کیفیت منابع مورد نیاز فعالیت برای همه انواع پروژه ها وجود ندارد. برآورد مدت اجرای فعالیت ها بیش از هر چیز به قضاوت، کارشناسی و تجربه اتکا دارد. از این رو، این گام از کار برنامه ریزی نیز باید توسط افرادی انجام شود که از پروژه (موضوع، اندازه، روش اجرا) و فعالیت های آن اطلاع کافی داشته باشند.
کار برنامه ریزی قبل از اجرای پروژه انجام می شود. بنابراین تاریخ شروع و تاریخ خاتمه پروژه و میزان و کیفیت منابع که سازمان پروژه به آنها نیاز دارد، هیچ یک اکنون به طور کامل مشخص نیست. از این رو، به طور کلی باید فرض شود که شرایط اجرایی (نظیر میزان انگیزه نیروی انسانی، شرایط آب و هوایی) هر فعالیت، شرایط عادل است. منظور از شرایط عادی، شرایطی است که سازمان اجرایی پروژه به طور معمول و عادل با آن روبه روست.
لذا شرایط عادل و معمولی در هر سازمان، مختص خود آن سازمان خواهد بود.
بنابراین مفروضات و شرایط اساسی در برآورد مدت اجرای فعالیت عبارتند از:
فعالیت باید بدون هر گونه وقفه و بریدگی اجرا شود. برای مثال اگر مدت اجرای فعالیتی 5 واحد زمانی باشد مجاز نیست که قسمتی از آن را در این نوبت و بقیه آن پس از مدتی دیگر برنامه ریزی شود. در این حالت، فعالیت مورد نظر خود تبدیل به 2 واحد فعالیتی می شود. البته در پروژه های ساختمانی معمول، روزهای غیر کاری وقفه و گسستگی تلقی نمی شود.
شرایط اجرایی فعالیت، از قبیل شرایط جوی در زمان اجرای آن، کارایی نیروی انسانی و سایر منابع اجرایی فعالیت از قبیل تعداد و نوع هر یک از تجهیزات و ماشین آلات و همچنین تعداد و نوع نیروی انسانی با مهارت های مختلف عادی و معمولی فرض می شود.
دلایلی که شرایط اجرایی فعالیت عادی در نظر گرفته می شود عبارتند از:
1- چون در این مرحله از تاریخ شروع و مدت اجرای پروژه اطلاعاتی وجود ندارد، بنابراین نمی توان اثرات شرایط جوی را بر کارایی عادی و معمولی منابع قابل مصرف مجدد مورد نیاز هر فعالیت ارزیابی کرد.
2- حتی اگر منابع اجرایی پروژه قبل از اجرای آن مشخص باشد، باز هم نمی توان در مورد کم و کیف آن ها مطمئن بود و قضاوت درستی داشت. زیرا میزان کارایی نیروی انسانی و ماشین آلات و تجهیزات، هم به یکدیگر و هم به عوامل و شرایط متعددی بستگی داد و از این رو مقدار کارایی منابع قابل مصرف مجدد، به ویژه مهارت های انسانی را باید عادل و معمولی فرض کرد. البته پس از اطلاع از تاریخ شروع پروژه و زمان بندی آن می توان آثار ناشی از شرایط جوی نامناسب را در طول مدت اجرای فعالیت ها ارزیابی کرد.
3- مدت اجرای هر فعالیت را باید مستقل از مدت اجرای فعالیت های قبلی و بعدی آن برآورد نمود.
4- در فعالیت هایی نظیر سفارش و محل تجهیزات و تهیه اسناد ترخیص گمرکی، زمان های انتظاری (ساخت تجهیزات، مراحل اداری، ترخیص) وجود دارد که مدت اجرای آنها خارج از کنترل و اختیارات سازمان پروژه و واحدهای اجرایی آن است. پس این زمان های انتظار را باید از فعالیت مربوطه جدا کرد.
5- آثار مسائل و مشکلات قابل انتظار و احتمالی بر مدت اجرای فعالیت های پروژه در این مرحله در نظر گرفته نمی شوند. مسائل و مشکلاتی هستند که برای سازمان اجرایی پروژه جنبه عادل و معمولی ندارند. این نوع مسائل و مشکلات در پروژه هایی بزرگ که زمان بری بیشتری دارند، به احتمال بسیار زیاد وقوع خواهند یافت اما اکنون نمی توان زمان و شدت وقوع آنها را برآورد کرد. مسائل و مشکلاتی مثل آتش سوزی، سیل، اعتصاب، زلزله و مانند آنها به علت نامشخص بودن احتمال وقوع آنها از نوع مسائل و مشکلات قابل انتظار و احتمالی نیستند.
از این رو تا قبل از وقوع آنها، تاثیری بر مدت اجرای پروژه نخواهند داشت.
مهم ترین مسائل و مشکلات عبارتند از:
کمبود و عدم مهارت و از دست دادن نیروی انسانی
از کار افتادن ماشین آلات کمبود وسایل و قطعات یدکی
قطع آب و برق و خدمات تسهیلاتی
عدم تامین به موقع تجهیزات به علت مشکلات حمل و نقل
آثار و مسائل و مشکلات قابل انتظار احتمالی پس از زمان بندی پروژه و مشخص شدن برنامه اجرایی آن ارزیابی خواهد شد.
2-4-5- برآورد مدت اجرای معادل
در هر سازمان بر اساس روال و روش های جاری آن و بر مبنای حجم عملیات هر فعالیت معمولاً یک گروه کاری از منابع اجرایی مختلف که تعداد، ترکیب و کیفیت آنها نیز عادی و معمولی است برای اجرای فعالیت در نظر گرفته می شود. این گروه کاری، در شرایط جوی «عادل» و «معمولی» و یا کارایی «عادی» فعالیت را در زمان معینی انجام می دهد. این مدت را مدت اجرای معادل فعالیت می نامند.
به طور کلی شرایط و منابع اجرایی فعالیت در طول مدت اجرای آن، عادی و معمولی فرض می شود. مهم ترین ویژگی مدت اجرای عادی هر فعالیت در این است که هزینه اجرای آن در این مدت، کمترین مقدار خود را دارد.
به بیان بهتر اگر مدت اجرای فعالیت از مدت اجرای معادل آن طولانی تر شود، هزینه های مستقیم کاهش و هزینه های غیر مستقیم افزایش می یابند و اگر فعالیت در مدت زمانی کوتاه تر از مدت اجرای معادل آن انجام شود، هزینه های مستقیم افزایش و هزینه های غیر مستقیم کاهش خواهند یافت. باید سعی شود تا عملکرد یا میزان کاری را که منابع قابل مصرف مجدد یک فعالیت در یک واحد زمانی انجام می دهد، به درستی و به طور واقع بینانه ای برآورد شوند اگر این میزان دست بالا گرفته شود، پروژه از برنامه زمان بندی شده عقب بوده و نمی توان آن را در تاریخ تعیین شده به پایان رساند. اگر این میزان دست پایین گرفته شود، صرف نظر از افزایش اجرای پروژه ها، عملاً زمینه ی کاهش کارایی منابع اجرایی (به ویژه نیروی انسانی) فراهم می شود.
