pdf

۳-۳) رفع ابهام رنج.................................................................. ۰۷
۳-۴) رفع ابهام داپلر................................................................. ۲۷
۳-۵) عملیاتی کردن تئوری.......................................................... ۵۷
۳-۵-۱) نحوه آشکارسازی........................................................... ۷۷
۳-۵-۲) جمع پذیری................................................................. ۲۹
۳-۵-۳) الگوریتم دیجیتالی برای آشکارسازی برد هدف............................ ۰۰۱
نتیجه گیری و پیشنهادات نتیجه گیری......................................................................... ۰۱۱
پیوستها( برنامه های .................................................(MATLAB ۲۱۱
منابع و مآخذ منابع فارسی......................................................................... ۴۲۱
مانبع غیر فارسی.................................................................... ۵۲۱
چکیده انگلیسی...................................................................... ۶۲۱
فهرست جدول ها
عنوان صفحه
جدول ۱-۱. نسبت سیگنال به نویز واحتمال آشکارسازی و احتمال خطاﺀ...................... ۶۱
جدول ۱-۲. مثالی از سطح مقطعهای راداری در فرکانس ماکروویو................................. ۳۲
جدول ۳-۱. مقایسه رادارهای با PRFهای مختلف و ابهامات آنها.................................... ۴۶
جدول ۳-۲. محاسبه داپلر واقعی از روی داپلرهای مبهم............................................. ۴۷
جدول ۳-۳. مقادیر بدست آمده از معادلات ۳-۶۱برای برد .................................70Km ۱۸
جدول ۳-۴. مقادیر بدست آمده از معادلات ۳-۶۱برای برد .................................20Km ۶۸
جدول۳-۵. مقایسه مدلهای مختلف TMSها از نظر سرعت و مقدار حافظه هایشان................. ۳۰۱
جدول۳-۶. حجم محاسبات برای یک بافر........................................................... ۴۰۱
فهرست شکلها
عنوان صفحه
شکل ۱-۱. سیگنال دریافتی در مجاورت نویز......................................................... ۳
شکل۱-۲. آشکار ساز پوش............................................................................ ۸
شکل ۱-۳. پوش خروجی گیرنده برای تشریح آﮊیرهای غلط در اثر نویز............................ ۰۱
شکل ۱-۴. زمان متوسط بین آﮊیرهای غلط بر حسب سطح آستانه V وپهنای باند گیرنده.......... B ۱۱
شکل۱-۵. تابع چگالی احتمال برای نویز به تنهایی و سیگنال همراه با نویز.......................... ۴۱
شکل ۱-۶. احتمال آشکارسازی یک سیگنال سینوسی آغشته به نویز.................................. ۵۱
شکل۱-۷. تلفات جمع بندی بر حسب تعداد پالسها....................................................... ۸۱
شکل۱-۸. احتمال آشکار سازی بر حسب سیگنال به نویز واحتمال خطاﺀ .......................10−9 ۰۲
شکل۱-۹. سطح مقطع راداری کره ای به شعاع a و طول موج ................................... λ ۲۲
شکل۱-۰۱. نسبت سیگنال به نویز دریافتی بر حسب برد هدف........................................ ۳۲
شکل۱-۱۱. انعکاس با زمان حدود چند پریود وابهام در فاصله........................................ ۸۲
شکل۱-۲۱. مقدار نسبت سیگنال به نویزبر حسب برد هدف........................................... ۹۲
شکل ۲-۱. بلاک دیاگرام یک رادار پالسی ساده....................................................... ۲۳
شکل ۲-۲. قطار پالسهای ارسالی و دریافتی........................................................... ۲۳
شکل ۲-۳. توضیح فاصله مبهم........................................................................ ۴۳
شکل ۲-۴. تحلیل اهداف در راستای عمود و افق...................................................... ۵۳
شکل ۲-۵. .aدو هدف غیر قابل تفکیک .b دو هدف قابل تفکیک.................................... ۷۳
شکل ۲-۶. تاثیر هدف متحرک در جبهه موج همفاز ارسالی.......................................... ۹۳
شکل ۲-۷. شرح چگونگی فشردگی یک هدف متحرک برای یک پالس تنها........................... ۰۴
شکل ۲-۸. شرح چگونگی تاثیرات هدف متحرک بر روی پالسهای رادار............................. ۱۴
شکل ۲-۹. فرکانس دریافتی یک رادار مربوط به اهداف دور و نزدیک شونده.................... ....۳۴
شکل ۲-۰۱. نمایه سه هدف با سرعتهای برابر ولی سرعتهای شعاعی متفاوت......................... ۳۴
شکل ۲-۱۱. سرعت شعاعی متناسب است با زاویه هدف در راستاهای عمود وافق..................... ۴۴
شکل ۲-۲۱. خروجی حاصله از برنامه lprf_req.m برای سه مقدار از ........................... np ۷۴
شکل ۲-۳۱. نمودار نسبت سیگنال به نویز به ازاﺀ تعداد پالسهای همزمان............................. ۸۴
شکل ۲-۴۱. نمودار سیگنال به نویز بر حسب برد برای رادار ........................... HighPRF ۰۵
شکل ۲-۵۱. شمای پترن یک آنتن بسیار ساده شده..................................................... ۲۵
شکل ۲-۶۱. تلفات فروپاشی............................................................................ ۴۵
شکل ۳-۱. مقایسه فاصله هامونیکها در LPRF و ..........................................HPRF ۹۵
عنوان صفحه
شکل ۳-۲. مقایسه بین تعداد پاسهای دریافتی درLPRFو....................................HPRF ۰۶
شکل ۳-۳. نحوه تاثیر فیلترهای MTI بر روی کلاتر دریافتی....................................... ۳۶
شکل ۳-۴. بلاک دیاگرام یک رادار پالسی........................................................... ۵۶
شکل ۳-۵. نمودار توان بر حسب فرکانس برای قسمت های مختلف یک رادار...................... ۶۶
شکل ۳-۶. پاسخ فرکانسی سیگنال ارسالی با مد نظر قرار دادن ...............................PRF ۸۶
شکل ۳-۷. طیف فرکانسی سیگنالهای فرستاده شده و دریافتی و بانک فیلترها....................... ۹۶
شکل ۳-۸. رفع ابهام در برد......................................................................... ۱۷
شکل ۳-۹. برگشتیهای حاصل از PRF3 و PRF1 برای برد ..............................70Km ۲۸
شکل ۳-۰۱. نمایی از برگشتیها در خلال PRF1 برای برد .................................70Km ۲۸
شکل ۳-۱۱. مقاسیه پالسهای دریافتی در طول ارسال PRF برای برد .......................70Km ۳۸
شکل ۳-۲۱. پالسهای دریافتی در طول PRFهای ارسالی و نتیجه نهایی............................. ۴۸
شکل ۳-۳۱. برگشتیهای حاصل در خلال ارسال PRF1 برای برد ..........................20Km ۶۸
شکل ۳-۴۱. برگشتیها در خلالPRF1 و فاصله از آخرین پالس ارسالی در برد...............20Km ۷۸
شکل ۳-۵۱. مقاسیه پالسهای دریافتی در طول ارسال ...................................PRF1,2,3 ۷۸
شکل ۳-۶۱. پالسهای دریافتی در طول PRFهای ارسالی و نتیجه نهایی مقایسه پالسها................ ۸۸
شکل ۳-۷۱. نحوه استفاده از توان بالای ارسالی و دریافتی دریک رادار.....................MPRF ۰۹
شکل ۳-۸۱. بهبود سیگنال به نویز با کمک تعداد زیاد پالسهای دریافتی.............................. ۱۹
شکل ۳-۹۱. بهبود در پاسخ با استفاده از Integration به ازای۶ و ۲۱ بار تجمع.................. ۳۹
شکل ۳-۰۲. تاثیر جمع پذیری همفاز بر روی سیگنالهای برگشتی در۰۱ مرتبه جمع کردن........... ۴۹
شکل ۳-۱۲. افزایش SNR با تجمع همفاز و بهره کامل .................................................. ۵۹
شکل ۳-۲۲. کاهش اثر تجمع همفاز در اثر تغییر فاز سیگنالهای دریافتی...................................... ۶۹
شکل ۳-۳۲. ضریب بهبود آشکار سازی برحسب تعداد پالسها........................................ ۸۹
شکل ۳-۴۲. نمای یک رادار مولتی PRF با قابلیت جمع پذیری...................................... ۰۰۱
شکل ۳-۵۲. چگونگی ارتباط TMS با سیستم مولد ............................................PRF ۲۰۱
شکل ۳-۶۲. الگوریتم تعیین برد هدف برای یک رادار .....................................MPRF ۷۰۱
چکیده:
در رادارها پالسی، با بالا رفتن فرکانس تکرار پالس رادار، برد غیر مبهم کاهش می یابـد.
چنانکه در پروﮊه نیز دیده شد، با افزایش فرکانس تکرار پالس از 1KHz به 50KHz برد
غیر مبهم از 150Km به 3Km کاهش یافت ولی در عوض توانستیم اهدافی با سرعت تـا
750m/s را آشکارسازی کنیم. این در حالی است که به ازای فرکانس تکرار پالس اولیـه،
ما فقط قادر به آشکار سازی صحیح اهداف با سرعتهای تا 15m/s بودیم! همچنین توانستیم
با کم کردن τ، متناسب با افزایش PRF ، قدرت تفکیک را از 3000m به 60m برسـانیم که یک پارامتر مناسب برای آشکارسازی اهداف نزدیک به هم می باشد. همچنـین نشـان دادیم با بالا بردن فرکانس تکرار پالس و افزایش در تعداد پالسهای ارسالی و دریـافتی در
طول ارسال یک PRF ، در مقایسه با رادارهای LPRF مقدار بسیار زیادی توان حاصـل شد ، که با استفاده از روشی خاص ، از این پالسهای دریافتی برای بالا بردن نسبت سیگنال
به نویز تا 15dB وحتی بیشتر برای PRFهای بالاتر استفاده شد که ایـن امـر مـا را در آشکار سازی بهتر یاری خواهد داد. همچنین نشان دادیم که با تجمـع بـر روی پالسـهای
دریافتی در طول ارسال چند PRF می توان باز هم نسبت سیگنال به نویز را افـزایش داد.
و فرضا با توجه به زمان ارسال هر PRF اگر هدف ۰۳ برابر این زمان در پتـرن آنـتن
رادار ما قرار گیرد برای هر کدام از PRFها می توان تا 10dB نسبت سیگنال به نویز را افزایش داد. و در انتها بحث کلاترها که با بالا بردن فرکانس تکرار پالس می توان اثـرات
منفی آنها را بهبود بخشید، ولی با استفاده از چند PRF قادر خواهیم بود تا اثرات آنرا بـه حداقل برسانیم و از طرفی همانطور که نشان داده شد ، توانستیم برد واقعی هـدف را بـا
استفاده از PRF های مرتبط با هم از روی مقایسه دریافتیهایشان بدست آوریم.
I
مقدمه:
در این پروﮊه گردآوری و شبیه سازی روی رادارهای پالسی انجام شده است. رادارهـای پالسی خود به چند گونه تقسیم می شوند که یکی از مهمترین آن تقسیمات ، مربوط به میزان فرکانس تکرار پالس می باشد که به دو و یا سـه دسـته تقسـیم مـی شـوند. دسـته اول
LowPRF و دسته دوم Medium PRF و دسته سوم HighPRF ها. در حالت کلی و با در نظر گرفتن دسته اول و سوم ،در میابیم که هرکدام دارای مزایایی هسـتند. مهمتـرین مزیت رادارهای با فرکانس تکرار پالس کم ساده بودن طراحی و برد مبهم زیاد است. ولی در قبال این وضعیت ما دچار مشکلاتی در شناسایی فرکانس داپلر خواهیم بـود و ..... .
برای رادارهای با فرکانس تکرار پالس بالا در قبال برد مبهم کم ، ما به شناسایی بهتری از تغییر فرکانس داپلر دست خواهیم یافت . البته این سیستم پیچیده تر است. ولی با توجه بـه آنکه با بالا رفتن فرکانس تکرار پالس می توان چرخه کار را کاهش داد ، لذا پدیده اخفـاﺀ کمتر پیش می آید از طرف دیگر چنانکه در فصل دوم هم نشان داده شـده ، بیشـینه بـرد رادار با توان میانگین نسبت مستقیم دارد که سبب می شود به نسبت رادارهای LowPRF
، توان میانگین بیشتری در رادارهای HighPRF انتقال یابد و این خود سبب بـالا رفـتن نسبت سیگنال به نویز و برد آشکار سازی رادار می شود. اما برد مبهم کـم ایـن گونـه
رادارها این مزیت را از بین می برد. لذا می توان با ترکیب چند (Multi PRF) PRF که نزدیک به هم هستند و بر هم قابل قسمت نیز نمی باشند ، برد مبهم رادار را افزایش داد که این کار سبب پیچیده تر شدن هرچه بیشتر رادار می شود ولی در قبال این پیچیدگی ما هـم قادر به آشکارسازی هرچه بهتر فرکانس داپلر هستیم ، برد مبهم رادار زیاد مـی شـود و
نسبت سیگنال به نویز نیز افزایش می یابد و .... . مقایسه کامل بین رادارهای LowPRF
وHighPRF در فصل ۳ ارائه شده است.
II
فصل اول
بررسی معادله رادار:
مقدمه:
به طور کلی با استفاده از معادله رادار می توان حداکثر برد رادار را بدست آورد. حداکثر برد رادار بر حسب پارامترهای رادار به صورت زیر بدست می آید.
14 P GA σ Rmax  ۱-۱) e t 2 (4π) Smin
که در آن :
= Pt توان ارسالی بر حسب وات؛
= G بهره آنتن؛
= Ae سطح موثر آنتن بر حسب متر مربع؛
=σ سطح مقطع راداری هدف بر حسب متر مربع؛
= Smin حداقل توان سیگنال قابل آشکار سازی بر حسب وات؛
از پارامترهای فوق تمام گزینه ها به جز سطح مقطع راداری هدف ، تقریبا دراختیار طراح رادار است. معادله رادار نشان می دهد که برای بردهای زیاد ، توان ارسالی باید زیاد باشد
١
و انرﮊی تششع شده دریک شعاع باریک متمرکز باشد به معنی اینکه بهره آنتن زیاد باشد و گیرنده نسبت به سیگنالهای ضعیف حساس باشد.
در عمل برد محاسبه شده از یک چنین معادله ای شاید به نصف هم نرسد! علت آن است که پارامترها و تضعیفات بسیاری بر سر سیگنال منتشر شده قرار خواهند گرفت کـه مقـدار بسیاری از توان ارسالی را تلف خواهد کرد و ما در ادامه به این پارامترهاو پارامترهـای ارائه شده در فرمول فوق می پردازیم تا به یک مقدار توان مناسب بـرای ۰۵۱ کیلـومتر برای رادار موردنظر برسیم.
البته اگر تمام پارامترهای موثر در برد رادار معین بودند ، پیش بینی دقیـق از عملکـرد رادار امکان پذیر بود ولی در واقع اکثر این مقادیر دارای ماهیت آماری می باشند و ایـن کار را برای یک طراح رادار بسیار سخت می کند. پس به ناچار همیشه یک مصالحه بین آنچه که انسان می خواهد و آنچه عملا با کوشش معقول می توان بدست آورد لازم اسـت، که این مطلب به طور کامل در طول این فصل حس خواهد شد.
البته اطلاعات کامل و مفصل در مورد این عوامل خارج از محدوده این پروﮊه می باشد .
لذا ما به اندازه ای و نه عمیق بر بعضی از مهمترین این عوامل خـواهیم پرداخـت و در نهایت یک معادله را که شبیه به معادله ۱-۲ است ولی پارامترهای زیادی بـه آن اضـافه شده است را ارائه خواهیم کرد که با استفاده از آن فرمول می توان مقـدار نهـایی تـوان ارسالی برای برد مورد نظر را محاسبه کرد.
۱-۱) حداقل سیگنال قابل آشکار سازی:
توانایی گیرنده رادار برای آشکارسازی یک سیگنال برگشتی ضعیف ، توسط انرﮊی نـویز موجود در باند فرکانسی انرﮊی سیگنال محدود می شود. ضعیف ترین سیگنالی که گیرنـده
می تواند آشکار نماید ، حداقل سیگنال قابل آشکار سازی یا آسـتانه (Threshold) نامیـده
٢
می شود. تعیین مشخصه حداقل سیگنال قابل آشکار سازی معمولا به علت ماهیت آماری آن و بخاطر فقدان معیاری بسیار مشکل است.
آشکار سازی بر اساس ایجاد یک سطح آستانه در خروجی گیرنده اسـت. اگـر خروجـی گیرنده بیشتر ازآستانه باشد ، فرض می شود که سیگنال وجود دارد و در غیر این صورت سیگنال آشکار نشده نویز می باشد. به این روش آشکار سازی آستانه ای گویند. خروجـی یک رادار نمونه را برحسب زمان ، اگر به صورت شکل ۱-۱ در نظر بگیـریم ، پـوش سیگنال دارای تغییرات نامنظمی است که در اثر تصادفی بودن نویز حاصل می شود.

Square with Gaussian Noise Signal With Noise A C B Time
شکل ۱-۱) سیگنال دریافتی در مجاورت نویز
اگر در نقطه A در این شکل دامنه بزرگی داشته باشیم و این دامنه از پیکهـای نویزهـای مجاور بیشترباشد،می توان آنرا بر حسب دامنه آشکار ساخت.اگر سطح آشکار سـازی را بالا ببریم ممکن است احتمال آشکار سازی پایین بیاید کما اینکه در آینده نیز به این نتیجـه
خواهیم رسید. برای مثال اگر در نظر بگیرید که نقاط B وC نیز سیگنال ارسالی از یـک هدف واقعی باشند ، در این صورت ممکن است بالا بردن سطح آشکار سـازی مـانع از بدست آمدن اطلاعات درست شود و اگر سطح آشکار سازی را برای بالا بـردن احتمـال آشکارسازی پایین ببریم در این صورت احتمال خطا بالا می رود. یعنی ممکن است جـایی
٣
نویز بجای سیگنال واقعی آشکار سازی شود.انتخاب سطح آستانه مناسب یـک مصـالحه است که بستگی به این موضوع دارد که اهمیت یک اشتباه در هر یک از موارد (۱) یعنی از دست دادن یک هدف که وجود دارد و یا (۲) نشان دادن اشتباهی یک هدف که وجـود ندارد ، چقدر است.
فرض کنیم که پوش سیگنال شکل مورد نظر خروجی فیلتر تطبیق شده باشـد.یـک فیلتـر تطبیق شده به شکلی عمل می کند که نسبت پیک سیگنال خروجی بـه متوسـط نـویز را حداکثر کند. فیلتر تطبیق شده ایده ال عملا موجود نیست ولی می توان در عمل تا حـدودی سیستم را به آن نزدیک کرد.این چنین فیلتری برای راداری که پـالس مسـتطیل شـکل را
ارسال می کند ، دارای پهنای باند B است که برابر معکوس τ ، یا زمان ارسال سـیگنال در طول یک پریود ، می باشد. خروجی سیگنال از یک فیلتر تطبیقی دارای شـکل مـوج ورودی نمی باشد.
نسبت سیگنال به نویز لازم برای آشکارسازی مناسب، یکی از پارامترهای مهم اسـت کـه برای محاسبه حداقل سیگنال قابل آشکارسازی لازم است مشخص گردد.به طور کلی تصمیم گیری در این مورد بر اساس اندازه گیریهایی در خروجی ویدئو انجام می شود ، ولی ساده
تر است حداکثر نسبت توان سیگنال به نویز در خروجی تقویت کننده IF مـد نظـر قـرار گیرد.
۱-۲) نویز گیرنده:
چون نویز یکی از عوامل اصلی محدود کننده حساسیت گیرنده است ، لذا لازم اسـت بـه وسیله ای به صورت مقادیر کمی مورد بررسی قرار گیرد.نویز در واقـع یـک انـرﮊی الکترومغناطیسی ناخواسته است که با انرﮊی مورد نظر و خواسته ما کـه بـرای آشـکار
۴
سازی هدف استفاده می شود تداخل می نماید. نویز می تواند در قسمت آنتن گیرنده یـا در داخل خود گیرنده به خصوص زمان تقویت سیگنال ، با سیگنال اصلی ما جمـع شـود. در صورتی که اگر تمام المانهای هم به صورت ایده آل عمل می کردند باز هم مقداری نـویز در اثر حرکت حرارتی الکترونها در طبقات ورودی گیرنده ایجاد خواهد شدکه به آن نـویز حرارتی یا جانسون گویند. این گونه نویز به طور مستقیم با دما و پهنای باند گیرنده متناسب است. توان نویز حاصل شده توسط گیرنده با پهنای باندBn (بـر حسـب هرتـز) و درجـه
حرارت T (درجه کلوین) ایجاد می شود و برابر است با:
۱-۲) Availablethermal − Noise Power  kTBn
که در آن k ، ثابت بولتزمن است و اگر درجه حرارت را دمای محیط در نظر بگیریم یعنی همان ۰۹۲ درجه کلوین در این صورت مقدار kT برابر خواهد بود بـا . 4 ×10−21W / Hz
البته این مقدار با تغییر دما می تواند کم یا زیاد شود.
برای رادارهای سوپر هیترودین که دارای کاربرد بسیاری هستند ، پهنای باند گیرنده تقریبا
با پهنای باند طبقات فرکانس میانی IF برابر است. البته پهنای باند ۳ دسیبل یا نیم توان که توسط مهندسین الکترونیک استفاده می شود متفاوت است و از رابطه زیر بدست می آید:
2 df H ( f ) ∞∫ ۱-۳) −∞ Bn  2 H ( f ) در رابطه فوق وقتی که H(f) نرمالیزه شود، به طوری که حداکثر آن در مرکز باند برابر واحد گردد، پهنای باندBn پهنای باند نویز نامیده می شود که در واقع پهنای باند یک فیلتـر
مستطیلی معادل است. و پهنای باند فاصله بین دو نقطه است که پاسخ برابـر بـا ۷۰۷/۰
مقدار ماکزیمم در وسط باند شود. به طور کلی مشخصه بسیاری از گیرنده های رادارهای
۵
عملی به گونه ایست که پهنای باند ۳ دسیبل و نویز تفاوت قابل ملاحظه ای باهم ندارنـد و می توان پهنای باند ۳ دسیبل را به جای پهنای باند نویز به کار برد.
اگر حداقل سیگنال قابل آشکارسازیSmin برابر مقدارSi مربوط به حداقل سیگنال به نـویز
خروجی (S0 N0 )min در خروجی IF که برای آشکار سازی لازم اسـت باشـد، در ایـن

صورت :
S0 ۱-۴الف) Smin  kT0 Bn Fn min N0 که در این رابطه F0 عدد نویز مربوط به تقویت کننده می باشد و می توان آن را به شـکل
ساده زیر معرفی کرد : نسبت سیگنال به نویز ورودی تقویت کننده وبه نسبت سیگنال بـه نویز خروجی تقویت کننده.
Si
۱-۴ب)Fn  So Ni
No


با جایگذاری رابطه بالا در رابطه ۱-۲ معادله رادار را برای بیشترین برد آن بدست مـی آوریم وخواهیم داشت:
۱-۵) Pt GAσ R4 max  F (So ( (4π)2 kT B min No n n 0 البته به غیر از این پارامتر عوامل زیادی هستند که در کاهش نسبت سیگنال به نویز موثر خواهند بود که در انتهای فصل به مهمترین آنها اشاره می کنیم.
۶
۱-۳) نسبت سیگنال به نویز:
در این بخش نتایج تئوری آماری نویز برای بدست آوردن نسبت سیگنال به نـویز لازم در
خروجی تقویت کننده IF برای ایجاد یک احتمال آشکارسازی معین به کار گرفته می شـود به طوری که از یک احتمال خطای معین (احتمال آﮊیر غلط) تجاوز نکنیم. برای این کـار نسبت سیگنال به نویز خروجی در معادله ۱-۶ جایگزین می شود تا حداقل سـیگنال قابـل آشکار سازی بدست آید که بنوبه خود در معادله حداکثر برد رادار به کار می رود.
یک تقویت کننده IF با پهنای باند BIF را در نظر بگیرید که خروجی آن به یک آشکارساز
ثانویه و تقویت کننده ویدئویی با پهنای باند BV وصل شده است( همانند شکل ۱-۳). نقـش
آشکارساز و تقویت کننده ویدئو عبارتست از ایجاد یک آشکارساز پوش. این مدار فرکانس
حامل یا همان carrier را حذف کرده و پوش مدوله شده را عبور می دهد. برای استخراج پوش مدولاسیون پهنای ویدئو باید به اندازه ای پهن باشد که بتواند مولفه های فرکانس پائین ایجاد شده توسط آشکارساز ثانویه را عبور دهد ولی نباید آنقدر هم پهن باشد که مولفه های
نزدیک فرکانس IF راعبور دهد.به طور کلی پهنای باند BV بایستی بزرگتر از BIF باشد تا
کلیه مدولاسیونهای ویدئو را عبور دهد.
نویز ورودی به فیلتر IF به صورت گوسی وارد می شود که دارای تابع چگـالی احتمـال زیر است:
۱-۶) 2 υ 1 P(υ)  exp − 0 2ψ 2πψ0
که p(v)dv احتمال یافتن ولتاﮊ نویز v در فاصله v و v+dv ونماد ψ واریانس یـا مقـدار
متوسط مربع ولتاﮊ نویز است و مقدار متوسط v ، صفر در نظر گرفته شده است.
٧
اگر نویز گوسی از یک فیلتر IF با پهنای باند باریک عبور نماید ، چگالی احتمـال پـوش ولتاﮊ نویز خروجی توسط تابع رایس به صورت زیر داده می شود.
2 R R ۱-۷) P(R)  exp − ψ0 2ψ0 که R دامنه پوش خروجی IF است.احتمال اینکه پوش ولتاﮊ نویز بزرگتر از مقدار ولتـاﮊ آستانه VT باشد برابر است با:
2 R R ∞ Pr obability[VT  R  ∞]  ∫ ۱-۸) dR exp − 2ψ0 0 V ψ T V 2 ۱-۹) Pfa T exp − 2ψ0 وقتی پوش سیگنال بیشتر از ولتاﮊ آستانه گردد، آشکارسازی یک هدف طبق تعریف انجـام می شود.چون احتمال آﮊیر غلط عبارتست از احتمال اینکه نویز از آستانه بیشتر شود. لـذا معادله فوق احتمال آﮊیر خطا را بدست می آورد.

شکل۱-۲) آشکار ساز پوش
٨
فاصله زمانی متوسط بین نویزهایی که از آستانه بیشتر می شود را زمان آﮊیر غلط یا خطا گویند که با Tfa نشان داده می شود و از رابطه زیر بدست می آید:
Tfa  lim 1 N∑TK

N →∞ N k 1
که TK عبارتست از زمان بین عبورهای پوش نویز از آستانه VT وقتیکه ضریب زاویه عبور
مثبت باشد. احتمال آﮊیر غلط را می توان همچنین به صورت نسبت فاصله زمانی که پوش بالای آستانه است به کل زمانی که پوش می تواند بالای آستانه باشد تعریف کرد:

که tK و TK در شکل ۱-۳ تعریف شده اند . فاصله زمانی متوسط یک پالس نویز تقریبـا
برابر است با معکوس پهنای باند، که در این حالت آشکارسازی پوش برابر BIF اسـت. از
برابری دو معادله آخر می توان نتیجه گرفت که:
V 2 1 ۱-۰۱) T exp Tfa  2ψ0 BIF نمودار معادله ۱-۹ در شکل ۱-۴ بر حسب VT 2 2ψ0 به عنوان محور افقی رسم شده است.

برای مثال اگر پهنای باند IF برابر MHz ۱ باشد و زمان متوسط آﮊیر قابل تحمل برابـر
۵۱ دقیقه باشد در این صورت احتمال آﮊیر غلط برابر 1.11×10−9 می باشد وطبق معادلـه
بالا ولتاﮊ آستانه لازم برای این زمان آﮊیر غلط برابر با ۵۴/۶ برابر مقدار مـوثر ولتـاﮊ نویز است.
٩

شکل ۱-۳) پوش خروجی گیرنده برای تشریح آﮊیرهای غلط در اثر نویز
البته مشخصه زمان آﮊیرغلط قابل تحمل بستگی به نیازهای مصرف کننـده و البتـه نـوع کاربرد مورد نظر دارد. رابطه نمایی بین زمان آﮊیر غلط و سطح آستانه باعث می شود که زمان آﮊیر غلط نسبت به تغییرات و یا ناپایداری سطح آستانه حساس باشد. به این معنی که
اگر پهنای باند یک مگا هرتز باشد مقداری برابر 10log(VT 2 2ψ0 ) 12.95dB باعث ایجاد یک

زمان آﮊیر غلط متوسط ۶ دقیقه خواهد شد ولی اگر این مقدار به ۲۷/۴۱ دسی بـل برسـد زمان آﮊیر غلط برابر ۰۰۰۱ ساعت خواهد بود! یعنی افزایش ۷۷/۱ دسی بلی در سـطح آستانه باعث تغییرات زمانی برابر با توان پنج می شود!
این طبیعت نویز گوسی است ، بنابراین در عمل سطح آستانه ممکن است کمـی بیشـتر از مقدار محاسبه شده از رابطه ۱-۰۱ انتخاب گردد به طوری که ناپایـداریهایی کـه باعـث کاهش سطح آستانه در سطح پایین می گردد ، باعث تغییرات زیادی در آﮊیر غلط نشوند.
١٠

شکل ۱-۴) زمان متوسط بین آﮊیرهای غلط بر حسب سطح آستانه V و
پهنای باند گیرنده[1] B
اگر گیرنده برای مدت زمان کوتاهی خاموش گردد احتمال آﮊیر غلط به نسبت زمـانی کـه گیرنده خاموش است افزایش می یابد، البته به شرط آنکه متوسط آﮊیر غلط ثابت بماند.ولی در غالب موارد این موضوع اهمیتی ندارد زیرا تغییرات کم در احتمال آﮊیر غلـط باعـث ایجاد تغییرات کمتری در سطح آستانه می گردد ، چون معادله ۱-۰۱ حالت نمایی دارد.
تاکنون یک گیرنده با ورودی نویز تنها بحث شد.اکنون می خواهیم یک موج سینوسـی بـا
دامنه A همراه با نویز به ورودی فیلتر IF برسد. فرکانس سیگنال فـوق برابـر فرکـانس
میانی IF یعنی FIF می باشد. در این صورت خروجی آشکارساز پوش دارای یـک تـابع
چگالی احتمال به صورت زیر است:
١١
RA 2 A  2 R R ۱-۱۱) I0 − Ps (R)  exp 2ψ ψ0 ψ0 0 که در آن( I0 (Z تابع اصلاح شده بسل مرتبه صفر با متغیر Z می باشد. بـرای مقـدار Z
بسط مجانب( I0 (Z به صورت زیر است:
 1 e z I0 (Z ) ≈ ... 8Z 1  2πZ وقتی که سیگنال وجود نداشته باشد A=0 و رابطه ۱-۱۱ به شکل رابطه ۱-۷ یعنی تابع
چگالی احتمال برای نویز تنها ، خلاصه می شود. احتمال آنکه سیگنال تشخیص داده شـود برابر است با احتمال اینکه پوش R از ولتاﮊ آستانه معین VT بیشتر گردد. بنابراین احتمـال آشکار سازی Pd برابر است با:
RA 2 A  2 R R ∞ Pd  ∫ ۱-۲۱) dR I0 2ψ exp − ψ0 0 0 V ψ T انتگرال بالا با روش ساده قابل محاسبه نیست و باید تکنیکهای عددی با تقریبهای سریها به
کاربرده شود . یک تقریب سری در حالتی که R − A A  ،1 RA باشد، با صرف نظر 0 ψ کردن از یک سری پارامترهای اضافی به شرح زیر در می آید. ۱-۳۱)
١٢
که در آن تابع خطا به صورت زیر تعریف می گردد:
z 2 ∫e−u2 du erf (Z )  0 π
شکل ۱- ۵ یک تشریح ترسیمی از فرایند آشکارسازی آستانه را نشان می دهـد. در ایـن
شکل چگالی احتمال نویز به تنهایی و یک بار همراه با سیگنال با 0.5  3 A نشـان داده 0 ψ شده است. یک ولتاﮊ آستانه0.5  2.5 A نشان داده شده است ومنطقه هاشور خورده سـمت 0 ψ
راست سطح تریشلد زیر منحنی سیگنال همراه با نویز احتمال آشکار سازی را نشان مـی دهد و ناحیه دوبار هاشور خورده زیر منحنی نویز به تنهایی مشخص کننده احتمـال آﮊیـر غلط است. اگر ما مقدار سطح آستانه را بالا ببریم تا احتمال آﮊیر غلط کـم شـود ناچـار احتمال آشکار سازی نیز کم خواهد شد. معادله ۱-۳۱ را می توان برای رسم یـک دسـته منحنی در ارتباط با احتمال آشکار سازی نسبت به ولتاﮊ آستانه و نسبت به دامنـه سـیگنال سینوسی بکار برد.اگرچه طراح گیرنده ترجیح میدهد که با ولتاﮊ کار کنـد ، ولـی بـرای مهندسان رادار مناسبتر است که با توان کار کنند و روابط توانی را داشته باشند. لـذا بـا جایگذاری نسبت سیگنال به ولتاﮊ موثر نویز با رابطه زیر ، می توان معادله ۱-۳۱ را به روابط توانی تبدیل نمود:
2s 12  signal 12  signal amplitude  A 2 N noise rms noise 1 ψ 2 0
همچنین به جای 2ψ VT 2 مقدار آن 1P را از رابطه ۱-۹ قرار خواهیم داد. با استفاده از
0 fa

روابط بالا ، احتمال آشکار سازی بر حسب نسبت سیگنال به نویز با احتمال آﮊیر غلط بـه عنوان یک پارامتر در شکل ۱-۷ نشان داده شده است.
١٣

شکل۱-۵) تابع چگالی احتمال برای نویز به تنهایی و سیگنال همراه با نویز برای تشریح عملکرد آشکارسازی آستانه
هر دو مقدار زمان آﮊیر غلط و احتمال آشکار سازی با توجه به نیاز سیستم مشخص مـی گردند. طراح رادار احتمال آﮊیر غلط را محاسبه کرده و از منحنی ۱-۵ نسبت سیگنال به نویز لازم را برای آشکار سازی بدست می آورد. این مقدار نسبت سیگنال به نویزی است که در رابطه حداقل سیگنال آشکار سازی معادله ۱-۶ به کار می رود. البته ایـن مقـدار برای یک پالس رادار می باشد. مثلا برای زمان آﮊیر غلط معادل با۵۱ دقیقه و پهنای بانـد
۱ مگا هرتز است در این شرایط احتمال آﮊیر غلط برابر با 1.11×10−9 خواهد بود.
همچنین از شکل می توان در یافت که نسبت سیگنال به نویز ۱/۳۱ دسی بل برای احتمـال آشکار سازی ۵/۰ و ۷/۶۱ دسی بل برای احتمال آشکار سازی ۹/۰ لازم است.
۴١

شکل ۱-۶) احتمال آشکارسازی یک سیگنال سینوسی آغشته به نویز به نسبت توان سیگنال به نویز و احتمال آﮊیر غلط
چندین نکته مهم در شکل ۱-۶ قابل بیان است: در نگاه اول ممکن است به نظر برسد کـه نسبت سیگنال به نویز لازم برای آشکارسازی ، بیشتر از مقداری است که به طور مسـتقیم حس شده است و البته بیان شده.حتی برای آشکار سازی با احتمـال ۵/۰ ! ممکـن اسـت اظهار شود که مادامی که سیگنال از نویز بیشتر باشد آشکار سازی انجام می پذیرد. ایـن نوع استدلال زمانیکه احتمال آﮊیر غلط در نظر گرفته شود می تواند صحیح نباشد. مطلـب مهمی دیگری که در شکل ۱-۶ نشان داده شده است ، این است که یک تغییر ۴/۳ دسی بل به معنی اختلاف بین آشکارسازی قابل قبول ۹۹۹۹/۰ و مرز آشکار سـازی ۵/۰ اسـت!
۵١
همچنین نسبت سیگنال به نویز لازم برای آشکار سازی ، تابع حساسی از زمان آﮊیر غلـط نمی باشد.برای مثال یک رادار با عرض باند ۱ مگا هرتز احتیاج به نسبت سیگنال به نویز ۷/۴۱ دسی بل برای احتمال آشکارسازی ۹/۰ و زمان آﮊیر غلط ۵۱ دقیقه دارد. اگر زمان آﮊیر غلط به ۴۲ ساعت برسد ، نسبت سیگنال به نویز باید به ۴/۵۱ دسی بل برسد و برای زمان آﮊیر غلط معادل با یک سال ، احتیاج به نسبت سیگنال به نویز برابر با ۲/۶۱ دسـی بل می باشد.