در جدول برآورد مدت، منابع اجرایی و هزینه فعالیت های پروژه، قسمتی درستون منابع اجرایی برای درج حداقل مورد نیاز به هر یک از منابع برای اجرای فعالیت در نظر گرفته می شود تا در کار برنامه ریزی منابع پروژه از مزایای آن استفاده شود. منابع اجرایی و مورد نیاز هر یک از فعالیت های پروژه و مدت اجرای معادل آن برآورد می شود و در جدول پروژه نوشته می شود.
محاسبه‌ی هزینه اجرای فعالیت در مدت اجرای معادل آن با توجه به میزان برآورد شده منابع اجرایی فعالیت و هزینه استفاده از آنها کار دشواری نیست. در یک جدول فهرستی از نام منابع اجرای پروژه تهیه می شود و در مقابل هر یک از آنها هزینه استفاده از منابع قابل مصرف یک ستون نوشته می شود و پس از آن، میزان نیاز هر فعالیت به هر منبع به طور عادی و به صورت اضافه کاری بر اساس اطلاعات ستون قبل در یک ستون و در مقابل نام هر منربع نوشته می شود. پس از انجام این کار، هزینه اجرای این فعالیت ها در مدت اجرای معادل آنها برآورد می شوند و در قسمت مربوط به آن در جدول برآورد مدت، منابع اجرایی، و هزینه فعالیت های پروژه نوشته می شوند.
2-4-6- برآورد مدت اجرای فشردهطبیعت برخی از فعالیت ها و شرایط اجرایی آن به گونه ای است که همواره یک گروه کاری مشخص که تعداد و نوع هر یک از منابع در آنها قابل کاهش و افزایش نیستند، آن را انجام می دهند. برخی از فعالیت ها (نظیر تصویب هیات مدیره و یا تایید کارفرما) تحت کنترل مدیر پروژه و مدیریت تراز اول سازمان قرار ندارند. مدت اجرای برخی دیگر از فعالیت ها (نظیر مدت زمانی که برای دریافت پیشنهادهای مناقصه یا مزایده اعلام می شود) از این رو مدت اجرای این فعالیت ها را با افزایش منابع اجرایی آن ها نمی توان کاهش داد و مدت اجرای این فعالیت ها ثابت است.
مدت اجرای اغلب فعالیت های پروژه را می توان کاهش داد. برای کاهش مدت اجرای هر فعالیت، با فرض اینکه کارایی منابع اجرایی ثابت است، یا نمی توان آن را افزایش داد، باید به تعداد گروه های کاری آن فعالیت افزود و یا ترکیب منابع گروه اجرایی آن را تغییر داد.
با افزایش منابع اجرایی فعالیت، هزینه اجرای آن نیز افزایش می یابد. اما مدت اجرای هر فعالیت را با افزایش مداوم منابع اجرایی فعالیت، تا حد معینی می توان کاهش داد. این حد را مدت اجرای فشرده فعالیت می گویند.
رابطه کاهش مدت اجرای فعالیت با افزایش هزینه آن، به طبیعت و ماهیت آن فعالیت و شرایط منابع اجرایی آن بستگی دارد. نقطه A در شکل (2-4) هزینه اجرای فعالیت را در مدت اجرای عادی آن نشان می دهد. این نقطه را وضعیت عددی می نامند.
نقطه B هزینه اجرای فعالیت را در مدت اجرای کاملاً فشرده نشان می دهد. این نقطه را وضعیت فشرده کامل می نامند. نقاطی که در فاصله دو نقطه A‌ و B قرار دارند، هزینه و مدت اجرای فعالیت را در وضعیت های غیرعادی یا غیر فشرده کامل نشان می دهند.

شکل (2-4): منحنی هزینه – زمان یک فعالیتمنحنی یا خطی که رابطه هزینه – زمان فعالیت را در فاصله وضعیت اجرای عادی و شکسته آن (میان نقاط A و B) نشان می دهد، می تواند شکل های مختلفی نظیر منحنی های محدب – مقعر، پله ای، گسسته، محدب و مقعر داشته باشد. این رابطه، ممکن است حتی فقط از دو نقطه A و B تشکیل شده باشد.
شکل منحنی رابطه هزینه – زمان هر فعالیت را، در صورت در اختیار داشتن اطلاعات لازم، به سهولت می توان مشخص کرد. اما در شرایطی که اطلاعی از روند تغییرات هزینه در فاصله دو نقطه A‌ و B وجود نداشته باشد، یا فعالیت از حساسیت هزینه ای برخوردار نیست، می توان این منحنی را یک خط راست تصور کرد.
سپس مدت اجرای کاهش یافته فعالیت‌های پروژه برآورد می شود و در جدول برآورد مدت، منابع اجرایی و هزینه فعالیت های پروژه نوشته می شود. منابع اجرایی لازم برای اجرای فعالیت هم در این مدت برآورد شده و در این جدول نوشته می شود. هزینه اجرای هر فعالیت در مدت اجرای فشرده آن نیز تعیین شده و در جدول مذکور وارد می شود.
2-4-7- شیب هزینه فعالیتتغییر مقدار هزینه اجرای فعالیت، در اثر تغییر یک واحد زمانی از مدت اجرای آن را ضریب زاویه یا شیب هزینه می نامند. اگر شکل تابع زمان – هزینه فعالیت در فاصله دو نقطه A (وضعیت اجرای عادی) و B (وضعیت اجرای فشرده)، یک خط راست نباشد، شیب هزینه فعالیت یا مشتق منحنی در زمان مورد نظر، در فاصله این دو نقطه، به ازای زمان های مختلف اجرای آن، متفاوت خواهد بود.
برای سهولت محاسبه شیب هزینه فعالیت، منحنی تابع زمان – هزینه فعالیت یک خط راست فرض می شود. در نتیجه، شیب هزینه فعالیت، متوسط افزایش هزینه فعالیت را در اثر کاهش یک واحد زمانی از مدت اجرای آن نشان خواهد داد. مقدار شیب هزینه فعالیت از فرمول زیر به دست می آید:
(زمان فشرده-زمان عادی)/(هزینه عادی -هزینه فشرده)= شیب هزینه (2-1)
شیب هزینه هر یک از فعالیت های پروژه با فرض خطی بودن رابطه زمان – هزینه آن، محاسبه می شود.
2-4-8- هزینه های مستقیم و غیر مستقیم پروژهطبقه بندی و گروه بندی هزینه ها در سیستم برنامه ریزی و کنترل پروژه، با طبقه بندی مرسوم و رایج در علوم حسابداری و اقتصاد تفاوت دارد. هزینه های پروژه، به طور کلی مستقیم یا غیر مستقیم هستند.
2-4-8-1- هزینه های مستقیم پروژهتمام هزینه هایی که برای استفاده از نیروی انسانی مستقیم، مواد و مصالح و ماشین آلات و تجهیزات مستقیم و به طور کلی همه هزینه هایی که به طور مشخص می توان در صورت حساب اجرای یک فعالیت (چه در وضعیت اجرای عادی و چه در وضعیت های نیمه فشرده و فشرده کامل) محسوب کرد، جزء هزینه های مستقیم پروژه محسوب می شود. این هزینه ها را هزینه منابع نیز می نامند. اگر هزینه های اجرای فعالیت ها با هم جمع شوند، هزینه مستقیم پروژه نیز به دست می آید. هزینه مستقیم اجرای پروژه، با کاهش مدت اجرای پروژه، افزایش می یابد.
2-4-8-2- هزینه های غیر مستقیم پروژهتمام هزینه هایی که مستقیماً و به طور مشخص نتوان به اجرای یک فعالیت مربوط و منسوب نمود، جزء هزینه غیر مستقیم یا بالاسری پروژه محسوب می شوند. مهم ترین اقلام هزینه غیر مستقیم، عبارتند از: حقوق و دستمزد مدیر پروژه، کارشناسان تیم پروژه و کارشناسان برنامه ریزی و کنترل پروژه، اجاره، امور دفتری و اداری، بهره، جرایم ناشی از دیرکرد در اتمام به موقع پروژه، درآمدهای ناشی از خاتمه زودتر از موعد پروژه و مانند این ها.
از آنجا که تاثیر جرایم ناشی از دیرکرد در اتمام به موقع پروژه و درآمدهای حاصل از خاتمه زودتر از موعد تعهد شده بر هزینه کل پروژه، متفاوت و به عبارت بهتر برعکس تاثیر مقادیر سایر اقلام هزینه غیر مستقیم می باشد، برخی از صاحبنظران مدیریت پروژه و سیستم برنامه ریزی و کنترل پروژه، این گونه هزینه ها را تحت عنوان هزینه های بهره برداری، از سایر اقلام هزینه غیر مستقیم پروژه مجزا کرده اند. هزینه غیر مستقیم پروژه با مدت اجرای آن، رابطه مستقیم دارند.
شرایط قراردادهای استفاده از برخی اقلام هزینه های غیر مستقیم انند حقوق و دستمزد مدیران و کارشناسان و هزینه اجاره و بهره ممکن است به گونه ای باشد که با خاتمه زودتر از موعد پیش بینی شده پروژه نتوان متناسب با مدت کاسته شده از پروژه، از پرداخت آن ها معاف بود.
2-4-8-3- هزینه کل پروژهمجموع هزینه های مستقیم و غیر مستقیم پروژه و هزینه های بهره برداری آن را هزینه کل اجرای پروژه می گویند. در شکل (2-5)، منحنی هر یک از هزینه های مستقیم (در وضعیت حداقل و حداکثر آن)، غیر مستقیم و کل پروژه نشان داده است.
در منحنی حداکثر هزینه مستقیم پروژه، تمام فعالیت ها و به جز فعالیت های مسیر بحرانی به طور فشرده اجرا می شوند.

شکل (2-5): منحنی های هزینه پروژه2-4-8-4- تغییرات مجموع هزینه ها و نقطه زمان بهینهاز آنچه در مورد روند تغییرات هزینه و محدودیت های زمان ها گفته شده، این نتایج به دست می آیند که در صورتی که زمان های معمولی برای اجرای فعالیت ها در نظر گرفته شوند، مدت زمان برای اجرای طرح، در حداکثر و هزینه های مستقیم فعالیت های پروژه در حداقل مقدار ممکن خواهند بود. در اینجا با توجه به اینکه مدت زمان اجرای طرح، حداکثر می باشد، هزینه های بالاسری (غیر مستقیم) نیز که با زمان اجرای طرح رابطه مستقیم دارند، در حداکثر مقدار ممکن قرار می گیرند. در نهایت، اجرای فعالیت ها در حداقل زمان ممکن (زمان شکسته) هزینه های مستقیم فعالیت ها و در نتیجه هزینه های مستقیم پروژه به حداکثر ممکن افزایش یافته، ولی زمان کل اجرای پروژه به نقطه کمینه (حداقل) خود خواهد رسید. در این شرایط که زمان پروژه در مقدار کمینه خود باشد، هزینه های غیر مستقیم نیز در حداقل خواهند بود. بین این دو نهایت، نقطه ای بهینه برای اجرای پروژه وجود خواهد داشت که در آن جمع هزینه های مستقیم و غیر مستقیم در کمترین مقدار خود قرار گرفته و در نتیجه این نقطه از زمان، نقطه اقتصادی یا بهینه برای اجرای پروژه خواهد بود. در شکل (2-6) با نمایش منحنی های هزینه های مستقیم و غیر مستقیم و منحنی جمع هزینه ها (یا منحنی هزینه کل پروژه)، نقطه بهینه برای اجرای پروژه نشان داده شده است.
قابل توجه است که سرعت تغییرات هزینه کل، در حدود نقطه بهینه معمولاً ناچیز می باشد. به عبارت دیگر منحنی هزینه کل، در کل نقطه بهینه، نسبت به تغییرات زمان دارای حساسیت زیادی نمی باشد. بنابراین، مدیریت پروژه به طور معمول از این آزادی عمل برخوردار است که با توجه به شرایط و امکانات عملی اجرای کال، زمان پروژه را نسبت به نقطه بهینه تعیین شده، تا حدود مشخصی تغییر دهد، بدون آنکه در هزینه کل پروژه افزایش محسوسی ایجاد گردد. قابل ذکر است که نقطه بهینه برای اجرای پروژه (D)، لزوماً در محل تلاقی منحنی های هزینه های مستقیم و غیر مستقیم قرار نمی گیرد، بلکه بنابر نوع و فرمول تغییرات این دو هزینه در مقابل تغییرات زمان، نقطه D، در فاصله بین Dn و Df واقع می گردد. در اینجا زمان های Df‌ و Dn‌ به ترتیب مربوط به حداقل و حداکثر زمان های ممکن برای اجرای پروژه (و نه برای اجرای فعالیت) می باشند.

شکل (2-6): نمودار هزینه کل2-5- روش های کلاسیک تخصیص و تسطیح منابع2-5-1- مدل های رایج در برنامه ریزی و کنترل پروژه2-5-1-1- مدل های با محدودیت زمانیدر بسیاری از پروژه ها به دلایل مختلف، ممکن است تاریخ تکمیل، تعیین شده باشد یا رعایت زمان محاسبه شده از مسیر بحرانی، مهمترین دلمشغولی برنامه ریزان پروژه باشد. در چنین مدل هایی در بررسی کلاسیک فرض می شود که میزان نامحدودی منبع در اختیار است و کوشش می شود که با برنامه ریزی مناسب فعالیت ها، منابع به روش بهینه ای مورد استفاده قرار بگیرند. در چنین مدلی هدف، عبارت از تعیین برنامه زمان بندی بهینه است به نحوی که با امکان پذیر نمودن اجرای پروژه در تاریخ تعیین شده، میزان اضافه هزینه در مقایسه با یک تخصیص مسطح در حداقل مقدار ممکن باشد.
2-5-1-2- مدل های با محدودیت مالیدر این مدل عامل مزان نامحدود بوده و عامل قابل تغییر، بودجه قابل مصرف برای تکمیل پروژه در تاریخ تعیین شده است. در این مدل به عکس مدل قبلی، عامل زمان قابل تغییر بوده، در عوض منابع قابل دسترسی برای تکمیل پروژه محدود است. در چنین مدلی هدف یافتن بهترین ترکیب فعالیت است، به صورتی پروژه در زودترین تاریخ ممکن قابل تکمیل شدن باشد ولی میزان استفاده از هیچ منبعی از حداکثر مقدار تعیین شده برای آن منبع، تجاوز ننماید.