جدول ۱-۱) نسبت سیگنال به نویز واحتمال آشکارسازی و احتمال خطاﺀ
۶١
۱-۴) جمع بندی پالسهای رادار:
رابطه بین نسبت سیگنال به نویز ، احتمال آشکارسازی و احتمال آﮊیر غلط کـه در شـکل ۱-۷ رسم شده است ، فقط برای یک تک پالس می باشد. در هر مرور رادار معمولا تعداد زیادی پالس از هدف معین بر می گردد که برای بهبود آشکار سازی می تواند به کار رود.
تعداد پالسهایی که از یک هدف نقطه ای در حین مرور آنتن در محـدوده پهنـای شـعاع تششعی آن بر می گردد از رابطه زیر بدست می آید:
۱-۴۱) θB f p  θB f p nB  6ωm θ&s که در آن:
=θB پهنای شعاع تششعی آنتن بر حسب درجه
= f p فرکانس تکرار پالس بر حسب هرتز
=θs سرعت مرور آنتن رادار بر حسب درجه بر ثانیه
= ωm سرعت مرور آنتن بر حسب دور بر دقیقه
فرایند جمع کردن کلیه پالسهای برگشتی از هـدف در یـک مـرور آنـتن بـرای بهبـود آشکارسازی را جمع بندی گویند. برای این کـار روشـهای گونـاگونی وجـود دارد کـه معمولترین آنها روش جمع بندی رادار نمایشگر با خصوصیات جمع بنـدی چشـم و مغـز اپراتور باشد. البته بحث در این قسمت ، مقدمتا در رابطه با جمع بندی عناصر الکترونیکی است که در آنها آشکارسازی به طور خودکار و بر اساس عبور از آستانه می باشد.
جمع بندی در سیستم رادار ممکن است قبل از دومین آشکار سازی یعنـی در قسـمت IF
انجام پذیرد ، که به آن همدوس گفته می شود یا بعد از آن در قسمت ویدئویی کـه بـه آن ناهمدوس گفته می شود. جمع بندی همدوس نیاز به حفظ فاز سیگنال برگشتی دارد تا بتواند
١٧
استفاده کامل را از فرآیند جمع کردن ممکن سازد. در جمع بندی ناهمدوس فاز سـیگنال از بین می رود و به طور کلی جمع بندی آسانتر است ولی راندمان پایین تری دارد.
اگر n پالس همه با نسبت سیگنال به نویز یکسان توسط یک جمع کننـده ایـده آل قبـل از
آشکارسازی جمع گردند، نسبت سیگنال به نویز حاصل دقیقا n برابر نسبت سیگنال به نویز
یک تک پالس خواهد بود. اگر همان n پالس با یک جمع کننده ایده آل پس از آشکار سازی
جمع شود، نسبت سیگنال به نویز حاصل کمتر از n برابر نسبت سیگنال به نویز یک تـک پالس خواهد بود. این افت راندمان در اثر عملکرد غیرخطی آشکار ساز دوم است، زیـرا در این فرایند مقداری از انرﮊی سیگنال به انرﮊی نویز تبدیل می شود.
مقایسه دو جمع بندی قبل و بعد از آشکاری را می توان چنین خلاصه کرد: اگرچـه جمـع بندی پس از آشکار سازی به اندازه جمع بندی پیش آشکارسازی کارایی ندارد ولی در عمل آن بسیار آسان تر است و لذا جمع بندی در عمل ترجیح داده می شود.

۱-۷) تلفات جمع بندی بر حسب تعداد پالسها
١٨
پارامتر متغیر n f در منحنی های شکل ۱-۷ عبارتست از عدد آﮊیر غلط که ایـن متغیـر
برابر معکوس احتمال آﮊیر غلط است. بعضی از مهندسین رادار ترجیح می دهند از احتمال و بعضی دیگر از عدد آﮊیر غلط استفاده کنند. به طور متوسط از هر n f تصمیم ، ممکـن
است در زمان آﮊیر غلط Tfa یک تصمیم غلط وجود داشته باشد. اگر τ پهنای پـالس وTp
زمان تناوب تکرار پالس و f p  1Tp فرکانس تکرار پالس باشد، در این صـورت تعـداد

تصمیمات n f در زمان Tfa برابر است با تعدادعرض پالسها در یک زمـان تنـاوب پـالس
ضربدر تعداد زمان تناوبهای پالس درf p ثانیه ضربدر زمان آﮊیر غلط. بنـابراین تعـداد
تصمیمات ممکن برابر است با n f  Tfa f pη  Tp /τ و B τ ≈ 1 است که B پهنـای بانـد است ، بنابراین عدد آﮊیر نویز برابر است با 1P n f  Tfa B  .معادله رادار با n پالس fa را می توان به شکل زیر نوشت: ۱-۵۱) Pt GAσ R4 max  ( F (S n N (4π)2 kT B n n 0
پارامترها در معادله فوق نظیر پارامترهای معادله ۱-۷ می باشند ، بجـز اینکـه نسـبت
سیگنال به نویز یکی از n پالس معادل است که با هم جمع شده اند تا احتمال آشکار سازی مورد لزوم برای یک احتمال آﮊیر غلط معین ایجاد نماید. برای استفاده از این نوع معادلـه
رادار بایستی یک سری منحنی نظیر منحنی های شکل ۱-۶ به ازاﺀ هر مقـدار n رسـم شود. البته با اینکه چنین منحنیهایی در دسترس هستند ولی نیازی به آنها نیست! و می توان از شکلهای ۱-۶ و ۱-۷ استفاده کرد . و در نهایت به معادله ۱-۶۱ دست یافت.
١٩
۱-۶۱) Pt GAσEi (n) R4 max  ( N F (S (4π)2 kT B 1 n n 0 مقدار)1 N (S از شکل ۱-۶ و مقدار(nEi (n از شکل ۱-۷ بدست می آید.
شکل ۱-۸) احتمال آشکار سازی بر حسب سیگنال به نویز واحتمال خطاﺀ10−9
۱-۵) سطح مقطع راداری اهداف:
در واقع تمام انرﮊی تابیده شده به هدف ، به سمت رادار بازتابیده نمی شود و بسته به نوع و اندازه هدف درصدی از آن بازتابیده مناسب خواهد شد. سطح مقطع راداری یک هـدف، سطحی فرضی است که هر مقدار توان به آن تابیده شود( به آن برسد) به طور مساوی در همه جهات پراکنده خواهد کرد وبه این شکل فقط درصدی از توان رسیده شده به هدف بـه رادار باز تابیده می شود. به عبارت دیگر:
۱-۷۱) 2 Er lim 4πR2 power reflected toward source / unit solid angle σ  Ei R→∞ incident power density / 4π ٢٠
که در آن:
= R فاصله بین هدف ورادار
= Er شدت میدان برگشتی از هدف روی رادار
= Ei شدت میدان تابشی به هدف
این رابطه معادل با رابطه برد رادار که در ابتدا ارائه شد می باشـد. بـرای بسـیاری از هدفهای راداری نظیر هواپیماها ، کشتیها ، سطح زمین وسطح مقطع راداری ضرورتا تابع ساده ای از سطح فیزیکی نیست و تنها می توان گفت هرچه اندازه هدف بزرگتر باشد سطح مقطع راداری آن نیز بزرگتر خواهد بود.
پراکندگی و پراش گونه های متفاوتی از یک فرایند فیزیکی یکسان هستند. وقتی که جسمی موج الکترومغناطیسی را پراکنده می کند، میدان پراکنده شده برابر تفاوت میـدان کـل در حضور جسم و میدانی که بدون حضور جسم وجود دارد ، تعریف میگردد. با فرض تغییر نکردن منابع ، از طرف دیگر میدان پراش عبارتست از میدان کل در حضور جسم. البتـه می توان با معادلات ماکسول و شرایط مرزی مناسب مقدار سطح مقطـع را بدسـت آورد ولی این شیوه برای اشکال هندسی بسیار ساده استفاده می شود و برای شکلهای پیچیده تـر همانند بدنه یک هواپیما و یا کشتی و .... کاربرد ندارد. در عمل برای محاسبه سطح مقطع اجسامی از این قبیل نمونه کوچک آنرا در اتاقهای خاصی قرار می دهند ومقدار باز تـابش تششع مغناطیسی آنرا محاسبه می کنند. سطح مقطع راداری یک کره ساده به عنوان تـابعی از محیط آن نسبت به طول موج 2πa λ در شکل ۱-۹ رسم شده است. ناحیه ای که انـدازه

کره نسبت به طول موج کوچک است را ناحیه رایلی گویند. ناحیه ای را که در آن ابعـاد کره نسبت به طول موج بزرگ باشد ناحیه نوری گویند. ناحیه بین این دو قسـمت را کـه سطح مقطع نسبت به فرکانس رزونانس دارد ناحیه رزونانس گویند. نمودارهـای شـکلهای
٢١
زیر بر اساس تابع "مای" که سطح مقطع یک کره را بر اساس قطر آن و همچنین فرکـانس
سیگنال رادار مشخص می کند ، نشان می دهد.
5 0 -5 dB- RCS -10 sphere Normalized -15 -20 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 -25 1 Sphere circumference in wavelengths 2 1.8 1.6 1.4 RCS 1.2 sphere 1 Normalized 0.8 0.6 0.4 0.2 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 0 1 Sphere circumference in wavelengths شکل ۱-۹) خروجیهای برنامه .rcs-sphere سطح مقطع راداری کره ای به شعاع a و طول موج λ
لذا با توجه به این توضیحات هیچ گاه راداری را نمی توان پیدا کرد کـه در فرکـانس ۲۲
گیگا هرتز کار کند ، چون در این فرکانس ذرات آب ودیگر ذرات معلق در هوا در اندازه
های بسیار بزرگتر در دید رادار خواهند بود و تمام انرﮊی تابیده شده را باز تاب می کننـد
٢٢
و لذا رادار همیشه در اشباع خواهد بود! البته پارامترهای دیگری هم وجود دارنـد کـه در سطح مقطع تاثیر گذار است مثل زاویه دید که فرضا برای یک لوله دراز و باریک بسته به زاویه دید می تواند تغییرات بسیاری داشته باشد. در زیر مقادیر نمونه برای سطح مقطـع راداری اهداف مختلف در یک فرکانس ماکروویو نشان داده شده است.

جدول ۱-۲) مثالی از سطح مقطعهای راداری در فرکانس ماکروویو
default RCS 100 RCS-rcsdelta1 RCS-rcsdelta2 80 60 40 dB- SNR 20 0 150 100 50 -200 Detection range - Km
شکل ۱-۰۱) خروجی برنامه .--ar_eq نسبت سیگنال به نویز دریافتی بر حسب برد هدف با توجه به مقدار سطح مقطع هدف
٢٣
۱-۶) پارامترهای آنتن:
تقریبا تمام آنتنها از انتهای سمتگرا برای گیرنده وفرستنده استفاده مـی کننـد. در حالـت فرستندگی ، آنتن سمتگرا انرﮊی را به شعاع باریک ارسال می کند تا تمرکـز انـرﮊی در
محدوده هدف را افزایش دهد. بهره آنتن G معیاری برای اندازه گیری توان تششعی یـک آنتن سمت گرا در یک جهت خاص نسبت به توان ایجاد شده در همان جهت توسط یک آنتن بدون سمت گرایی با راندمان صد در صد است . به طور دقیق تر ، بهره توان یک آنتن در حالت فرستندگی برابر است با:
۱-۸۱)
توجه شود که بهره آنتن تابعی از جهت می باشد. اگر بهره در جهاتی بزرگتر از واحد باشد ، لزوما در جهاتی دیگر باید کمتر از یک گردد. اصل اولیه انتنها اصل هم پاسخی است که می گوید:خصوصیت آنتنها در حالت فرستندگی با گیرندگی کاملا یکسان می باشند.
اشکال شعاع آنتنهایی که اغلب در رادارها استفاده می شود مدادی یا بادبزنی است. پتـرن مدادی دارای تقارن محوری یا لااقل نزدیک به محوری می باشد. پهنای پترن یک انتن بـا شعاع مدادی می تواند در حدود یا کمتر از چند درجه باشد وعموما در مـواردی کـاربرد دارند که دقت اندازه گیری در فضا برای ما مهم باشد.اگرچه در صورت نیاز با یک شعاع باریک می توان یک قطاع بزرگ و یا حتی یک نیمکره را مرور کرد، ولی اغلب این کار در عمل مورد نظر نیست. معمولا نیازهای عملی بر حداکثر زمان مرور ، محدودیتهایی را ایجاد می کند به طوری که رادار روی هر سلول تقسیم شده صفحه نمایشگر نمـی توانـد زمان زیادی بایستد. این موضوع خصوصا اگر سلول های تفکیک که باید جسـتجو شـوند زیاد باشند، بیشتر مسئله ساز می شود. لذا می توان با جایگزینی یک آنتن با پترن بادبزنی که در آن یک بعد وسیع ودیگر بعد بسیار باریک است ، زمان اسکن فضای مورد نظر را
۴٢
کاهش داد. در واقع بسیاری از رادارهای زمینی دور برد از یک شعاع بـادبزنی کـه در صفحه افق باریک ولی در راستای عمود پهن هستند برای آشکارسازی اهداف با سـرعت اسکن بالا بکار گرفته می شوند. سرعت اسکن یک پارامتر مصلحتی بین سرعت داده ها و قدرت آشکار سازی اهداف ضعیف است . فرضا سرعت مرور برای رادارهای دیده بـان عملی بین ۱ تا ۰۶ دور در دقیقه می باشد ولی این مقدار برای رادارهای تجسـس هـوایی دور برد ۵ تا ۶ دور در دقیقه می باشد. پوشش یک شعاع بادبزنی ساده برای دیدن هدفهای با ارتفاع زیاد و نزدیک انتن معمولا کافی نیست. چون در این حالت آنتن انرﮊی کمـی را در این جهت منتشر می کند. ولی ، می توان پرتو را اصلاح نموده به طوری که انـرﮊی بیشتری در زوایای بزرگتر منتشر کند. یک روش برای دست یابی به چنین هدفی ، به کار گیری یک پترن بادبزنی با شکل مناسب ، و با مربع کسکانت زاویه عمودی می باشـد. در آنتن مربع کسکانتی ، بهره به صورت تابعی از زاوِه عمودی به صـورت زیـر داده مـی
شود: ۱-۹۱) 0  φ  φm φ csc2 (φ) 0 ) G(φ)  G(φ 0 ) csc2 (φ که(G(φ بهره آنتن نسبت به زاویه عمودی φ می باشد.خاصیت مهم آنتنهای مربع کسـکانت
این است که توان برگشتی از یک هدف با مقطع ثابت Pr در ارتفـاع ثابـت h مسـتقل از
فاصله هدف تا رادار R می گردد. با جایگذاری بهره آنتن مربع کسکانتی در معادله سـاده رادار می توان نوشت:
2 K csc4 (φ) K1 ) csc4 (φ)λ2σ 0 P G 2 (φ Pr  ۱-۰۲)  t h4 R4 (4π)3 csc4 (φ0 )R4 کهK1 مقدار ثابتی است. اگر ارتفاع نیز ثابت فرض شود، چون cscφ  R h ثابت می باشد،

و نیزK2 نیز مقدار ثابتی خواهد بود. در عمل ، توان دریافتی توسط گیرنده از یک آنـتن
مربع کسکانتی واقعا مستقل از فاصله نمی باشد. سطح مقطع با زاویه دید تغییر می کند، و
۵٢
عوامل دیگری همچون نا همواری زمین و.... می توان علل این تغییر باشند.در فصل بعد نکات بیشتری از آنتنهای رادار بخصوص برای کاربرد مورد نظر ما ارائه خواهد شد.
۱-۷) توان فرستنده:
توان Pt در معادله ۱-۷ توسط مهندسین رادار به عنوان توان پیک نامیده می شود. تـوان
پیک پالسی در معادله رادار با توان پیک لحظه ای یک موج سینوسی تفـاوت دارد. ایـن توان عبارتست از توان متوسط در یک تناوب فرکانس حامل که در حداکثر پالس توان اتفاق می افتد. توان پیک به طور کلی معمولا نصف توان لحظه ای است. اغلب توان متوسط که باPav نشان داده می شوددر رادار مد نظر است ، که عبارتست از توان متوسط فرستنده در
یک دوره تناوب تکرار پالس. اگر موج ارسالی قطاری از پالسهای ارسالی با پهنـای τ و
دوره تناوب تکرار پالسی برابر با Tp  1 f p باشد ، در این صورت رابطه توان متوسط با

توان حداکثر به صورت زیر در خواهد آمد:
۱-۱۲) Ptτfp Ptτ Pav  Tp نسبت τ fp را نسبت زمانی یا چرخه کار گویند. مقدار نمونه نسبت زمـانی بـرای یـک
رادار پالسی به منظور آشکارسازی یک هواپیما ۱۰۰/۰ می باشد. در صورتی کـه یـک
رادار CW که به طور پیوسته سیگنال ارسال می کند نسبت زمانی واحد است. با نوشـتن معادله رادار برحسب توان متوسط بجای توان پیک رابطه زیر به دست می آید:
۱-۲۲) Pav GAσnEi (n) R4max  p f 1 ( N τ)(S (4π)2 kT F (B n 0 n
پهنای باند و عرض پالس با یکدیگر به کار می روند زیرا معمولا حاصلضرب ایـن دو در بیشتر کاربردهای رادار پالسی برابر واحد است . در صورتی که شکل پالسها مستطیلی
۶٢
نباشد مناسبتر است که معادله بر حسب انرﮊی موجود در شکل موج ارسالی نوشته شود:
۱-۳۲) Eτ GAσnEi (n) R4max  Pav  Eτ ( N τ)(S (4π)2 kT F (B f p 1 n 0 n
که در آن Eτ  Pav f p می باشد. در این فرم ، فاصله به طور مشخص و جداگانه بـه طـول

موج و فرکانس تکرار پالس بستگی ندارد. پارامترهای مهم موثر برد رادار عبارتند از کل
انرﮊی فرستنده nEτ ، بهره آنتن فرستندگی G ، سـطح مـوثر گیرنـدهAe و عـدد نـویز
گیرنده. Fn فرکانس تکرار پالس در درجه اول توسط حداکثر فاصله که در آن انتظار هدف
وجود دارد تعیین می شود. اگر prf خیلی زیاد گردد احتمال دریافت انعکاسهای ناشـی از انتقال غلط پالسها افزایش می یابد. سیگنالهای برگشتی پس از یـک زمـان بـیش از دوره تناوب تکرار پالسها را انعکاسهای با زمان محدود چند پریود گویند و می توانند سبب خطا
یا سردرگمی در اندازه گیری برد شود.سه هدف A و B وC را مطابق شـکل ۱-۱۱ در
نظر بگیرید. هدف A در ناحیه حداکثر فاصله بدون ابهـام رادار ، هـدف B در فاصـله
بزرگتر از حداکثر فاصله بدون ابهام و هدف C در فاصله بین دو برابر تا سه برابر حداکثر فاصله بدون ابهام قرار دارند. ظهور ۳ هدف روی یک اسکوﭖ در شکل ۱-۱۱ب نشـان
داده شده است. انعکاسهای با زمان حدود چند پریود روی اسکوﭖ-A از انعکاسهای صحیح هدف که واقعا در حداکثر فاصل بدون ابهام قرار دارند قابل تشخیص نمـی باشـند. فقـط
فواصل اندازه گیری شده برای هدف A صحیح است و بـرای هـدفهای B و C صـحیح نیست. یک راه برای تشخیص انعکاسهای با زمان حدود پریود از برگشتهای بدون ابهـام ،
استفاده از یک فرکانس تکرار پالس prf متغیر می باشد.
٢٧

شکل۱-۱۱) انعکاس با زمان حدود چند پریود که باعث افزایش ابهام در فاصله می شود
سیگنال برگشتی از یک هدف در فاصله بدون ابهام روی اسکوﭖ A در هر مـورد بـدون
توجه به مدوله شدن prf در یک محل ظاهر می شوند ، و این در حالی است که برگشـتی از هدف با زمان حدود چند پریود مطابق شکل ۱-۱۱ج در یک زمان محدود گسترده می
شود. Prf را می توان به صورت پیوسته بین دو حد معین و یا به صورت گسسته بین چند مقدار معین تغییر داد. تعداد فرکانسهای تکرار پالس مجزا ، بستگی به درجه هـدفهای بـا زمان حدود چند پریود دارد. برای مثال هدفهای با زمان برگشت مضاعف فقط نیاز بـه دو
فرکانس تکرار مجزا دارند.به جای مدوله کردن prf ، به روشهای دیگری از جمله تغییـر دامنه ، عرض ، فرکانس و فاز و .... می توان پرداخت. سیگنال برگشتی با زمان حـدود چند پریود را می توان تشخیص داد. معمولا این روشها در عمل به مقدار لازم موفق نیستند لذا کاربرد چندانی ندارند. یکی از محدودیتهای اساسی ، رویهم افتادگی هدفهای نزدیک بـه هم می باشند ، یعنی هدفهای قوی زمینه ( زمین و کوه های اطراف) می تواند بـه قـدری بزرگ باشند که هدفهای کوچکتر و مورد نظر مارا مخفی کنند. همچنین زمان لازم بـرای
٢٨
پردازش سیگنال برای رفع ابهامات بیشتر می شود.به طورکلی و تئوری ، ابهامات را مـی توان با مشاهده تغییرات سیگنال برگشتی بر حسب زمان ( فاصله) بر طرف نمود. لیکن این دو روش همواره عملی نیست بدلایل زیادی چون دامنه سیگنال برگشتی به غیر از تغییـر
فاصله می تواند تغییر کند. در عوض ابهامات فاصله در یک رادار با چند prf را می توان با استفاده از تئوری باقیمانده چینی یا روشهای عددی محاسباتی دیگر مرتفع نمود وفاصـله واقعی را بدست آورد.مطالب ارائه شده در این فصل ، مقدمه ای بود کوچک بـر رادار و پارامترهای آن ، برای آنکه دانشجویی که اطلاعات کاملی در مورد سیستمهای رادار ندارد در هنگام مواجه با مطالب فصل ۲ و بخصـوص ۳ دچـار سـردرگمی نشـود. برنامـه
--ar_eq همچنین می تواند نسبت سیگنال به نویز را بر حسب برد هدف برای ما آشکار سازد. شکل زیر نمونه ای از خروجی این برنامه است ، که به ازای سه مقدار متفاوت از توان لحظه ای ورودی و همچنین سایر پارامترهای رادار از قبیل بهره آنتن و ... ، مقادیر
نسبت سیگنال به نویز را در رنجهای متفاوت تا 150Km نشان می دهد. خروجیهای ایـن
برنامه برای راداری با توان لحظه ای 1.5MWatt و 0.1 و 0.01 آن بدست آمده است.
default power 100 .ptpercent1*pt ptpercent2*pt 80 60 40 dB- SNR 20 0 150 100 50 -200 Detection range - Km
شکل ۱-۲۱) خروجی برنامه .--ar_eq مقدار نسبت سیگنال به نویز بر حسب برد هدف به ازای ۳ مقدار از توان ورودی
٢٩
فصل دوم
مشخصات رادار پالسی:
مقدمه:
رادارهای پالسی که در این پروﮊه به آنها پرداخته می شود دارای ۲مد هستند، مد فرستندگی
مدگیرندگی. در مد فرستندگی رادار فقط امواج الکترومغناطیسی را ارسال مـی کنـد و قسمت گیرندگی به طور کامل از کار می افتد و در مد گیرندگی رادار در حـال دریافـت امواج الکترومغناطیسی است که قبلا به هدف ارسال شده و بازتابش یافته اند. این عملکـرد دارای یک حسن بزرگ و یک عیب است که می توان آنرا تا حدودی رفع کرد. به طـور کلی در رادار های CW که به طور بیوسته در حال ارسال و دریافـت هسـتند ، مسـئله ایزولاسیون بین آنتن فرستنده و گیرنده بحث بسیار مهمی است و تلاش مهندسان رادار بـر آن است که این ایزولاسیون را تا حد امکان بالا ببرند. در رادارهای پالسی چون فرسـتنده در حال کار گیرنده خاموش است و بلعکس ، لذا این ایزولیشن برابر است با بینهایت! امـا یک عیب نسبتا بزرگی که در رادارهای پالسی موجود است آنست که اگر سیگنال برگشتی از هدف در مد فرستندگی رادار به رادار برسد ، کل سیگنال از بـین مـی رود و هـدف آشکار نخواهد شد. در شرایط دیگر ممکن است که قسمتی از سیگنال دریافتی دریافت شود
قسمت دیگر بدلیل عوض شدن مد رادار از گیرندگی به فرستندگی از دست برود . که در
٣٠
این صورت چگالی توان سیگنال دریافتی کاهش می یابد و احتمال آشکارسازی هدف نیـز
کم خواهد شد. در این قسمت می توان با بالا بردن PRF رادارهای پالسـی و کـم کـردن ضریب کار آنها این احتمال را به حداقل کاهش داد.
۲-۱) برد:
شکل ۲-۱ بلوک دیاگرام رادار پالسی را نشان می دهد. کنترل کننده زمان ، سـیگنالهای زمانی همزمان مورد نیاز سرتاسر سیستم را تولید می کند. یک سیگنال مدوله شده در دامنه تولید می شود و به وسیله بلاک مدوله کننده فرستنده به آنتن فرستاده می شود. سوئیچ کردن
آنتن بین حالتهای فرستندگی و گیرندگی توسط Duplexer انجام می شود.Duplexer سبب می شود که آنتن بتواند به عنوان فرستنده و گیرنده مورد استفاده قـرار گیـرد. در طـول
فرستندگی Duplexer انرﮊی الکترومغناطیسی را به طور مستقِم به سمت آنتن هدایت مـی
کند . متناوبا در زمان گیرندگی Duplexer انرﮊی منعکس شده از هدف را که توسط آنتن دریافت می شود به سمت گیرنده انتقال می دهد. گیرنده رادار سیگنال دریـافتی را تقویـت کرده و آنرا برای پردازش آماده می سازد. استخراج اطلاعات هدف توسط بلاک پردازشگر
سیگنال صورت می پذیرد. فاصله هدف ،R، توسط اندازه گیری تاخیر زمـانی سـیگنال و ، محاسبه می شود. یک پالس از سمت رادار به سمت هدف فرستاده می شود و برمی گردد. اگر موج الکترومغناطیسـی بـا سـرعت نـور در هـوا منتشـر شـود ، یعنـی
s 8 m c  3×10 ، پس خواهیم داشت: ۲-۱) c∆t R  2
که R بر حسب متر است و بر حسب ثانیه و ضریب 0.5 یا همان 2 در مخرج به دلیل آن است که موج مسیر بین رادار تا هدف را دو بار طی کرده است ، یک بار هنگام تابش
٣١
از رادار تا هدف رفته است و بار دیگر هنگام باز تابش از هدف به سمت رادار آن مسـیر را طی می کند.

شکل ۲-۱) بلاک دیاگرام یک رادار پالسی ساده معمولا رادارهای پالسی یک قطار از پالسها را همانگونه که در شکل ۱-۲ نشان داده شده
است به سمت هدف می فرستند و سپس دریافت خواهند کرد.T مدت زمان تکـرار پـالس
است و τ پهنای پالس می باشد. IPP یا همان مدت تکرار پالس به PRI اشاره مـی کنـد.

معکوس PRI ، PRF است که توسط نشان داده می شود. ۲-۲) 1  1 fr  T PRI
شکل ۲-۲) قطار پالسهای ارسالی و دریافتی
در طول هر PRI رادار فقط به مدت τ انرﮊی الکترومغناطیسی ساطع می کند و در طول
بقیه PRI منتظر امواج دریافتی از هدف می شود.
٣٢
ضریب dt که Duty cycle فرستندگی رادار است با نسبت d  τ T مشخص می شـود.

توسط انرﮊی فرستاده شده متوسط رادار که باPav مشخص می شود از فرمول زیر بدسـت
می آید:
۲-۳)Pav  Pt ×dt
که Pt نشان دهنده مقدار ماکزیمم توان انتشار یافته توسط رادار می باشد. و انرﮊی پالسـی
برابر با :
EP  Ptτ  pavT  Pav fr

برد متناظر با تاخیر زمانی T به عنوان برد غیر مبهم رادار معرفی می شود. و باRu نشان
داده می شود. نمونه ای راکه در شکل ۱-۳ نشان داده شـده اسـت را در نظـر بگیـریم
برگشتی 1 نشان دهنده برگشتی رادار از هدفی در فاصله 2R1  c∆t است که حاصـله از
پالس 1 است. در برگشتی 2 می تواند نشان دهنده برگشتی رادار حاصل از فرستاده شـدن
پالس 2 باشد و یا اگر هدف فاصله اش از رادار بسیار زیاد باشد امکان دارد که برگشتی از
پالس شماره 1 باشد که در این صورت احتمال خطا وجود دارد.
۲-۴) c(T  ∆t) R2  or c∆t R2  2 2 به روشنی فاصله غیر مبهم با برگشتی 2 مرتبط است. بنابراین زمانی که پالسـی فرسـتاده می شود، یک مدت زمان کافی منتظر بماند. آنقدر که پالس مـنعکس شـده از هـدف در بیشترین برد ، قبل از آنکه پالس بعدی فرستاده شود دریافت شود. نتیجه آنکه ماکزیمم بـرد
غیر مبهم با نصف PRI مرتبط است:
۲-۵) c  T Ru  c 2 fr 2 ٣٣

شکل ۲-۳) توضیح فاصله مبهم
برای مثال اگر یک رادار هوایی را در نظر بگیریم که رادار توان پیـک اسـت و از دو
PRF استفاده می کند ، . fr1 10KHz, fr 2  30KHz پهنای پالس مورد نیاز برای هرکدام
از PRFها دارای توان متوسط برابر با هم و مقدار 1500Watts باشند در ایـن صـورت انرﮊی برای هر مورد برابر است با:
dt  10 ×1500103  0.15

به طور دقیق خواهیم داشت.
1 0.1ms T1  3 10 ×10 1 0.0333ms T  3 10 30 × 2 در نتیجه پهنای نهایی برای هر پالس برابر است با:
τ1  0.15 ×T1 15s τ1  0.15 ×T2  5s
−6 4 0.15joules 10 15 × × 10 p1  Ptτ1  E ×5×10−60.05joules 104 Pτ 2 p2 E t ۴٣
۲-۲) میزان تفکیک پذیری:
تفکیک برد ( ( range resolution که با نشان داده می شود، یـک پـارامتر رادار است که بیان کننده تواننایی آشکارسازی اهدافی است که در نزدیکی هم قرار دارند. معمولا سیستمهای راداری برای کار کردن در یک محدوده حداقل و حداکثر ( ( Rmax , Rmin طراحی
می شوند. محدوده بین این حداقل و حداکثر به m قسمت تقسیم می شوند. که هر کدام آنهـا دارای یک پهنای می باشند:
۲-۶) Rmax − Rmin M  ∆R در اینصورت اهداف با رنجهای حداقل تفکیک می شوند و این امر سبب می شود که کاملا از هم قابل شناسایی باشند. این امر در شکل ۱-۸ نشان داده شده است .

شکل ۲-۴) تحلیل اهداف در راستای عمود و افق
اهدافی که در داخل یک محدوده تشخیص برد قرار دارند را می توان بـا بکـارگیری تکنیکهای پردازش سیگنال در راستای عمود از هم شناسایی شوند.
۵٣
دو هدف که در فواصلR1 وR2 قرار دارند. در نظر بگیرید. در این صورت تاخیر زمانی
متناظر با هر کدام از این اهداف برابر سیگنال برگشتی برابر است باt1 و. t2 را باید
به عنوان تفاوت برد میان دو هدف در نظر گرفت که در این صورت داریم:
۲-۷) δ . t c t2 −t1 ∆R  R2 − R1  c 2 2 حالت سوال زیر را مطرح می کنیم و به آن پاسخ می دهیم . کمترین فاصله زمانی کـه
می توان هدف شماره 1 را در فاصلهR1 و هدف شماره 2 را در فاصلهR2 از هم تشخیص
داد چه مقداری است؟ به بیان دیگر کمترین مقدار چه مقداری است؟
در ابتدا فرض کنید ، که دو هدف با cτ 4 از همدیگر تفکیک می شوند که τ پهنای پالس

می باشد. در این شرایط وقتی لبه عقبی پالس به هدف 2 برخورد کند ، لبه جلـویی پـالس مسافت Cτ را به سمت رادار بازگشته است. وپالس برگشتی ممکن که بـا سـایر امـواج
برگشتی از اهداف دیگر ترکیب شود. همانطور که در شکل ۱-۹.a نشان داده شده اسـت.
به هر حال اگر دو هدف به اندازه cτ 2 با هم فاصله داشته باشند. هنگامی که عقبی پـالس

برگشتی از هدف اول به رادار رسید لبه جلویی پالس برگشتی از هدف دوم هم به رادار می
رسد. در نتیجه دو پالس برگشتی همانند شکل ۱-۹.b نشان داده خواهد شد بنـابراین
باید بزرگتر و یا برابر با cτ 2 باشد. و چون پهنای باند رادار که B نشان داده می شـود

برابر است با 1 پس: τ ۲-۸) c  cτ ∆R  2B 2
معمولا طراحان رادار همانند استفاده کنندگان آن در پی کاهش این فاصله هستند به منظـور افزایش عملکرد رادار می باشند. همانطور که در شکل ۱-۸ توصیه شد، به منظور رسیدن
۶٣
به یک تفکیک برد مناسب باید پهنای پالس را کاهش دهیم و این بدین معنی است که توان متوسط انتشار یافته نیز کاهش یافته است و برعکس پهنای باند افزایش.
برای رسیدن به درجه تفکیک پذیری مناسب برای آنکه توان متوسـط انتشـار در سـطح مناسب نگه داشته شود ، می توان از تفکیک فشردگی پالس استفاده کرد.

شکل ۲-۵) .aدو هدف غیر قابل تفکیک .b دو هدف قابل تفکیک
می توان مثالی در زمینه ارائه داد تا درک بهتری از قضیه داشت. یک رادار را بـا بـرد
مبهم 100Km در نظر بگیرید که دارای پهنای باند 0.5MHz اسـت. مقـادیر PRF ،
PRI، ∆R و τ به ترتیب زیر بدست می آیند.
1500Hz 8 10 3×  C PRF  105 2 × 2R u 0.6667ms 1  1 PRI  1500 PRF ٣٧
300m 8 3×10  c ∆R  106 2 ×0.5 × 2B 2s 2 ×300  2∆R τ  c 3×108 ۲-۳) فرکانس داپلر:
رادارها از تغییر فرکانس داپلر برای استخراج سرعت نسبی هدف یا همان تغییـر فاصـله هدف نسبت به رادار استفاده می کنند. همچنین برای آنکه اهداف متحرک و ثابت و همچنین اشیاﺀ ثابت را از هم تفکیک کنند ، از فرکانس داپلر استفاده می کنند. پدیده داپلر تغییـر در فرکانس مرکزی یک موج به خاطر برخورد با یک هدف متحرک است.
تغییر فرکانس بنا بر جهت حرکت هدف می تواند مثبت ویـا منفـی باشـد. شـکل مـوج برخوردی به هدف دارای جبهه موجهای همفازی است که به اندازه λ همان طول مـوج ، از هم فاصله دارند. یک هدف نزدیک شونده سبب می شود جبهه موجهای همفاز برگشـتی به همدیگر نزدیگتر شوند وطول موج کوتاهتر یا فرکانس بالاتری را نتیجه می دهد. متناوبا هدفی که در حال دور شدن از رادار است سبب می شود جبهه موجهای همفاز برگشتی از هم باز شوند و طول موج بلندتر ویا فرکانس پایین تری را حاصل کند. این امر در شـکل ۲-۶ نشان داده شده است.
پالسی را با پهنای پالس τ که با هدفی که دارای سرعت υ و در حال نزدیـک شـدن بـه
راداراست برخورد می کند ، همانطور که در شکل ۱-۱۱ نشان داده شده است. فاصله d
برحسب متر است که هدف در فاصله بین 2 پالس ارسالی به سمت هدف طی کرده است.
۲-۹)d  v∆t
٣٨

شکل ۲-۶) تاثیر هدف متحرک در جبهه موج همفاز ارسالی
که ∆t برابر است با مدت زمان بین برخورد لبه پیشرو و لبه عقبی پالس با هدف. اگر پالس
با سرعت نور در فضا منتشر شود لبه عقبی به اندازه cτ − d حرکت داده می شود ، پـس خواهیم داشت:
۲-۰۱) cτ − d ∆t  c با ادغام کردن معادلات ۲-۰۱ و ۲-۱۱ داریم: ۲-۱۱) τ vc d  v  c لبه عقبی پالس با توجه به تغییر زمانی بین لبه جلویی و عقبی پالس به اندازه ∆t در راستای
رادار به اندازه s تغییر می کند.
۲-۲۱)s  c∆t
٣٩

شکل ۲-۷) شرح چگونگی فشردگی یک هدف متحرک برای یک پالس تنها
بنابراین پهنای پالس برگشتیτ′ برحسب ثانیه و یا برحسب متر به صورت L خواهد بود:
۲-۳۱) L  cτ′  s − d با قرار دادن معادلات ۲-۱۱ و ۲-۲۱ در معادله ۲-۳۱ خواهیم داشت: vc ′ ۲-۴۱) c∆t−vcτ cτ
۲-۵۱)
۲-۶۱) τ c − v τ′  c  v در عمل ضریب به عنوان ضریب انبساط زمانی معرفی می شود. توجه
داشته باشید که اگر v=0 باشد در این صورتτ τ′ خواهد بود و به طرز مشابه اگر هدف ما یک هدف دور شونده باشد در این صورت :
۲-۷۱) τ v  c τ′  c − v ٠۴
برای بدست آوردن یک عبارت در مورد فرکانس داپلر توضیحات نشان داده شده در شکل
۲-۸ را در نظر بگیرید. لبه جلویی پالس 2 در مدت زمان ∆t فاصـله بـه سمت هدف می رود و با آن برخورد می کند.
در طی فاصله زمانی مشابه لبه جلویی پالس 1 یک فاصله متناظر با c∆t را طی می کند.
۲-۸۱) d  v∆t ۲-۹۱) − d  c∆t c fr
شکل ۲-۸) شرح چگونگی تاثیرات هدف متحرک بر روی پالسهای رادار
با حل کردن دو معادله برای بدست آوردن ∆t خواهیم داشت:
۲-۰۲)
۲-۱۲)
حال فاصله پالسهای برگشتی برابر است با

frv∆t  cc

fr ∆t  cv c v

s-d و PRF جدیدfr ′ خواهد بود:
۲-۲۲) cv fr c∆t− c s − d  c  v f ′
١۴
این امر نشان می دهد که PRF جدید با PRF اصلی و اولیه به صورت زیر رابطه دارد:
۲-۳۲) fr c  v fr ′  c − v اگرچه مقدار Cycle تغییر نمی کند ، ولی فرکانس سیگنال برگشتی با یک ضریب مشـابه
بالا خواهد رفت و فرکانس fo′ را خواهد داد که از رابطه زیر بدست می آید:
۲-۴۲) f0 c  v f0′  c − v که fo فرکانس سیگنال برخوردی ( سیگنالی که به سمت هدف می رود ) است و فرکانس
داپلر حاصله از سرعت هدف که با fd نشان داده می شود ، و برابر است بـاf0′ − f0 بـه
طور دقیق از رابطه زیر بدست می آید:
۲-۵۲) f0 2v f0 − f0  c  v f0′ − f0  fd  c − v c − v برای زمانهایی که سرعت هدف بسیار کوچکتر از سرعت نور است ، که همیشه این چنین
نیز هست! ، و با توجه به آنکه c  λf0 است ، معادله فوق را می توان به صـورت زیـر بازنویسی کرد. ۲-۶۲) 2v f0  2v ≈ fd λ c این معادله را می توان برای یک هدف دور شونده نیز نوشت که در این صورت تغییـرات
فرکانس داپلر برابر است با . fd  − 2λv توضیحات مربوط به اهداف نزدیـک شـونده و

دور شونده به طور کامل در شکل ۲-۹ نشان داده شده اند.
٢۴

شکل ۲-۹) فرکانس دریافتی یک رادار مربوط به اهداف دور و نزدیک شونده
در معادله ۱-۶۲ سرعت نسبی هدف نسبت به رادار با υ نشان داده شده است ، امـا یـک اصل همیشگی نیست . در واقع ، میزان تغییر فرکانس داپلر به قسمتی از سرعت هدف که در راستای رادار باشد ، بستگی دارد. این سرعت نسبی را سرعت شعاعی هدف نسبت به رادار می نامند.
شکل ۲-۰۱ سه هدف را که با زوایای مختلف نسبت به راستای رادار در حـال حرکـت هستند نشان می دهد. هدف ۱ دارای تغییر داپلر صفر است. هدف ۲ ( همـانطور کـه در معادله ۱-۶۲ نشان داده شد) دارای بالاترین داپلر است ( داپلر ماکزیمم). ولـی هـدف ۳
دارای فرکانس داپلری متناظر با λfd  2v cosθ است . که v cosθ سـرعت شـعاعی
هدف می باشد . در واقع θ زاویه بین خط رادار تا هدف و مسیر هدف است.

شکل ۲-۰۱) نمایه سه هدف با سرعتهای برابر ولی سرعتهای شعاعی متفاوت
٣۴
بنابراین ، یک تعریف کلی برای fd با توجه به زاویه مطلق بین هدف و رادار به صـورت
زیر می باشد:
۲-۷۲) cosθ 2v  fd λ و برای اهداف دور شونده خواهیم داشت: ۲-۸۲) cosθ − 2v  fd λ که cosθ  cosθe cosθa است . که زوایای θa وθe به زوایای رادار با هدف در جهتهـای
افق و عمود اشاره داردبرای درک بهتر قضیه به شکل ۲-۱۱ توجه کنید.

۲-۱۱) سرعت شعاعی متناسب است با زاویه هدف در راستاهای عمود وافق
برای درک بهتر قضیه با یک مثال این قسمت را به پایان می بریم هدفی را درنظر بگیرید
که دارای سرعت s 175 m می باشد حال اگر رادار ما دارای سرعت s 250 m باشد و طول
۴۴
موج کاری رادار ما برابر باشد با0.03m در این صورت می توان فرکانس داپلر را بـرای سیگنال دریافتی توسط رادار بدست آورد. در صورتی که هدف یک هدف نزدیک شـونده باشد ، پس سرعت هواپیمای هدف و رادار ما با هم جمع می شود و طبـق رابطـه ۱-۶۲ تغییر فرکانس داپلر برابر خواهد شد با:
fd  2 (250 175)  28.3KHz 0.03

ولی در صورتی که هدف در حال دور شدن از رادار ما باشد ( مسیر حرکتش در جهـت مسیر حرکت رادار ما باشد ) لذا سرعتها از هم کم می شوند و تغییر داپلر برابر خواهد بود با:
5KHz (250 −175) 2 fd 0.03 ۲-۴) معادلات رادار با PRF کم:
در فصل قبل به طور کامل بر روی معادلات رادار بحث شـد و همچنـین هـر کـدام از پارامترهای آن نیز به صورت جداگانه مورد بررسی و تحلیل قرار گرفت. در این قسـمت
سعی ما بر آن است که معادلات رادار برای PRFهای کم و زیاد را بر حسـب حساسـیت آنها از هم تفکیک نماییم و مورد بررسی قرار دهیم. در این قسمت ابتدا روی رادارهای با
PRF کم پرداخته می شود.
یک رادار با پهنای پالس τ و تناوب ارسال پالس برابر با PRI که برابر است بـا T را در نظر بگیرید. این رادار دارای حداکثر توان تششعی لحظه ای Pt است. در چنین شـرایطی
توان میانگین تششعی رادار همانطور که در فصل قبل هم به آن اشاره شد برابر است با :
Pav  Pt dt
۵۴
که dt  τ T برابر است با ضریب چرخه کار رادار ویا همان نسبت انتقال به کـل طـول

تناوب رادار. می توان ضریب چرخه کار دریافت راdr در نظر گرفت ، که:
۲-۹۲) 1−τ.fr T −τ dr  T بنابر این برای رادار با PRF کم T τ ضریب چرخه کار دریافت برابر است با. dr ≈1
Ti را بعنوان زمان هدف ( زمانی که هدف توسط بیم رادار آشکار می شود) در نظر مـی
گیریم ، یعنی:
۲-۰۳) np  Ti . fr np Ti  fr که در معادله فوق np تعداد پالسهایی است که با هدف برخورد می کنـد و fr همـان PRF
رادار می باشد. حال یک رادار با PRF کم را در نظر بگیرید. با توجه به توضیحات فوق ، معادله یک رادار تک پالسی به صورت زیر داده می شود:
۲-۱۳) P G 2 λ2σ (SNR)1  (4π)3 R4 kT BFL t e برای پالسهای هم زمان ، به تعداد np خواهیم داشت:
p P G 2 λ2σ.n ۲-۲۳) t (SNR)np  (4π)3 R4 kT BFL e با استفاده از معادله ۲-۰۳ و رابطه همیشه برقرار B  τ1 می توان معادله رادارهـای بـا

PRF کم را به صورت کلی زیر بیان کرد:
τ P G 2 λ2σT f (SNR)np  ۲-۳۳) r i t (4π)3 R4 kT FL e ۶۴
تابع مطلب مربوط به مشخص کردن نسبت سیگنال به نویز برای یک رادار با PRF کم با
نام lprf_req.m ، در انتهای پروژه - ریسرچارائه شده است که می توان با دادن ورودیهای دلخـواه نسبت سیگنال به نویز را برای بردهای مختلف هدف بدست آورد. در شکل ۲-۲۱ نتیجـه حاصله از ورودیهای ارائه شده در انتها ( همراه با برنامه) نشان داده شده است. اما مطلب قابل استنتاج و مهم که در این قسمت باید برداشت شود نسبت سیگنال به نویز برای ۳ مقدار مختلف از یک پارامتر می باشد.
np = 1 120 np1 np2 100 80 60 dB- SNR 40 20 150 100 50 00 Range - Km
شکل ۲-۲۱) خروجی حاصله از برنامه lprf_req.m برای سه مقدار از np
در ورودی تابع مطلب ۳ مقـدار بـرای np در نظـر گرفتـه شـد ،np 1 وnp 1 10
و. np 2  30 همانطور که مشاهده می کنید هرچه تعداد پالسهای همزمان بـر روی هـدف
بیشتر باشد نتیجه حاصله مقدار بیشتری از نسبت سیگنال به نویز است. تابع مطلـب ذکـر شده علاوه بر این نمودار تابع دیگری را نیز در اختیار ما قـرار مـی دهـد و آن نسـبت
٧۴
سیگنال به نویز به ازاﺀ تعداد پالسهای همزمان دریافتی ازهدف می باشد کـه بـه ازاﺀ دو مقدار دلخواه از توان در اختیار ما قرار می دهدو درشکل ۲-۳۱ نشان داده شده است.
25

20
15
10
5
default power pt * percent
00 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 Number of coherently integrated pulses
dB-SNR
شکل ۲-۳۱) نمودار نسبت سیگنال به نویز به ازاﺀ تعداد پالسهای همزمان اما نکته مهم که در اینجا باید به آن پرداخته شود آنست که بالا رفتن خطی تعداد پالسـهای
همزمان برگشتی به معنی بالا رفتن خطی نسبت سیگنال به نویز نیست بلکه همانطور که از شکل ۲-۳۱ نیز مشاهده می شود ، در ابتدا بالا رفتن تعداد پالسهای همزمان دریافتی فرضا از ۱ به ۰۱ تاثیر زیادی در نسبت سیگنال به نویز دارد ولی برای رسیدن به تآثیری برابر با ۲ برابر همان مقدار به طور مجدد ، نیاز به بالا بردن تعداد پالسهای هم زمان دریـافتی برابر با ۰۰۱ می باشد ، که این امر به طور کامل در نمودار شکل ۲-۳۱ نشان داده شـده است.
٨۴
۲-۵) معادلات رادار با PRF زیاد:
در این قسمت به مهم بخش این فصل می رسیم که مربوط به استنتاج معادلـه رادار بـرای یک رادار با PRF بالا می باشد. معادله رادار از آن جهت مهم است که با توجه به اینکـه
PRF ارئه شده در پروﮊه باید در حدود 50KHz باشد لذا معادلات جدید تا حد قابل قبولی بر آن بر قرار خواهند بود.
حال یک رادار با PRF زیاد را در نظر بگیرید. سیگنال فرستاده شده قطـار سـریعی از پالسهای ارسالی خواهد بود. همانند قبل پهنای پالس را τ در نظر گرفته و تناوب آنـرا T
مشخص سازید. این قطار پالس را می توان با استفاده از تبدیل فوریه نمایی نمایش داد. خط طیف توان مرکزی ( جزﺀ ( DC این سری به طور عمده شامل توان سیگنال اسـت کـه
2 τ مقدار آن است و برابر است با توان دوم ضـریب چرخـه فرسـتندگی . در چنـین T شرایطی معادله رادار پالس واحد برای رادارهای با PRF بالا عبارتست از:
۲-۴۳) P G 2 λ2σ.d 2 SNR  (4π)3 R4 kT BFLd t t r e که در چنین شرایطی احتیاج به در نظر گرفتن تفاوت طول پالس ارسالی با طـول پـالس
دریافتی نیست ، در واقع . dr ≈ dt τfr بعلاوه پهنای باند رادارهای عملیاتی بـا زمـان
هدف ( ( time on target مشابه خواهد بود یعنی 1 . B  این امر بیانگر آن است که: T i λ2σ T G 2 Pτ. f SNR  ۲-۵۳) r i t (4π)3 R4 kT FL e و در انتها داریم :
٩۴
P T G 2 λ2σ SNR  ۲-۶۳) av i (4π)3 R4 kT FL e که در اینجاPav به جایPtτ. fr استفاده خواهد شد. توجه داشته باشید که PavTi خود از جنس
انرﮊی خواهد بود ، که نشان می دهد ، رادارهای با PRF بالا می توانند با استفاده از یک توان نسبی کم و زمان یکیسازی طولانی تر قابلیت آشکارسازی را بالا ببرند. واین اصـلی است که ما برای بالا بردن برد رادار بدون بالا بردن توان منبع به طور غیر متعـادل ، از آن استفاده می کنیم.
در انتهای پروژه - ریسرچهمانند قبل برنامه مطلب مربـوط بـه یـک رادارHigh-PRF بـا نـام
hprf_eq.m ارائه شده است که شکل خروجی آنرا که همان نسبت سیگنال به نـویز بـر واحد رنج می باشد ارائه شده است.
50 dt dt1 40 dt2 30 20 10 dB- SNR 0 -10 -20 150 100 50 -300 Range - Km
شکل ۲-۴۱) نمودار سیگنال به نویز بر حسب برد برای رادار HighPRF
٠۵
در ورودی تابع مطلب dt0 = 4 و dt1 =0.4 و dt2 =0.04 می باشد. همچنـین توجـه داشته باشید که یا dt نیاز است و یا باید fr و τ ، هردو را به ورودی برنامه داد. در ایـن
برنامه وقتی کاربر از مقدارdt اطمینان دارد باید مقادیر fr و τ را برابر صفر قرار دهد و همچنین وقتی مقادیر τ و fr در اختیار است بایدdt را برابر صفر قرار دهد.
۲-۶) تلفات رادار:
همانطور که با کمک معادلات رادار نشان داده شد ، نسبت سیگنال به نویز دریافتی با تلفات رادار نسبت معکوس دارد. بنابراین هرگونه افزایش در تلفات سبب کاهش نسبت سیگنال به نویز می شود. واین خود سبب کاهش احتمال آشکارسازی می گردد.
تفاوت اصلی بین عملکرد یک رادار با طراحی خوب و یک رادار بـا طراحـی ضـعیف مربوط به تلفات آن رادار است. تلفات رادار شامل تلفات اهمیـک ( مقـاومتی ) و تلفـات آشکارسازی می شود. در این بخش به طور کوتاه تلفات رادار را خلاصه وار بیان می کنیم و در انتها مقادیر معمول برای مهمترین آنها را به صورت تیتروار ارائه خواهیم کرد.
۲-۶-۱) تلفات ارسال و دریافت :
این تلفات شامل یکی از مهمترین ها می باشد که عبارتند از تلفات دریافت و ارسـال بـین ورودی آنتن فرستنده و خود فرستنده رادار و همچنین بین خروجی آنـتن گیرنـده و خـود
گیرنده. چنین افتهایی را معمولا به عنوان تلفات لوله کشـی ( (Plumbing معرفـی مـی
شوند. معمولا افت چنین تلفاتی بین 1 تا 2 دسی بل می باشد.
۲-۶-۲) افت الگوی آنتن و افت بررسی:
قبلا وقتی در معادلات رادار استدلال و استنتاج داشتیم فرض ما بر آن بود که بهـره آنـتن رادار برابر با ماکزیمم ان باشد . این امر وقتی صادق است که هدف در راستای بیم اصلی
١۵
آنتن رادار قرار داشته باشد . ولی وقتی رادار هدف را اسکن می کند ، بهره آنتن در جهت هدف همانطور که با پترن انتشار آنتن در درس آنتن محرض شده است ، کمتر از مقـدار ماکزیمم است.
تلفات در نسبت سیگنال به نویز به خاطر در اختیار نبودن ماکزیمم بهره آنتن در راسـتای
هدف برای تمام زمانها ، افت الگوی آنتن نامیده مـی شـود( . ( Antenna pattern loss
زمانیکه یک آنتن برای یک رادار انتخاب می شود، میزان افت الگوی آنتن را می توان به صورت ریاضی محاسبه کرد.
2 2.776θ ۲-۷۳) G(θ)  exp − 2 θ3dB برای مثال تششع یک آنتن فرستنده کاملا ساده را به صورت sin x در نظر بگیرید هماننـد x شکل ۲-۵۱ .

شکل ۲-۵۱) شمای پترن یک آنتن بسیار ساده شده
٢۵
در عمل یک آنتن گوسی مورد قبول است. در معادله ۲-۷۳ ،θ3db بیانگر بـیم 3dB مـی
باشد. اگر سرعت اسکن کردن آنتن رادار آنقدر سریع باشد که برای آنـتن گـین دریـافتی
همانند گین ارسال نباشد ، تلفات اسکن ( Scan loss ) نیز باید به اجبار به تلفات شکل بـیم آنتن رادار اضافه شود و در ان محاسبه گردد. رادارهای آرایه ای فازی ، نخستین کاندیدا و انتخاب برای رادارهایی هستند که باید در آنها تلفات اسکن و شکل بـیم آنـتن رادار را در نظر داشت.
۲-۶-۳) تلفات اتمسفر:
مبحث تلفات اتمسفر و پیامدهای انتشار از مهمترین بحثهای رادار است که بسیار گسـترده است و برای درک کامل آن بهتر است به مرجع شماره ۲ مراجعه شود. تضعیف اتمسفری تابعی از فرکانس عملکرد رادار ، فاصله هدف و زاویه عمودی می باشد. تلفات اتمسـفری می تواند تا چند دسی بل هم باشد.

—120

از جمله تکنیکهای متداول جهت تغذیه آنتنهای دوقطبی، استفاده از آنتنهای تک قطبی در حضور صفحه زمین به دست میآید. روش مشابهی نیز برای آنتنهای حلقوی وجود دارد به طوری که نیمی از حلقه بر روی دی الکتریک چاپ شده و سپس بر روی صفحه زمین مطابق شکل (1-3) قرار میگیرد.

شکل (1-3) : آنتن فرکتالی نیمه حلقوی بر روی صفحه زمین بزرگدر این حالت همان طور که در شکل فوق ملاحظه می کنید، یک طرف حلقه توسط کابل هم محور تغذیه می گردد و طرف دیگر زمین می شود. از آنجا که حلقه در حالت تشدید باید جریانی برابر با صفر در محل اتصال خود با زمین داشته باشد، لذا اتصال زمین تأثیر بسیار کمی در نقطه انتهایی حلقه در حالت تشدید دارد. توزیع جریان در این حالت بنا بر نظریه تصویر، نیاز به صفحه زمین بزرگ می باشد. که این خود مشکلاتی را از جهت ساخت آنتن ایجاد می کند. برای رفع این مشکل معمولاً در ساخت آنتن های حلقوی از روش تغذیه هم صفحه CPS استفاده می شود.
در این روش از کل حلقه به جای نیمی از آن استفاده می شود و در واقع تغذیه هم صفحه به صورت یک بالن عمل می کند. در واقع تغذیه هم صفحه از دو خط انتقال با 180 درجه اختلاف فاز نسبت به هم تشکیل شده است. به همین منظور در این روش از دو خط مایکرواستریپی و خط تأخیر، جهت تغذیه خطوط هم صفحه با 180 درجه اختلاف فاز استفاده می شود. این روش در شکل (1-4) نشان داده شده است.

شکل (1-4) : تغذیه هم صفحه برای یک آنتن حلقویهمان طور که در شکل فوق مشاهده می کنید، اولین قسمت شامل یک خط انتقال مایکرواستریپی و یک خط تأخیری می باشد. که در واقع این قسمت به عنوان تغذیه ای برای بخش CPS می باشد. همان طور که در این شکل مشخص است، صفحه زمین تنها بر زیر بخش مایکرواستریپی قرار دارد. به عبارتی دیگر بخش CPS نیازی به صفحه زمین ندارد.
از آنجا که در روش فوق آنتن حلقوی تنها بر روی لایه ای از دی الکتریک (بدون صفحه زمین) قرار دارد، لذا این امر باعث کند کردن امواج الکترومغناطیسی شده و موجب می شود که آنتن از لحاظ الکتریکی بزرگتر به نظر برسد. با فرض اینکه ضریب دی الکتریک مؤثر زیر آنتن، میانگین ضریب دی الکتریک فضای آزاد و ضریب دی الکتریک زیرلایه باشد، آنگاه می توان طول موج مؤثر امواج الکترومغناطیسی را به صورت زیر محاسبه کرد.
λeff=λλ0 εr+12در تمامی تحلیل های فوق از تأثیر امواج سطحی صرف نظر شده است. در حالی که تأثیر این امواج را می توان از طریق کاهش εr و ضخامت دی الکتریک، کاهش داد.

فصل دومآشنایی با ساختارهای فرکتالی بهبود یافته با ابعاد کوچک2-1 مقدمه
در این فصل هدف بررسی استفاده از ساختارهای فرکتالی جهت کوچک کردن ابعاد آنتن می باشد اما لازم است به منظور درک بهتر ابتدا مروری مختصر بر روند تولید حلقه های فرکتالی در آنت های فرکتال داشته باشیم.
در این فصل ساختارهای فرکتالی حلقوی، دوقطبی و سه بعدی به طور مجزا مورد بررسی قرار می گیرند. در فصل سوم و چهارم با آنتن مایکرواستریپ، طراحی و شبیه سازی این آنتن با ذکر نتایج و مقایسه با کارهای انجام شده خواهیم پرداخت.
2-2 کوچک سازی آنتن مایکرو استریپ با استفاده از ساختارهای فرکتالیبه طور کلی به کارگیری ساختارهای فرکتالی در طراحی آنتن ها نه تنها باعث کوچک شدن ابعاد آنتن و بهبود امپدانس ورودی آنتن می گردد بلکه با استفاده از بعضی از ساختارهای فرکتالی آنتن ها این قابلیت را پیدا می کنند که در چندین باند فرکانسی عمل کنند. پس یکی از مزیت های اساسی استفاده از هندسه فرکتالی در آنتن ها قابلیت حداقل کردن ابعاد آنتن و افزایش نسبت سطح موثر آنتن به سطح واقعی آن می گردد. ساختارهای فرکتالی دارای یک روند تکرارشونده می باشند لذا می توان در یک حجم محدود به سطح و یا طول بسیار زیاد دست پیدا کنند که این خواص ذاتی هندسه های فرکتالی باعث ایجاد ویژگی های مناسبی در تشعشع کننده ها، منعکس کننده ها و آنتن ها می گردد که سبب می شود این ادوات عملکرد بهتری را در محیط انتشاری داشته باشند در این خصوص می توان به ساختارهای فرکتالی همچون درختی، هیلبرت، مینکوسکی و کخ اشاره کرد.
2-3 آنتن فرکتال حلقویبه طور کلی آنتن های حلقوی برای رسیدن به امپدانس ورودی مناسب به منظور تطبیق بهتر با سیستم تغذیه، نیاز به سطح مقطع بزرگ می باشند. یا به عبارتی دیگر آنتن های حلقوی ساده با سطح مقطع کوچک، دارای امپدانس ورودی کمی می باشند که این مشکلات زیادی را برای فراهم کردن شرایط تطبیق آنتن ایجاد می کند.
معمولاً از ساختارهای فرکتالی حلقوی جهت غلبه بر این مشکل استفاده می کنند. شکل (2-1) دو نمونه از ساختارهای فرکتالی حلقوی را نشان می دهد.

شکل (2-1) : دو نمونه از ساختارهای فرکتالی حلقوی، فرکتالی مینکوسکی و فرکتالی کخ [10]در شکل (2-1)، از دو ساختار فرکتالی حلقوی مینکوسکی و کخ استفاده شده است. مهمترین خاصیت هندسه های فرکتالی ذکر شده این است که در یک حجم محدود می توان به محیطی با طول نامحدود رسید. وجود این خاصیت در این ساختارها سبب می گردد تا آنتن هایی که از هندسه های فرکتالی فوق استفاده می کنند، دارای خواص تشعشعی بهتری باشند. برای مثال با افزایش طول آنتن می توان امپدانس ورودی حلقه را افزایش داد. این افزایش امپدانس ورودی، به آنتن کمک می کند تا بتواند بهتر با خط تغذیه ورودی تطبیق گردد.
در ادامه هر دو ساختار شکل (2-1) به طور جداگانه مورد بررسی قرار می گیرند.
2-3-1 آنتن فرکتال حلقوی کخ اولین آنتن فرکتالی حلقوی را که مورد بررسی قرار می دهیم، آنتن حلقوی کخ می باشد. برای طراحی آنتن فرکتالی کخ، همانند شکل (2-2) عمل می کنیم. همانگونه که در این شکل نشان داده شده است، حلقه اولیه در روند تولید ساختار کخ، یک مثلث می باشد. در مرحله بعدی هر کدام از اضلاع این مثلث با یک یک عملگر جایگزین می شود. در زیر شکل (2-2) جایگزینی یک ضلع با عملگر کخ نشان داده شده است. شکل (2-2) چهار تکرار اول در روند تولید ساختار کخ را نشان می دهد.

شکل (2-2) : روند تولید حلقه فرکتالی کخ برای چهار تکرار اول و عملگر کخ [10]با توجه به اینکه عملگر کخ، طول هر ضلع را به اندازه 13 مقدار اولیه اش افزایش می دهد، لذا در هر تکرار، طول محیط کل حلقه به اندازه 13 محیطش، افزایش می یابد.
در طراحی آنتن های فرکتالی حلقوی کخ معمولاً از چند تکرار اول حلقه استفاده می شود که در اینجا چهار تکرار اول حلقه فرکتالی کخ در نظر گرفته شده است، و نتایج آن با آنتن دایره ای مقایسه گردیده است. شکل (2-3) ابعاد این دو ساختار را با هم نشان می دهد. همان طور که در این شکل مشاهده می کنید، به ازای تمامی تکرارها همواره حلقه فرکتالی کخ در داخل حلقه دایره ای محاط می باشد. لذا سطح اشغالی حلقه دایروی همواره بزرگتر از سطح اشغالی توسط حلقه فرکتالی کخ می باشد. برای مثال سطح حلقه فرکتالی اشغال شده در تکرار چهارم به صورت زیر می باشد.
SKoch-loop=1+39+1281+48729+1926561×12 3 32r2=2.05r2 (1-2)در این حالت سطح حلقه دایروی برابر است با :
SKoch-loop=πr2 (2-2)لذا نسبت دو سطح برابر است با :
SKoch-loopScircl-loop=0.65 (3-2)لذا همان طور که رابطه (2-3) نشان می دهد، سطح اشغال شده توسط حلقه فرکتالی کخ پس از چهارمین تکرار، 35% کوچکتر از حلقه دایروی می باشد.

شکل (2-3) : مقایسه حلقه فرکتالی کخ در تکرار چهارم با حلقه دایروی [10]محیط فرکتالی پس از n امین تکرار به صورت زیر محاسبه می شود:
PKoch-loop=3343n (4-2)لذا برای تکرار چهارم محیط حلقه برابر است با :
PKoch-loop=16.42r (5-2)در تمامی این حالات حلقه دایروی دارای محیط زیر می باشد:
Pcircl-loop=2πr (6-2)لذا نسبت محیط حلقه کخ به محیط حلقه دایروی برابر است با :
PKoch-loopPcircl-loop=2.614 (7-2)در بخش های بعدی از این نسبت ها برای توضیح خواص تشعشعی آنتن فرکتالی کخ در مقایسه با آنتن دایروی استفاده می شود. در ادامه نتایج حاصل از اندازه گیری امپدانس ورودی آنتن و پترن راه دور را برای این دو ساختار، که توسط روش ممان به دست آمده است، با هم مقایسه می کنیم. امپدانس ورودی این دو آنتن در شکل (2-4) بر حسب محیط حلقه دایروی در طول موج، نشان داده شده است. همان طور که در این شکل مشاهده می کنید، حلقه دایروی با محیطی برابر با 0.05λ دارای امپدانس ورودی 0.000004Ω می باشد، که این مقدار برای زمانی که حلقه دایروی دارای محیطی برابر 0.26λ باشد، به 1.17Ω افزایش می یابد. این نتایج در حالی است که حلقه فرکتالی کخ در همان گستره فرکانسی، دارای تغییرات امپدانسی ورودی بسیار بالاتری می باشد، یعنی تغییرات فرکانس از نقطه شروع تا انتها، امپدانس ورودی را در گستره (0.000015Ω تا 26.65Ω) تغییر می دهد. اختلال کوچکی که در شکل (2-4) مشاهده می کنید، به محدودیت های عددی موجود در روش ممان مربوط می شود.
در حالت کلی برای یک حلقه کوچک دایروی می توان مقاومت تشعشعی را از رابطه تقریبی زیر محاسبه کرد:
Rr≈31.171 S2λ4 (8-2)
شکل (2-4) : امپدانس ورودی برای دو آنتن حلقوی کخ و آنتن حلقوی دایره ای [10]پترن تشعشعی برای این دو آنتن حلقهای در شکل (2-5) نشان داده شده است. شکل (2-5-a) پترن تشعشعی را در دو صفحه XZ و YZ نشان می دهد و شکل (2-5-b) پترن تشعشعی را در صفحه XY نشان می دهد. باید توجه داشت که در تمامی این حالات آنتن در صفحه XY قرار دارد. سمت گرایی آنتن حلقوی دایره ای برابر با 1.63db می باشد. این در حالی است که برای آنتن حلقوی کخ، این مقدار به 1.53db تغییر می یابد. یک تقریب مرتبه اول برای محاسبه سمت گرایی آنتن حلقوی دایره ای کوچک، به صورت زیر می باشد.
D=4πUmaxP--=32=1.76db (9-2)
شکل (2-5) : پترن تشعشعی برای آنتن حلقوی کخ و آنتن حلقوی دایروی [10]که در عبارت فوق Umax حداکثر تشعشع و P-- کل توان تشعشعی می باشد. سطح مؤثر روزنه برای آنتن حلقوی دایره ای برابر است با :
Aem=λ24πD=0.119λ2 (10-2)با توجه به دو رابطه (2-9) و (2-10) ضریب بازده روزنه برای آنتن حلقوی دایره ای برابر است با :
AemS=0.119λ2π0.0414λ2=22.12 (11-2)این مقادیر بیانگر این است که، سطح مؤثر آنتن دایروی 12/22 برابر بزرگتر از سطح واقعی آن می باشد. برای آنتن فرکتالی کخ ضریب بازدهی روزنه و سطح مؤثر آنتن برابر است با :
Aem=λ24πD=0.113λ2 (12-2)AemS=0.113λ22.050.0414λ2=32.21 (13-2)با توجه به مطالب فوق، ضریب بازدهی روزنه برای آنتن فرکتال کخ 5/1 برابر آنتن حلقوی دایره ای متناظر با آن می باشد، لذا برای رسیدن به گین یکسان برای این دو آنتن، به سطح مقطع کوچکتری در آنتن های فرکتالی در مقایسه با آنتن های حلقوی ساده نیاز می باشد.
با توجه به اینکه پترن تشعشعی برای آنتن حلقوی کوچک همانند آنتن دوقطبی (مغناطیسی) می باشد، لذا در صورتی که محیط حلقه از 0.5λ افزایش یابد با پدیده ایجاد گلبرگ فرعی در پترن تشعشعی آنتن مواجه خواهیم شد.
2-3-2 آنتن فرکتال حلقوی مینکوسکییکی دیگر از آنتن های فرکتالی حلقوی رایج، آنتن مینکوسکی می باشد. در این بخش ضمن بررسی ساختار این آنتن، از طریق مقایسه این آنتن با آنتن مربعی متناظرش، به تفصیر خواص آن می پردازیم. شکل (2-6) آنتن حلقوی مینکوسکی را در چهار تکرار اول نشان می دهد. علاوه بر این در این شکل می توانید عملگر تولید ساختار فرکتالی مینکوسکی را نیز مشاهده کنید. تفاوت اصلی بین ساختار فرکتالی مینکوسکی با ساختار کخ در نوع حلقه ابتدایی آنها می باشد، به طوری که حلقه ابتدایی در ساختار مینکوسکی یک مربع، و در ساختار کخ یک مثلث می باشد.

شکل (2-6) : روند تولید حلقه فرکتالی مینکوسکی برای چهار تکرار اول و عملگر مینکوسکی [10]در عملگر مینکوسکی، طول دو جزء اول و آخر و جزء میانی، هر کدام برابر 13 طول عنصر اولیه می باشند و طول دو جزء دیگر عملگر بسته به کاربرد ساختار، متغیر بوده و به آنها عرض فرورفتگی می گویند.
تغییر عرض فرورفتگی، باعث ایجاد تغییر در ابعاد شکل فرکتالی منتجه شده که این خود باعث تغییر خواص آنتن فرکتالی میشود. به عنوان مثال، افزایش عرض فرورفتگی باعث افزایش ابعاد فرکتال میگردد که نتیجه آن افزایش امپدانس ورودی آنتن میباشد. در ادامه این بخش ابتدا، مقایسهای بین تغییرات فرکانس رزنانس آنتن فرکتالی مینکوسکی و آنتن مربعی خواهیم داشت.
برای این منظور پارامتر فاکتور مقیاس را معرفی می کنیم. این پارامتر معیاری برای مقایسه فرکانس رزنانس آنتن فرکتالی، با آنتن مربعی با عرض λ4 می باشد. شکل (2-7) نتایج مقایسه این دو حلقه را در تکرارهای مختلف و عرض فرورفتگی مختلف، برای فاکتور مقیاس نشان می دهد.

شکل (2-7) : تغییرات فاکتور مقیاس برای تکرارها و عرض فرورفتگی های مختلف آنتن مینکوسکی [10]همان طور که در این شکل مشاهده می کنید، با افزایش عرض فروروفتگی، تغییرات فرکانس رزنانس مینکوسکی افزایش می یابد. که این نتیجه افزایش طول ساختار فرکتالی، بر اثر افزایش عرض فرورفتگی می باشد.
شکل (2-8) پترن تشعشعی را برای آنتنهای فرکتالی مینکوسکی با درجات تکرار و عرضهای فرورفتگی مختلف نشان می دهد. با توجه به اینکه آنتن ها در صفحه XZ قرار دارند، پترن تشعشعی در صفحه YZ رسم شده است. نتایج حاصل از اندازه گیری سمت گرایی آنتن حلقوی در جدول (2-1) آمده است. همان گونه که در این جدول مشاهده می کنید، سمت گرایی آنتن حلقوی، پس از فرکتالی شدن کاهش ناچیزی پیدا می کند و این در حالی است که ضریب بهره روزنه به شدت افزایش می یابد. یا به عبارتی دیگر، برای رسیدن به سطح مؤثر مشخص، در ساختار فرکتالی نیاز به سطح واقعی بسیار کمتری نسبت به حلقه مربعی، می باشد. برای مثال برای یک حلقه مربعی ساده ضریب بهره روزنه 254/2 می باشد در حالی که برای حلقه فرکتالی مینکوسکی در تکرار دوم و عرض فرورفتگی 9/0 ، ضریب بهره روزنه برابر با 59/11 می باشد. مقایسه سمت گرایی این دو آنتن نیز، تلفات سمت گرایی 1.28db را برای آنتن فرکتالی، در مقایسه با آنتن مربعی نشان می دهد. اگرچه کاهش سمت گرایی نامطلوب می باشد، اما از آنجا که سطح اشغالی آنتن پس از فرکتالی شدن 7 برابر کمتر شده است، این مقدار کاهش سمت گرایی قابل اغماض می باشد.