2-5-1-3- مدل های بدون محدودیت در زمان و هزینهدر شرایطی ممکن است تعیین زمان مناسب برای تکمیل پروژه به عهده برنامه ریز گذاشته شده باشد. به این معنی که با صرف هزینه ای مناسب برای اجرای پروژه موافقت شده باشد ولی تعیین میزان هزینه و در نتیجه تعیین تاریخ مشخصی برای تکمیل که به ازای آن، این هزینه صرف خواهد شد به عهده برنامه ریزی گذاشته شده باشد. در این شرایط، عاملی که باید به حداقل برسد، جمع هزینه های پروژه است. در صورتی که پروژه را در زمانی طولانی انجام دهند، هزینه های مربوط به سرمایه در بند، جریمه تاخیر و بسیاری هزینه های غیر مستقیم دیگر، افزایش خواهند یافت. در مقابل در صورتی که زمان پروژه بیش از اندازه کوتاه شود، هزینه های مستقیم مربوط به استفاده از منابع زیاد خواهند بود. در بین این دو حد، زمان های بسیار کوتاه و بسیار بلند، زمانی بهینه برای انجام پروژه وجود خواهد داشت که به ازای آن جمع هزینه ها در حداقل ممکن خواهد بود. در این مدل هدف تعیین زمان اقتصادی برای اجرای پروه است که به ازای آن جمع هزینه های مستقیم وغیر مستقیم در حداقل ممکن باشد.
به چند دلیل این مدل در روش های جدید برنامه ریزی و کنترل پروه مورد توجه بیشتری قرار گرفته است. اول به دلیل بی توجهی طی سال های گذشته و موجود نبودن روابط ریاضی و مقادیر کمی مناسب برای مفاهیم کیفی و انتزاعی موجود در این مدل، به عبارت دیگر هنگامی که دو برنامه متفاوت با دو زمان و هزینه متفاوت برای یک پروژه وجود داشت، امکان مقایسه کاملاً دقیق بین این دو جواب مساله وجود نداشت. مشکل دیگر آن بود که اصولاً به جز روش سعی و خطا و بررسی های فردی، روش مدون دیگری برای تولید جواب های برنامه های مختلف برای یک پروژه وجود نداشت.
این روزها با ارائه الگوریتم های گوناگون برای تولید جواب های مختلف و معیارهای مختلف برای مقایسه این جواب ها و همین طور پیچیده تر شدن رقابت اقتصادی و نیاز به جواب های بهینه برای یک پروژه، این مدل یا رویکرد به برنامه ریزی و کنترل پروژه اهمیت بیشتری یافته است. دیگر تنها تحلیل برنامه ریزها، درباره مسیر بحرانی نیست، بلکه برنامه ریزها تمایل دارند برنامه هایی با مدت زمان ها و هزینه های متفاوت را ببینند و با توجه به محدودیت های واقعی منظور نشده در مدل، جواب مناسب پروژه را انتخاب کنند.
کوشش های جدید دانشمندان در این حیطه، بیشتر در این زمینه متمرکز شده است تا روش های مناسب تری برای تولید جواب ها یا مقایسه ارزش های جواب ارائه دهند که با صرف زمان کمتر نتایج بهتری را به دست دهد.
2-5-2- رویکردهای مختلف به استفاده از منابعدر این رویکرد کوشش می شود تا با جابجایی در فعالیت های غیر بحرانی که دارای شناوری هستند نموداری از توزیع روزانه منابع ایجاد شود تا مقدار منبع مصرفی در فعالیت های پروژه از حد مجاز تجاوز نکنند. در دهه های اخیر به منظور تسطیح منابع، الگوریتم های متفاوتی پیشنهاد شده اند. این الگوریتم ها معمولاً با پیشنهاد ها معمولاً با پیشنهاد یک سری قوانین ارجحیت در ترتیب بندی فعالیت ها آغاز می شوند. قوانین ارجحیت، مشخصات مختلف فعالیت ها را مورد مقایسه قرار داده، بر مبنای این مقایسه در شرایطی که دو یا چند فعالیت از یک پروژه قابل اجرا باشند، فعالیتی را که مناسب است زودتر از همه اجرا شود، معرفی می نمایند. در این روش ها فرض بر این است که محدودیتی در میزان منبع در دسترس وجود دارد و میزان منابع مورد استفاده باید کمتر از منابع قابل حصول باشد. در شکل (2-7) یک نمودار نیاز به منبع پیش از تسطیح، بعد از تسطیح و مقایسه آن با محدوده روزانه منبع نشان داده شده است.

شکل (2-7): توزیع منبع قبل و بعد از تسطیح2-5-2-2- تخصیص منابعدر این حالت لازم است فعالیت ها به صورتی برنامه ریزی شوند که در ضمن تامین نیازهای فعالیت های مختلف، خواسته های کارفرما را نیز تامین کند و همچنین در هیچ موقعیتی سطح منابع مورد نیاز از حد قابل دسترسی بالاتر نباشد. در چنین شرایطی ممکن است لازم باشد زمان پروژه از حداقل مقدار ممکن طولانی تر گردد. باید با استفاده از روش های ریاضی یا الگوریتم هایی با رعایت شرط محدودیت سطح منابع، پروژه را برای اجرای در کوتاه ترین زمان ممکن برنامه ریزی نمود.
2-5-3- الگوریتم تسطیح منابع محدوداین روش که قدیمی ترین روش تخصیص منابع محدود است، یک روش مکاشفه ای است که بعد از ایجاد نمودار مسیر بحرانی برای یک پروژه به کار می رود. در این روش برای هر لحظه زمانی، مجموعه فعالیت های قابل اجرای منطقی را تعیین می کنیم. سپس مجموعه فعالیت هایی را که زودترین تاریخ شروع آن ها برای زمان جاری است به ترتیب صعودی دیرترین تاریخ تاریخ شروع از بین مجموعه اول مرتب می کنیم. در صورت تساوی بین دیرترین تاریخ شروع دو فعالیت، آن ها را به ترتیب طول زمان اجرا ردیف می کنیم. سپس از بین این لیست به ترتیب، شروع به برنامه ریزی فعالیت ها می کنیم و در صورتی که برای اجرای فعالیتی منبع باقیمانده کافی در دسترس نباشد، از برنامه ریزی آن فعالیت صرفنظر می کنیم. هر بار یک واحد به زمان جاری اضافه می کنیم تا کل فعالیت ها برنامه ریزی شوند و فعالیتی باقی نماند. شکل (2-8) نمودار مربوط به این الگوریتم را نشان می دهد.
در این الگوریتم گزاره های زیر همواره درست فرض می شوند.
مقادیر حداکثر منابع قابل دسترس در مقاطع مختلف زمان اجرای پروژه مشخص است.