شکل (2-8) : پترن تشعشعی آنتن فرکتالی مینکوسکی با درجات تکرار و عرض های فرورفتگی مختلف [10]جدول (2-1) : سمت گرایی و سطح مؤثر آنتن های فرکتالی مینکوسکی با درجات تکرار و عرض های فرورفتگی مختلف [10]Indentation Iteration Width Area D0 (dB)AemAemS0.200 1 0.2680 λ0.0654λ23.21 0.1666λ22.547
2 0.2640 λ0.06005λ23.12 0.1632λ22.718
0.333 1 0.2543 λ0.05510λ23.02 0.1595λ22.895
2 0.2462 λ0.04665λ22.87 0.1541λ23.303
0.500 1 0.2379 λ0.04400λ22.82 0.1523λ23.462
2 0.2240 λ0.03284λ22.61 0.1451λ24.420
0.666 1 0.2222 λ0.03477λ22.66 0.1468λ24.223
2 0.2025 λ0.02212λ22.40 0.1383λ26.252
0.800 1 0.2097 λ0.02833λ22.56 0.1435λ25.064
2 0.1862 λ0.01549λ22.27 0.1342λ28.662
0.900 1 0.2010 λ0.2423λ22.51 0.1418λ25.853
2 0.1731 λ0.01132λ22.17 0.1312λ211.59
Square 0 0.2795 λ0.07812λ23.45 0.1761λ22.254
شکل (2-9) و شکل (2-10) آنتن های طراحی شده فوق را برای دو حالت تغذیه در حضور صفحه زمین و تغذیه هم صفحه نشان می دهند.

شکل (2-9) : آنتن های حلقوی فرکتالی مینکوسکی و حلقوی مربعی در حضور صفحه زمین [10]
شکل (2-10) : آنتن های حلقوی فرکتالی مینکوسکی و حلقوی مربعی با تغذیه هم صفحه [10]نتایج حاصل از اندازه گیری تلفات بازگشتی برای آنتن های شکل (2-9)، در شکل (2-11) نشان داده شده است. در این شکل امپدانس مرجع برابر با 50Ω می باشد. همان طور که در این شکل مشاهده می کنید، فرکانس رزونانس تقریباً ثابت نگه داشته شده است، اما در این حالت سطح اشغالی توسط آنتن فرکتالی بسیار پایین تر از آنتن مربعی می باشد. شکل (2-12) پترن تشعشعی این دو آنتن را نشان می دهد. این پترن، پترن صفحه عمود بر آنتن می باشد. نتایج اندازه گیری برای ساختارهای نشان داده شده در شکل (2-10)، بسیار شبیه به نتایج به دست آمده برای ساختارهای شکل (2-9) می باشد.
2-4 آنتن های سه بعدی درختیدر اینجا ضمن بررسی ساختارهای درختی سه بعدی، با چندین رابطه مهم بین خواص تشعشعی این آنتن ها و ساختار اصلی آنها، آشنا می شویم. بدون شک توجه به این روابط، ما را در طراحی صحیح این آنتن ها برای کاربرد مورد نظر، کمک می کند. در ادامه این بخش با چندین مثال از کاربردهای آنتن های درختی سه بعدی، به منظور کوچک کردن ابعاد آنتن های دو قطبی و تک قطبی آشنا می شویم. برای مثال درک نمونه از آنتن های دوقطبی درختی سه بعدی که در این بخش معرفی می گردد، کاهش 57% در ابعاد آنتن و افزایش 70% در پهنای باند را داریم.
2-4-1 مولد ساختار فرکتالی درختیاز آنجا که فرکتال ها ساختارهای خود متشابهی می باشند، لذا به منظور تولید آنها نیاز به تکرار یک مولد می باشد. برای یک ساختار درختی، مولد به صورت اتصالی از چند شاخه کوچک که به بچه شاخه ها معروف می باشند، تشکیل شده است. این شاخه ها از تقسیم یک شاخه اصلی که به شاخه والد معروف می باشد، بدست می آیند.
به طور کلی سه خانواده مختلف آنتن های فرکتالی سه بعدی درختی به منظور ایجاد یک دوقطبی مورد استفاده قرار می گیرند. این سه خانواده مختلف، آنتن های درختی 4 شاخه ای، آنتن های درختی 6 شاخه ای و آنتن های درختی 8 شاخه ای می باشند. به طور کلی آنتن های 4 شاخه ای در این بخش به عنوان یک معیار برای مقایسه آنتن های 6 شاخه ای و 8 شاخه ای مورد استفاده قرار می گیرند. ساختار کلی یک آنتن 4 شاخه ای در چهار تکرار اول آن در شکل (4-1) نشان داده شده است. در جدول (4-1) نیز پارامترهای تولید، برای یک آنتن درختی 4 شاخه ای داده شده است.

شکل (2-11) : چهار تکرار اول برای آنتن های درختی 4 شاخه ایجدول (2-2) : پارامترهای طراحی آنتن درختی 4 شاخه ایRotation Elevation Scale Branch
0°30°0.5 1
90°30°0.5 2
180°30°0.5 3
270°30°0.5 4
براساس پارامترهای داده شده در جدول فوق، مولدهای ساختاری آنتن های درختی 4 شاخهای دارای خواص زیر می باشند. اول اینکه بچه شاخه ها از نظر طول به اندازه نصف شاخه های مولد والد می باشند. دوم اینکه بچه شاخه ها دارای زاویه 30 درجه می باشند. همچنین تمامی بچه شاخهها دارای زاویه 90 درجه نسبت به هم می باشند. برای آنتن های درختی 6 شاخهای زاویه بین بچه شاخهها به 60 درجه و برای آنتنهای درختی 8 شاخهای، زاویه بین بچه شاخهها به 45 درجه کاهش مییابد. جدول (4-2) پارامترهای طراحی را برای آنتن 6 شاخهای و 8 شاخهای را نشان می دهد.
در ادامه این بخش به مقایسه نتایج حاصل از شبیه سازی پارامترهای آنتن 6 شاخه ای و 8 شاخه ای با آنتن 4 شاخه ای می پردازیم. نکته قابل توجه در این مقایسه، یکسان بودن فاصله منبع تا راس برای تمامی آنتن ها می باشد، که این مقدار برابر با cm 5/7 انتخاب شده است. نکته دوم در این مقایسه این است که تمامی آنتن ها از مرکز تغذیه می شوند. با توجه به فرضیات فوق، نتایج حاصل از شبیه سازی برای تلفات بازگشتی آنتن های 8 شاخه ای و 6 شاخه ای برای دو تکرار اول، به همراه چهار تکرار اول آنتن 4 شاخه ای، تماماً در شکل (4-2) نشان داده شده است.


نتایج نشان داده شده در این شکل نشان می دهد که در تمامی آنتن ها با افزایش درجه تکرار، فرکانس های رزنانس کاهش می یابند.
جدول (2-3) : پارامترهای طراحی آنتن درختی 6 شاخه ای و 8 شاخه ای8- Branch Class 6- Branch Class
Rotation
(Ф)Elevation
(θ)Scale Branch Rotation
(Ф)Elevation
(θ)Scale Branch
0°30°0.5 1 0°30°0.5 1
45°30°0.5 2 60°30°0.5 2
90°30°0.5 3 120°30°0.5 3
135°30°0.5 4 180°30°0.5 4
180°30°0.5 5 240°30°0.5 5
225°30°0.5 6 300°30°0.5 6
270°30°0.5 7 315°30°0.5 8
شکل (2-12) : مقایسه پارامتر S11 برای آنتن های 4 شاخه ای، 6 شاخه ای و 8 شاخه ایاز طرفی دیگر نتایج نشان میدهد که آنتن 6 شاخهای دارای فرکانسهایی به اندازه MHz 100 از آنتن 4 شاخهای بوده و این در حالی است که آنتن 8 شاخهای دارای فرکانسهایی به اندازه MHz150 پایین تر از آنتن 4 شاخهای می باشد.
نکته قابل توجه دیگر این است که برای آنتن های 6 شاخه ای و 8 شاخه ای تکرار سوم وجود ندارد. که این بدلیل تقاطع بچه شاخه ها در تکرار سوم این آنتن می باشد. اما با این حال آنتن های 6 و 8 شاخه ای در تکرارهای پایین، نسبت به تکرار های بالای آنتن های 4 شاخه ای عملکرد بهتری دارند، یا به عبارتی دیگر ساختارهای 6 و 8 شاخه ای در تکرارهای پایین، نسبت به تکرارهای بالای آنتن های 4 شاخه ای عملکرد بهتری دارند، یا به عبارتی دیگر ساختارهای 6 و 8 شاخه ای در تکرارهای پایین، قابلیت فشرده سازی بیشتری را برای آنتن، در مقایسه با ساختارهای 4 شاخه ای فراهم می کنند. از طرفی دیگر بدلیل کمتر بودن تعداد اتصالات در آنتن های 6 و 8 شاخه ای در تکرارهای پایین، نسبت به آنتن های 4 شاخه ای در تکرارهای بالا، ساخت آنتن های 6 و 8 شاخه ای راحت تر می باشد.
علیرغم پیچیدگی آنتن های فرکتالی درختی سه بعدی، پترن آنها به پترن آنتن دوقطبی معمولی بسیار نزدیک می باشد. شکل (4-3) مقایسه ای را بین پترن تشعشعی برای آنتن های درختی 4، 6 و 8 شاخه ای با آنتن دوقطبی معمولی نشان می دهد. پلاریزاسیون تداخلی برای پترن تشعشعی این آنتنها بسیار ناچیز(کمتر از dB150-) می باشد.

شکل (2-13) : پترن تشعشعی برای آنتن های درختی 4، 6 و 8 شاخه ای2-4-2 مولد ساختار فرکتالی درختی با زاویه متغیردر این قسمت هدف بررسی تأثیر تغییرات زاویه بین شاخه ای θ بر روی خواص تشعشعی آنتن های 4 شاخه ای در تکرار دوم و سوم می باشد. در این آنتن ها زاویه بین شاخه ای از 10 تا 90 درجه در تغییر است. در این حالت سایر پارامترهای طراحی برای این آنتن ثابت در نظر گرفته می شود. شکل (2-14) ساختار چند نمونه از این آنتن ها را نشان می دهد. جدول (2-4) نیز پارامترهای طراحی را برای ساختارهای شکل (2-14) نشان می دهد.
نتایج حاصل از شبیه سازی نسبت موج ایستان (VSWR) برای آنتن 4 شاخه ای برای تکرارهای دوم و سوم، به ازای مقادیر مختلف زاویه بین شاخه ای، در شکل (2-15) نشان داده شده است. همان طور که در این شکل مشاهده می کنید، تغییرات نسبت موج ایستان برای این آنتن به ازای فرکانس های مختلف، روند یکسانی ندارد. به عبارتی دیگر در زاویه بین شاخه ای نزدیک 50 درجه، روند تغییر فرکانس به منظور افزایش VSWR، تغییر می کند.
پترن تشعشعی برای آنتن ها نسبت به تغییرات زاویه بین شاخه ای، ثابت بوده و شبیه شکل (2-13) می باشد.

شکل (2-14) : آنتن 4 شاخه ای در تکرار سوم، برای چند زاویه بین شاخه ای متغیرجدول (2-4) : پارامترهای طراحی برای آنتن 4 شاخه ای در تکرار سوم94869075565Rotation
(Ф)Elevation
(θ)Scale Branch
0°10°→90°0.5 1
90°10°→90°0.5 2
180°10°→90°0.5 3
270°10°→90°0.5
4
00Rotation
(Ф)Elevation
(θ)Scale Branch
0°10°→90°0.5 1
90°10°→90°0.5 2
180°10°→90°0.5 3
270°10°→90°0.5
4

شکل (2-15) : نسبت موج ایستان برای آنتن 4 شاخهای برای تکرارهای دوم و سوم برای زوایای بین شاخهای مختلف2-4-3 ساختارهای فرکتالی درختی مرکبهمان طور که در قبل مشاهده کردیم، آنتن درختی 8 شاخه ای، در حالت عادی تکرارهای سوم و بالاتر را دارا نمی باشد. برای رفع این مشکل معمولاً از یک سری تغییرات بر روی مولد ساختار 8 شاخه ای استفاده می شود.
یک نمونه از آنتنهایی که برای رفع این مشکل مورد استفاده قرار میگیرند. آنتنهای مرکب میباشند که در ادامه مورد بررسی قرار میگیرند. شکل (2-16) آنتن درختی 8 شاخهای مرکب را برای سه تکرار اول نشان میدهد. جدول (2-4) پارامترهای طراحی را برای آنتن درختی 8 شاخهای مرکب، نشان میدهد. در این آنتن، برخلاف آنتن 8 شاخهای بخش قبل، طول تمامی بچه شاخهها برابر نمیباشد، بلکه بچه شاخهها در زوایای (0 و 90 و 180 و 270 درجه) دارای طولی برابر با نصف طول شاخه والد بوده و بچه شاخهها در زوایای (45 و 135 و 225 و 315 درجه) دارای طولی برابر با 4/0 طول شاخه والد میباشند. لذا در ساختار 8 شاخهای مرکب، آنتن، ترکیبی از بچه شاخهها با طولهای نابرابر میباشد. سایر پارامترهای طراحی برای آنتن 8 شاخهای مرکب مانند آنتن 8 شاخهای در بخش قبل میباشد. نتایج حاصل از شبیه سازی برای پارامتر S11 آنتن 8 شاخه ای مرکب در شکل (2-17) نشان داده شده است. همان طور که در این شکل مشاهده می کنید، در این آنتن یک کاهش در فرکانس های رزونانس در مقایسه با آنتن 4 و 6 شاخه ای متناظر، دیده می شود. پترن تشعشعی برای آنتن 8 شاخه ای مرکب نیز همانند دو قطبی معمولی می باشد.

شکل (2-16) : آنتن درختی 8 شاخه ای مرکب، برای سه تکرار اولجدول (2-5) : پارامترهای طراحی برای آنتن درختی 8 شاخه ای مرکبRotation(Ф)Elevation(θ)Scale
Branch
0°30°0.5 1
45°30°0.4 2
90°30°0.5 3
135°30°0.4 4
180°30°0.5 5
225°30°0.4 6
270°30°0.5 7
315°30°0.4 8

شکل (2-17) : نتایج حاصل از شبیه سازی برابر پارامتر S11 آنتن 8 شاخه ای مرکب2-4-4 آنتن های درختی با شاخه مرکزیدر این بخش با نمونهای از آنتنهای درختی آشنا میشویم که در آنها به منظور افزایش چگالی شاخههای مرکزی استفاده شده است. استفاده از شاخه مرکزی باعث کاهش فرکانس رزنانس در آنتنهای درختی میگردد. در این بخش دو ساختار فرکتالی درختی با شاخه مرکزی و بدون شاخه مرکزی با هم مقایسه میشوند. در این حالت آنتن درختی انتخاب شده، آنتن 4 شاخهای می باشد. ساختار کلی این آنتنها در شکل (2-18) نشان داده شده است و پارامترهای طراحی این آنتن در جدول (2-5) آمده است. مقایسه نتایج حاصل از شبیهسازی برای آنتن درختی با شاخه مرکزی، یک جابجایی فرکانسی منفی را برای فرکانسهای رزنانس، در مقایسه با آنتن درختی بدون شاخه مرکزی نشان میدهد. البته میزان تلفات بازگشتی برای آنتن درختی با شاخه مرکزی، به مقدار ناچیزی افزایش یافته است. این نتایج را در شکل (2-19) مشاهده میکنید. براساس نتایج داده شده در این شکل، میزان کاهش فرکانس برای آنتن درختی با شاخه مرکزی برابر با MHz60، و میزان افزایش پارامتر S11 نیز برابر با dB1 تا dB3 میباشد. پترن تشعشعی برای آنتن ها نیز شبیه به آنتنهای دوقطبی ساده میباشد.
جدول (2-6) : پارامترهای طراحی آنتن 4 شاخه ای درختی، با شاخه مرکزی و بدون شاخه مرکزی8- Branch, 45° Tree with Center stub 4- Branch,45° Tree
Rotation
(Ф)Elevation
(θ)Scale Branch Rotation
(Ф)Elevation
(θ)Scale Branch
45°45°0.5 1 45°45°0.5 1
135°45°0.5 2 135°45°0.5 2
225°45°0.5 3 225°45°0.5 3
315°45°0.5 4 315°45°0.5 4
45°0°0.5 5
شکل (2-18) : آنتن های درختی 4 شاخه ای با شاخه مرکزی و بدون شاخه مرکزی
شکل (2-19) : نتایج حاصل از شبیه سازی برای پارامتر S11 آنتن 4 شاخه ای با شاخه مرکزی و بدون شاخه مرکزی2-4-5 آنتن درختی تک قطبی با بارگزاری راکتیودر این بخش به بررسی آنتن هایی می پردازیم که با استفاده از بارگزاری راکتیو در آنها امکان ایجاد چندین فرکانس رزنانس فراهم می شود. این بار راکتیو به صورت اتصال باز برای بازه ای از فرکانس و به صورت اتصال کوتاه برای بازه دیگری از فرکانس عمل می کند. که این ویژگی سبب می گردد که این آنتن ها بتوانند به صورت خود ساخته، طول الکتریکی خود را تغییر دهند. استفاده از نظریه فوق برای ساختارهای فرکتالی درختی باعث ایجاد آنتنی می شود که نه تنها در بیش از یک فرکانس رزنانس می کند، بلکه از لحاظ ابعاد نیز کوچک می باشد.
اولین ساختاری که در این بخش مورد بررسی قرار می گیرد، ساختار درختی 4 شاخه ای می باشد که بر روی شاخه اصلی آن یک اتصال LC موازی قرار دارد. در این حالت در فرکانس های پایین به دلیل اتصال کوتاه شدن مدار LC موازی، طول آنتن برابر طول یک آنتن درختی 4 شاخه ای ساده می باشد و این در حالی است که برای فرکانس های بالا به دلیل اتصال باز شدن مدار LC موازی، طول آنتن تنها برابر با طول شاخه اصلی آنتن درختی 4 شاخه ای می باشد. با توجه به توضیحات فوق این آنتن درای کاری می باشد. به منظور ایجاد آنتن سه بانده می توان از دو اتصال LC موازی، به صورت سری نسبت به هم بر روی شاخه اصلی استفاده کرد. شکل (2-20) ساختار کلی آنتن 4 شاخه ای درجه سوم را برای بارگزاری راکتیو، در دو حالت دو بانده و سه بانده نشان می دهد. جدول (2-7) نیز محل قرار گرفتن بارها را نشان می دهد.
مقادیر S11 برای این ساختارها در شکل (2-21) نشان داده شده است. همان طور که در این شکل مشاهده می کنید، استفاده از المان بارگزاری، علاوه بر ایجاد آنتن چند بانده باعث ایجاد کاهش در فرکانس رزنانس نیز می گردد. که این خود یکی دیگر از امتیازات استفاده از این ساختار نسبت به آنتن درختی معمولی می باشد.
شکل (2-22) پترن تشعشعی را برای تمامی فرکانس های رزنانس در آنتن های 4 شاخه ای تک بانده، دوبانده و سه بانده نشان می دهد. همان طور که در این شکل مشاهده می کنید پترن تشعشعی برای آنتن بدون بارگزاری در فرکانس رزنانس MHz910 تنها دارای یک گلبرگ اصلی می باشد. فرکانس رزنانس دوم در این آنتن، که ناشی از مد رزنانسی دوم می باشد، برابر با MHz6100 بوده و پترن آن دارای دو گلبرگ اصلی می باشد. برای آنتن درختی با یک المان بارگزاری اولین فرکانس های رزنانس برابر با MHz 800 و MHz2460 می باشند که پترن تشعشعی برای این دو فرکانس بسیار به هم نزدیک می باشند. دومین فرکانس رزنانس آنتن درختی با یک المان بارگزاری نیز برابر با MHz 5240 می باشند. پترن تشعشعی برای این سه فرکانس بسیار به هم نزدیک می باشند.
در ادامه به بررسی یک آنتن تک قطبی 4 شاخه ای با زاویه θ=45° در تکرار سوم می پردازیم. در این ساختار از اتصالات LC سری، برای بارگزاری آنتن استفاده شده است. نکته قابل توجه در این ساختار این است که اتصالات سری LC می توانند بر روی هر دو نوع شاخه اصلی و یا بچه شاخه قرار گیرند. بطور کلی قابلیت قرارگیری کلیدهای LC بر روی قسمت های مختلف ساختار درختی، باعث ایجاد درجات آزادی زیادی در طراحی این آنتن ها می شود. در واقع به هنگامی که المان LC بر روی شاخه اصلی قرار دارد، فرکانس های رزنانس آنتن چند بانده در فاصله زیادی نسبت به هم قرار دارند.

شکل (2-20) : آنتن 4 شاخه ای درجه سوم بارگزاری شده، در دو حالت دو بانده و سه باندهجدول (2-7) : پارامترهای طراحی آنتن 4 شاخه ای درجه سوم بارگزاری شده، در دو حالت دوبانده و سه باندهDual- band Loaded Fractal Tree Monopole Antenna
C L Distance
From Ground Plane Branch
Length Position
Configuration Load
#
0.5pF 10nH 1.95 cm 2 cm Base Parallel 1
Tri- band Loaded Fractal Tree Monopole Antenna
C L Distance
From Ground Plane Branch
Length Position
Configuration Load
#
0.5pF 10nH 1.95 cm 2 cm Base Parallel 1
50nF 50μH 1.65 cm 2 cm Base Parallel 2

شکل (2-21) : پارامتر S11 آنتن 4 شاخه ای درجه سوم بارگزاری شده
شکل (2-22) : پترن تشعشعی آنتن 4 شاخه ای درجه سوم بارگزاری شدهعلت این اثر نیز، اختلاف زیاد طول الکتریکی آنتن برای فرکانس های رزنانس مختلف می باشد. به همین ترتیب، با قراردادن المان LC بر روی شاخه فرعی، این امکان به طراح داده می شود که بسته به نیاز خود فاصله بین باندهای مختلف آنتن چند بانده درختی را کاهش دهد. ساختار کلی آنتن 4 شاخه ای بارگزاری شده با المان های LC سری، در شکل (2-23) نشان داده شده اند. جدول (2-7) نیز پارامترهای طراحی را برای این آنتن نشان می دهد.
نتایج شبیه سازی، وجود سه فرکانس رزنانس MHz330 و MHz 800 و MHz2220 را برای این آنتن نشان می دهد. که این نتایج در شکل (2-24) نشان داده شده است. در این آنتن از یک شبکه تطبیق به منظور ایجاد تطبیق در تمامی فرکانس ها استفاده شده است. ساختار کلی این شبکه در شکل (2-25) نشان داده شده است. جهت کسب اطلاعات بیشتر در خصوص نحوه انتخاب این شبکه می توانید به مرجع مراجعه کنید. در نهایت نیز پترن تشعشعی برای این آنتن در شکل (4-26) نشان داده شده است. همان طور که در این شکل مشاهده می کنید پترن تشعشعی در هر سه فرکانس رزنانس این آنتن دارای یک گلبرگ می باشد.

شکل (2-23) : ساختار آنتن 4 شاخه ای بارگزاری شده با 5 المان LC سریجدول (2-8) : پارامترهای طراحی آنتن 4 شاخه ای بارگزاری شده با 5 المان LC سریLoaded Tri- band Center Stubbed Fractal Tree Monopole Antenna
C L Distance
From Base
Of Branch Branch
Length Position Configuration Load
#
50nF 50nH 0.1 cm 1 cm Center Stub 1st Stage Series 1
5nF 600nH 0.9 cm 1 cm Outer branch
1st Stage Series 2
5nF 600nH 0.9 cm 1 cm Outer branch
1st Stage Series 3
5nF 600nH 0.9 cm 1 cm Outer branch
1st Stage Series 4
5nF 600nH 0.9 cm 1 cm Outer branch
1st Stage Series 5

شکل (2-24) : پارامتر S11 آنتن 4 شاخه ای بارگزاری شده با 5 المان LC سری
شکل (2-25) : شبکه تطبیق برای آنتن 4 شاخه ای بارگزاری شده با 5 المان LC سری
شکل (2-26) : پترن تشعشعی برای آنتن 4 شاخه ای بارگزاری شده با 5 المان LC سریتا اینجا با چند نمونه از آنتن های درختی سه بعدی آشنا شدیم. استفاده اصلی این ساختارها جهت کوچک کردن ابعاد آنتن های دوقطبی و یا تک قطبی می باشد. در ادامه این فصل با ساختارهای فرکتالی سه بعدی هیلبرت آشنا می شویم.
2-5- آنتن های سه بعدی هیلبرتدر این بخش با یکی دیگر از آنتن های فرکتالی سه بعدی آشنا می شویم. ویژگی اصلی این آنتن ها وجود گین قابل قبول برای باندهای مختلف می باشد. پهنای باند امپدانسی برای این ساختارها به اندازه ای می باشد که می توان از آن ها جهت پوشش سیستم های DCS و PCS و UMTS استفاده نمود. در این بخش با دو نمونه از ساختارهای سه بعدی هیلبرت آشنا می شویم. که ضمن بررسی خواص آنها با نتایج حاصل از شبیه سازی و اندازه گیری این ساختارها نیز آشنا می شویم.
2-5-1 ساختارهای هیلبرت سه بعدی معمولی
اولین ساختار هیلبرتی که مورد بررسی قرار می دهیم، ساختار هیلبرت معمولی می باشد. نمای کلی این آنتن ها در تکرارهای اول، دوم و سوم در شکل (2-27) نشان داده شده است. این آنتن ها دارای ضخامت mm 2/0 و عرض mm 10 و mm 5 و mm5/2 به ترتیب برای تکرارهای اول، دوم و سوم می باشند. از طرفی دیگر اندازه طول هر المان آنتن سه بعدی هیلبرت در شکل (2-27)، یعنی پارامترهای L1 , L2, L3، برابر با mm10 و mm20 و mm40 می باشد و عرض هر المان نیز (W1,W2,W3)، برابر با mm5/2 و mm 5 و mm10 می باشد. این آنتن ها در ارتفاع mm3 از صفحه زمینی با ابعاد mm70 mm ×70 قرار گرفته اند.
تغذیه این آنتن ها نیز از طریق یک کابل هم محور در فاصله mm5/2 از ابتدای بازوهای آزاد برای تکرار اول و دوم و در فاصله mm 5/1 برای تکرار سوم، فراهم می شود. همان طور که در شکل (2-27) نشان داده شده است، آنتن فرکتالی سه بعدی هیلبرت در تکرار سوم در دو حالت مورد بررسی قرار گرفته است. در حالت اول آنتن در فضای آزاد قرار دارد و در حالت دوم آنتن در داخل یک استوانه دی الکتریک قرار گرفته است. در ادامه نتایج حاصل از شبیه سازی این دو آنتن مورد بررسی قرار می گیرد.
2-5-1-1 آنتن هیلبرت سه بعدی معمولی در فضای آزادشکل (2-28) نتایج حاصل از شبیه سازی پارامتر S11، را برای این آنتن را در تکرارهای مختلف نشان می دهد.

شکل (2-27) : آنتن هیلبرت سه بعدی معمولی در سه تکرار اول
شکل (2-28) : پارامتر S11 برای آنتن هیلبرت سه بعدی معمولی در سه تکرار اولبراساس آنچه در شکل (2-28) مشاهده میکنید، تعداد فرکانسهای رزنانس برای آنتن هیلبرت معمولی با افزایش درجات تکرار افزایش مییابد. نکته قابل توجه در این شکل این است که فرکانسهای رزنانس در این آنتن همانند آنتن سرپینسکی، متناوب لگاریتمی نمیباشند. شکل (2-29) نیز پترن تشعشعی را برای این آنتن در فرکانس GHz 5 در تکرارهای مختلف نشان می دهد. در این حالت گین آنتن برای تکرارهای اول، دوم، و سوم به ترتیب برابر با 3dBi و 7dBi و 6dBi می باشد. همان طور که در شکل (2-29) مشاهده می کنید، آنتن هیلبرت معمولی دارای پترن نامتقارن می باشد که این ویژگی به دلیل خاصیت نامتقادن ساختار آنتن هیلبرت می باشد. نکته دوم اینکه، با توجه به شکل (2-28) این آنتن دارای تلفات بازگشتی زیادی در اغلب باندهای رزنانسی می باشد. یک راه حل ساده برای رفع این مشکل استفاده از آنتن هیلبرت سه بعدی معمولی در داخل استوانه دی الکتریک، می باشد، که در ادامه مورد بررسی قرار می گیرند.

شکل (2-29) : پترن تشعشعی برای آنتن هیلبرت معمولی در فرکانس GHz5، برای تکرار اول (a) و برای تکرار دوم (b) و برای تکرار سوم (c)2-5-1-2 آنتن هیلبرت سه بعدی معمولی در داخل استوانه دی الکتریکهمان طور که اشاره شد، هدف از استفاده آنتن هیلبرت معمولی در داخل استوانه دی الکتریک، کاهش تلفات بازگشتی می باشد. در این بخش نتایج حاصل از بررسی آنتن هیلبرت معمولی در تکرار سوم را، که در داخل یک استوانه ای از دی الکتریک قرار دارد مورد بررسی قرار می دهیم. ضرایب دی الکتریک برای ماده داخل استوانه دو مقدار 07/1 و 25/2 انتخاب شده است. شکل (2-30) نتایج حاصل از شبیه سازی این آنتن ها را نشان می دهد. همان طور که در این شکل مشاهده می کنید، هنگامی که استوانه دارای ضریب دی الکتریک 07/1 می باشد، عملکرد آنتن در فرکانس های پایین مانند حالت فضای آزاد می باشد. این درحالی است که برای استوانه دارای ضریب دی الکتریک 25/2، آنتن باند فرکانسی بالای خود را در فضای آزاد از دست خواهد داد و به جای آن در فرکانس های پایین دارای دو باند می گردد.

شکل (2-30) : پارامتر S11 برای آنتن هیلبرت سه بعدی معمولی در تکرار سوم در فضای آزاد و محیط دی الکتریک2-5-2 آنتن هیلبرت سه بعدی معکوسیکی دیگر از ساختارهای هیلبرت سه بعدی، آنتن های هیلبرت معکوس می باشند، که نمای کلی آنها در شکل (2-31) نشان داده شده است. در این ساختارها بدلیل تقارن آنتن و قرار گرفتن محل تغذیه در مرکز، پترن تشعشعی این آنتن ها در مقایسه با آنتن های هیلبرت معمولی دارای کیفیت بهتری می باشد. نتایج حاصل از شبیه سازی این آنتن ها برای سه تکرار اول در شکل (2-32) نشان داده شده است. شکل (2-33) نیز پترن تشعشعی برای این آنتن در سه تکرار اول نشان می دهد. با توجه به این نتایج، گین بدست آمده برای این آنتن در سه تکرار اول به ترتیب برابر با 8dBi و 6dBiو 6dBi می باشد. که مقادیر بدست آمده بهبود گین این آنتن را در مقایسه با آنتن هیلبرت معمولی نشان می دهد.
همانگونه که در این بخش مشاهده کردید، با چند نمونه از آنتن های فرکتالی سه بعدی هیلبرت آشنا شدیم. نتایج بدست آمده در این بخش نشان می دهد که از این آنتن ها می توان برای کاربردهای چند بانده که نیاز به گین بیشتری می باشد استفاده نمود. مطمئناً به منظور افزایش پهنای باند امپدانسی و کاهش ابعاد این آنتن ها، نیاز به تغییرات بیشتری در این ساختارها می باشد. برای کسب اطلاعات بیشتر در این مورد می توان به مراجع 29 و 30 رجو ع کرد.

شکل (2-31) : آنتن هیلبرت سه بعدی معکوس در سه تکرار اول
شکل (2-32) : پارامتر S11 برای آنتن هیلبرت سه بعدی معکوس در سه تکرار اول
شکل (2-33) : پترن تشعشعی برای آنتن هیلبرت معکوس در فرکانس GHz5، برای تکرار اول (a)، تکرار دوم (b) و تکرار سوم (c)فصل سومآنتن های مایکرو استریپ3-1 مقدمهدر این فصل با آنتن های مایکرواستریپ ویژگی، عملکرد و میدان تشعشعی در این آنتن ها آشنا می شویم.
در ادامه روش های تغذیه آنتن مایکرو استریپ اشاره خواهیم کرد و سپس روش های کاهش ابعاد آنتن مایکرواستریپ را به طور جامع مورد بررسی قرار می گیرد.
3-2 تعریف آنتن های مایکرو استریپیک آنتن مایکرواستریپ، همان طور که در شکل(3-1) نشان داده شده است، شامل یک عایق است که در یک طرف آن، صفحه زمین و در طرف دیگر آن، صفحه تشعشعی قرارگرفته است که این صفحه تشعشع کننده هادی، شکلهای مختلفی میتواند داشته باشد ولی معمولا شکلهایی مورد استفاده قرار میگیرند که بتوان به راحتی مورد تحلیل قرار داد.
جنس هادی، معمولا مس و طلا انتخاب میشود و جنس لایه عایق معمولا به گونهای باید باشد که میدانهای پراکندگی و تشعشع کننده از لبههای آنتن بیشتر باشد، بنابراین ثابت دیالکتریک باید تا حد امکان کم باشد[1]-[3] .
وقتی فرکانس سیگنال به فرکانس تشدید نزدیک میشود، دامنه جریانهای سطحی که روی هادی جریان پیدا میکنند اهمیت مییابند و تشدید هنگامی اتفاق میافتد که اندازه هادی به اندازه نصف طول موج برسد. رزوناتورهای مایکرواستریپ را میتوان به دو دسته اصلی طبقه بندی کرد که بستگی به نسبت طول به عرض آنتنها دارد.
رزوناتورهایی که هادی آنها باریک است دی پل مایکرواستریپ و رزوناتورهایی که پهن هستند پچهای مایکرواستریپ نامیده میشوند. توزیع جریان طولی هر دو نوع آنتن برای مدار اصلی زیاد است، بنابراین پترن و گین آنها مشابه میباشد ولی مشخصات دیگر آنها می تواند با هم تفاوت داشته باشد (از قبیل امپدانس ورودی، لوبهای جانبی و پلاریزاسیون).
وقتی فرکانس سیگنال نزدیک فرکانس تشدید باشد، رزوناتور مایکرواستریپ، یک بیم گسترده در جهت لبه جانبی نسبت به صفحه آنتن تشعشع میکند. قسمت عمده سیگنال ورودی در تشعشع شرکت میکند و بنابراین رزوناتور بصورت یک آنتن عمل میکند.
از آنجایی که بعد اصلی پچ باید به اندازه نصف طول موج باشد، بنابراین دایرکتیویته آن بسیار پایین است. مثلا یک دیپل نصف طول موج، بطور معمول بین dB5 تا dB6 گین دارد و محدوده پهنای بیم dB3 آن از 70 تا 90 درجه میباشد.
در بسیاری از کاربردهای مایکروویو نیاز به آنتنهایی با دایرکتیویته بالا میباشد که در نتیجه، بیم آنتن باید باریک باشد. در اینگونه موارد، یک پچ تنها مناسب نمیباشد بلکه باید از یک تعداد المان های تشعشع کننده مشخصی که به صورت آرایه پریودیک قرارگرفتهاند استفاده کرد و در این صورت دایرکتیویته افزایش خواهد یافت.

aslinezhad project

چکیده16
مقدمه17
فصل اول: کلیات19
(1-1 هدف. 20
(2-1 پیشینه تحقیق20
(3-1روش کارو تحقیق22
( 1 – 3 – 1 بررسی هایبرید خط شاخهای فشرده باند پهن22
( 2 – 3 – 1 بررسی کوپلر خط شاخهای دو بانده(25(900/2000Mhz
( 3 – 3 – 1 شبیه سازی کوپلر دو بانده خط شاخه ای T شکل26
فصل دوم: تقریبی برای طراحی و بکار بستن کوپلر خط شاخهای
تک بانده و دو بانده πو T شکل28
(1-2مدار خط شاخهای اندازه فشرده T شکل29
(2-2طراحی و بکار بستن مدار T شکل و رسم منحنی مشخصه آن33
(3-2 کوپلر خط شاخهای36
(4-2 فرموله کردن با استفاده از ماتریس خطوط انتقال37
۶
(5-2 نتایج شبیهسازی مدار π شکل بدون استفاده از استاب41
(6-2 تحقق جهت دو بانده کردن مدار43
(1 -6-2 استفاده از استاب مدار باز ( ربع طول موج)43
λ
(2-6-2 استفاده از مدار اتصال کوتاه ( طول 44( 2