=16

جدول (4-1) ...........................................................................................................................................................................................................................94
جدول (4-2) ...........................................................................................................................................................................................................................95
جدول (4-3) .........................................................................................................................................................................................................................100
جدول (4-4) ....................................................................................................................................................................................................................... 100
جدول (4-5) ........................................................................................................................................................................................................................105
جدول (4-6) ........................................................................................................................................................................................................................115
فهرست شکلها
عنوان صفحه شکل(3-1) .................................................................................................................................................................................................... 78
شکل (3-2) ....................................................................................................................................... ............................................................82
شکل (4-1) ..................................................................................................................................................................................................... 92
شکل (4-2) ................................................................................................................................................................................................... 93
شکل (4-3) ................................................................................................................................................................................................... 96
شکل (4-4) ................................................................................................................................................................................................... 97
شکل (4-5) ................................................................................................................................................................................................... 98
شکل (4-6) ................................................................................................................................................................................................ 102
شکل (4-7) ................................................................................................................................................................................................ 103
شکل (4-8) ................................................................................................................................................................................................ 107
شکل (4-9) ................................................................................................................................................................................................ 107
شکل (4-10) ............................................................................................................................................................................................. 110
شکل (4-11) ............................................................................................................................................................................................. 111
چکیده
حل معادلات دیفرانسیل هذلولوی با روش آنالیز هوموتوپی
بتول قرهداغی

روش آنالیز هوموتوپی (HAM) توسط لیائو در سال 1992 پیشنهاد شده است. از این روش برای بهدست آوردن جواب تقریبی انواع مختلف معادلات تابعی در علوم پایه و مهندسی و سایر علوم استفاده شده است. روش آنالیز هوموتوپی از چند جهت از سایر روشهای تحلیلی برتر است. نخستین علت تمایز این است که کلیتر از سایر روشها میباشد، در واقع میتوان نشان داد که روشهای آشفتگی هوموتوپی و تجزیه آدومین حالت خاصی از این روش میباشند. دلیل دیگر تمایز، کنترل ناحیه همگرایی روش میباشد.
در این پایاننامه روش آنالیز هوموتوپی که یک روش جامع و موثر برای حل انواع معادلات تابعی است، برای حل دستهای از معادلات دیفرانسیل جزئی تحت عنوان معادلات هذلولوی مورد استفاده قرار میگیرد و نتایج بهدست آمده از این روش با روش تجزیه آدومین مقایسه میشود. این مقایسه برتری روش آنالیز هوموتوپی نسبت به سایر روشهای عددی را نشان میدهد. برای انجام محاسبات از نرم افزار Maple13 استفاده شده است.
کلید واژهها : روش آنالیز هوموتوپی ، معادلات هذلولوی ، روش تجزیه آدومین.

Solving Hyperbolic equations with Homotopy analysis method
Batool Gharehdaghi
Abstract
The Homotopy analysis method (HAM) proposed by Dr.shijun Liao in 1992. This method is used to obtain approximate solution of a variety of functional equations in Basic Sciences and engineering and other sciences. Homotopy analysis method distinguishes itself from the other analytical methods in the following several aspects.The first distinction is more general than other methods due to the fact that the Homotopy perturbation method and Adomian decomposition method are a special case of Homotopy analysis method.Another distinction is the method of controlling the convergence region.
This thesis is a comprehensive and effective approach Homotopy analysis method to solve a variety of functional equations, are used to solve a set of partial differential equations known as the Hyperbolic equations and the results obtained from this method is compared with the Adomian decomposition method. For computations are performed by Maple 13.
Keywords: Homotopy analysis method , Hyperbolic equations , Adomian decomposition method
پیشگفتار
معادلات دیفرانسیل یکی از مباحث اصلی در علوم پایه و مهندسی میباشد و کاربردهای فراوانی در مدلسازی پدیدههای فیزیکی جهان اطراف ما دارند. برای اکثر معادلات امکان پیدا کردن جواب تحلیلی وجود ندارد در چنین مواقعی استفاده از یک روش عددی برای حل این مشکل مفید است. در این پایان نامه روش آنالیز هوموتوپی برای حل معادلات هذلولوی مورد استفاده قرار میگیرد.
ارائه مطالب به شرح زیر است
در فصل اول تعاریف و مفاهیم اساسی در معادلات دیفرانسیل جزئی شرح داده شده است. در فصل دوم روش تجزیه آدومین معرفی شده و از آن در حل معادلات هذلولوی استفاده شده است. در فصل سوم روش آنالیز هوموتوپی و برخی قضایای مهم و ارتباط بین روش آنالیز هوموتوپی و روش تجزیه آدومین مطرح شده است. در فصل چهارم به حل معادلات هذلولوی با روشهای آنالیر هوموتوپی و تجزیه آدومین اختصاص داده شده است و در فصل پنجم برنامههایی که با استفاده از نرم افزار بهمنظور انجام محاسبات تهیه شده، ارائه شده است.
تعاریف و مفاهیم اولیه در معادلات دیفرانسیل جزئی
1-1: مقدمه
1-2: معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی
1-3: شرایط اولیه و مرزی برای معادلات دیفرانسیل جزئی
1-4: معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم با دو متغیر مستقل
1-5: صورت نرمال معادلات دیفرانسیل جزئی خطی مرتبه دوم
فصل اول

1-1: مقدمه
بسیاری از پدیدهها در طبیعت، و یا علوم تجربی مانند (فیزیک، شیمی، زیستشناسی و ستارهشناسی،...) با یکدیگر ارتباط دارند. بیان این ارتباط به زبان ریاضی، منجر به یک معادله تابعی میشود که اگر آهنگ تغییرات یک معادله تابعی نسبت به یک یا چند متغیر مستقل بررسی شود، میتوان آن پدیده را با معادلات دیفرانسیل بیان کرد. کاربردهای معادلات دیفرانسیل همچنین در ریاضیات به ویژه در هندسه و نیز در مهندسی و اقتصاد و بسیاری از زمینههای دیگر علوم فراوانند. معادلات دیفرانسیل در بسیاری از پدیدههای علوم مهندسی و پایه ظاهر میشوند. به عنوان مثال در مکانیک، حرکت جسم بهوسیله سرعت و مکان آن در زمانهای مختلف توصیف میشود، و قانون دوم نیوتن رابطه بین جرم جسم متحرک، شتاب، و نیروهای گوناگون وارده را مشخص میکند. در چنین شرایطی میتوانیم حرکت جسم را در قالب یک معادله دیفرانسیل که در آن مکان ناشناخته جسم تابعی از زمان است، بیان کنیم .
معادلات دیفرانسیل دارای ساختارهای متفاوتی میباشند و هر ساختار ویژگیهای خاص خود را دارد. تکنیکهای فراوانی برای تقریب زدن جواب وجود دارد مثلاً تقریب زدن جواب به صورت سریهای توانی یا روشهای عددی.
1-2: معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی
هر رابطه بین یک متغیر وابسته و مشتقهایش نسبت به یک یا چند متغیر مستقل را معادله دیفرانسیل میگویند. اگرتعداد متغیر مستقل یکی باشد، معادله دیفرانسیل را معمولی (ODE) گوییم و اگر تعداد متغیر مستقل بیشتر از یکی باشد مشتقات جزئی هستند، و معادله دیفرانسیل را، معادله دیفرانسیل جزئی2(PDE) گوییم.
فرض میکنیمx=(x1,…,xn) متغیرهای مستقل باشند، و u=u(x) نیز تابع مجهول وابسته باشد، شکل کلی معادلات دیفرانسیل جزئی به صورت زیر بیان میشود
1-1 F(x,u(x),D u(x),…..,Dn u(x))=0. که در آن Fیک تابع مفروض و Dju(x) یک بردار است که تمامی مشتقهای جزئی از مرتبه j ام را در برگرفته است. البته لازم بهذکر است که ممکن است بعضی از مشتقها موجود نباشند.
به عنوان مثال Du(x) و D2u(x) به صورت زیر بیان میشوند
∂ux∂x = ( ∂u∂x1, ∂u∂x2,…… ,∂u∂xn ) , (2-1)∂2ux∂x2 = (∂2u∂x12, ∂2u∂x1∂x2 , …… ,∂2u∂xi∂xj ,…, ∂2u∂xn2 ), 1≤ i,j ≤ n.