(7-2 آنالیز(تحلیل) مدار π شکل خط شاخهای دوبانده و مشاهده نتایج شبیهسازی46
فصل سوم: طراحی مدار میکرواستریپ فشردهT شکل دوبانده با
اندازه کاهش یافته.50
(1-3 دوبانده کردن مدار T شکل خط شاخهای کوچک شده با توجه به روند ارائه شده در
دو بانده کردن کوپلرπ شکل ( 900MHz و 51(2400MHz
(2-3 استفاده از برنامه کامپیوتری ساده جهت بدست آوردن پارامترهای مدار دو بانده52
(3-3 آنالیز(تحلیل) مدار T شکل دو بانده در چند محیط ( نرم افزار) مختلف و مشاهده
نتایج53
فصل چهارم: بررسی انواع مختلف DGS و اثرات آن بر روی
خطوط میکرواستریپ59
DGS (1-4 چیست60
( 2 – 4 مشخصات کلی 60 .DGS
( 3 – 4 کاربردهای 61DGS
٧
( 4 – 4 ویژگیهای 61DGS
( 5 – 4 اثر DGS دمبلی شکل بر روی خطوط میکرواستریپ....61
( 1 – 5 – 4 الگوی .DGSدمبلی شکل و ویژگی شکاف باند63
DGS ( 2 – 5 – 4 دمبلی پریودیک قویتر64
( 3 – 5 – 4 اندازهگیریهای مربوط به DGS دمبلی شکل..66
( 6 – 4 بررسی اثرات DGSهای هلزونی در تقسیم کننده توان بر روی هارمونیکها68
-7-4مدل مداری و هندسه DGS هلزونی غیرمتقارن70
( 8 – 4 حذفهارمونیکهادر مدار مقسم توان73
( 9 – 4 مشاهده اثرات DGS برروی کوپلر T شکل در یک باندفرکانسی78
( 10 – 4 مشاهده اثرات DGS برروی مدار دو بانده طراحی شده80
فصل پنجم:چگونگی استفاده از کوپلر بدست آمده در طراحی
سیرکولاتور82
(1-5طراحی سیرکولاتور83
(2-5مدار معادل برای سیرکولاتور با استفاده از یک ژیراتور و دو کوپلر83
فصل ششم:نتیجه گیری وپیشنهادات86
(1-6نتیجه گیری87
(2-6پیشنهادات88
٨
پیوست ها................................................................................................................................... 89
٩
فهرست مطالب
عنوان مطالبشماره صفحه

منابع و ماخذ. 93
سایتهای اطلاع رسانی97.
چکیده انگلیسی98
١٠
فهرست جدول ها
عنوانشماره صفحه

:(1-2)مشخصات الکتریکی وفیزیکی مدار در دو باند..47
(1-3) دو بازه فرکانسی و دو هدف مورد نظر پروژه..55
(2-3.) بازه بالا و پایین جهت optimom هدف.56
(1–4)مقایسه اثر DGSهای واحد و پریودیک با توزیع نمایی..66
١١
فهرست شکل ها
عنوانشماره صفحه

(a) ( 1 – 1) خط انتقال مرسوم (b) خط انتقال معادل با سری شدن یک خط و
استاب (c) مدل معادل المانهای فشرده برای محاسبه فرکانس قطع23
(a) ( 2 – 1) سرس خطوط انتقال کوچک شده با چندین استاب
باز (b) بزرگی پاسخ.25
( 3 – 1) نمایی از نرم افزار Serenade. RTL جهت بدست آورن طول
فیزیکی و پنهای خطوط.26
( 1-2 ) ساختار T شکل خط انتقال ربع طول موج30
( 2-2 ) منحنی رسم شده حاصل از برنامه کامپیوتری θ1)بر حسب32.(θ3
( 3-2 ) مدار چاپی خط شانهای T شکل34
S11 (a) ( 4-2)،S12،S13،(b) S14 پاسخ فازی مدار Tخط شاخهای35
(5-2) ساختار کوپلر خط شاخه ای یک بانده مرسوم.38
(a) ( 6 – 2) ساختار معادل پیشنهادی (b) خط شاخهای 38. λ4

S11 ( 7-2 )،S12،S13وS14 از کوپلر بدون استاب42
( 8-2 ) پاسخ زاویهS12وS14 برای مدار بدون استاب42
( 9-2 ) ساختار کوپلر پیشنهادی با استاب مدار باز44
١٢
( 10-2 ) ساختار کوپلر پشنهادی با استاب اتصال کوتاه ........................................................ 45
11-2 ) ) نتایج شبیه سازی .................................................................................. ...(S11) 47
12-2 ) ) نتایج شبیه سازی(S12و............................................................................ .(S13 48
( ( 13-2 نتایج شبیه سازی .................................................................................... .(S14) 48
14-2 ) )نتایج شبیه سازی (پاسخ فاز مدار با استاب باز) ................................................... 49
( (a) ( 1-3 شماتیک (b) مدار چاپی ................................ (designer, hfss) ansoft 55
( S11(a) ( 2-3،S12،S13وS14 مدار شبیه سازی شده در .....................................................................ADS (c) serenade (b) ansoft (a) 57
( 3-3 ) پاسخ فازی مدار دو بانده. ....................................................................................... 58
1-4 ) ) شمای مختلف H (a) DGS شکل T ( b)شکل (c)هلزونی شکل (d) دمبلی شکل. ......................................................................................................... 60
( 2-4 ) خط میکرواستریپ با εr = 15 و ................... ................................ h = 1/575 62
( 3-4 ) پارامترهای S مدار دوپورته.. ................................................................................ 62
( 4-4 ) مدار با DGS دمبلی شکل .. ............................................................................... 63
( 5-4 ) پارامترهای S مدار با DGS دمبلی شکل ............................................................ 63
( 6-4 (a) ( نوع (b) 1 نوع (c) 24 نوع DGS 3 دمبلی شکل ...................................... 65
( 7-4 ) پارامترهای S برای DGS دمبلی با انواع مختلف سایز. ....................................... 66
( 8-4 ) مقایسه پارامترهای S مدارهای (a) DGS نوع (b) نوع (c) 2 نوع 67 ............. ..3
١٣
( 9-4 ) خط میکرواستریپ با DGS هلزونی نامتقارن برروی زمین. ............................... 70
( 10-4 ) پارامترهای انتقال خط با DGS متقارن ( A = A' = B' = 3mm و نامتقارن A = 3/4m) و ............................................................................(B = 2/6 mm 71
11-4 ) ) فرکانس روزنانس ناشی از بر هم زدگی سمت چپ و راست خط بر حسب تابعی از ...................................................................................................................... .B/A 71
12-4 ) ) مدار معادل بخش DGS هلزونی نامتقارن ........................................................ 73
13-4 ) DGS (a) ( هلزونی نامتقارن برای حذف هارمونیک دوم و سوم (b) مدار معادل ساختار این ......................................................................................DGS 74
( 14-4 ) پارامترهای S مدار با DGS هلزونی بصورت EM و شبیه سازی شماتیک ........ 75
15-4 ) ) هندسیای از (a) مقسم توان ویل کنیسن معمولی (b) مقسم توان با DGS نامتقارن....................................................................................................................... 76
( 16-4 ) نتایج شبیه سازی (a) پارامتر S مقسم توان معمولی S (b) برای مقسم توان با ....................................................................................................................... ..DGS 77
17-4 ) ) مقسم توان willkinson با DGS هلزونی نامتقارن (a) روی مدار (b) پشت مدار...................................................................................................................... 77
( 18-4 ) نتیجه شبیه سازی مقسم توان با DGS هلزونی نامتقارن(.......... S12 ( b) S11 (a 78
( 19-4 ) مدار T شکل با استفاده از DGS هلزونی (a) یک بعدی (b) سه بعدی.......... 79
20-4 ) (a) ( نتیجه پاسخ شبیه سازی کوپلر با استفاده از اعمال (b) DGS بدون ١۴
استفاده از 80DGS
( 21-4 ) مدار چهار پورتی T شکل دوبانده با اعمال DGS دمبلی شکل در
شاخه خطوط..81
( 22-4) پارامترهای S حاصل از بکار بستن 81DGS
(1-5)نماد ژیراتور83
( 2-5)سیرکولاتور 4 پورته متشکل از دو مدار هیبریدی و زیراتور83
(3-5) سیرکولاتور ساخته شده با استفاده از دو کوپلر و یک ژیراتور84
(a)(4-5)،((b،((cو(:(dنتایج شبیه سازی سیرکولاتور85
(1-6)شبکه دو قطبی خطی. 91
١۵
چکیده:
در این پروژه سیرکولاتور دو بانده با ابعاد کوچک ارائه شـده اسـت. در طراحـی سـیرکولاتور مـورد نظـر از
کوپلر شاخه ای (BLC)1 میکرواستریپی دو بانده کوچک شده استفاده شده است . لذا در این پـروژه بیـشتر
بر روی چگونگی کوچک سازی و دو بانده کردن کوپلر شاخه ای میکرواستریپی با اسـتفاده از مـدارات T و
همچنین DGS2 متمرکز شده ایم . در کوپلر شاخه ای پیشنهادی از مدارات T در هر شاخه که دارای طـول
الکتریکی ±90 درجه در دو بانده می باشند ، استفاده شده است. از طرفی در صفحه زمـین در زیـر خطـوط
این کوپلر DGS هایی قرار دارند که با استفاده از این DGSها ، طول الکتریکی خطوط کاهش یافته و ابعاد
کوچکتر می گردند. کوپلر دو بانده کوچک شده توسط نرم افزارهایSerenadeوADS3وAnsoft تحلیـل
شده و نتایج شبیه سازی در این پروژه آورده شده اند. سپس با استفاده از کوپلرهای دو بانده کوچک شـده ،
سیرکولاتور مورد نظر طراحی گردیده است.

Branch line coupler١ Defected ground structure٢ Advance designe sys--٣
١۶
مقدمه:
امروزه تقاضا برای استفاده از عناصر دو بانده در صنعت مخابرات رو به افزایش است . سیستمهای مخابرات
با آنتن های دو بانده کاربرد زیادی دارند. سیرکولاتور یکی از عناصر اصلی در چنین سیستم هایی اسـت. بـا
استفاده از سیرکولاتور دو بانده می توان از یک تغذیه بین آنتن و سیستم مخـابراتی اسـتفاده نمـود. یکـی از
اجزای اصلی در ساخت سیرکولاتورهای چهار پورتی ، کوپلرهای هایبریدی و کوپلرهای شاخه ای((BLC
می باشند.
(BLC) از چهار خط انتقال به طول ربع طول موج مؤثر در فرکانس اصلی و هارمونیک هایی کار می کنـد.
.[1] ,[2]
معمولا این کوپلرها بزرگ هستند و سطح و فضای اشغال شده توسط آن ها زیاد است. در اکثـر کاربردهـای
امروز به خصوص در بردهای صفحه ای و میکرواستریپی ، این عیب محسوب می شود. لذا ، امـروزه روش
های مختلفی برای کوچک سازی و افزایش پهنای باند]٣[7- این کوپلرها ارائه شده است.
در مخابرات مدرن امروزی نیاز به اجزاء دو بانده بالاخص کوپلر BLC دو بانده ، می باشد تا مقدار عناصـر
مورد استفاده ،کاهش یابد.
] Hsiang٨[ از خطوط چپگرد برای دو بانده کردن کوپلر استفاده کرده است.BLC شامل خطـوط متـصل
شده به یک جفت المان موازی]١١[ گزارش شده است.
در این پروژه با استفاده از روشـهای کوچـک سـازیBLC و ترکیـب آن هـا بـا روشـهای دو بانـده سـازی
ابتداBLC با ابعاد کوچک در دو بانده 900Mhzو2400Mhz طراحی شده است سپس برای کاهش بیـشتر
سطحBLCصفحه ای ازDGS ها استفاده شده است.
١٧
گزارش ارائه شده از نمونه طراحی سیرکولاتور مورد نظر شامل قسمت های زیر می باشد:
در فصل اول کلیاتی در مورد مراحل انجام پروژه ،هدف از انجام مراحل کار ، پیشینه تحقیقهای انجـام شـده
در مورد مدارمورد نظر و روش کمی کار مورد بررسی قرار گرفته است.
در فصل دوم ابتدا نحوه افزایش پهنای باند کوپلرها ، کوچک سازی با استفاده از مدارT و استفاده از مـدارπ
بــرای دو بانــده کــردن کوپلربررســی شــده اســت. ســپس بــا اســتفاده از نــرم افزارهــای تخصــصی
مانندSerenadeوAnsoft مدارات ذکر شده تحلیل گشته و نتایج شبیه سازی آورده شده اند.
در ادامه کوپلر کوچک شده با استفاده از مدارT ، با توجه به روند ارائـه شـده در دو بانـده کـردن کـوپلر بـا
مدارπ ، در فصل سوم دو بانده شده و روابط حاصل برای دو بانده کردن آن به دست آمده است.
کوپلر به دست آمده با استفاده از نـرم افـزار ADSوSerenadeوAnsoft تحلیـل و بهینـه گـشته اسـت و
منحنی های مربوط به آن در این فصل آورده شده اند.
در فصل چهارم DGS به عنوان ابزاری برای کوچک سازی مدارات صفحه ای شرح داده شده و از آن برای
کوچکتر کردن ابعاد کوپلر دو بانده استفاده شده است . نتایج شبیه سـازی کـوپلر حاصـل ، نـشان داده شـده
است. چگونگی استفاده از کوپلر به دست آمده در طراحی سیرکولاتور در فصل پنجم شرح داده شده اسـت
و در آخر در فصل ششم نتیجه گیری و پیشنهاداتی برای ادامه کار آورده شده است.
١٨
فصل اول:
کلیات
١٩
(1-1 هدف
کوپلرهای شاخهای با بکار بستن استابها ( مدارباز – مدار کوتاه) نیزو با Cascade شدن یک سـری شـاخه
برکاستن حجم و بالا رفتن پهنای باند نقش بسازیی را دارند. همچنین المانهای فشرده به ما امکـان کـوچکتر
کردن مدار را میدهند و با عث افزایش باند میگردند منتهی برای ساخت مدار نهایی با کـاهش سـایز کلـی و
افزایش پهنای باند و بکار بردن کوپلینگ مناسب در سرهای مدار و ایزوله کردن پورتها از همدیگر مـیتـوان
از روش مناسب بکار بردن DGS و نتیجتاً افزایش اندوکتانس خطوط و در نتیجه اهداف مطلوب دسترسـی
پیدا کرد.
در این پروژه هدف کلی رسیدن به ساختار فشرده و نیز استفاده از مدار میکرواستریپی در دو بانـد فرکانـسی
دلخواه و نیز افزایش هر یک از باندهای فرکانسی می باشد. و عـلاوه بـر ایـن بـا بکـار بـستن ( defected
ground structure) DGS بر روی زمین مدار شاهد اثرات مثبت آن برروی دستیابی باند فرکانسی مورد
نظر و نتیجتاً کاهش سایز مدار و خواهیم بود.
(2-1 پیشینه تحقیق
با توجه به ساختار مدار این پروژه و هدف مورد نظـر تحقیقهـایی مـورد نظـر بـودهانـد کـه بیـشتر در بـاره
Compact و فشرده سازی المانها، افزایش پهنـای بانـد، از بـین بـردن هارمونیکهـای اضـافی و اسـتفاده از
DGS میباشد.
در[1] افزایش پهنای باند مدارهای هایبرید با استفاده از اتصال خطوط شاخهای و استفاده از اسـتابهای مـدار
λ
باز در دو انتهای خط میکرواستریپ و معادل قرار داده خط با خط انتقال 4 جهت کاهش ابعاد مورد بررسی

قرار گرفته است.
٢٠
فعالیتهای گستردهای در جهت طراحی و بکاربردن کوپلرها و سـیرکولاتورهای صـفحهای فـشرده دردو بانـد
مورد دلخواه بعنوان مثال در پروژه - ریسرچ[2]انجام گردیده است که در فصل دوم نتایج حاصل از شـبیه سـازی ایـن
گونه کوپلرها و استفاده از ماترسیهای انتقال و نوشتن برنامه کامپیوتری جهت استفاده در دو فرکانس دلخـواه
مورد بررسی خواهند گرفت.
در مورد کاهش بیشتر سایز کوپلرها در حدود 45% مقدار کوپلرهـای مرسـوم خـط شـاخه ای و بـا مـدل T
شکل فعالیتهایی در مقالات گوناگون [3] تنها در یک باند فرکانسی مطرح گردیده است که در فصل بعدی
نیز این پروژه - ریسرچو نتایج شبیه سازی آن با نرمافزارهای گوناگون مورد بررسی قرار می گیرند.
یکی از مسائل مهم در چند قطبیهای میکرواستریپ مسئله کاهش اندازه بـوده کـه بـا توجـه بـه اسـتفاده از
المانهای باند و کاهش حجم مدار نیز استفاده از (defected ground structure) DGS مـیباشـد. ایـن
کار باعث از بین بردن هارمونیکهای اضافی و نتیجتاً کاهش اندوکتانس مدار و بالا بردن پهنای باند و کاهش
سایز مدار با کم کردن المانهـای مـوازی مـیگـردد. در ایـن زمینـه نیـز فعالیـتهـای گـسترده و اسـتفاده از
DGSهای مختلف صورت گرفته است [2]و[4]و[21]و .[22]
که اثرات تک DGS و نیـز DGS دمبلـی پریـود یـک را بـر روی پارامترهـای اسـکترینگ یـک خـط
میکرواستریپ دو پورتی ،بررسی شده است.
همچنین در[21] کاربرد DGS برروی خطوط یک کوپلر و تأثیر آن برروی پاسخ شبیه سـازی بـرروی ایـن
مدار در نرمافزار Ansoft بررسی گردیده است.
علاوه[23] نیز اثرات DGS هلزونی برروی حذف هارمونیکها و پهنای باند در یک تقسیم کننده توان ویـل
کینسن را مورد بررسی قرار داده است که در این پروژه در انتهای از این نوع DGS در زیـر خطـوط کـوپلر
خط شاخه ای تک بانده استفاده گردیده و نتایج آن آورده شده است.
٢١
و اثرات شکلهای گوناگون [21]DGSو[22]و[23]و مدل کردن مداری آنها بـرروی کـوپلر، سـیرکولاتور و
تقسیم کنندههای توان و به طور کلی خطوط میکرواستریپ را بررسی میکنند که در فصلهای بعـدی در ایـن
مورد به طور مفصل توضیح داده شده و نتایج حاصل از شبیه سازی نیز آورده شده است.
( 3 – 1 روش کار و تحقیق
در این پروژه روش کار و تحقیقهای انجام شده جهت رسیدن به هدف مورد نظر یعنـی اسـتفاده از دو بانـد
فرکانسی دلخواه کاهش حجم مدار بالابردن ضریب کوپلینگ نیز بـه صـورت اسـتفاده از مراجـع و منـابع و
مشاهده نتایج حاصله از این کارها بوده و بعد از برقراری لینک مورد نظر این منبع مـورد بررسـی بـا هـدف
نهایی به آیتم بعدی پروژه - ریسرچمربوط به مرجعهای اولیه پرداخته شده است. در بخشهای بعدی این مراحل عنوان
میگردند.
( 1 – 3 – 1 بررسی هایبرید خط شاخهای فشرده باند پهن:
در این مرحله نیز خط میکرواسـتریپ Zc4 بـا طـول الکتریکـی θ نیـز کـه در شـکل (1 – 1) (a) مـشاهده
میگردد به صورت یک خط انتقال مرسوم با المانهای توزیع شده فشرده معادل آن نیز مدل گردیده است[9]
و با بکار بردن فرمول ماتریس ABCD5 مدار معادل مشاهده شده در شکل (1 – 1) ( b) میتوانـد اسـتنباط
گردد. با معادلات ماتریس ABCD در شکل (1 – 1) به نتایج زیر دسترسی پیدا میکنیم.
(1 – 1)
JB01  J tan θ01 / Z 01

امپدانس خط معادل
ماتریس انتقال خط
٢٢
که B01 امپدانس ورودی استاب مدار باز است و٠١θ طول الکتریکی استاب مدار باز است.
و با در دست داشتن ادمیتانس ورودی استاب مدار باز شکل (b ) ( 1 – 1) به معادلات زیر میرسیم
(2 – 1) cosθs −cosθ B01  Z c sin θ (3 – 1) Zc sinθ Zs  sinθs که ≤θs≤θ≤1٠ می باشد و همانطوری که در شکل((1-1 دیـده میـشود θs طـول خـط بـین دو اسـتاب در
مدارπ است.

شکل (a ) (1 – 1) خط انتقال مرسوم (b) خط انتقال معادل با سری شدن یک خط و استاب (c) مدل معادل المانهای فشرده برای محاسبه فرکانس قطع
٢٣
ما همچنین میتوانیم فرکانس قطع برای ساختار فیلتر مانند شکل (b ) ( 1 – 1) و مـدار معـادل آن در شـکل
(c) (1-1) به صورت زیر بدست آوریم:
(4 – 1)
1 Wc  Leq Ceq
(5 – 1)
1  Wc )ZsSinθs tan(θs / 2)  Cosθs − Cosθ 2( W0 Zs Zc Sinθ
که در Wc فرکانس قطع مدار معادل نشان داده شده شکل (b ) ( 1 – 1) و Wo فرکانس کار مرکـزی مـدار
مورد نظر با المانهای فشرده معادل 7Ceq, Leq6 میباشند.
حال در اینجا برای بالا رفتن پهنای باند و عریض کردن باند فرکانسی دلخواه، با استاب مدار بـاز بـه خـوبی
طول واحد خطوط سری با یکدیگر بوده و مدل کردن خط میکرواستریپ با خطوط معـادل بـا اسـتابهـای
مدار باز سری همانطور که در شکل (2 – 1) نشان داده شده باعث کم شدن امپدانس استاب بـاز و افـزایش
فرکانس قطع (fc) میگردد.

۶ سلف ٧خازن معادل
٢۴

شکل((a) ( 2 – 1 سری خطوط انتقال کوچک شده با چندین استاب باز (b) بزرگی پاسخ
با مشاهده پارامترهای S این مدار در شکل (b ) (2 – 1) از این مدارات میتوان جهت بالا بردن باند فرکانس
و نیز استفاده مدار دو باند فرکانسی دلخواه،اسنفاده گردد.
( 2 – 3 – 1 بررسی کوپلر خط شاخهای دو بانده(:(2000/900
در اینجا نیز با ایده گرفتن از کار قبلی و استفاده از ماتریسهای ABCD که در فصل بعدی آورده شده زمینه
جهت استفاده از کوپلر خط شاخهای Tشکل با حجم کم و باند فرکانسی دو بانده کـه در فـصل سـوم آمـده
فراهم میگردد.
٢۵
( 3 – 3 – 1 شبیه سازی کوپلر دو بانده خط شاخهای T شکل
در این قسمت با ایده گرفتن از روشهای قبلـی کـه در فـصلهای بعـد توضـیح داده مـیشـود از ماتریـسهای
ABCD استفاده شده و بعد از نوشتن برنامه کامپیوتری زمینه جهت استفاده از المانهای فـشرده در دو بانـد
فرکانسی دلخواه فراهم گردیده است. از بدست آوردن مقادیر Z و θ که امپدانس مشخصه خطـوط و طـول
الکتریکی آنها هستند با استفاده از فرمولهای موجود در بازههای مختلف که در منابع مختلـف هـم آمـدهانـد
طول و پنهای خطوط چند پورتی مورد نظر بدست میآید که در این پروژه از serenade استفاده شده است
و این مقادیر با دادن فرکانس کار، مشخصه دی الکتریک مورد نظر و امپدانس و طول الکتریکی خط نیـز بـه
سادگی بدست میآیند. در شکل (3 – 1) شمای کلی این نرم افزار آمده است.

شکل :(3 – 1) شمایی از نرمافزار serenade جهت بدست آوردن طول و پنهای خطوط
٢۶
با بستن مدار فوق در نرم افزارهای مختلف نتـایج شـبیهسـازی را مـشاده و در صـورت عـدم نتیجـهگیـری
همانطور که در فصل سوم آمده آنرا optimum میکنیم. در نهایت با ایده گرفتن از کارهای انجـام شـده در
مقالات مختلف DGS های گوناگون را بکار گرفته و نتایج حاصل از آن را آوردهایم.
٢٧
فصل دوم:
تقریبی برای طراحی و بکار بستن کوپلر خط شاخهای
تک بانده و دو بانده وTشکل
٢٨
(1-2 مدار خط شاخهای اندازه فشردهT شکل
دراینجا هدف طراحی کوپلر و در نهایت سیرکولاتور خط شاخهای بهم پیوسـته بـدون اسـتفاده از المانهـای
توده میباشد. اندازه کـوپلر پیـشنهادی تنهـا 45درصـد کوپلرهـای خـط شـاخهای مرسـوم در فرکـانس 2/4
گیگاهرتز میباشد.
اندازه المانهای این نوع کوپلر میتوانند به راحتی با استفاده از عمل قلم زنـی بـرد مـدار چـاپی بـه صـورت
واقعی کشیده شده و برای سیستمهای ارتباطی بیسیم بسیار مفید و پرکاربردند. چرا که اخیراً سیستم ارتبـاط
بیسیم در جهت اهداف کوچک کردن و پائین آوردن هزینه بـه قطعـات کـوچکتری نیـاز دارنـد. از ایـن رو
کاهش اندازه از اهداف قابل توجه در بکاربستن این طراحی میباشد. در پایینترین باند فرکانس مایکروویو،
اندازه کوپلر خط شاخهای مرسوم جهت استفاده عملی بسیار پیچیده و بزرگ است. تکنیکهای زیادی جهـت
کاهش سایز این گونه کوپلرها گزارش شده است. ترکیب خط انتقال با امپدانس بالا و خازنهای فشرده شنت
شده به آنها نیز مورد بررسی قرار گرفته اند.در این موارد خازنها با عایقهایی خاص، مورد نیاز مدارهای شنت
میباشند که در بحث بعدی جهت دو بانده کردن کوپلرهای خط شاخهای πشکل توضیح داده میشود.
مرجع[11] کوپلر خط شاخهای درخطوط میکرو استریپ تک لایه از فلز بدون هیچ گونه المان فـشرده شـده
واضافی ̦ سیمهای اتصال را پیشنهاد می کند.اندازه این گونه کوپلرها حدود 63درصـدطراحی هـای مرسـوم
میباشد. هرچند که قسمتهایی که ناپیوستگی در داخل کوپلر بوجود میآورند نیز همان ناپیوستگیهای ناشی
از اتصال مدارهای استاب شنت مدار باز یا کوتاه میباشند کـه باعـث بوجـود آمـدن مـشکل (over lap)8
میگردند. بنابراین ما در فصل بعدی روی طراحی یک کوپلر خط شـاخهای T شـکل جمـع و جـور جدیـد

٨هم پوشانی
٢٩
متمرکز خواهیم شد و در قسمت بعدی آنها را در کوپلرهای واقعی بکار برده و به تحلیـل و بهینـهسـازی آن
میپردازیم.
این نوع کوپلرها بدون استفاده از هیچ گونه المان فشرده، سـیم و قطعـه ای، مـیتواننـد بـه سـادگی بـرروی
سابستریتها ساخته شوند و در مقایسه با مدارات مرسوم طراحی شده اطلاعات را بخـوبی آشـکار مـیکننـد،
همچنین هماهنگی نزدیک و خوبی ما بین نتایج شبیهسازی و اندازه گیری شده مشاهده می گردد.
روش مرسوم ومعمولی جهت آنالیز کوپلر T شکل خط شاخهای بر روی استفاده از آنالیز مد نرمال است کـه
در اینجا ما از آن استفاده کردیم و این بدلیل ساختار هندسی آن نیز میباشد.
هر چند که خط با سایز کاهش یافته با طولی کمتر از λ / 4 اندوکتانس و ظرفیت پائینتـری را دارد، منتهـی
جبران اندوکتانس بوسیله افزایش امپدانس مشخصه خط و جبران ظرفیت نیـز بوسـیله اضـافه کـردن خـازن
شنت متصل شده [15] C میباشد. در این پـروژه خـازن C نیـز بوسـیله یـک خـط اسـتاب مـدار بـاز [9]
جایگزین گردیدهاست و معادل آنرا در مدار T شکل قرار دادهایم.

شکل(:(1-2ساختار T شکل خط انتقال ربع طول موج
ساختار T شکل معادل معمولی از یک خط کاهش یافته در شکل (1-2)نـشان داده شـده اسـت کـه در ایـن
شکل Z1،Z2،Z3وθ1،θ2وθ3 امپدانس مشخصه خطوط و همچنین طول الکتریکی آنها را نـشان مـیدهنـد.
لزومی ندارد که جایگاه خط با طول الکتریکـی((θ2 مـدارباز در وسـط خـط کـاهش انـدازه یافتـه مـا بـین
٣٠
Z1وZ2قرار داشته باشد. روابط ما بین این عناصر یعنی امپدانس مشخصه و طولهای الکتریکی را مـیتـوانیم
بوسیله ماتریس ABCD آنها تخمین بزنیم.
با استفاده از روابط قبلی برای طراحی یک کوپلر خط شاخهای πشکل مرسوم در اینجا با معـادل قـرار دادن
ماتریس آن با امپدانس مشخصه خط با طول θ = ±90° و ±ZT داریم:
3 Sinθ 3 JZ 3 Cosθ 1 0 Sinθ JZ Cosθ A B (1-2) j 1 1 1 j Cosθ3 Sinθ3 1 JB Cosθ1 Sinθ1 D  C Z3 2 Z1 (1-2) jB2  jTanθ2 / Z 2 (3-2) N Z1 Z3 (4-2) K Z1 Z 2 (5-2) M Z1 ZT از طرفی با معادل قرار دادن ماتریس فوق با ماتریس خط 90° داریم.
JZT
0(6-2)

0 JZT Sinθ j  Cosθ Z T
Cosθ B A Sinθ j  D C T Z و پس ساده سازی چهار معادله به صورت زیر خواهیم داشت:
(7-2) Cosθ1Cosθ3 − KTanθ2 Sinθ1Cosθ3 − NSinθ1 Sinθ3  0 (8-2) N Cosθ1Sinθ3 − KTanθ2Sinθ1Sinθ3  NSinθ1Cosθ3  M ٣١
(9-2) Tanθ2Cosθ1Sinθ3  Cosθ1Cosθ3  0 K Sinθ1Sinθ3 − 1 − N N (10-2) Sinθ1Cosθ3  KTanθ2Cosθ1Cosθ3  NCosθ1Sinθ3  M با ساده سازی روابط فوق دو معادله زیر را خواهیم داشت:
N 2 M 2 2 − N M 3  Tanθ Tanθ Tanθ N) ,Cotθ ) Tanθ Cotθ 2(11-2) M N N 1 3 1 3 1 (12-2) ( 2 − N 2 M 3 ( Tanθ 2  ) Tanθ 2 − N 2 M 3 ( 3  Sinθ Tanθ2Cosθ K KN MN M معادلات (11-2) و (12-2) نیز مقادیر θ1 و θ2 وθ3 را تحت شرایطی که M و N را داشـته باشـیم بـه مـا
میدهند. برای سادگی کار در اینجا Z1 را برابر Z3 در نظر میگیریم. طـول الکتریکـی θ1 بـر حـسب طـول
الکتریکی θ3 برحسب مقادیر مختلف M رسم گردیده است که در شکل (2-3) نیز آمـده اسـت. در اینجـا
نیز برنامه سادهای با نرم افزار مطلب نوشـته شـده(پیوسـت الـف-(1 و بـه ازای مقـادیر مختلـف N و M
میتوان به ازای θ1 های مختلف مقادیر θ2 و θ3 را بدست آورد.
١θ

٣θ
شکل θ1:(2-2) بر حسبθ3
٣٢
واضح است که طول الکتریکی کل خط کوچک شده( (θ= θ1 + θ3 با افزایش مقدار M نیز کاهش مییابد.
جایگاه خط استاب مدار باز شده در داخل کوپلر خط شاخهای تحـت شـرایط خـاص نیـز تحمیـل گردیـده
است. مقدار طول الکتریکی (θ2) ما بین مقادیر θ2 و θ میباشد. جهت جلـوگیری از مـشکل هـم پوشـانی

(Over lab) خط استاب باز را به انتهای خط اتصال کوتاه وصل میکنیم. θ1 و θ3 به ازای مقادیر شناخته
شده M به یکدیگر تبدیل شده در حالیکه حالت معادله (12-2) تحت N = 1 بدون نغییر باقی میماند. ایـن
نتایج به توانایی دو رابطه بدست آمده اشاره دارد. با بدست آوردن مقـادیر θ1 و θ3 و بـا داشـتن معادلـه
(12-2) مقادیر θ2 وZ2 محاسبه میگردند.
(2-2 طراحی و بکار بستن مدار T شکل و رسم منحنی مشخصه آن
با روشی که در بالا توضیح داده شد به سادگی میتوان انـدازه کـوپلر خـط شـاخهای مرسـوم را کـاهش داد
سابستریت مدار فوق دارای ویژگیهای زیر میباشند:
metal thickness =0 .02mm و h = 0.8mm و Tanδ  0.022 و εr  4.7
امپدانس مشخصه کوپلر خط شاخهای مرسوم 35 اهم در خط اصلی و در شاخه عمودی 50 اهم میباشند.
جهت کاهش دادن اثر افت هادی، افت تشعـشعی و جلـوگیری از مـدهای مـزاحم انتـشار نیـز پهنـای خـط
میکرواستریپ محدود شده و این امر با محدود کردن مقدار امپدانس مشخصه موثر واقع میگردد.
در ابتدا پارامترهای خط کوتاه شده اصلی ( افقی) را بـرای M=1/7 و بـا درنظـر گـرفتنθm1=17° بدسـت
میآوریم که از شکل θm3 = 48 °(2-2) حاصل میگردد. با قراردادن اطلاعات فـوق در رابطـه (12-2) و
٣٣
در نظر گرفتن k=2/6 مقدار θm2=39° (طول الکتریکی استاب باز خط اصـلی) بدسـت مـیآیـد. بـه طـور
مشابه پارامترهای خط شاخهای کاهش یافته را هم بدست میآوریم.
θb2=31 ْ θb3=58 ْ M=1/5 k=3/3 θb1=16
با در دست داشتن مقادیر فوق از نرمافزار Serenade جهت بدست آوردن ابعـاد مـدار چـاپی ) W پهنـای
خطوط) و ) L طول خطوط) اسـتفاده مـیکنـیم. بعـد از بدسـت آوردن ابعـاد فـوق، مـدار را بـا نـرمافـزار
Ansoft designer ترسیم نموده و بعد از تحلیل مدار فوق نیز نتایج اندازهگیری شده را بدست میآوریـم.
مدار چاپی آن در شکل (3-2) نشان داده شده است. و نتایج شبیهسازی در شکلهای (a) (4-2) و (b) نشان
داده شده است.

شکل :(3-2)مدار چاپی خط شانهای T شکل
٣۴

(a)

(b)
شکل S11:(a)(4-2)،S12،S13وS14 و(:(bپاسخ فازی کوپلر خط شاخه ای
مشاهده می شود S11 وS14 در فرکانس مرکزی کمتر از -20dB وS12 وS13 حدود -3dB میباشند.
حال با توجه به نتایج شبیه سازی اندازه گیری شده مستقیم و توان کوپل، افت بـالا بوسـیله سـاختار فلـزی و
افت تشعشعی دیده نمیشود . حوزه مدار کاهش یافته در مقایسه با کوپلر خط شاخهای مرسوم بـشتر از 55
درصد میباشد.
٣۵
مادر بخشهای بعدی مدار فوق را با اسـتفاده از بکـار بـستن (Defected ground structure)
DGS نیز مورد بررسی قرار خواهیم داد و اثرات DGS بر روی نتایج شبیهسازی مورد بررسی قرار خواهند
گرفت.
٢( 3 – کوپلر خط شاخهای π شکل
طراحی یک کوپلر خط شاخهای جدیدی که میتواند در دو فرکانس دلخـواه کـار کنـد از ویژگیهـای مـدار
پیشنهادی اندازه فشرده و ساختار شاخهای میباشد. فرمولهای طراحی روشن و واضـحی از ایـن مـدار بیـان
گردیده، چرا که موضوع مجهولات آن از قیبل امپدانس شاخههای خط مشخص گردیده اند.
فعالیتهایی جهت بررسی و رسیدگی نتایج شبیهسـازی شـده و انـدازه گیـری شـده از عملکـرد کـوپلر خـط
شاخهای میکرواستریپ در فرکانسهای 0/9 الی 2 گیگا هرتز انجام شده است.
کوپلرهای خط شاخهای از معروفترین مدارات پسیو استفاده شده در کاربردهای موج میلیمتری و میکرویـو
میباشند.
هایبریدهای λ / 4 طول موج [10] ,[9] مثالهای خوبی هستند که در باند فرکانسی مناسب دامنـه مـساوی و
فاز 90° در خروجی ایجادی میکنند. آنها عموماً در تقویت کنندههای بالانس شده و میکسرها برای بدسـت
آوردن یک افت برگشتی خوب استفاده شده و در جهت حذف سیگنالهای ناخواسته بوده، اگرچه بـه خـاطر
طبیعت ذاتی باند باریک ، طرح مرسوم بر روی خط انتقال λ / 4 بنا نهـاده شـده، کـاربردش در سیـستمهای
چند بانده و باند وسیع محدود گردیده است.
در سالهای اخیر، گزارشهای متفاوتی در رابطه با افزایش و بالا بردن پهنـای بانـد[11] و تکنیکهـای مـوثر در
کاهش سایز [14] ,[12] در مقالات مختلف عنوان گردیده اسـت. طراحـی کـوپلر خـط شـاخهای بـر روی
٣۶
المانهای توزیع شده فشرده بنا گردیده و همچنین برای کاربردهایی در دو باندفرکانسی نیز پیـشنهاد گردیـده
است. در [16] مولف یک ساختار صفحهای جدید را برای طراحی کوپلرهای خط شـاخهای دو بانـد عنـوان
کرده است هرچند مدار پیشنهاد شده از اشکالات زیر برخوردار می باشد:
-1 پهنای باند محدود ( کمتر از (10MHz
-2 افت داخلی و برگشتی بهینه نشده
-3 فضای اشغالی سابستریت آن خیلی بیشتر از کوپلرهای مرسوم بوده ( برخی از خطوط شاخهای، طولی به
اندازه 0/5λ را دارند)
درطرح پیشنهادی، تمام خطوط شاخهای تنها دارای طول λ / 4 بوده ( اندازه فشرده) و در فرکانس میـانی دو
تا باند فرکانسی بکار بسته شده، همچنین در مقایسه با طرح ذکر شده قبلی پهنای باند عملکرد وسیعتـری را
( > 100MHz ) ایجاد میکند، همچنین ایزولاسیون بین پورتهای بهتر و افت داخلی و برگشتی بهینـه تـری
را دارد ( بخش بعدی).
در قسمت بعد جهت آنالیزکردن، فرمولهای یک کوپلر خط شاخهای با فرمولهای واضح و روشـن نـشان داده
شده، در نهایت جهت رسیدگی و تحقیق، نتایج اندازهگیری و شبیهسازی شده ساختار کوپلر خـط شـاخهای
درباند فرکانسی (900/2000)Mhzکه با تکنولوژی میکرواستریپ ساخته شده آورده شده است.
( 4 – 2 فرموله کردن با استفاده از ماتریس خطوط انتقال
٣٧
شکل (5-2) طرح یک کوپلر خط شاخهای تک باند مرسوم توسط بخشهای خطوط انتقال بـا طـول λ / 4 را
نشان میدهد. در شکل (6-2) مدار معادل برای یـک خـط انتقـال λ / 4 پیـشنهاد شـده کـه شـامل خطـوط
شاخهای به طول الکتریکی θ و امپدانس مشخصه ZA بوده و به جفت المان موازی (jY)9 متصل گردیده.