نماد گذاری: گاهی اوقات مشتقهای جزئی بهگونهای نوشته میشوند که متغیر مستقل در اندیس ظاهر میشود به عنوان مثال ∂u∂x ∂2u∂x∂y ورا به ترتیب بهصورت ux و uxy نشان میدهند.
1-2-1: مثال
معادلات دیفرانسیل زیر را در نظر بگیرید.
1) x2d2ydx2-2y=3x2-1,
2) uxx+2uxy+ yuxy+uyy=0.
معادله اول یک معادله دیفرانسیل معمولی و معادله دوم، یک معادله دیفرانسیل جزئی است.
-2-1 2: تعریف
مرتبهء یک معادله دیفرانسیل جزئی، بالاترین مرتبهء مشتق است که در آن معادله ظاهر شده است.
بنابراین معادله زیرکه حالت کلی از معادله دیفرانسیل جزئی است، از مرتبهk است اگر k بزرگترین عددی باشد که .DkU≠0
Fx,ux,D ux,…..,Dk ux=0. (1-3) درجه بالاترین مشتق موجود در یک معادله دیفرانسیل (معمولی یا جزئی) را درجهء معادله دیفرانسیل گوییم.
3-2-1: مثال
معادلات زیر را در نظر بگیرید.
uxx+uyy+uzz=0, معادله لاپلاس1
معادله گرما uxx+uyy+uzz=ut , معادله دیم 3ut=u2uxxx.
معادلههای لاپلاس و گرما از مرتبه دو ، و درجه یک میباشند و معادلهء دیم از مرتبه سه و درجه یک میباشد.
:4-2-1تعریف
یک معادله دیفرانسیل را خطی گوییم اگر تابع مجهول و تمام مشتقهای موجود در آن از درجه یک باشند، یعنی جملاتی به صورت حاصلضرب تابع مجهول و مشتقهای آن در معادله وجود نداشته باشد.
شکل کلی یک معادله دیفرانسیل جزئی خطی به صورت زیر است
anxDnu + an-1xDn-1u +..........+a0=Fx. (4-1) در غیر اینصورت معادله دیفرانسیل غیرخطی است و اگر نسبت به بالاترین مرتبه مشتقی که در معادله ظاهر شده خطی باشد، معادله دیفرانسیل را شبه خطی گوییم.
5-2-1: مثال
معادلات زیررا در نظر بگیرید.
1) y2uyy+x+yux=x2+1,
2) uxxx+u2yy=sinu ,
3)(uxx)3+(uyy)2=t+1u .
معادلهء اول، خطی از مرتبه دوم و درجه یک،و معادله دوم، شبه خطی از مرتبه سه و درجه یک، و معادله سوم غیر خطی از مرتبه دوم و درجه سه میباشد.
6-2-1: تعریف
اگر هر جمله معادله دیفرانسیل جزئی شامل متغیر وابسته یا یکی از مشتقهای آن باشد آنگاه آن معادله همگن است در غیر اینصورت ناهمگن محسوب میشود.
1-2-7 : مثال
معادلات زیر را در نظر بگیرید.
معادله لاپلاس uxx+uyy=0, معادله پواسن uxx+uyy=fx,y. معادله لاپلاس یک معادله دیفرانسیلجزئی خطی همگن و معادله پواسن، درصورتیکه f(x,y)≠0، یک معادله دیفرانسیل جزئی غیرهمگن است.
-2-1 8 :تعریف
جواب یک معادله دیفرانسیل جزئی با متغیرهای مستقل در ناحیه D ، تابعی است که در این ناحیه تمامی مشتقات جزئیاش در معادله وجود داشته باشد و در معادله صدق کند.
3-1 : شرایط اولیه و مرزی برای معادلات دیفرانسیل جزئی
برای بهدست آوردن جواب هر معادله دیفرانسیل جزئی، باید شرایطی در دست باشد که به ما در پیدا کردن جواب معادله کمک کند. معمولاً این شرایط در قسمتی از ناحیهای که ما جواب را در آن جستجو میکنیم بیان خواهد شد. واضح است که شرایط مرزی، تابع مجهول یا مشتق های آن در نواحی مرزی تعیین شده را توصیف میکند و شرایط اولیه تابع مجهول را در زمان آغازی معین میکند.
1-3-1: مثال
معادله زیر را درنظر بگیرید.
uxx=ut , 0≤ x≤1,
شرایط اولیه این معادله بهصورت زیر است
ux,0=gx ,
و شرایط مرزی عبارت است از
u0,t=ax, u1,t=bx, t≥0 .
4-1: معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم با دو متغیر مستقل
یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم، معادلهای است که در آن مشتقات تابع مجهول از مرتبه اول و دوم هستند و بالاترین مشتق موجود در آن از مرتبه دوم است. بهعبارت دیگر بهشکل زیر است
Fx,ux,Dux,D2ux=0. (5-1) این معادلات کاربردهای زیادی در مسائل مکانیک سیالات و مکانیک جامدات، انتشار موج، و هدایت گرما در جامدات و غیره دارند.
به همین جهت حل آنها بسیار اهمیت دارد و روشهای تحلیلی زیادی برای حل آنها پیشنهاد شده است.
1-4-1: دسته بندی معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم با دو متغیر مستقل
این معادلات در حالت کلی به شکل زیر هستند
a(x,y) ∂2u∂x2 + b(x,y) ∂2u∂x∂y+ c(x,y) ∂2u∂y2=w(x,y), (6-1)
که در آن ،c ،b ،a وw مقادیر ثابت، یا توابعی از متغیرهای مستقل و یا بر حسب u هستند [2,1].
فرض کنید
∂u∂x=p, ∂u∂y=q, ∂2u∂x2=r, ∂2u∂y2=t, ∂2u∂x∂y=s.
معادله (6-1) بهشکل زیر نوشته میشود
ar+bs+ct=w.
برای ادامه کار دو تعریف ارائه میشود.
2-4-1 : تعریف
منحنی مشخصه یک معادله دیفرانسیل، منحنیهایی هستند که روی آنها بالاترین مرتبه مشتق به طور یکتا معین نیستند. چون معادله از مرتبه دوم است لذا بالاترین مرتبه مشتق دوم مدنظر است که آنها را rو ،s ،t نامگذاری کردیم.
3-4-1 : تعریف
معادله دیفرانسیل مشخصه معادلهای است که منحنی مشخصه جوابهای آن هستند.
دیفرانسیلهای pو q عبارت اند از
dp=∂2u∂x2 dx+∂2u∂x∂y dy
=r dx + s dy, (7-1)
dq=∂2u∂x∂y dx+∂2u∂y2 dy
=s dx+t dy.
حال سه معادله را به صورت یک دستگاه مینویسیم
ar+b s+c t=w,r dx+s dy=dp,s dx+t dy=dq. (8-1)
rو ،s ،t مجهولند. لذا برای اینکه این دستگاه جواب یکتا داشته باشد دترمینان ماتریس ضرایب باید مخالف صفر باشد.
D= a b cdx dy 00 dx dy≠0. (9-1)طبق تعریف منحنیهای مشخصه، منحنیهایی هستند که در آنها این دستگاه جواب ندارد، یعنیD=0 .
a b cdx dy 00 dx dy =0.
طرفین را بر dx2≠0 تقسیم میکنیم
a (dydx)2 - bdydx+ c=0.