شکل(:(5-2ساختار کوپلر خط شاخه ای یک بانده مرسوم

(a)

(b)
شکل((a):(6-2ساختار معادل پیشنهادی (b).خط شاخه ای λ / 4

٩ مقدار ادمیتانس خط
٣٨
حال جهت تحلیل ساختار پیشنهادی با در نظر گرفتن عدم افت و بکار بردن فرمـول ماتریـسها، پارامترهـای
ABCD ساختار پیشنهادی نشان داده شده در شکل((a)(6-2 بصورت زیر بیان میگردد.
(13-2) 0 jZ A Sinθ 1 0 Cosθ 1 Cosθ 1 jY 1 jYA Sinθ jY که این ماتریس در نتیجه به ذیل منتج می گردد.
jZASinθ Cosθ −ZAYSinθ (14-2) Cosθ −ZAYSinθ 2ZAYCotθ) 2 2 (1−ZA Y jYASinθ و نیز ماتریس بالا به صورت زیر خلاصه میگردد.
±jZT 0 jZASinθ 0 (15-2) 0 ±j  1 0 j Z T A Z Sinθ با معادل قرار دادن ماتریسهای بالا داریم:
Z A Sinθ ±ZT(16-2)
Cotθ
Y(17-2)
Z A
معادله (15-2) نشان میدهد که ساختار پیشنهاد شده معادل با بخشی از خط انتقـال بـا امپـدانس مشخـصه
ZT± و طول الکتریکی θ = ± 90° میباشد. مطابق با عملکرد یک مدار دو بانده (Dual – band) شـرایط
لازم ممکن است به صورت زیر داده شود.
٣٩
(18-2) Z A Sinθ1 ±ZT
(19-2) Z ASinθ2 ±ZT
کهθ1 و θ2 طولهای الکتریکی معادل شده خط شاخهای در باند فرکانسی مرکزی f1 و f2 میباشد.
روش معمولی حل معادلات (18-2) و (19-2) به صورت زیر میباشد:
3.......و2وn=1
(20-2) θ2  nπ −θ1 (21-2) f1  θ1 f2 θ2 (22-2) (1 −δ) nπ θ1  2 (23-2) (1 δ) nπ θ2  2 (24-2) f2 − f1 δ  f 2 f 1 در نتیجه طول الکتریکی خط شاخهای معادل شده در فرکانس مرکزی (θo)به صورت زیر تعیین میگردد
(θ0 ) = θ1 2θ2  n2π(25-2)

با قرار دادن معادلات (22-2) و (23-2) در معادلات (16-2) و (17-2) خواهیم داشت:
(26-2) ZT Z A  ( nδπ Cos( 2 ۴٠
nδπ ( tan( 2 f1 , f  Z A (27-2) y  nπδ ( − tan( 2 f2  , f Z A برای مقادیر 5.....و3وn=1 (28-2) ZT Z A  ( nδπ Sin( 2 nδπ ( −Cot( 2 f1  , f ZA (29-2) y  nπδ ( Cot( 2 f2 , f  ZA برای مقادیر..... 6و4وn=2 در معادلات بالا مقادیر مدار معادل داده شده بـرای دو بانـد فرکانـسی دلخـواه f1 وf2 کـه همـان y و ZA
هستند به دست میآیند.
(5-2 نتایج شبیهسازی مدار π شکل بدون استفاده از استاب
با در نظر گرفتن امپدانس خطوط عمودی zo=50Ω وخطوط افقی35 و طول الکتریکی 90درجه و نیـز قـرار
دادن آنها در serenade مقادیر طول(( L و پهنای خطوط (w) را بدست آورده و بادر نظـر گـرفتنf=1/45
و بستن مدار در قسمت شماتیک نتایج حاصل را می بینـیم.در شـکلهای((7-2 الـی (8-2) نتـایج حاصـل از
شبیه سازی کوپلر بدون استفاده از المانهای شنت در فرکانس مرکزی نشان داده شده است.
۴١

شکل(S13 ̦S12 ̦ S11:(7-2 وS 14 کوپلر بدون استاب
مشاهده می کنیم مادیرS11و S12 در فرکانس مرکزی کمتر از -20dB بوده یعنی پورت 1 از 4 ایزوله است
وS13وS12 حدوداً dB٣- می باشد .

شکل(:(8-2زاویهS 12 و S14 برای مدار بدون استاب
۴٢
(6-2 تحقق جهت دوبانده کردن مدار
دربخش قبل روش مشخصی برای طراحی یک کوپلر دو بانده (dual – band) به صورت فرمـولی تحلیـل
و تجزیه گردید. نتایج نشان میدهند روشهایی جهت انتخاب مقدار n و همچنین راههای مختلف در بدسـت
آوردن مقادیر المان شنت با ادمتیانس ورودی (Y) که در معادلات (27-2) و (29-2) توضیح داده شده بودند
وجود دارد.جهت معادل سـازی و نـشان داد ن توپولـوژی دو تـا مـدار در اینجـا مقـدار n را یـک در نظـر
میگیریم.
(1 -6-2 استفاده از استاب مدار باز ( ربع طول موج)
با استفاده از معادلات (22-2) و (23-2) ادمیتانس ورودی یک استاب مدار باز بـه صـورت زیـر مـیتوانـد
باشد.
δπ ( Cot( f1 , f  2 ZΒ (30-2) yoc  ( δπ −Cot( f2 , f 2 ZΒ که در اینجا ZB نیز امپدانس مشخصه استاب مدار باز میباشد . از ایـن رو بـا ترکیـب معـادلات (27-2) و
(30-2) مقدار ZB به صورت زیر بدست میآید: (31-2) Z T ZB  δπ δπ ( )Tan( Sin( 2 2 ۴٣

شکل (9-2) ساختار کوپلر پیشنهادی با استاب مدار باز
در شکل (9-2) ساختار نهایی ( با ساده سازی بوسیله ادغام استابهای شنت موازی شده ) از یـک کـوپلر دو
بانده (dual – band) با تمام خطوط شاخهای جایگزین شده بوسیله مدار پیشنهاد شده شکل (6-2) نـشان
داده شده است و نتیجتاً مقادیر Z3, Z2, Z1 بوسیله معادلات زیر تعیین میگردند.
(32-2) 1 . Z0 Z1  ( δπ Cos( 2 2 (33-2) 1 Z2  Z0. ( δπ Cos( 2 (34-2) 1 . 0 Z Z3  δπ δπ 2 1  ( )Tan( Sin( 2 2
(2-6-2 استفاده از مدار اتصال کوتاه ( طول ( λ2

به طور مشابه ادمیتانس ورودی یک استاب اتصال کوتاه میتواند به صورت زیر بیان گردد:
۴۴
f1 , f Cotδπ Z B (35-2) ysc  Cotδπ − f2  , f Z B شکل (10-2) (مدار چاپی) Layout یک کوپلر اصلاح شده با اتصالات شنت کوتاه شده نشان میدهد کـه
امپدانس مشخصه استاب شنت به صورت زیر محاسبه میگردد.
(36-2) 1 . 0 Z Z3  δπ 2 1  )Tanδπ Sin( 2
شکل (10-2) ساختار کوپلر پیشنهادی با استاب اتصال کوتاه
در تئوری نیز کوپلر پیشنهاد شده میتواند در هر دو باند فرکانسی دلخواه عمل کرده، اما در عمل تعیین رنـج
امپدانسی ساختار کوپلر میتواند مقداری حقیقی پاشد.
۴۵
واضح است که با انتخاب مناسبی از شکل مدار برای رنجهای متفاوتی از کـسر پنهـای بانـد ( 0/2 تـا 0/3 و
همچنین 0/3 تا ( 0/5 کوپلر پیشنهاد شده ممکن است امپدانس خطوط که تنها 30 الی 90 اهم تغییر میکنـد
در آنها بکار برده شود.
( 7- 2 آنالیز(تحلیل) مدار π شکل خط شاخهای دو باند و مشاهده نتایج شبیهسازی :
جهت اثبات و تأیید عملکرد، یک کـوپلر خـط شـاخهای میکرواسـتریپ دو بانـده در فرکانـسهای 0/9 و 2
گیگاهرتز طراحی و شبیهسازی شده و روی کسری از پهنای باند محاسبه شده((δ= 0/38 بنا نهاده شدهاست.
ساختار فشرده یک استاب مدار باز با طول λ / 4 جهت بکار بستن نیز مورد استفاده قـرار گرفتـه اسـت . از
معادلات (32-2) الی (35-2) مقادیر Z3, Z2, Z1 حدود 42/7 و 60/6 و 54/4 اهم نیز بدست آمـده اسـت.
جهت بهتر کردن دقت کار، پاسخ فرکانسی ساختار کامل شـامل ناپیوسـتگی و اثـر زیـر لایـه (Substrate)
بهینه شده با استفاده از یک مدار شبیه سازی شده اشکال (11-2) الی (14-2) پاسـخ فرکانـسی شـبیهسـازی
شده مدار نهایی از یک کوپلر دو بانده را نشان میدهند. مطابق با اثر یـک اسـتاب شـنت تلفـات داخلـی در
فرکانس مرکزی (1.45GHz) صفر گردیده که به حذف هر سیگنال مداخله کننده کمک میکند. کوپلر فوق
سابستریتی با ثابت اللکتریک εr = 3/38 و ضخامت h = 0/81mm میباشد. حال با اسـتفاده از نـرم افـزار
Serenade ابتـدا مقـادیر خطـوط یعنـی پهنـای خطـوط W1 ،W2،W3و طـول آنهـا L1،L2،L 3 را در
فرکــانس مرکــز 1/45 بدســت مــیآوریــم و بــا بــستن مــدار در ایــن فــرمافــزار مقــادیر پارامترهــای
S11،S12،S13وS14را برای باند فرکانسی دوبل شبیهسازی کردهایم.
۴۶
جدول(:(1-2مشخصات الکتریکی وفیزیکی مدار در دو باند امپدانس طول الکتریکی پهنای خط طول خط Z1=42.7 θ1=90 W1=2.38mm L1=31.25mm Z2=60.4 θ2=90 W2=1.36mm L2=31.95mm Z3=54.4 θ3=90 W3=1.63mm L3=31.73mm
شکل(:(11-2نتایج شبیه سازی(افت برگشتی(S11
۴٧

شکل(:(12-2نتایج شبیه سازی(S12و(S13

شکل(:(13-2نتایج شبیه سازی((S14
پارامترهای تشعشتی در این شبکه آنالایزر روی رنج فرکانسی از 0/1 الی 4 گیگاهرتز انجام میگردد.
۴٨

شکل(:(14-2نتایج شبیه سازی(پاسخ فازمدار با استاب)
شکلهای (11-2) الی (14-2) پاسخ اندازهگیری شده کوپلر در فرکانـسهای مرکـز دو تـا بانـد عملکـرد کـه
0/9GHz و 2GHz میباشد نشان میدهند..افت برگشتی و ایزولاسیون پورت بهتر از -20dB در فرکانسی
مرکزی دو باند بدست آمده است هر چنـد تـضعیف سـیگنال بـالا تـر از 50dB جـذب شـده در فرکـانس
1/41GHz نیز میباشد.
درمقایسه با طراحی یک کوپلر تک بانده، افت داخلی اندازهگیری شده دردو پـورت خروجـی تنهـا 0/4dB
بالاتر از مقدار واقعی آن((-3db میباشدو این بـاور وجـود دارد کـه ایـن اخـتلاف اساسـاً ناشـی از وجـود
ناپیوستگیهای اتصالات و اثر انتهای باز نشان داده شده در شبیه سازی میباشد.
طراحی و بکار بستن کوپلر خط شاخهای فشرده صفحهای بالا نیز درطراحی کـوپلری بـا دو بانـد فرکانـسی
کوچک و بزرگ بکار میرود.
۴٩
فصل سوم:
طراحی مدار میکرواستریپ فشردهT شکل با اندازه کاهش
یافته در دو باند فرکانسی
۵٠
(1-3 دوبانده کردن مدار T شکل خط شاخهای کوچک شده با توجه بـه رونـد
ارائه شده در دو بانده کردن کوپلرπ شکل ( 900MHz و (2400MHz
در این بخش ابتدا با روش دستی و استفاده از ماتریسهای ABCD کوپلرخط شاخهای و معـادل قـرار دادن
آن با ماتریس ABCD یک خط ±90°، طول الکتریکی و امپدانس مشخصه کوپلر خط شـاخهای بـا تبـدیل
θ به ' θ θ) f 2  ' (θ بوده را در حالت دو بانده معادل ساخته و در نهایت بوسیله برنامه ساده کامپیوتر که f1 بر اساس اطلاعات موجود نوشته شده، خطای موجود را در بدست آوردن θ و امپدانس مشخصههـایی کـه
برای هـر دو فرکـانس دلخـواه بـالا و پـائین 0/9GHz)و(2/4GHzصـدق کنـد بـا کمتـرین درصـد خطـا
0/4)درصد) درنظر میگیریم و با شرایط در نظر گرفته شده مقادیر θ و Z را بدست میآرویم.
همانطور که در بخش قبل نیز گفتیم با معادل سازی مدل T شکل خطوط استاب شنت متـصل شـده از نـوع
مدار باز بوده و این استاب خود باعث کاهش طول خط می گردد.
3 Sinθ' 3 jZ 3 Cosθ' 0 1 Sinθ' jZ Cosθ' A B (1-3) j − 1 1 1 j 3 Cosθ' 3 Sinθ' 1 jβ'2 Cosθ' Sinθ'  Z3 1 1 Z1 C D در بخش قبل مقادیر β2 و Z1 و Z1 ، Z1 بـا مقـادیر معـادل آن آورده شـده انـد و در اینجـا θ f2 θ' Z Z Z f 3 2 T 1 میباشد.
با معدل قرار دادن ماتریس فوق با خط -90 درجه داریم:
− jZ 0 Sinθ' jZ Cosθ' B A (2-3) T − j  T j 0 Cosθ' Sinθ'  ZT ZT C D ۵١
وبا ساده سازی روابط فوق داریم:
(3-3) Cosθ'1Cosθ'3 −kTanθ'2 Sinθ'1 Cosθ'3 −NSinθ'1 Sinθ'3  0 (4-3) N Cosθ'1 Sinθ'3 −kTanθ'2 Sinθ'1 Sinθ'3 NSinθ'1 Cosθ'3  − M (5-3) K 1 Cosθ'1 Sinθ'3 Cosθ'1 Cosθ'3  0 Tanθ'2 Sinθ'1 Sinθ'3 − − N N (6-3) Sinθ'1 Cosθ'3 KTanθ'2 Cosθ'1 Cosθ'3 NCosθ'1 Sinθ'3  −M در روابط بالا f2  θ'3 f2  θ'2 f2  θ'1 f 3 θ f 2 θ f θ 1 1 1 1 مقادیرf1 =900MHz و f2 =2400MHz می باشند. با ساده سازی روابط (3-3) و (4-3) به معادلا ت زیر میرسیم. (7-3) Cosθ'3 '1  − Sinθ M (8-3) Sinθ'3 − M Cosθ'1  N (2-3 استفاده از برنامه کامپیوتری ساده جهت بدسـت آوردن پارامترهـای مـدار دو
بانده
حال نیز برنامه ای با نرم افزار مطلب نوشتهایم و میخواهیم طولهـای الکتریکـی و امپـدانس مشخـصههـای
کوپلر و درنهایت سیرکولاتور موردنظر را در شرایطی بدست آوریم که خطاهای زیر حـاکم باشـند یعنـی در
آن واحد شرایط برای فرکانسهای بالا و همچنین پائین (استفاده از دو باند فرکانسی) موجود باشد.
۵٢
(9-3) N f 2 θ1 )Tan( f 2 Tan( 0.4 θ3 ) − M 2 f1 f1 (10-3) 0.4 θ3 ) f2 Tan( 2 − N 2 M θ2 ) − f2 Tan( f1 kN f1 (11-3) 0.4 θ3 ) f 2 Sin( M θ1 )  f 2 Cos( f1 N f1 برنامه نوشته شده در نرم افزار مطلب در پیوست الف ارئه شده است.
طول الکتریکی و امپدانس مشخصههایی که در شرایط خطای بالا بر قرار باشند جوابها میباشند کـه شـرایط
برای استفاده درحالت دو باند فرکانسی را دارند. θ1و θ2 وθ3 وZ1وZ2وZ3 در شرایط فـوق را مطـابق بـا
برنامهای که آورده شده بدست میآیند.
(3-3 آنالیز(تحلیل) مدار T شکل دو بانده در چند محـیط ( نـرم افـزار) مختلـف و
مشاهده نتایج حاصل
با قرار دادن مقادیر بدست آمده از برنامه نوشته شده که برای استفاده در دو باند فرکانـسی دلخـواه در نظـر
گرفته شده در روابط زیر و یا با استفاده از محیط serenade طولهای Lm1و)Wm1پهنا وطول خط شاخه
اصلی)Lm3و)Wm3پهنا وطول خط متصل به Zm1 در خط اصلی)Lm2و)Wm2پهنا وطول استاب مـدار
بــاز در خــط اصــلی)Lb1 و )Wb1پهنــا وطــول خــط متــصل بــهZm2در خــط عمــودی)وLb1
،Wb1،Lb2وWb2را بدست میآوریم.
۵٣
(12-3) 4 π εr −1 1 Z 0 2(εr 1) 1 (1/ εr )Ln π )  2 (εr 1)(Ln 2  119.9  H (13-3) −1 1 1 exp H W ( − ( 4 exp H 1 8 h (14-3) −2 4 Ln 1  π )(Ln 1 εr − 1 − 1 εr  ε eff  ) ) 1 π εr 2 1 εr  2H ' 2
با در دست داشتن مقادیر فوق مدار را در نرم افزارهـای Serenade و Advance designer (ADS)
sys-- ترسیم و نتایج شبیهسازی راعلاوه در ansoft مشاهده میکنیم منتهی در نهایت مقدار پهنـای بانـد
را حدوداً در Optimom 10% کرده و نتایج حاصل در زیر آورده شده اند.
h = 0/762mmεr =3/55 Tanδ  0. 022
در شکلهای((1-3و((2-3و((3-3 شماتیک ومدارچاپی و پاسخ مـدار شـبیه سـازی شـده در نـرم افزارهـای
مختلفی نشان داده شده است.

(a)
۵۴

(b)
شکل((a ) 🙁 1-3شماتیک (b)مدارچاپی (designer,hfss)ansoft
در جدول((1-3و(2-3 )با در دست داشتن مقادیر ابتدایی از المانهای مدار که توسط روابـط((12-3 الـی(-3
(14بدست آمده اند بازهای جهت حد بالا وپایین المان ها در نظر گرفته شده است و به سمت اهدافی که در
جدول((2-3 امده optimom انجام می گردد
.جدول(:(1-3دو بازه فرکانسی ودو هدف مورد نظر پروژه 905mhz 895mhz Frange1 باند فرکانس اول
2.45ghz 2.35ghz Frange2 باند فرکانس دوم
-20db lt ms12=-3.5db w=3 ms13=-3.5db w=3 ms14 -20db lt ms11 Goals1 هدف اول
-20db lt ms12=-3.7db w=3 ms13=-3.7db w=3 ms14 -20db lt ms11 Goals2 هدف اول
۵۵
جدول(:(2-3بازه بالا وپایین جهت optimom هدف بازه بالا مقدار اپتیمم شده بازه پایین نام المان
7MM? 5.69180mm ?5mm lb1
12.5MM? 11.35000mm ?10mm lb2
41MM? 39.57900mm ?37mm lb3
11.5MM? 10.77600mm ?9.5mm lm1
16.5MM? 15.36700mm ?14.5mm lm2
40MM? 38.67200mm ?37mm lm3
0.8MM? 0.16152mm ?.08mm wb1
1.2MM? 0.95112mm ?0.6mm wb2
2.5mm? 1.45870mm ?0.8mm wb3
2.1MM? 1.65260mm ?1mm wm1
0.5MM? 0.20507mm ?0.1mm wm2
3.5MM? 2.70090mm ?2mm wm3
2.5MM? 0.20010MM ?0.1mm wp

(a)
۵۶

(b)

(c)
شکل(S 11 :(2-3، S12،S13و S14 مدار شبیه سازی شده در ADS(c) SERANADE(b) ANSOFT(a)
۵٧

شکل(:(3-3پاسخ فازی مدار 2بانده
مشاهده میگردد که مقدار پارامترهای تضعیف در 0/9 و 2/4 گیگاهرتز -3dBو -20dbمیباشند.
در بخش بعدی در مورد اثرات DGS و مشاهده تاثیرات آن بروی این کوپلر بحث میکنیم.
۵٨
فصل چهارم:
بررسی انواع مختلف DGS و اثرات آن بر روی خطوط
میکرواستریپ
۵٩
DGS (1-4 چیست؟
DGS نیز شبکهبندی قلم زده شده ای است با شکل اختیاری که بر روی صفحه زمین قـرار مـیگیـرد و در
شکلهای T ، H ،دمبلی و حلزونی و...بکار میروند.
در شکل (1-4) انواع مختلف DGS نشان داده شده است.

شکل(H(a) :(1-4 شکل T(b) شکل (c) هلزونی شکل (d) دمبلی شکل
(2-4مشخصات کلی DGS
در ساختار DGS مشخصه های زیر رامی توان عنوان کرد:
-1 تغییر اندازه شکاف باند نوری . (PBG)10
-2 دارا بودن ساختارهای پریودیک وغیر پریودیک.
-3 به سادگی نیز مدار معادل LC را میسازد.

10 Photonic band gap
۶٠
(3-4 کاربردهای DGS
-1 در تشدید کنندههای صفحهای
-2 بالا بردن امپدانس مشخصهخط انتقال
-3 استفاده در فیلتر ،کوپلر و سیرکولاتور، اسیلاتور، آنتن و تقویت کنندهها
(4-4 ویژگیهای DGS
-1 پوشش میدان روی صفحه زمین را مختل میکند.
-2 بالا بردن ضریب گذردهی موثر.
-3 بالابردن ظرفیت موثر و اندوکتانس خط انتقال
-4 از بین بردن هارمونیکهای اضافی با تک قطب کردن ویژگی ) LPF11 فرکانس قطع و تشدید)
(5-4اثر DGS دمبلی شکل بر روی خطوط میکرواستریپ
DGS نیز بوسیله الگوی کـم کـردن قلـم زنـی، در صـفحه زمـین مـدار ایجـاد مـی گـردد.. در ابتـدا خـط
میکرواستریپی با الگوی DGS از نوع دمبلی شکل نشان داده شده است و تـأثیر شـکاف بانـد خـوبی را در
بعضی ار فرکانسهای معین نیز ایجاد می کند .[21]
DGS در طراحی مدارات امواج میلیمتری و مایکرویو خیلی زیاد بکار میرود . اخیراً DGSهای متوالی بـا
کاستن الگوهای مربعی از مدارات صفحهای کـه ویژگیهـای Slow wave و stop band بـسیار خـوبی را

11 Low pass filter
۶١
تولید میکنند مورد بررسی قرار گرفته که در تقویت کنندهها و اسیلاتورها بیشتر مورد استفاده قرار گرفتهانـد
.[23] [ ,22]
در مقایسه با DGS پریودیک قبلی [21] و [22] یک نـوع DGS پریودیـک بهتـر و قـویتـر نیـز پیـشنهاد
1
گردیده که ابعاد مربعات کاسته شده متناسب با توزیع دامنه تابع نمـایی ) e n کـه n عـدد صـحیح اسـت)

میباشد.
در شکل((2-4مدار دو پورتی بدون DGS نشان داده و پارامترهـایS حاصـل از آن بـا ansoft در شـکل
(3-4) آمده است.

شکل(:(2-4خط میکرواستریپ دو پورته باεr=10 وh=1.575

شکل(:(3-4پارامترهایSمدار شکل((2-4
۶٢
به منظور بررسی این اثرات توسط DGS پریودیک نیز یک عدد مدار DGS پریودیک متحدالـشکل و دو
تا مدار DGS پریودیک قوی شده نیز در اینجا طراحی و اندازهگیری شدهاند. اندازهها نـشان مـیدهنـد کـه
نمایشهای اخیر اجرای نقش دقیقی توسط متوقف شدن رپیل و بزرگ کردن پهنـای بانـد را ایفـا مـیکنـد.در
شکل((4-4 دو پورتی با DGS دمبلی شکل نشان داده شده و نتیجه شبیه سازی شده این خـط بـا ansoft
در شکل((5-4رسم گردیده است.

شکل(:(4-4مدا با DGS دمبلی شکل

شکل(:(5-4پارامترهایS مدار باDGS دمبلی شکل
در بالا می بینیم فرکانس قطع ومقدار تضعیف کاهش می یابند.
( 1 – 5 – 4 الگویDGSدمبلی شکل و ویژگی شکاف باند
۶٣
نمای شماتیک مدار دمبل شکی DGS در شکل (4-4) نشان داده شده است .خـط میکرواسـتریپ رو قـرار
گرفته و DGS نیز در زیر صفحه فلزی زمین قلم زده شده است. طرح DGS توسط خطوط دش مـشخص
شدهاند. پهنای خط نیز برای امپدانس مشخصه 50 اهم تعیین گردیده است. ضـخامت سابـستریت زیـر لایـه
1/575 میلیمتر و ثابت دی الکتریک εr = 10 میباشد. در [20] آمده که شـکاف قلـم زده شـده و کاسـتن
مربعی قلم زده شده با ظرفیت موثر خط و اندوکتانس خط نیز متناسب میباشد و وقتی ناحیه قلـم زده شـده
کاسته شده مربع شکل کاهش می یابد و فاصله شکاف نیز 0/6 میلیمتر نـشان داده شـده اسـت، انـدوکتانس
موثر کاهش یافته و این کاهش اندوکتانس نیز فرکانس قطع (fc) را بالا میبرد که این قضیه در شکل (7-4)
نشان داده شده است. در اینجا ما نیز این کار را با Ansoft انجام دادهایم.
( 2 – 5 – 4 ایجاد DGS دمبلی پریودیک قویتر
نمایش شماتیک DGS پریودیک با الگوهای مربعـی واحـد بـرای مـدارات صـفحهای [21] نـوع 1 نامیـده
میشود که در شکل (6-4)(a) آمده است.مدار ما در اینجا نیز خـط میکرواسـتریپ 50 اهمـی و نیـز5 عـدد
الگوهای مربع متحدالشکل با دوره یکسان d = 5mm میباشند.پهنای طرفین مربعها و فاصله شکاف هـوایی
ما بین آنها 4/5 (g) میلیمتر و 0/6 میلیمتر میباشند.
براساس نوع 1 ، متحدالشکل بودن توزیع پنج عدد الگوی مربعی توسط یک شکل غیر واحد توزیع میگردد.
حوزه المانهای مربعی نیز متناسب با توزیع دامنه تابع نمایی e1/ n میباشد.در اینجا دامنه سـوم از پـنج المـان
مربعی شکل نیز 4/5mm میباشد.پس نوع دوم بوده و دامنه المـان توزیـع شـده بـر اسـاس زیـر مـشخص
میگردند.
2/3mm2/7mm4/5mm(1-4)
۶۴

شکل (a) :(6-4) نوع1 ، (b) نوع2، (c) نوع3
استفاده از توزیع ارتفاع غیر واحد DGSهای پریودیک، نوع دوم را تشکیل می دهند که در شکل (6-4)(b)
نشان داده شده است. براساس نوع دوم، دیگر مدار DGS پریودیک قوی شـده، یـک خـط میکرواسـتریپ
جبرانی را دارد که نوع سوم نامیده میشود. در شکل (6-4)(c) آمده است.خط میکرواستریپ جبرانی شـامل
۶۵
یک خط 50 اهمی و یک خط عریض میباشد. همچنین بزرگی المانهای DGS توسط رابطه سوم مشخص
گردیده است. المانهای الگوی مربعی غیر هم شکل نیز دارای دوره مساوی d=5mm بوده و فاصـله هـوایی
ثابت d = 0/6mm دارند که در شکل (6-4) نوع دوم و سوم خطوط میکرواستریپ رو قـرار دارد و DGS
ها نیز در صفحه زمین فلزی کنده شده و توسط خطوط دش مشخص شدهاند.
(3-5-4اندازهگیریهای مربوط به DGS دمبلی شکل
سه نوع مدار DGS پریودیک که ذکر شدند مورد بررسی و اندازهگیری قرار گرفتهاند، نتایج اندازهگیری نیـز
در شکل (8-4)((a)-(c)) نشان داده شده هستند . این نتایج به طور خلاصه در جدول (1-4) آمده است.
جدول(:(1-4مقایسه DGS های واحد وپریودیک وتوزیع نمایی

شکل(:(7-4پارامترهایS برای DGS دمبلی شکل
۶۶

(a)

(b)

(c)
شکل(:(8-4 مقایسه پارامترهای S مدارهای (a) DGSنوع(b) 1نوع(c) 2 نوع3
۶٧
سابستریت این مدارات دارای h = 1/575 و εr = 10 هستند. این اندازه گیـریهـا توسـط Ansoft انجـام
شده و نشان داده شدهاند.
همان طوری که در جدول آمده، 20dB ایزولاسیون پهنای باند برای انواع 1و 2و 3 نیز در فرکانسهای 3/05
و 4/18 و 4/26 گیگاهرتز میّاشند.
مدارهای DGS پریودیک پیشنهاد شده نوع 2و 3 پهنـای بانـد ایزولاسـیون 20dB را بهتـر 37% و (39/7%
میکند.در ناحیه پائین گذر، اولین افت برگـشتی و پیـک افـت برگـشتی بـرای نـوع 3، مقـادیر -46/7dB و
-30/9dB بوده و در صورتیکه این مقادیر در نوع 1 نیز -10/8dB و -4/9dB هستند.اولین افت برگشتی و
ماکزیمم افت برگشتی نیز در 4 بار (لحظه) بهتر شده و بنابراین ر پیلها به صورت موثری از بـین رفتـهانـد و
پهنای باند موثر برای نوع سوم افزایش و فرکانس قطع 3dB به صورت مختصر و کم تغییر پیدا میکند.
(6 – 4بررسی اثرات DGS های هلزونی بر روی هارمونیکهای تقسیم کننده توان
در اینجا نشان خواهیم داد تکنیکهای موثری از حذف هارمونیک دوم و سوم برای یـک تقـسیم کننـده تـوان
ویل کینسون (WILLKINSON)با استفاده از DGS هلزونی شکل را، که ما در مدار کـوپلر از ایـن نـوع
DGS استفاده کردهایم.
شکاف باند الکترومغناطیسی و برهم زدن ساختار زمین اخیـراً نیـز کـار بردهـای متفـاوتی را در مـایکرویوو
فرکانس موج میلیمتری با شکلهای مختلف دارند [22] و [24] و DGS خط میکرواستریپ نیـز بـا بـر هـم
زدن مصنوعی صفحهای زمین در ویژگی رزونانس مشخـصه انتقـال تغیراتـی ایجـاد مـیکنـد. در یـک خـط
میکرواستریپ مطابق با اندازه DGS یا بر هم زدگی که روی صفحه زمین ایجاد میگردد، حذف باند بیـشتر
۶٨
در فرکانس رزونانس صورت میگیرد. همچنین DGS باعث بوجود آمدن اندوکتانس موثر اضـافی در خـط
انتقال میگردد. افزایش اندوکتانس موثر از ایجاد DGS باعث افزایش طول الکتریکی خط انتقال نـسبت بـه
یک خط متداول میگردد که خود نیز باعث کاهش اندازه مدارات موج میلی متر و مایکرویو میگـردد. [21]
، در طراحی فیلترها ،تقسیم کنندههای توان و تقویت کنندهها، ویژگی حذف باند و اثر موج آهـسته (Slow
wave) توسط DGS نیز بسیار مورد نظر می باشد [22]و [23]
هارمونیک های ناخواسته تولید شده با ویژگی غیر خطی مدارات اکتیو نیاز به حذف کردن دارند. در مدارات
مایکرویو و فرکانس بالا ویژگی حذف باند توسط DGS میتوانـد در متوقـف کـردن هارمونیکهـای مـورد
استفاده قرار گیرد [22] و .[23] با یـک DGS هلزونـی شـکل متقـارن، (یـک تـک ( DGS حـذف تـک
هارمونیک را خواهیم داشت، وDGS پریودیک در جهت حـذف هارمونیـک دوم و سـوم بکـار مـی رونـد.
DGS های آبشاری و پشت سرهم باعث افزایش افت داخلـی شـده و بهمـین دلیـل در مـدارات بـا انـدازه
کوچک نیز استفاده از ان محدود گردیده است. در اینجا ساختار DGS هلزونی شکل غیر متقارن نیز جهـت
حذف هارمونیکهای دوم و سوم بطور همزمان پیشنهاد گردیدهاند. به طور مـوثر یـک تـک DGS هلزونـی
غیرمتقارن باعث از بین بردن باند فرکانس دوم میگردد و نیاز به ناحیه کوچکی هم جهت نقش بـستن دارد.
تقسیم کننده توان ویل کینسن با بکار بستن یک DGS هلزونی غیـر متقـارن در خطـوط λ4 باعـث حـذف

هارمونیک دوم شده و اندازه آن نیز با اثر موج آهسته کاهش مییابد. مشاهده میگردد به دلیل ذکـر شـده در
این پروژه ما از این گونه DGS استفاده ننمودهایم. تقسیم کننده Willkinson پیشنهاد شده به خـوبی یـک
تقیسم کننده توان مرسوم، در فرکانس کار خواهد بود.
۶٩
(7-4مدل مداری و هندسه DGS هلزونی نا متقارن
در شکل (9-4) هندسه DGS هلزونی روی صفحه زمین خط میکرواستریپ که ابعـاد کنـده شـده هلزونـی
شکل در سمت راست و چپ متفاوت از یکدیگر هستند آمده است. برای هندسه این DGS نامتقارن مطابق
با کنده شدهگی سمت چپ و کندهشدگی سمت راست دوتا فرکانس عملکرد متفاوت وجود دارد. مشخـصه
انتقال خط میکرواستریپ با هندسه DGS نامتقارن ویژگی حذف باند در فرکانس تشدید را دارد.