این معادله، معادله مشخصه است. ریشههای معادله مشخصه شیبهای منحنی مشخصه هستند.
لذا معادله a (dydx)2 - bdydx+ c=0, یک معادله درجه دوم بر حسب dydxاست. با تشکیل ∆=b2-4ac سه حالت برای آن در نظر گرفته میشود.
1. اگر b2-4ac>0، معادله دارای دو ریشه حقیقی و متمایز است. لذا دو منحنی مشخصه متمایز داریم. دراین حالت به معادله، معادله هذلولوی گویند.
2. اگرb2-4ac=0 ، معادله دارای یک ریشه حقیقی و مضاعف است. پس یک منحنی مشخصه حقیقی داریم و به آن معادله سهموی گویند.
3. اگرb2-4ac<0 ، معادله دو ریشه مختلط متمایز دارد. لذا دو منحنی مشخصه مختلط داریم و به آن معادله بیضوی میگوییم.
4-4-1: مثال
معادلات زیر را در نظر بگیرید.
1) 2uxx+3uxy+uyy=0,
a=2, b=-3, c=1,
∆=9-4*2*1=1 .
بنابراین این معادله، یک معادله هذلولوی است.
2) uxx+uyy=4u ,
a=1, b=0, c=1,
∆=0-4=-4 .
معادله بالا، یک معادله بیضوی میباشد.
3) uxx+4uxy+4uyy=0,
a=1, b=4, c=4,∆=16-16=0 . و معادله سوم از نوع سهموی میباشد.
1-5 : صورت نرمال معادلات دیفرانسیل جزئی خطی مرتبه دوم
معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم زیر را در نظر میگیریم
ax,y ∂2u∂x2 + bx,y ∂2u∂x∂y+ cx,y ∂2u∂y2=w(x,y,u,ux,uy), (10-1)
برای بهدست آوردن صورت نرمال معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم ξ=ξ(x,y) و η=η(x,y) قرار میدهیم. در اینصورت داریم
Aξx,ξy∂2u∂ξ2 +2Bξx,ξy,ηx,ηy ∂2u∂ξ∂η+ Aηx,ηy ∂2u∂η2=Fξ,η,u,uξ,uη, (11-1)
که در آن
Aξx,ξy=aξx2+bξxξy+cξy2,
Aηx,ηy=aηx2+bηxηy+cηy2,
Bξx,ξy,ηx,ηy=aξxηx+12bξxηy+ξyηx+cξyηy.
همچنین رابطهء بین ضرایب جدید و اولیه بهصورت زیر است
B2ξx,ξy,ηx,ηy-4Aξx,ξyAηx,ηy=ξxηy-ξyηx2b2-4ac,حال این سوال به ذهن میرسد که ξ و ηچه مقداری داشته باشند تا به سادهترین شکل معادله برسیم؟ اگر ξ و η طوری انتخاب شوند که ضرایب A صفر شوند آنگاه ساده ترین شکل معادله بهدست خواهد آمد. پس فرض میکنیم ξ و ηمتغیرهایی باشند که ضرایب A در معادله (1-11) صفر شوند. یعنی
Aξx,ξy=0, Aηx,ηy=0.
معادلات (1-10) و (1-11)، شکل یکسانی دارند، از این رو میتوان آنها را بهصورت زیر در نظر گرفت
aζx2+ bζxζy+ cζy2=0,
کهζ بهجای ξ یا ηبهکار میرود. معادله بالا را برζy2 تقسیم میکنیم
a(ζxζy)2+ bζxζy+ c=0,
1-5-1: صورت نرمال معادلات دیفرانسیل جزئی هذلولوی
اگر در معادله دیفرانسیل (1-11) داشته باشیم
Aξx,ξy=Aηx,ηy=0, Bξx,ξy,ηx,ηy≠0,
آنگاه معادله (1-11)بهصورت زیر نوشته میشود
∂2u∂ξ∂η-Fξ,η,u,uξ,uηBξx,ξy,ηx,ηy=0, uηξ-Mξ,η,u,uξ,uη=0. (12-1)
در اینصورت معادله (1-12) را صورت نرمال معادله دیفرانسیل جزئی هذلولوی مینامیم.
1-5-2: صورت نرمال معادلات دیفرانسیل جزئی سهموی
اگر در معادله دیفرانسیل (1-11) داشته باشیم
Aξx,ξy=Bξx,ξy,ηx,ηy=0, Aηx,ηy≠0,
آنگاه معادله (1-11) بهصورت زیر نوشته میشود
∂2u∂η2-Fξ,η,u,uξ,uηAηx,ηy=0, uηη-Gξ,η,u,uξ,uη=0. (13-1)
در اینصورت معادله (1-13) را صورت نرمال معادله دیفرانسیل جزئی سهموی مینامیم.
1-5-3: صورت نرمال معادلات دیفرانسیل جزئی بیضوی
اگر در معادله دیفرانسیل (1-11) داشته باشیم
Aηx,ηy=Bξx,ξy,ηx,ηy=0, Aξx,ξy≠0,
آنگاه معادله (1-11) بهصورت زیر نوشته میشود
∂2u∂ξ2-Fξ,η,u,uξ,uηAξx,ξy=0, uξξ-Kξ,η,u,uξ,uη=0. (14-1)
در اینصورت معادله (1-14) را صورت نرمال معادله دیفرانسیل جزئی بیضوی مینامیم.
فصل دوم
حل معادلات هذلولوی با روش تجزیه آدومین
2-1: مقدمه
2-2: روش تجزیه آدومین
2-3: حل معادلات هذلولوی با روش تجزیه آدومین
2-4: مثالهای عددی

مقدمه2-1:
در این فصل به معرفی روش تجزیه آدومین که یک روش عددی برای حل معادلات تابعی است، میپردازیم و این روش را برای حل دستهای از معادلات دیفرانسیل جزئی تحت عنوان معادلات هذلولوی بهکار میبریم[7-3].

2-2: روش تجزیه آدومین
یکی از روشهای عددی که برای حل انواع معادلات تابعی مانند، معادلات دیفرانسیل جزئی، معادلات انتگرال و غیره مورد توجه قرار گرفته است، روش تجزیه آدومین است. این روش توسط جرج آدومین (1920-1996) معرفی شد. وی در اوایل دههء 1960 در پژوهشهای خود به روش جدیدی برای حل معادلات تابعی رسید، بهتدریج این روش را توسعه داد و در اوایل دههء هشتاد آن را ارائه کرد. در این روش جواب معادله بهصورت یک سری نامتناهی در نظر گرفته میشود.
یکی از مهمترین تفاوتهای روش تجزیه آدومین با سایر روشهای عددی برای یافتن جواب تقریبی معادلات دیفرانسیل این است که در این روش میتوان جواب را بهصورت یک سری نامتناهی محاسبه کرد. برای این کار باید از بسط تیلور تابع معلوم حول نقطه ابتدای بازه استفاده شود. از طرفی چون بسط تیلور فقط در نقطه داده شده دقیق است و هر چه از آن نقطه دور شویم دقت آن کم میشود. پس جوابی که از روش تجزیه آدومین بهدست میآید دارای خطا می باشد.
:1-2-2ساختار کلی روش تجزیه آدومین
معادله تابعی
Fux=gx , ( 1-2)
را در حالت کلی در نظر میگیریم که در آن F یک عملگر از فضای باناخ v به تویv است و g(x) یک تابع معلوم در v است هدف پیدا کردن u(x) است که در معادله (1-2) صدق کند.
فرض میکنیم معادلهء (1-2) برای هر g(x)ϵ vدارای جواب یکتا باشد و همچنین فرض میکنیم عملگر F دارای جملات خطی و غیرخطی باشد. اگر قسمت خطی را با B و قسمت غیرخطی را با N نمایش دهیم، داریم
(2-2) F=B+N. قسمت خطی B را میتوان بهصورت I+R تجزیه کرد که در آن I یک عملگر معکوس پذیر وR قسمت باقیمانده عملگر خطی است. بنابراین عملگرF را میتوان بهصورت زیر تجزیه کرد.
F=I+R+N. (3-2)
با توجه به معادلهء (1-2) ،
Iu=g-Ru-Nu, (4-2) Iu+Ru+Nu=g →و چون I معکوس پذیر است،
(5-2) u=I-1g-I-1Ru-I-1Nu. قرار میدهیم L=I-1Ru ، که یک عملگر خطی است و G=I-1N(u) که عملگر غیر خطی است. پس داریم
(6-2) u=I-1g-Lu-Gu.روش تجزیه آدومین عبارت است از نمایش u بهصورت مجموع سری
u=n=0∞un,
و تجزیه عملگر غیرخطی بهصورت
Gu=n=0∞An,
که در آن An ، یک چند جملهای بر حسب … ،u1 ،u0، و un است که به آنها چند جملهای آدومین میگویند و توسط جورج آدومین بهصورت زیر تعریف شده است
An=1n!dndλnG(n=0∞uiλi)⃒λ=0 . (7-2)
فرض کنید دستور صریحی برای تعیین چند جملهایهای آدومین داشته باشیم. یعنی با توجه بهصورت عملگر غیرخطی G ،An ها بهدست آمده باشند. بنابراین معادله بهصورت زیر نوشته میشود.
(8-2) , n n=0∞A -) n -L(n=0∞u I-1g = n n=0∞u
n=0∞u n=I-1g –n=0∞Lun –n=0∞An.
بنابراین
u0+u1+u2+…=I-1g-Lu0-Lu1-Lu2-.........-A0-A1-A2-…. (9-2)
با استفاده از این رابطه،u n ها بهصورت زیر بهدست میآیند
u0=I-1g,
u1=-Lu0-I-1A0 ,
u2=-Lu1-I-1A1, (10-2) u3=-Lu2-I-1A2,
:
un-1=-Lun-1-I-1An-1.
تا وقتیکه An ها برای n=0,1,2,3,… معین باشند، تمام جملات unرا میتوان محاسبه کرد. در عمل u را میتوان بهصورت مجموع m جمله از سری n=0∞un تقریب زد .
بنابراین تقریب m جملهای φmرا برای جواب مساله بهصورت زیر در نظر میگیریم
(11-2) , n=0m-1un = φm:2-2-2مثال
در این مثال تابع گاما را با روش تجزیه آدومین حل محاسبه میکنیم.
تابع گاما بارها در مسائل فیزیکی و آماری ظاهر میشود همچنین این تابع دارای کاربردهای مستقیم در نظریه معادلات دیفرانسیل میباشد. به عنوان مثال در تعریف تابع و معادله دیفرانسیل بسل نمیتوان نقش این تابع را نادیده گرفت. تابع گاما بهعنوان تعمیم تابع فاکتوریل هم در نظر گرفته میشود.
تابع گاما بهصورت زیر تعریف میشود
Γx=0∞e-ttx-1dt , x>0. (12-2)برای محاسبه تابع گاما توسط روش تجزیه آدومین معادله خطی مرتبه اول زیر را در نظر میگیریم
dydt-y=tx-1 , (13-2)جواب تحلیلی معادله (13-2) عبارت است از
ytft=0∞ft tx-1dt , (14-2)که ft=e-t . لذا از رابطه (12-2) و (14-2) داریم
yte-t⃒0∞=0∞e-ttx-1dt= Γx, x>0. (15-2)محاسبه تابع گاما با روش تجزیه آدومین
با در نظر گرفتن عملگر خطی L=ddt ، (12-2) را میتوان به صورت زیر نوشت
Ly-y=tx-1, x>0 . (16-2)
یا
Ly-tx-1=y, x>0. (17-2)
در روش تجزیه آدومین جواب را بهصورت سری در نظر میگیریم. پس فرض میکنیم
y=i=0∞y i (18-2)
که y0=tx-1 ، و
yi+1=L-1y i , i=0,1,2,….. . (19-2)در نتیجه از (15-2) و(19-2) ، داریم
Γx=0∞e-t tx-1dt =[e-tyt]0∞ =[e-ti=0∞yi]0∞, x>0. (20-2)
بهعنوان مثال فرض کنید x=4 ، از رابطه (20-2) داریم
Γ4=0∞e-t t4-1dt =[e-ti=0∞yi]0∞,
y0=-t4-1=-t3, y1=Ly0=-3t2,
y2=Ly1=-6t , y3=Ly2=-6, yi=0, i=4,5,… .
بنابراین
Γ4=[e-t-t3-3t2-6t-6-0]0∞=0+3!=3!.
حال نشان میدهیم که Γn+1=n!.
فرض کنید x=n+1 ، از (2-20) و (19-2) داریم
Γn+1=0∞e-t tn dt=[e-ti=0∞yi]0∞,
y0=-tn , y1=-ntn-1 , …, yn=-nn-1…..21=-n! .
لذا برای i≥n+1 ، yi=0 .
چون
e-t→0, m∈N. limt→∞tm
بنابراین
Γn+1=[e-t-tn-ntn-1…-n!-0]0∞=n! .
2-2-:3 مثال معادله برگرز
معادله برگرز یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم غیرخطی است. از این معادله برای تشریح حرکت سیالات و بررسی لایههای مرزی و امواج ضربهای، حرکت و جابهجایی اجرام و همچنین در علوم مهندسی به عنوان مدلی ساده برای نمایش آشفتگی و تلاطم به کار میرود.
معادله برگرز در حالت یک بعدی با شرایط اولیه زیر را در نظر بگیرید
∂u∂t+u∂u∂x=∂2u∂x2 ,
ux,0=1-2x .
، فرض میکنیمL=ddtعملگر خطی
بنابراین وارون عملگر فوق، L-1 ، بهصورت زیر تعریف میشود
L-1(.)=0t.dt.
با اعمال L-1 در دو طرف معادله و با استفاده از شرایط مرزی داریم
L-1Lu+u ux=L-1uxx,


u x,t-ux,0=L-1uxx-u ux.
با جایگذاری u(x,t)=A+L-1(uxx-u ux) ، داریم
n=0∞un(x,t)=A+L-1n=0∞unxx-un unx,
بنابراین بعد ازانتگرال گرفتن و ساده سازی داریم
u0x,t=A=1-2x,
u1x,t=L-1u0xx-u0 u0x=-2tx2 ,
u2x,t=L-1u1xx-u0 u1x-u1 u0x=-2t2x3 ,
⋮u(x1,x2, …,xn,t)=m=0∞umx1,x2,….xn,t.
لذا جواب را بهصورت زیر بهدست میآوریم
u(x,t)= ux,t=1-2x -2tx2 -2t2x3-2t3x4+…=1-2xn=0∞(tx)n.