شکل (9-4) هندسه DGS هلزونی روی صفحه زمین خط میکرواستریپ
فرکانس تشدید ممکن است با تغییر کردن ابعاد DGS عوض گردد. مقایسه مشخصه انتقال DGS هلزونـی
با ابعاد مختلف متقارن و غیرمتقارن در شکل (10-4) آمدهاست. امپدانس مشخصه خط 50 اهـم مـیباشـد.
برای هندسه هلزونی متقارون ( A=A'= 3mm و (B=B' = 3mm تنها یـک فرکـانس تـشدید (
(f=2/93GHz وجود دارد در صورتی که در یک DGS غیر متقارن فرکانس تشدید به دو فرکانس مختلـف
تبدیل میگردد. برای یک DGS نامتقارن با A = A' = 3/5mm و B = B' = 2/6mm همان طوری که در
شکل (10-4) مشاهده میگردد دو فرکانس تشدید مختلف دیده میشـودf=2/56GHz وf=4/22GHz کـه
این نتایج نشان میدهند DGS هلزونی نا متقارن با اندازههای متفاوت روی صفحه زمین در دو طرف خـط،
٧٠
فرکانسهای رزونانس مختلف را میتوانند ایجاد کنند.در هندسه نا متقارن DGS نیز میخواهیم بدانیم که بـه
چه صورتی فرکانس تشدید مطابق با بر هم زدگی چپ و راست خط با تغییـر انـدازه بـر هـم زدگـی رفتـار
میکند.

شکل(:(10-4پارامترهای انتقال خط با DGS متقارن( ( A = A' = B' = 3mm ونامتقارن A = 3/4m) و (B = 2/6 mm

شکل(:( 11-4 فرکانس روزنانس ناشی از بر هم زدگی سمت چپ و راست خط بر حسب تابعی از B/A
٧١
فرکانس تشدید ناشی از بر هم زدگی سمت چپ خط و سمت راست خط در شکل (11-4) بعنوان تابعی از
اندازه بر هم زدگی سمت راست وقتی که اندازه سمت چپ ثابت باشد (A = A' = 2mm) رسم گردیـده
است. اندازه این آشفتگی هلزونی به صورت یک مربع در نظر گرفته شده (B = B' , A = A') .وقتـی کـه
اندازه برهم زدگی سمت راست از مقدار سـمت چـپ کـوچکتر اسـت (B/A<1)، فرکـانس رزونـانس در
سمت راست نیز بزرگتر از مقدار سمت چپ خواهد بود. هنگامیکه مقدار A با B برابر گردد دو تا فرکـانس
رزونانس ازهم پاشیده شده و به یک فرکانس تبدیل میگردد DGS) متقارن). باز وقتی کـه بـر هـم زدگـی
سمت راست افزایش پیدا کند B/A) زیاد شود)، فرکانس تشدید ناشی از بر هم زدگـی سـمت راسـت نیـز
کاهش مییابد. از این رو اندازه سمت چپ ثابت شده و مشاهده میگردد که فرکانس رزونانس ناشـی از بـر
هم زدگی سمت چپ تغییرات آهستهای خواهد داشت تا وقتی که B/A مقدار واحد شود.
مشخصه فرکانسی یک DGS متقارن با مدار رزوناتور RLC موازی میتواند مدل گردد. پارامترهای مـداری
معادل نیز از مشخصه انتقال شبیهسازی شده میتواند گرفته شود.
DGS نا متقارن نیز میتواند با دو تا رزوناتور RLC موازی که به صورت سدی متصل شدهاند مدل گـردد.
شکل((12-4، به همین جهـت مشخـصه انتقـال آن دو تـا فرکـانس تـشدید متفـاوت دارد. در مـدار معـادل
پارامترهای مدار اولین رزوناتور از مشخصه فرکانسی رزونانس بر هم زدگی سمت چپ گرفتـه مـیشـود در
حالیکه رزوناتور دوم بوسیله مشخصه رزونانس بر هم زدگی سمت راست مشخص می گردد. از نتـایج شـبیه
سازی پارامترهای اسکترینگ، پارامترهای مدار رزوناتور برای بر هم زدگی سمت چپ و راست بـه صـورت
زیر مشخص میگردند.
(۴-٢) C L,R W CL,R  ( 2 −W 2 (W 0 2Z C L,R 0 L,R ٧٢
(۴-٣) 1 LL,R  4π2 f02 L,R CL,R (۴-۴) 2zo RL,R  1 1 ))2 −1 − (2Z0 (W0 L,R CL,R − W0 L,R LL,R S11 (W0 L,R )2
شکل( 🙁 12-4 مدار معادل بخش DGS هلزونی نامتقارن
در اینجا اندیس R, L نیز پارامترهای برهم زدگی سمت چپ و راست را بیان می کنند. W0 فرکانس تشدید
و WC فرکانس قطع -3db را مشخص میکنند. Z0 امپدانس مشخصه خط انتقال می باشد.
(8-4حذف هارمونیکها در مدار مقسم توان
مقسم توان کاربردهای گوناگونی از قبیل توزیع توان سیگنال ورودی از آنتن و تقویت کنندههای توان بـالای
مایکرویو دارد. با قرار دادن فیلتر حذف هارمونیک در داخل مقسم توان ناحیه خروجـی فیلتـر کـاهش پیـدا
میکند .[23] جهت حذف هارمونیک نیز میتوان از استاب مدار باز در مرکز شاخههای بـا طـول λ4 مقـسم

توان استفاده نمود.
اگر DGS را بعنوان فیلتر هارمونیک اضافی استفاده کنیم میتوانیم با در نظر گرفتن کاهش سایز مقسم تـوان
که منجر به اثر (Slow – wave) میگردد نیز هارمونیک را حـذف نمـود. از ایـن رو یـک DGS متقـارن
٧٣
میتواند تنها یک سیگنال هارمونیک را حذف کند. ما نیاز به قرار دادن دو تا DGS به صـورت آبـشاری در
λ
هر شاخه ( ( 4 داریم تا هارمونیک دوم و سوم را حذف کنیم. هر چند ناحیه مقسم توان جهت گذشتن دو تا

DGS به صورت پریودیک در هر شاخه مقسم توان نیز محدود میگردد. DGS غیر متقارن هم، سـاختاری
موثر در جهت حذف هارمونیک دوم و سوم به صورت همزمان می باشد. [22]
شکل (13-4) (a) هندسه یک DGS هنرونی نامتقارن جهت حذف هارمونیـکهـای سـوم و دوم را نـشان
میدهد. در اینجا فرکانس عملکرد مقسم توان نیز 1/5 گیگاهرتز میباشد.

شکل(DGS (a): (13-4 هلزونی نامتقارن برای حذف هارمونیک دوم و سوم (b) مدار معادل ساختار این DGS
ناحیه بر هم زده شـده سـمت چـپ و راسـت رزونـانس هارمونیـک دوم و سـوم طراحـی شـدهانـد. 3) و
4.5گیگاهرتز). ابعاد طراحی شده این سـاختار D=2/4mm و A = 3 mm D' = S = G = 0/2mm و
A' = 3/2 mm، B = 2/4 mm و B' = 2/6 mm و امپدانس مشخصه خـط نیـز 70/7 Ω مـیباشـد.
٧۴
شکل (13-4) (b) مدار معادل DGS نامتقارن در شکل (13-4) (a) را نشان مـیدهـد. پارامترهـای مـدار
بوسیله پارامترهای اسکترینگ سیموله شده بوسیله روابط (2-4) تا (4-4) محاسبه میگردند.
شکل (14-4) نیز پارامترهای S محاسبه شده بوسیله شبیه سازی (EM) بـرای DGS نامتقـارن شـکل (a)
.(13-4) و محاسبه شده مدار معادل شکل (13-4)(b) را نشان میدهند. در هر دو تا شـبیه سـازی مـشاهده
میگردد که بوسیله DGS نامتقارن واحد، هارمونیکهای دوم و سـوم در فرکانـسهای 4. 5 , 3 گیگـا هرتـز
حذف میگردند.

شکل( ( 14- 4 پارامترهای S مدار با DGS هلزونی به صورت EM و شبیه سازی شماتیک
مشاهده میگردد که S12 موافق رنج فرکانسی پهن و S11 نیز در جهت حذف هارمونیک مقسم تـوان اصـلی
بکار میرود. یک مقسم توان معمولی در شکل (15-4)(a) مشاهده میگردد و نیز مقسم توان پیـشنهاد شـده
با DGS غیر متقارن در شکل (15-4)(b) آمده است. در اثر موج آهـسته (slow – wave) بـودن DGS
نیز اندازه مقسم توان پیشنهادی کاهش یافته است. اندازه L' = 17/3 mm در مقایسه L = 19mm حـدود
9/1 % کاهش یافته است.
٧۵
پارامترهای S شبیه سازی شده مقسم توان معمولی و پیشنهادی در شکل (16-4) آمده است.

شکل( ( 15- 4 هندسیای از (a) مقسم توان ویل کنیسن معمولی (b) مقسم توان با DGS نامتقارن
در (16-4) (b)، فرو نشاندن حدود18 dB برای هارمونیک دوم و سـوم بـا وارد کـردن DGS نامتقـارن در
خط انتقال ( ( λ4 مقسم توان مشاهده میگردد. افـت برگـشتی بـرای فرکـانس 1/5 GHZ در هـر دو مـشابه

یکدیگر می باشند، حتی با وارد کردن DGS نامتقارن در مدار.
شکل (17-4) نیز قسمت رو و زیر از یک مقسم توان ویل کینسن با وارد DGS هلزونی نامتقـارن را نـشان
میدهد. در شکل (a) (18-4)، S11 اندازهگیری شـده را نـشان مـیدهـد. افـت برگـشتی در فرکـانس 1/5
گیگاهرتز – 40dB بوده. S21 نیـز در شـکل (18-4)(b) بعنـوان تـابعی از فرکـانس آمـده اسـت. توقیـف
هارمونیک دوم (3 GHZ) نیز 18dB و هارمونیک سوم در فرکانس (4/5 GH) نیز 15dB میباشد.
٧۶

شکل ( ( 16- 4 نتایج شبیه سازی (a) پارامتر S مقسم توان معمولی S (b) برای مقسم توان با DGS

شکل( ( 17-4 مقسم توان willkinson با DGS هلزونی نامتقارن (a) روی مدار (b) پشت مدار
٧٧

شکل( ( 18- 4 نتیجه شبیه سازی مقسم توان با DGS هلزونی نامتقارن(S12(b)S11(a
( 9 – 4 مشاهده اثرات DGS برروی کوپلر T شکل در یک باندفرکانسی
ابتدا مدار شکل (3-2) را با اسـتفاده از DGS هلزونـی شـکل نیـز آنـالیز و نتـایج آن را در شـکل((19-4
مشاهده میکنیم
٧٨

شکل(:(19-4مدار بااستفاده از (a) DGSیک بعدی((bدو بعدی
در شکل (a)(20-4)و((b نتایج شبیه سازی حاصل از مدار قلم زده شده DGS و بدون استفاده از آن را
نشان میدهند.
٧٩

شکل((a):(20-4نتیجه شبیه سازی کوپلر با استفاده ار (b) DGSبدون استفاده از ((a)(3-2)) DGS
با مشاهده نتایج بالا به پایین آمدن فرکانس قطع و slow wave شدن پاسخ نیز پی می بریم.
(10-4مشاهده اثرات DGS روی مدار طراحی شده در این پروژه
در شکل (21-4) نوع DGS استفاده شده در این کوپلر آورده شده است.ونتیجـه ansoft در شـکل((22-4
مشاهده میگردد.
٨٠

شکل(:(21-4کوپلر باH DGS شکل در شاخه خطوط

شکل(:(22-4پارامتهای Sحاصل از به کار بستن DGS
٨١
فصل پنجم
چگونگی استفاده از کوپلر بدست آمده در طراحی سیرکولاتور
٨٢
(1-5 طراحی سیرکولاتور
یک سیرکولاتور 4 پورته فشرده نیز می تواند به وسیله یک کوپلر خط شاخه ای و شیفت دهنده فاز( پیوست
پ) نیز ساخته شود.این شیفت دهنده فازی همراه با ورودی و خروجی خط همواره مچینگ امپدانسی داشته
و دارای تضعیف صفر می باشد.در اینجا ما از زیراتور به عنوان شیفت دهنده فازی استفاده کرده ایمر .[26]
یکی از ترکیبات نا متقابل استاندارد ژیراتورها هستند که دارای 2 پورت بوده وشیفت فاز تفاضلی 180 درجه
ایجاد می کنند.نماد شماتیک برای یک ژیراتور در شکل (1-5)آمده است و ماتریس اسکترینگ برای یک
ژیراتور واقعی در زیر آمده است.
(1-5)

π
شکل(:(1-5نماد ژیراتور
که این ماتریس نشانه عدم افت ،مچ شده ونا متقابل بودن آن است.

s−0 11 0
(2-5مدار معادل برای سیرکولاتور با استفاده از یک ژیراتور و دو کوپلر

۴ ١
٢ π ٣
شکل(:(2-5سیرکولاتور 4پورته متشکل از دو مدار هایبریدی و ژیراتور
٨٣
استفاده ژیراتور به عنوان بنا ساخت در ترکیب با مقسم دو طرفه و کوپلرها میتواند منجر به ایجاد مدارات
مفید همچون سیرکولاتور گردد .در شکل (2-5) مدار معادل سیرکولاتور 4 پورته متشکل از دو مدار
هایبریدی و درشکل (4-5) سیرکولاتور ساخته شده با استفاده از یک ژیراتور ودو کوپلر را نشان میدهد.

شکل(-5٣):سیرکولاتور ساخته شده با استفاده از دو کوپلر و یک ژیراتور
مدار پیشنهادی با ایجاد شیفت فاز 180 درجه باعث عبور از پورت 1به2،2 به3،3به4و4به1 می گردد. در
شکل (4-5) نتایج شبیه سازی مدار طراحی شده آمده است.

(a)
٨۴

(b)

=26

1-6 نتیجه گیری…………………………………………………………121
2-6 پیشنهاداتی برای تحقیقات آتی …………………………………………122
مراجع………………………………………...…………………123
واژه نامه انگلیسی- فارسی……………………….…………………127
پیوست ها……………………………..…………………………131
پیوست الف-3……………………………………………………………132
3-الف-1 قیمت گذاری بدون آربیتراژ………………………..……………132
3-الف-2 مدل های لوی و بازار ناکامل……………………………………136
3-الف-3 تبدیل مارتینگل اشر……………………………………………137
3-الف-4 فرمول ایتو برای نیمه مارتینگل ها………………...………………139
پیوست 5- ب کدهای برنامه نویسی…………………………..………………141
5- ب-1 شبیه سازی فرآیند واریانس گاما………………………...…………141
5- ب- 2 تلاطم ضمنی در بازار نرمال………………………….…..………142
5- ب – 3 ارزش گذاری با استفاده از روش صریح ضمنی……………..….……143
5- ب -4 ارزش گذاری اختیارمعامله با استفاده از FFT (مدل واریانس گاما)….....…145
5- ب – 5 ارزش گذاری اختیار معامله با استفاده از سری توسعه داده شده
برای مدل مرتون………………………..………..……………146
چکیده ی لاتین………………………….………………..………147
فهرست شکل ها
شکل(3-1)……………………………………………………………………………….50
شکل(3-2)……………………………………………………………………………….51
شکل(5-3)………………………………………….……..…………………………….110
شکل(5-4)……………………………………………………...……………………….111
شکل(5-5)………………………………………………...…………………………….111
شکل(5-8)…………………………………….…………..…………………………….112
شکل(5-9)………………………………….……………..…………………………….113
شکل(5-10)……………………………………………….…………………………….114
شکل(5-11)…………………………………………….……………………………….114
شکل(5-12)……………………………………….…………………………………….116
شکل(5-13)…………………………………………….……………………………….116
شکل(5-14)……………………………………….…………………………………….117
شکل(5-15)………………………………………….………………………………….117
شکل(5-16)………………………………………….………………………………….118
شکل(5-17)………………………………………….………………………………….119


فهرست جدول ها
جدول(5-1)……………………………………….…………………………………….109
جدول(5-2)……………………………………………….…………………………….110
جدول(5-6)……………………………………….…………………………………….111
جدول(5-7)………………………………………….………………………………….112
جدول(5-18)……………………………………….…………………………..……….119
جدول(6-1)……………………………………….……...………………………….….121
مقدمه
در بازارهای مالی علاوه بر خرید و فروش کالاهای پایه نظیر سهام و اوراق قرضه، قراردادهایی تحت عنوان کلی "مشتقات مالی" یا "مطالبات مشروط" نیز مورد معامله قرار می گیرند. یکی از معروف ترین انواع مشتقات مالی، اختیار معامله است. قیمت گذاری اختیار معامله از مسائل مطرح در حوزه ی ریاضیات مالی است. در واقع ارزش یک اختیار معامله به دارایی بنیادین(سهام) بستگی دارد، به همین دلیل توان ارزش یک اختیار معامله به شناخت از مدل شاخص سهام مالی نیاز دارد. اغلب مدل های مالی از این فرض تبعیت می کند که شاخص سهام آن ها دارای توزیع نرمال است . اما شواهد تجربی نشان می دهند که بازدهی شاخص سهام از حرکت براونی تبعیت نمی کند و دارای توزیع های با دم های سنگین است. همچنین مشاهده شده است که در بسیاری از موارد بازدهی شاخص سهام دارای ناپیوستگی(پرش) می باشد. بنابراین مدل های لوی و دیفیوژن پرشی جایگزین مناسب تری نسبت به حرکت براونی هستند.
خاصیت مارکوفی فرایندهای لوی، این اجازه را می دهد که ارزش اختیار معاملات اروپایی و توأم بامانع را به صورت جواب هایی از معادلات انتگرو دیفرانسیل جزئی (PIDE) بیان شوند. در واقع با حل این معادلات ارزش اختیار معاملات به دست خواهد آمد.
مطالب آمده در این پایان نامه به شرح زیر است: - در فصل اول به مفاهیم اولیه ی مورد نیاز در این پایان نامه اشاره می شود. - در فصل دوم به معرفی فرایندهای لوی و ساختار آن ها پرداخته می شود . - در فصل سوم ارزش گذاری اختیار معاملات اروپایی و توأم بامانع تحت حرکت براونی هندسی و مدل های لوی نمایی خواهیم پرداخت و ارتباط آن ها با معادلات (PIDE) بیان خواهد شد. - در فصل چهارم با استفاده از روش های تفاضل متناهی ارزش اختیار معاملات اروپایی و توأم بامانع به دست خواهد آمد. - در فصل پنجم نتایج تجربی برای مدل های شاخص سهام ایران و S&P500 مورد تجزیه وتحلیل قرار می گیرد و با ذکر مثال هایی کارایی روش تفاضل متناهی بررسی می شود. - در فصل ششم نتایج حاصل از روش این پایان نامه را به همراه پیشنهاداتی برای تحقیقات آتی ارائه خواهد شد.
فصل اول
پیشنیازها
1-1 معرفی فضای احتمال
1-1-1 تعریف: یک فضای احتمال، سه تایی مرتبی است مثل(Ω,F,P)، که در آن Ω یک مجموعه ی دلخواه و غیرتهی است، ℱ یک σ-جبر از زیرمجموعه های Ω است وF→[0,1] :ℙ ، به طوری که
الف) 0=(∅)ℙ،
ب) 1=(Ω)ℙ،
پ) برای هر دنباله ی Ann=1∞ در ℱ ، که اعضای آن دوبه دو از هم جدا هستند :
P(n=1∞An)=n=1∞PAn. مجموعه ی Ω را فضای نمونه ، هر عضو ℱ را پیشامد، هر عضو Ω را یک پیشامد مقدماتی و P را اندازه ی احتمال روی F می نامند.[49]
1-1-2 تعریف: یک متغیر تصادفی، روی فضای (Ω,F,P)، تابعی است مثل X:Ω→R با این خاصیت که برای هر زیرمجموعه ی بورل ℝ مثل B داشته باشیم:
X-1B=ω∈Ω :Xω∈B∈F. برای هر متغیر تصادفی X می توان تابعی مثل ℝ→[0,1] :FX را به شکل
FXx=PX≤x=Pω∈Ω Xω≤xتعریف نمود. این تابع را تابع توزیع X می نامند. برای تابع توزیع FX خواص زیر برقرار است:
الف) برای هر a,b∈R ، a<b ،FXb-FXa=P(a<X≤b).
ب) تابع FX غیرنزولی است و در هر نقطه از سمت راست پیوسته است.
پ) limx⟶-∞FXx=0 و limx⟶∞FXx=1 . [49]
1-1-3 تعریف: گیریم (Ω,F,P) یک فضای احتمال ، n∈N و Bn σ-جبر مجموعه های بورل در Rn باشد، در این صورت هر تابع اندازه پذیر X:Ω ,F⟶(Rn,Bn) یک بردار تصادفی نامیده می شود. [23]
1-1-4 تعریف: گیریم X:Ω ,F⟶(Rn,Bn) یک بردار تصادفی است. در آن صورت تابع FX :Rn ⟶[0,1] با تعریف
FXx1,x2,…,xn=PX1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xnرا تابع توزیع توأم بردار تصادفی X می نامند.[43]
1-1-5 تعریف: گیریم (Ω,F,P) یک فضای احتمال، X یک متغیر تصادفی و g:R→R یک بورل اندازه پذیر باشد، آن گاه امید g(X)∈ L1(Ω,F,P) ، که با نماد E[g(X)] نمایش داده می شود، به شکل EgX=ΩgXωdP(ω) تعریف می شود. اگر X∈ L1(Ω,F,P) ، در این صورت μX=E[X] با تعریف
μX=EX=ΩXωdP(ω)را امید ریاضی X می نامند. حال اگر X∈ L2(Ω,F,P) در این صورت VarX را با تعریف
σX2=VarX=EX-EX2واریانس X و=Var(X) σX را انحراف معیار X می نامند. [17]
همان طور که مشاهده می شود امید یک عملگر است که از فضای L1(Ω,F,P)به ℝ تعریف شده است، می توان ثابت کرد که این عملگر دارای خواص زیر است [49]:
الف) (خطی بودن) برای هر (Ω,ℱ,ℙ) L1 X,Y∈ و هر α,βϵR داریم [49]
E αX+βY=αE[X]+β E[Y] ب) (مقایسه) برای هر L1(Ω,F,P) X,Y∈ با X≤Y(a.s) داریم [49]
EX≤EY پ) (نامساوی جنسن) اگر φ یک تابع اندازه پذیر با مقادیر حقیقی محدب باشد و L1(Ω,F,P) X ∈ در این صورت [49]
φ(E[X])≤E[φX]ت) اگر X≥0 و EX=0 باشند، آن گاه PX=0=1.
1-1-6 تعریف: برای بردارهای تصادفی X ، امید X ، که با μX نمایش داده می شود، به صورت
μX=E(X) =(E[X1],E[X2],…,E[Xn])تعریف می شود. در مورد بردارهای تصادفی به جای واریانس مفهوم ماتریس کواریانس تعریف می شود. ماتریس کواریانس یک بردار تصادفی X ، که با ∑ نمایش داده می شود، یک ماتریس n×n است ، که در آن هر درایه ی σi,j به صورت
σi,j=Cov(Xi,Xj)=E[(Xi-μXi)(Xj-μXj)]تعریف می شود. توجه کنید که Cov(Xi,Xj)=σXi2 .[49]
1-1-7 تعریف: دو متغیر تصادفی X وY روی فضای احتمال (Ω,F,P) را مستقل از یکدیگر (مستقل) گویند، هرگاه برای هر دو زیر مجموعه ی بورل A وB از R داشته باشیم[43]:
P(X∈A,Y∈B)=P(X∈A)P(Y∈B). 1-1-8 تعریف: متغیرهای تصادفی X1 و…وXn روی فضای احتمال (Ω,F,P) مستقل اند اگر برای دنباله ای از مجموعه بورل {Bi}i=1n
PX1∈B1,…,Xn∈Bn=PX1∈B1…PXn∈Bn [49] .
در مورد متغیرهای تصادفی مستقل از یکدیگر گزاره های زیر همواره درست هستند:
الف) اگر متغیرهای تصادفی X١ و X٢ و ... و Xn مستقل از یکدیگر باشند، آن گاه برای هر n تابع با مقادیر حقیقی g1 و g2 و...و gn داریم[49]
E[g١(X١)g٢(X٢)…gn(Xn)]=E[g١(X١)]E[g٢(X٢)]...EgnXnب) اگر متغیرهای تصادفی X1 و X2 مستتقل از یکدیگر باشند، Cov(X1,X2)=0. عکس این گزاره درست نیست.[49] . پ) اگر Cov(X1,X2)=0 ، آن گاه متغیرهای تصادفی X1 و X2 را غیر همبسته(ناهمبسته) می نامند. [49]
1-1-9 تعریف: گیریم (Ω,F,P) یک فضای احتمال باشد. یک فرایند تصادفی روی این فضا، خانواده ای است چون X=Xtt∈T که در آن به ازای هر t∈T ، Xt یک متغیر تصادفی روی (Ω,F,P) باشد.[43]
هر فرایند تصادفی X تابعی است از دو متغیر t و ω : برای لحظه ی ثابت t ، Xt={Xt(ω),ω∈Ω} متغیر تصادفی است (Xt(.):Ω→R) . برای پیشامد ساده وثابت ω∈Ω ، X تابعی است از متغیر زمان(X:T→R) :
Xt=Xtω, t∈T . در حالتی که ω∈Ω ثابت در نظر گرفته می شود، تابعXtω را مسیر نمونه ای برای فرایند تصادفی X می نامند.[43]
یکی از ابزارهای شناسایی و دسته بندی فرایندهای تصادفی تشخیص نوع توزیع آنهاست.
1-1-10 تعریف: گیریم X=Xtt∈T یک فرایند تصادفی است. در این صورت توزیع های با بعد متناهی X عبارتند از توزیع های توأم بردارهای تصادفی
Xn=(Xt١,Xt٢,…,Xtn) که در آن n∈N و (t١,t٢,…,tn) تمام بردارهای ممکن در Tn است. مجموعه ی کلیه ی توزیع های با بعد متناهی یک فرایند تصادفی را توزیع متناهی البعد آن فرایند تصادفی می نامند. [43]
1-2 امید شرطی
مفهوم امید شرطی یکی از مهم ترین مفاهیمی است که در درک موضوعاتی چون مارتینگل ها و انتگرال های تصادفی نقشی اساسی دارد. فرض می کنیم (Ω,F,P) یک فضای احتمال باشد. قبل از ارائه ی تعریف امید شرطی، به تعریف زیر توجه کنید.
1-2-1 تعریف: گیریم Y و Y1 و Y2 متغیرهای تصادفی، بردارهای تصادفی، یا فرایندهای تصادفی روی Ω هستند و F یک σ- جبر روی Ω است. در این صورت
●اگر σ(Y)⊂F ، آن گاه گفته می شود که اطلاعات مربوط بهY در درونℱ قرار دارد یا این که Y بیش از آنچه که در درون F وجود دارد دارای اطلاعات نیست.
●اگر σ(Y1)⊂σ(Y2)، آن گاه گفته می شود که Y1 بیش ازY2 دارای اطلاعات نیست.[43]
حال تعریف دقیق امید شرطی E(XF) را تحت σ- جبر ℱ ارائه می دهیم.
1-2-2 تعریف: یک متغیر تصادفی مثل Z را امید X به شرط معلوم بودن σ- جبر F می نامند هرگاه، Z بیش از آنچه که در درون F وجود دارد دارای اطلاعات نباشد، یعنی σ(Z)⊂F ، و Z در شرط
EX 1A=EZ 1A ∀ A∈F صدق کند.[43]
قضیه ی زیر نشان می دهد که این امید شرطی همواره وجود دارد و منحصر به فرد است.
1-2-3 قضیه(رادون- نیکودیم): گیریم (Ω,F,P) یک فضای احتمال، F' یک σ- جبر دیگر از زیرمجموعه های Ω، F'⊂F ، و X یک متغیر تصادفی روی Ω است. اگر E|X|<∞ ، در این صورت یک متغیر تصادفی Z روی Ω وجود دارد به طوری که
(الف) σ(Z)⊂F'،
(ب) ∀A∈Fʹ ، AZωdPʹω=AXωdPω که در آن P'=PF'. اگر Z' متغیر دیگری باشد که در شرایط (الف) و (ب) صدق می کند، آن گاه
PʹZ≠Zʹ=0. یعنی متغیر تصادفی Z منحصر به فرد نیز می باشد. متغیر تصادفی Z را امید X به شرط Fʹ می نامند و آن را با E(X|F') نمایش می دهند.[43] اگر Y یک متغیر تصادفی، بردار تصادفی، یا فرایند تصادفی روی Ω و σ(Y)، σ- جبر تولید شده توسط Y باشند. در این صورت امید شرطی X نسبت به Y به صورت زیر تعریف می شود: E(XY)=E(Xσ(Y)) [43].
امید شرطی دارای خواصی است که به کمک آن ها می توان محاسبات مربوط به آن را ساده تر نمود.در این جا خواص را، بدون ارائه ی اثبات ، به صورت قاعده به شرح زیر ارائه می دهیم :
قاعده ی 1 [43]
امید شرطی خطی است : برای هر دو متغیر شرطی X1 و X2 و هر دو عدد ثابت و حقیقی c1 و c2 داریم
E(c 1X1+c 2X2)|F=c1EX1|F+c2EX2|F .قاعده ی 2 [43]
امید های ریاضی هر متغیر تصادفی X و امید شرطی EX|F یکسان هستند :
EX=EEX|F .قاعده ی 3 [43]
اگر متغیر تصادفی X و σ- جبر ℱ مستقل از یکدیگر باشند، آن گاهEX|F=EX . به ویژه، اگر متغیر های
تصادفی X و Y مستقل از یکدیگر باشند ، آن گاه .EX|Y =EX
قاعده ی 4 [43] اگر برای متغیر تصادفی X داشته باشیم σ(X)⊂F ، آن گاه .EX|F=X به ویژه ، اگر X تابعی از متغیر های تصادفی Y باشد ، آن گاه σ(X)⊂σ(Y)، در نتیجه E[XY]=X.
قاعده ی 5 [43]
اگر برای متغیر تصادفی X داشته باشیم σX⊂F ، آن گاه برای هر متغیر تصادفی G داریم EXG|F=XEG|F. به ویژه ، اگر X تابعی از متغیر های تصادفیY باشد ، آن گاه σ(X)⊂σ(Y) ، در نتیجه EXG|Y=XEG|Yقاعده ی6 [43]
اگر ℱ وʹℱ دو σ- جبر باشد که ʹℱ ⊂ℱ ، آن گاه
EEX|Fʹ |F=EX|F EEX|F |Fʹ=EX|F .قاعده ی 7 [43]
اگر متغیر تصادفی X مستقل از σ- جبر F باشد ، و اگرσ(Y)⊂F ، که در آن Y یک متغیر تصادفی ، یا یک بردار تصادفی ، یا یک فرایند تصادفی است ، آن گاه برای هر تابع دو متغیره ی h
Eh( X, Y )|F= E EXh (X,Y)|F, که در آن EXh (X,Y) به معنای آن است که Y را ثابت نگه داشته و امید را بر حسب X محاسبه می کنیم .
قاعده ی 8 [43]
نامساوی جنسن برای امید شرطی نیز صادق است . یعنی اگر X یک متغیر تصادفی ، E|X|<∞ ، Φ تابعی محدب روی ℝ E|Φ(X)|<∞،، وʹℱ σ- جبری باشد که ℱ⊂ʹℱ ، آن گاه
ΦEXFʹ≤EΦXFʹ.
1-2-4 تعریف( تابع مشخصه ): فرض کنیم X={Xt}t≥0 یک فرایند تصادفی باشد ، آن گاه تابع مشخصه ی X به صورت زیر تعریف می شود :
Φtz≡ΦXt≡Eeiz.Xt,z∈Rd که در آن E علامت امید ریاضی است [24] .
1-3 معرفی چند فرایند تصادفی
در این قسمت چند فرایند تصادفی را معرفی می کنیم که در نظریه ی فرایندهای تصادفی ، فیزیک ، علوم مالی و غیره ، نقش اساسی دارند .
1-3-1 تعریف: گیریم (Ω,F,P) یک فضای احتمال است و .T=[0,+∞) فرایندهای تصادفی B={Bt}t∈T را حرکت براونی (استاندارد ) می نامند، هرگاه شرایط زیر در مورد آن برقرار باشد:
این حرکت از صفر شروع می شود ، یعنی B0=0 .
نمو های آن مانا ومستقل از یگدیگر باشند، یعنی برای هرt,s∈T و هر h∈R به طوری که t+h,s+h∈T:
Bt-Bs =d Bt+h-Bs+h و این که برای هر انتخاب {ti}i=1n از T با n≥1 , t1<t2<…<tn ، متغیر های تصادفی
Xt2-Xt1,Xt3-Xt2,…,Xtn-Xtn-1 مستقل از یکدیگر باشند.
برای هر t>0 ، Bt دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس t است ، یعنی Bt~N(0,t) .
Bt(ω) در سرتاسر T تقریباُ همه جا پیوسته است .(با احتمال 1 هر مسیر آن پیوسته است ).[43]

1-3-2 تعریف ( حرکت براونی توأم با رانش ): گیریم B = {Bt}t∈T یک حرکت براونی ساده است . در این صورت فرایند Xt با تعریف Xt= μt+σBt , t≥ 0 که در آن μ∈R و σ∈R+ ثابت هستند ، را حرکت براونی توأم با رانش می نامند . [43]
1-3-3 تعریف ( حرکت براونی هندسی): گیریم B={Bt}t∈Tیک حرکت براونی استاندارد است . در این صورت فرایند Xt با تعریف Xt=eμt+σBt , t≥0 که در آن μ∈R و σ∈R+ ثابت هستند، را حرکت براونی هندسی می نامند. [43]
1-3-4 تعریف ( فرایند گاما ): فرایند تصادفی X={Xt}t≥0 را یک فرایند گاما گویند، هرگاه
1) X0=0.
2)نموهای آن مانا و مستقل از یکدیگر باشند.
3) برای هر t≥0، Xt دارای توزیع گاما باشد.[48]
1-4 مارتینگل ها
دانستن مفهوم مارتینگل در درک انتگرال تصادفی، اساسی است .
1-4-1 تعریف: گیریم (Ω,F,P) یک فضای احتمال است و {Ft}t≥0 خانواده ای از σ-جبرهایی است که همگی در ℱ قرار دارند. در این صورت{Ft}t≥0 را یک فیلتراسیون برای ℱ گویند هرگاه به ازای هر .Fs⊂Ft ، 0≤s≤t در حقیقت هر فیلتراسیون زنجیره ای غیرنزولی از اطلاعات است . هرگاه {Fn}n∈{0,1,2,…} دنباله ای صعودی از σ- جبر های روی Ω باشد، آن گاه این دنباله را نیز یک فیلتراسیون می نامند.[43]
در بحث هایی که در اینجا مطرح خواهیم کرد ، معمولاً فیلتراسیون های مورد بحث در ارتباط با فرایندهای تصادفی هستند . به تعریف بعد توجه کنید .
2-4-2 تعریف: گیریم (Ω,F,P) یک فضای احتمال است و {Ft}t≥0 و یک فیلتراسیون برای این فضا، و Y={Yt}t≥0 یک فرایند تصادفی روی این فضا است . در این صورت فرایندY را نسبت به فیلتراسیون {Ft}t≥0 سازگار گویند ، هرگاه σ(Yt)⊂Ft ، ∀ t≥0 هر فرایند تصادفی مثل Y={Yt}t≥0 همواره نسبت به فیلتراسیون طبیعی تولید شده توسط Y یعنی Ft=σYs , s≤t, سازگار است .در حقیقت معنای سازگاری با فیلتراسیون{Ft}t≥0 این است که Yt ها بیش از آن چه که در {Ft} است حاوی اطلاعات نیستند .[43]
2-4-3 تعریف: گیریم (Ω,F,P) یک فضای احتمال، {Ft}t≥0 یک فیلتراسیون برای این فضا ، و X={Xt}t≥0 یک فرایند تصادفی روی این فضا است . در این صورتX را نسبت به فیلتراسیون{Ft}t≥0 یک مارتینگل می نامند، هرگاه
برای هر t≥0 ، E|Xt|<∞.
X نسبت به فیلتراسیون {Ft}t≥0 سازگار باشد.
برای هر s,t ∈R با 0≤s≤t داشته باشیم
EXt|Fs=Xs ,یعنی Xs تخمین خوبی برای Xt به شرط معلوم بودن Fs باشد.[43]
2-4-4 تعریف: گیریم (Ω,F,P) یک فضای احتمال ، {Ft}t≥0 یک فیلتراسیون برای این فضا باشد. تابع τ:Ω→[0,+∞) را یک زمان توقف نسبت به فیلتراسیون {Ft}t≥0 گویند، اگر برای هرt∈[0,+∞)
ω∈Ω:τ(ω)<t∈Ft باشد.[8]
1-5 همگرایی متغیر های تصادفی
فرض کنیم{Xn}n∈N دنباله ای از متغیرهای تصادفی روی فضای احتمال (Ω,F,P) باشد . برای این دنباله تعریف می کنند [43]:
الف) همگرایی a.s: می نویسیم Xna.sX اگر
Pω:limn→∞Xnω=X(ω)=1 .ب) همگرایی در احتمال: می نویسیمXnPX اگر برای هرε>0limn→∞Pω:|Xnω-Xω|≥ε=0 . پ) همگرایی در Lp: می نویسیم XnLpX ( 0<p<∞ ) اگر Xn∈Lp، X∈Lp و
limn→∞EXn-Xp=0[22].
ت) اگر برای هر n≥0، Fn تابع توزیع Xn باشد. {Xn}n∈N در توزیع به X0 همگراست، اگر
limn→∞Fnx=F0x وقتی که x∈C(F0) ( CF0={x∈R:است پیوسته x در F0}). [9]
ث) فرض کنیم {μn}n≥0 یک دنباله اندازه احتمال روی (Ω,F) باشد. {μn}n≥1 در توزیع به μ0 همگراست ( می نویسیم μndμ )، اگر limn→∞Fnx=F0x وقتی که FnE=μn(E)، E∈F. [9]
1-5-1 قضیه: اگر {μn}n≥1 و دو اندازه احتمال روی (Ω,F) باشند، آن گاه μndμ اگر وفقط اگر fdμn→fdμ برای هر تابع پیوسته و کراندار f. یا به طور معادل XndX اگر برای هرتابع پیوسته کراندار f:E→R Ef(Xn)n→∞E[fX].[9].
1-5-2 قضیه: {Xn}n≥1 در توزیع به X همگرا است، اگر و فقط اگر ، برای هر z∈Rd ΦXnz→ΦXzوقتی که ΦX تابع مشخصه ی متغیر تصادفی X می باشد .[24]
1-6 فرایند پواسون
1-6-1 تعریف: متغیر تصادفی پیوسته X روی فضای احتمال (Ω,F,P) با تابع چگالی احتمال
ft=λe-λt t>0,0 t≥0, را متغیر تصادفی نمایی با پارامتر λ می نامند. [24]
1-6-2 تعریف: متغیر تصادفی گسسته N با مجموعه مقادیر {0,1,2,…}، متغیر تصادفی پواسون با پارامتر λ می نامند ، اگر
PN=n=e-λλnn! n=0,1,2,…
[24].
1-6-3 تعریف: گیریم (τi)i≥1یک دنباله از متغیر های تصادفی مستقل نمایی با پارامتر λ باشند و Tn=i=1nτi. آن گاه فرایند{Nt}t≥1 با تعریف
Nt=n≥11t≥τn ,یک فرایند پواسون با نرخ λ نامیده می شود .[24]
در واقع فرایند پواسون یک فرایند شمارشی است ، یا به طور معادل، تعداد زمان های تصادفی {Tn} بین زمان 0 و t را شمارش می کند که برای آن (Tn-Tn-1)n≥1 یک دنباله ی مستقل وهم توزیع از متغیر های نمایی هستند . در حالت کلی اگر یک دنباله افزایشی از زمان های تصادفی {Tn,n≥1} با PTn→∞=1 داده شده باشد، آن گاه فرایند شمارشی مرتبط با آن، {Xt}t≥0، به صورت زیر تعریف می شود:[24] Xt=n≥11t≥Tn=#n≥1,Tn≥t Xt تعداد زمان های تصادفی {Tn,n≥1} است که در بازه ی [0,t] رخ می دهد و شرط PTn→∞=1، با احتمال 1، خوش تعریف بودن(متناهی) Xt را تضمین می کند(برای هر t). اگر زمان های تصادفی {Tn,n≥1} به عنوان مجموع جزئی از یک دنباله ی مستقل و هم توزیع متغیرهای تصادفی نمایی باشند، آن گاه {Xt} یک فرایند پواسون است. [24] در حالت کلی برای یک فرایند شمارشی، دنباله ی زمان های تصادفی {Tn,n≥1} می توانند هر توزیع و ساختاری داشته باشند.
1-6-4 قضیه: اگر {Xt}t≥0 یک فرایند شمارشی با نموهای مستقل و مانا باشد، آن گاه {Xt}t≥0 یک فرایند پواسون است.[24]
خاصیت های فرایند های پواسون در قضیه ی بعد بیان می شوند .
1-6-5 قضیه: گیریم {Nt}t≥0 یک فرایند پواسون باشد، آن گاه 1) N0≡0 .
2) برای هر t≥0 ، Nt ، a.s متناهی است .
3) برای هر ω ، مسیر های نمونه ای t→Nt(ω) به طور قطعه ای ثابت هستند و به وسیله پرش هایی به اندازه 1 افزایش پیدا می کند .
4) مسیر های نمونه ای t→Nt ، با احتمال 1، از راست پیوسته و دارای حد چپ باشند.
5) برای هر t>0 ، با احتمال 1 ، Nt-=Nt است.
6) Nt در احتمال پیوسته است ، یعنی
∀t>0 , NsPs→t Nt .7) برای هر t>0 ، Nt دارای توزیع پواسون با پارا متر λt می باشد .
P Nt=n =e-λt λtnn! , n=0,1,2,…
8) تابع مشخصه ی Nt به صورت زیر است :
Eei u Nt=expλ tei u -1 , ∀ u∈R . 9) {Nt} دارای نموهای مستقل است : برای هر tN>…>t1 Nt1,Nt2-Nt1,Ntn-Ntn-1 متغیر های تصادفی مستقل از یکدیگرند .
10) {Nt} دارای نموهای ماناست: برای هر t>s ، Nt-Nsدارای توزیع مشابه با Nt-s می باشد.
اثبات: (قضیه ی 2-1 [24]).
1-6-6 تعریف(فرایند پواسون جبران شده): این فرایند نسخه ی متمرکز فرایند پواسون {Nt}t≥0 است و به صورت زیر تعریف می شود:
Nt=Nt-λt که در آن λ نرخ فرایند {Nt}t≥0 است.
این فرایند دارای تغیرات مستقل است و همچنین
E[Nt | Ns, s≤t] = E[Nt - Ns+Ns | Ns] = E[Nt - Ns ]+ Ns =λ(t-s)+ Nt
در نتیجه فرایند پواسون مارتینگل نیست، اما جبران شده ی آن یعنی {Nt}t≥0 مارتینگل است :
ENtNs= Ns , ∀ t>s [24].
1-6-7 تعریف(فرایند پواسون ترکیبی ): یک فرایند پواسون ترکیبی با نرخ λ>0 و توزیع به اندازه پرش F یک فرایند تصادفی {Xt}t≥0 می باشد، که به صورت زیر تعریف می شود:
Xt=i=1NtYi, که در آن اندازه های پرش Yi ، مستقل و هم توزیع با F هستند و {Nt}t≥0 یک فرایند پواسون با نرخ λ ، مستقل از {Yi}i≥1 ، می باشد .[8]
1-6-8 تعریف: توزیع احتمال F رویRd را به طور نامتناهی تفکیک پذیر(بخش پذیر) می گویند، اگر برای هر عدد صحیح، n≥2، n متغیر تصادفی مستقل و هم توزیع Y1,…,Yn وجود داشته باشد، به طوری که
Y1+…+Yn نیز دارای توزیع F باشد یا به طور معادل .X =d Y1+…+Yn [24]
1-6-9 نتیجه: گیریم متغیر تصادفی X دارای تابع توزیع Fn باشد. Fn به طور نامتناهی تفکیک پذیر است، اگر و فقط اگر، برای هرn∈N، F1n وجود داشته باشد به طوری که ΦFnx=[ΦF1nx]n , ∀x∈Rdکه در آن Φ تابع مشخصه X است.[8]
1-6-10 مثال: اگر بردار X=X1,X2,…..,Xd یک متغیر تصادفی گاوسی باشد. بنابراین تابع چگالی X به
صورت زیر است:

=15

با ارائه مدل کاکس، مطالعات بسیاری از آمارشناسان بر این روش و چگونگی برطرف کردن ضعفهای آن متمرکز شد. اکثر پیشنهاداتی که ارائه میشد با توجه به سانسورشدگی دادهها و نیز حضور متغیرهای کیفی در مدل به عنوان متغیرهای مستقل، براساس استفاده از آزمونها و روشهای ناپارامتری بود. پرنتایس (1980) روشی ناپارامتری جهت استفاده در مدلهای رگرسیونی با دادههای سانسورشده از راست ارائه نمود. کازیک (1991) در دو پروژه - ریسرچای که منتشر کرد، چگونگی استفاده از آزمون رتبهها را تشریح کرد. یکی از مقالات ارزشمندی که در این سالها ارائه شد، پروژه - ریسرچای از کلایتون و کازیک (1991) بود که در آن چگونگی استفاده از مدلهای تعمیمیافته چندمتغیره در مدلهای مخاطرات متناسب تئوریزه شده است. تأثیر دادههای سانسورشده بر این مدل توسط کالب فلیچ و پرنتایس (1980) بررسی و مدل تکمیل گردید. آنها تمام ایدههایی که تا آن زمان در مورد روش تجزیه و تحلیل بقا ارائه شده و از پایههای تئوریک مناسبی برخوردار بودند ارائه نمودند.
استفاده از فرآیندهای تصادفی در تحلیل بقا، از سال ١٩٧۵ و توسط آلن مرسوم شد. او با استفاده از مارتینگلهای پیوسته_زمان به بررسی جداول طول عمر پرداخت. آلندر سال ١٩٧٨ در ادامه رسالهی دکترای خویش این روشها را توسعه داد.
شونفلد (1980)، پتیت (1990) و اونیل (1991) راه کاکس را ادامه دادند و به اثبات و ارائه برخی خصوصیات تقریبی مدل کاکس پرداختند. همچنین ترنو (2001) و فاکس (2002) تحقیقات ارزندهای در شناخت هر چه بیشتر این مدل انجام دادند. اساس کلیه نتایج و اثباتها در مراجع فوق بر مبنای مدل کاکس استوار است.
هدف پژوهشهدف از انجام این مطالعه برآورد پارامترهای یک مدل دادههای سانسورشده میباشد که با نگرش بیزی میخواهیم ابتدا توزیعهای پیشین مناسب برای پارامترها در نظر بگیریم. سپس با توجه به اینکه توزیع پسین فاقد فرم بسته است به شیوههای شبیهسازی شده اقدام به برآورد و پیشبینی پارامترهای توزیع پسین نماییم. یعنی میزان تاثیر عوامل کمکی مختلف را نیز با توجه به مدل کاکس مورد ارزیابی قرار دهیم.
تعریف مفهوم‌ها و واژه‌های اساسیداده‌های سانسور شدهدر بسیاری از تحقیقات از جمله آزمونهای طول عمر و مطالعات تحلیل بقا با نمونههایی مواجه هستیم که اطلاعات کامل بعضی از واحدهای نمونه به دلایلی ثبت نشدهاند، یا به عبارت دیگر آزمایشگر ممکن است قادر نباشد اطلاعات کاملی از زمان شکست همهی واحدهای مورد آزمایش به دست آورد. به عنوان مثال، اگر زمان مرگ یا از کارافتادگی واحد مورد بررسی، خارج از دورۀ زمانی مورد مطالعه باشد در این صورت تعداد دقیق مرگ یا ازکارافتادگی که در یک بازه اتفاق میافتد معلوم نیست. به عنوان مثالی دیگر، در یک آزمایش بالینی ممکن است افراد از ادامه آزمایش منصرف شوند و یا به علت کمبود بودجه، آزمایش متوقف شود. همچنین در آزمایشهای صنعتی ممکن است واحدهای آزمایش به منظور صرفهجویی در زمان و هزینه، قبل از شکست و به صورت از پیش تعیین شده از آزمایش کنار گذاشته شوند. در چنین شرایطی دادههایی که تحلیلگر به دست میآورد، دادههای سانسور شده میباشند و گوییم سانسور رخ داده است.
سانسور شدن میتواند از سمت راست، چپ یا فاصلهای باشد. اگر ما نتوانیم واحدها را به مدت طولانی تا زمان وقوع حادثه رصد نماییم، در نتیجه زمان وقوع حادثه بعد از اتمام مطالعه رخ میدهد. به عبارت دیگر زمان وقوع حادثه برای آن فرد از سمت راست سانسور شده است. به عنوان نمونه در پیوند مغز استخوان در بیماران لوسمی اگر بعد از سه سال، مطالعه را متوقف نماییم، بیمارانی که هنوز زنده هستند زمان وقوع مرگ آنها مشخص نیست. زیرا ممکن است آنها بعد از سه سال بمیرند و به دلیل اتمام دوره، پیگیری زمان مرگ آنها مقدور نباشد. لذا زمان وقوع مرگ برای آنها از سمت راست سانسور شده است. سانسور شدن از طرف راست ممکن است به دلایل زیر رخ دهد:
الف) اتمام مطالعه: در برخی تحقیقات پیگیری طولانی مدت واحدهای مورد بررسی مقدور نیست و مجبور به اعمال محدودیت در مطالعه هستیم که ممکن است پیشامد بعد از اتمام مطالعه رخ دهد.
ب) گم شدن: گاهی اوقات به دلیل مهاجرت، تغییر شغل و غیره برای واحدهای مورد بررسی، ممکن است با وجود رخ دادن پیشامد برای آنها، دادههای مربوطه را از دست بدهیم.
ج) رقابتجویی علتها: در رقابتجویی علتها، رخ دادن یک علت از رخ دادن سایر پیشامدها جلوگیری میکند. به طور نمونه اگر در یک پژوهش پیشامد مورد نظر، زمان تا سکته قلبی باشد ممکن است فرد به دلیل سرطان یا تصادف قبل از سکته قلبی فوت نماید در نتیجه اطلاعات مربوطه از دست خواهد رفت.
اگر سانسور شدن به دلیل اتمام مطالعه باشد میتوان فرض کرد که سازوکار سانسور شدن مستقل از سازوکار پیشرفت بیماری است. سانسور شدن به دلیل گم شدن ممکن است دارای ضریب همبستگی مثبت یا منفی با زمان حادثه باشد. به عنوان مثال، در یک مطالعه ممکن است افراد شرکتکنندهای که وضعیت سلامت بهتری دارند ادامه روش پیشنهادی (درمان، رژیم غذایی و غیره) را ضروری ندانند و از مطالعه خارج شوند که سبب ایجاد ضریب همبستگی منفی بین زمان سانسور شدن و حادثه می شود و افرادی که وضعیت سلامت بدتری دارند در مطالعه باقی بمانند که احتمال وقوع پیشامد بزرگتر از مقدار واقعی برآورد شود. همچنین گاهی اوقات زمان سانسور شدن با زمان حادثه دارای همبستگی مثبت است که در این مورد سانسور شدن سبب می شود منحنی بقا به سمت بالا حرکت نماید.
توابع زمان بقا
توزیع T (زمان بقا)، از ثبت نقطهی آغاز تا پیشامد مورد نظر که به صورت یک متغیر تصادفی در نظر گرفته میشود، به وسیلهی هریک از دو تابع هم ارز بقا و خطر مشخص میشود. تابع بقا را باS(t) نشان میدهیم و به صورت احتمالی که یک فرد بیشتر از t واحد زمانی زنده بماند تعریف میشود:
St=PT>t, S0= 1, S∞= 0St همچنین نرخ بقا را نشان میدهد. به عنوان مثال اگر زمانها برحسب سال باشند، آن گاه S2 نرخ بقای دو ساله و S5 نرخ بقای 5 ساله را نشان میدهد. نمودار St در مقابل t، منحنی بقا نامیده میشود که همواره از عدد ۱ شروع و به طرف صفر نزول میکند (شکل ۲). منحنی با شیب تند، بقای کوتاهتر و منحنی با شیب کمتر یا یکنواخت، بقای طولانیتر را نشان میدهد.

شکل STYLEREF 1 s ‏1– SEQ شکل * ARABIC s 1 2 منحنی بقاتوزیع T یک متغیر تصادفی است که به وسیلهی تابع چگالی احتمال f(t) یا تابع توزیع تجمعی F(t) مشخص میشود که عبارتند از:
ft= limε → 0Pt ≤T ≤t+εεیا


ftdt= Pt ≤T ≤t+εو
Ft= P T≤t= 0tfx dx=1-S(t)تابع خطر یا مخاطره λ(t)، نرخ مرگ لحظهای با شرط زنده بودن فرد تا زمان t را نشان میدهد که به صورت
λt= limε → 0Pt ≤T ≤t+ε | t≤Tεیا
λtdt= Pt ≤T ≤t+ε | t≤Tمی‌باشد. چنانچه Λ(t) تابع تجمعی خطر تا زمان t باشد با توجه به پیوستگی متغیر t رابطهی
St=exp-Λt, t>0بین تابع بقا و تابع خطر تجمعی برقرار است. با فرض وجود زمانهای بقای سانسورشده و با درنظر گرفتن ساز و کار سانسور نوع اول، چنانچه ci زمان سانسور و ti زمان بقای مشاهده شده آزمودنی iام باشد آنگاه Ti=min⁡(ti, ci) خواهد شد. با تعریف تابع نشانگر سانسور δi (اگر سانسور صورت گرفته باشد δi=0 و در غیر اینصورت δi=1) میتوان اطلاعات زمان بقای آزمودنی iام را با زوج (Ti, δi) نشان داد. در عمل تابع بقا را به روشهای ناپارامتری همچون برآورد کاپلان مایر میتوان برآورد نمود. در حالت پارامتری با فرض اینکه سانسور شدن زمانهای بقا ناآگاهیبخش باشد با تشکیل تابع درستنمایی و ماکسیمم نمودن آن میتوان برآورد پارامترهای نامعلوم بقا را بدست آورد. در ساختن تابع درستنمایی چنانچه آزمودنی iام دارای زمانهای بقای حقیقی باشد، چگالی زمان بقا و اگر آزمودنی iام دارای زمان بقای سانسور شده باشد، میزان بقا پس از نقطه زمانی سانسور شده در تابع درستنمایی لحاظ میگردد. در حالت کلی تابع درستنمایی به صورت
Lθ= i=1nλtiθδi Stiθ میباشد. در حالت بزرگنمونهای با برآورد پارامتر نامعلوم θ و واریانس مجانبی آن با استفاده از تابع درستنمایی میتوان آزمونهای تقریبی برای θ انجام داد.
توزیع‌های بقا
زمان بقا نیز مانند هر متغیر تصادفی دیگری دارای یک توزیع احتمال می‌باشد. دادههای بقا بنابرویژگیهای خاص خودشان دارای یک سری توزیعهای احتمالاتی خاص میباشند که از جمله میتوان به توزیعهای نمایی، وایبل، گاما، رایلی، لگ-نرمال و پارتو اشاره نمود. در ادامه تنها به ذکر توزیع نمایی و وایبل بسنده میکنیم.
توزیع نمایی
این توزیع سادهترین و در عین حال مهمترین توزیع در مطالعات بقا است. این توزیع دارای نرخ شکست ثابت λ است، یعنی:
λt= λ ثابت λ>0St= e-λt, t>0توزیع وایبل
این توزیع تعمیم توزیع نمایی است، اما برخلاف توزیع نمایی، خطر ثابت نیست. این توزیع شامل دو پارامتر λ و p میباشد که در آن λ تعیینکننده مقیاس یا اندازهی تابع خطر و p تعیینکنندهی شکل منحنی تابع خطر است.
λt= λp (λt)p-1, t>0, λ,p>0St= e-(λt)p, t>0مدل‌سازی زمان‌های بقاتحلیل دادهها، اغلب به تعیین یک مدل احتمال بستگی دارد که از دادههای مشاهده شده نشأت میگیرد. برای ضرورت مدلسازی دادههای بقا میتوان دو دلیل عمده زیر را بیان کرد:
الف) مدل سازی، ترکیب متغیرهای موثر بر تابع خطر را مشخص مینماید.
ب) برآورد تابع خطر برای هر فرد مشخص و در هر لحظه زمانی را میتوان با مدلسازی مناسب بدست آورد.
دونوع مدل رگرسیونی برای دادههای بقا وجود دارد:
الف) مدل مخاطره متناسب کاکس به عنوان یک روش نیمه پارامتری (هوگارد،1991).
ب) مدلهای شتاب دار زمان شکست از قبیل مدل وایبل، نمایی و لگ-نرمال به عنوان روشهای پارامتری )هوگارد، 2000).
متداولترین مدلی که برای برازش به دادههای بقا مورد استفاده قرار میگیرد، مدل رگرسیونی خطرات متناسب کاکس میباشد. مدل خطرات متناسب کاکس یک مدل کارا برای تجزیه و تحلیل داده‌های بقا میباشد. مزیت عمده استفاده از این مدل، قابلیت آن در لحاظ کردن اطلاعات زمانهای شکست سانسور شده و متغیرهای تبیینی مرتبط با بقا است. به عنوان مثال در نمونهای از بیمارانی که عمل جراحی قلب داشتهاند، ممکن است فشار خون بر زمان بقای فرد در مدل تاثیرگذار باشد. علاوه بر آن ممکن است برخی از افراد قبل از پایان مطالعه از مطالعه خارج شوند.
مدل خطرات متناسب کاکسدر تحلیل بقا یکی از متداولترین روشها برای تجزیه و تحلیل دادههای بقا مدل خطرات متناسب کاکس میباشد. رگرسیون کاکس یک مدل نیمه-پارامتری را برای برازش تابع مخاطره فرض میکند که میتوان متغیرهای توضیحی یا عوامل خطر را به مدل آن اضافه کرد. ولی همچنان میتوان تابع مخاطره پایه (تابع خطر مبنا) را به عنوان تابعی نامشخص ولی غیر منفی از زمان x، ثابت نگاه داشت. تابع مخاطرهی کاکس برای متغیر تبیینی x تابعی به صورت زیر است:
λ t|λ0,x=λ0texp⁡(β'X)که در آن β بردار پارامترهای رگرسیون و exp⁡(β'X) تابع خطر نسبی میباشد. تحت مدل (1-2) متغیرهای کمکی اثرات ضربی روی تابع خطر داشته و پارامترهای رگرسیون به عنوان لگاریتم خطرات نسبی تفسیر میگردند. متغیرهای کمکی میتوانند از نوع شاخصهای جمعیتی (سن، جنس، نژاد)، سابقهی بیماری و غیره باشند. برای مقایسه دو گروه از متغیر دودویی Xiϵ{0,1} استفاده میشود. در این صورت exp⁡(βi) نشاندهندهی میزان خطر در گروه X=1 نسبت به خطر در گروه X=0 میباشد. تابع λ0t، تابع خطر مبنا است که سطح عمومی خطر را برای کلیه آزمودنیها مشخص میسازد و وابستگی تابع خطر را با زمان t نشان میدهد. در واقع تابع مخاطره برای فردی است که مقدار متغیر تبیینیاش برابر صفر است. چون فرض نشده که این تابع مخاطره پایه فرمی پارامتریک دارد، مدل کاکس را یک مدل نیمه پارامتریک برای تابع مخاطره گویند.
مدل کاکس کاربردیترین روش برای یافتن ارتباط متغیرهای تبیینی با متغیر پاسخ بقا یا هر متغیر پاسخ دیگریست که از راست سانسور شده باشد (داکاتو و جنسن، 2008). الزامی نبودن یک توزیع احتمالی برای زمانهای بقا، یکی از مزایای مدل مخاطره متناسب کاکس میباشد، ولی یک پیشفرض مهم و اساسی در این مدل وجود دارد و آن فرض متناسب بودن خطر برای تمامی متغیرهای مستقل موجود درمدل نهایی (کلین و ماسکبرگر، 2003; هبیل، 2007) است. به این معنی که میزان مخاطره بین دو یا بیش از دو گروه از متغیرهای تبیینی بایستی در طول زمان بقا ثابت بماند.
مدل‌های پارامتریبرخلاف مدل کاکس که مدلی نیمه-پارامتری است و پیش فرضهایی درباره فرم تابع پایهی آن وجود ندارد اگر یک فرم پارامتری مانند توزیع وایبل، لگ-نرمال، لگ-لجستیک و نمایی برای تابع پایه در نظر بگیریم یک مدل پارامتری خواهیم داشت (لاولس، 2002).
اگرچه اینگونه مدلها کاربردیتر هستند، اما نیازمند پیش فرضهای بیشتری نیز میباشند. اما اگر این پیش فرضها برقرار باشد نتایج حاصل در تحلیل مدلها مناسبتر عمل میکنند. معمولاً از مدلهای وایبل و نمایی به دلیل فرض ثابت و یکنواختی برای تابع مخاطره پایه و از مدل لگ-نرمال به دلیل صفر بودن تابع مخاطرهی پایه در زمان صفر، استفاده میشود (آکس 1998 ، نلسون و همکاران، 2007). در تحلیل بقا هنگامی که مرگ و میر به یک حداکثر میرسد و سپس بعد از یک دوره متناهی به تدریج کاهش مییابد، بهتر است از مدلی استفاده کنیم که میزان شکست غیر یکنواخت داشته باشد. مدل لگ-لجستیک و لگ-نرمال دارای این خصوصیت میباشند و از لحاظ شکلی نیز شبیه به هم هستند (اندرسون و کدینگ، 2006).
مقایسه بین مدل کاکس و مدل‌های پارامتریفرض اساسی استفاده از رگرسیون کاکس متناسب بودن خطرات متغیرهای مستقل است. اگر شرط متناسب بودن خطرات متغیرهای مستقل برقرار نباشد، استفاده از مدل کاکس ممکن است نتایج گمراهکنندهای را ارائه نماید. مدلهای پارامتری به چنین فرضی نیاز ندارند و به علاوه این مدلها میتوانند اثر متغیرهای مستقل را بر زمان بقا اندازهگیری نمایند. مدل کاکس نیمه پارامتری است و فقط از رتبهی زمانهای بقا استفاده مینماید و نمیتوان با آن زمان بقا را پیش بینی نمود، در صورتی که مدلهای پارامتری مانند لگاریتم زمان بقا به طور مستقیم با متغیرهای مستقل مدلبندی میشود و همچنین میتواند زمان بقا را پیشبینی نماید. در مدلهای پارامتری میتوان شکل تابع خطر را که از اهمیت زیادی در آنالیز بقا برخوردار است پیدا نمود. در مدلهای پارامتری فرض بر این است تابع خطر پایه از یک توزیع آماری (نمایی، وایبل، لگ-نرمال، گاما و غیره) پیروی میکند. گاهی اوقات شکل تابع خطر پیچیده است و ممکن است پیدا نمودن توزیع مناسب برای آن راحت نباشد. در استفاده از مدلهای پارامتری استفاده از مدلی که تعداد پارامترهای کمتری داشته باشد و سادهتر باشد، در اولویت است.
دو پیش فرض اصلی برای کاربرد مدلهای متداول بقا وجود دارد که عبارتند از:
الف) مستقل بودن و همسانی توزیع مشاهدات زمانهای بقا، به این معنی است که افراد جامعه همگن میباشند. اما در مطالعات پزشکی اغلب بین افراد تفاوتهای زیادی وجود دارد که این ناهمگنی معمولاً تحت عنوان تغییرات تصادفی شناخته میشود. تغییرات در زمانهای بقا معمولاً از دو منبع عمده ناشی میشود، یکی تغییرات تصادفی که توسط تابع خطر مبنا تبیین میشود و دیگری خطرات تصادفی که از آن در تحلیل بقا با نام شکنندگی یاد میکنند. در سادهترین حالت، شکنندگی متغیری تصادفی است که به صورت ضربی و یا جمعی در تابع خطر مبنا در نظر گرفته میشود. تغییرات تصادفی که ناشی از عدم توانایی در اندازه گیری عوامل خطر ناشناخته میباشد در دادههای بقای یک متغیره موجب ناهمگنی زمانهای بقا و در دادههای بقای چند متغیره موجب ایجاد همبستگی بین زمانهای بقا در درون گروهها میگردد. در هر دو حالت فوق، برآورد پارامترها با استفاده از مدلهای رگرسیونی اشتباه و گمراه کننده خواهد شد، که برای رفع این مشکل از مدلهای شکنندگی در تحلیل بقا استفاده میشود. همبستگی در زمانهای بقا برای اشکال مختلفی از دادههای بقا به وجود میآید که دو نمونه اصلی آن عبارتند از : دادههای بقای موازی و دادههای بقای طولی.
در دادههای بقای موازی چندین جزء از اجزای یک سیستم که این اجزا شامل مؤلفههای یک دستگاه الکترونیکی، اعضا یک خانواده و یا چندین عضو از بدن یک فرد میتوانند باشند، بطور همزمان پیگیری میشوند تا پیشامد مورد نظر را تجربه نمایند. طول عمر زوجهای دو قلو، فاصله زمانی از شروع بیماری دیابت تا آسیب رسیدن به هر یک از کلیهها و یا فاصله زمانی از پیوند قرنیه تا دفع آن برای چشم چپ و راست، نمونههایی از دادههای بقا موازی هستند.
ب) در معرض خطر بودن تمامی افراد مورد مطالعه، به طوری که با افزایش زمان پیگیری، همه افراد پیشامد مورد نظر را تجربه نمایند. در معرض خطر نبودن تمامی افراد جامعه موجب وجود سانسورهای سنگین در پایان مطالعه میشود و عدم توجه به آن باعث کمبرآوردی تابع بقا میگردد. این مشکل در همهی حیطههای علم از جمله پزشکی، علوم اجتماعی و جنایی، وجود دارد. به عنوان مثال: تمامی افراد، عضو پیوندی را دفع نمیکنند، تمامی ازدواجها منجر به جدایی نمیشود و یا اینکه تمامی افرادی که از زندان آزاد میشوند، دوباره به زندان بر نمیگردند. این گونه از افراد تحت عنوان افراد دارای بقای طولانی مدت شناخته میشوند. وجود این گونه افراد در مطالعه، موجب گسترش مدلهای موجود گردیده است که این مدلها در تحلیل بقا تحت عنوان مدلهای شفایافته ارائه شدهاند. در این مدلها افرادی که در پایان مطالعه پیشامد مورد نظر را تجربه نمیکنند تحت عنوان افراد مصون، شفایافته، غیر مشکوک و یا افراد با بقا طولانی مدت نامیده میشوند (هوگارد، 2000).
بیان مسالهبه واسطه پیچیدگی دادههای بقا، استنباط پیرامون پارامترهای مدلهای بقا نسبت به سایر مدلهای آماری با مشکلات بیشتری روبرو بوده است. از طرفی با توجه به پیچیدگی زیادتر مدلهای شکنندگی و شفایافته نسبت به مدلهای معمول خطر، استنباط پارامترها در این مدلها با مشکلات دوچندان روبرو است. در آمار کلاسیک تحلیل مدلهای شکنندگی مبتنی بر برآوردهای ماکسیمم درستنمایی پارامترها میباشد که محاسبه این برآوردها به طور عمده به روش الگوریتم تکراری EM صورت میپذیرد. علاوه بر مشکلات محاسباتی این روش، مشکل تکنیکی این روش آن است که ممکن است به جای ماکسیمم کلی، ماکسیمم موضعی حاصل شود یا اساسا همگرایی برآوردها حاصل نگردد. از طرفی با توجه به خواص مجانبی برآوردهای ماکسیمم درستنمایی، استنباط برآوردها مبتنی بر نمونههای بزرگ میباشد. لذا برای نمونههای کوچک انجام آزمونهای تقریبی با استفاده از برآوردهای ماکسیمم درستنمایی با مشکلات استنباطی جدی روبرو است. لذا برای اجتناب از برخورد با چنین مشکلاتی از رهیافت بیزی برای برآورد پارمترها استفاده خواهیم نمود. هدف اصلی در این پایاننامه ارائه مدلهای شکنندگی همبسته شفایافته با رهیافت بیزی میباشد. لذا سه مدل شکنندگی ارائه خواهد شد. پس بر اساس معیارهای عملکرد مدل بهینه را تعیین خواهیم کرد.
چشم اندازه فصل‌های آیندهدر فصل دوم ابتدا به معرفی دقیق مدلهای شکنندگی و شفایافتگی برای حالتهای یکمتغیره و چندمتغیره میپردازیم. نظریه بیز، الگوریتمهای نمونهگیری مونت کارلو و روشهای تحلیل دادهای برای زمانی که توزیعهای پسینی دارای فرم بستهای نمیباشند را در فصل سوم ارائه خواهیم کرد. در فصل چهارم مدل شکنندگی کاکس، مدل شکنندگی همبسته شفایافته و مدل شکنندگی همبسته شفایافته با زمان پیشرفت را ارائه خواهیم کرد. لازم به ذکر است که در این سه مدل توزیع شکنندگی مشترک گاما را استفاده خواهیم کرد. در ادامه برای هر سه مدل ارائه شده رهیافت بیزی را به کار بسته و با در نظر گرفتن پیشینهای مناسب، در صورت امکان توزیعهای شرطی کامل هر یک از پارامترها را بدست خواهیم آورد. از آنجایی که توزیعهای شرطی کامل اکثر پارامترهای مدل دارای فرم پیچیدهای میباشد، برای برآورد پارامترهای مدل از روشهای مونت کارلوی زنجیر مارکوفی استفاده میکنیم. در نهایت با استفاده از یک مثال شبیه سازی اعتبار برآوردهای بدست آمده و همچنین رهیافت بیزی به کارگرفته شده برای هر سه مدل را مورد ارزیابی قرار میدهیم. در انتها فصل پنجم شامل نتیجهگیری و بررسی نتایج شبیهسازی در فصل چهار خواهد بود.

فصل دوم مقدمهای بر مدل‌های شکنندگی و شفایافتگیمقدمهروشهای استاندارد بقا در تحقیقات بالینی، بیولوژیکی و اپیدمیولوژی بر این فرض استوارند که جامعه مورد بررسی یک جامعه همگن است. این بدان معنی است که همه افراد نمونه مورد مطالعه در اصل در معرض خطر یکسان (خطر مرگ و غیره) هستند. همچنین میدانیم که در مدلهای بقا فرض بر این است که دادههای بقای بیماران مختلف مستقل از یکدیگرند و توزیع زمان بقای افراد بیمار یکسان است. یعنی توزیع زمان تا پیشامد مورد نظر برای بیماران مختلف مستقل و هم توزیع هستند. اما در بسیاری از مواقع جامعه مورد مطالعه رانمیتوان یک جامعه همگن فرض نمود، بلکه باید جامعهای ناهمگن که در آن ترکیبی از افراد با مخاطرات متفاوت وجود دارند را در نظر گرفت. زیرا در بسیاری از مواقع، به دلایل اقتصادی و یا به دلیل این که اهمیت بعضی از عوامل مرتبط با بیماری هنوز ناشناختهاند، اندازهگیری تمام عوامل مؤثر و مناسب مرتبط با بیماری مورد نظر بسیار دشوار و یا غیرممکن است (هوگارد، 1991،2000; کلین و ماسکبرگر، 2003). لذا امروزه به دلیل استفاده روز افزون از تحلیل بقا در مطالعات پزشکی، نیاز به مدلهای کارا و با انعطاف بیشتر برای دادههای بقا بیش از پیش احساس میشود.
لحاظ نکردن این عوامل ناشناخته مشترک باعث ایجاد وابستگی بین زمانهای بقا میشود که اگر بدون توجه به همبستگی درونی بین زمان پیشامدهای فرد از مدلهای متعارف تحلیل دادههای بقا مانند رگرسیون خطر متناسب کاکس برای تحلیل دادهها استفاده شود، برآوردهای حاصل اریب و واریانس پارامترها کمتر از مقدار واقعی برآورد میشوند (ترنئو و گرمبچ، 2000; اندرسون وگیل، 1982). در این صورت برای مقابله با پدیده فوق در تحلیل بقا، از مدلهای اثرات تصادفی تحت عنوان مدلهای شکنندگی استفاده میکنیم و با استفاده از این نوع مدلها میتوان این نقص را برطرف کرد (هوگارد، 1994،2000; هاسمر و لماشو، 2001). مدلهای شکنندگی، عمدهترین روش برای وارد کردن وابستگی درونگروهی (فردی) در تحلیل بقا هستند. با توجه به مطالعاتی که در زمینه مقایسه مدل شکنندگی با مدلهای دیگر در تحلیل بقا انجام شده مشخص گردیده است که برآورد ضرایب در مدل شکنندگی دارای اریبی نسبی کمتری نسبت به مدل معمول کاکس است لذا در صورت معنادار بودن اثر شکنندگی در مدل، استفاده از آن نتایج قابل اعتمادتری فراهم خواهد کرد (داکاتو وجنسن، 2008).
عبارت شکنندگی اولین بار توسط وایبل و همکاران (1979) به منظور تشریح پیامدهای ناشی از وجود چندین منبع تغییرات برای دادههای یکمتغیره طول عمر پیشنهاد شده است. پس از آن نیز هوگارد (1986) کاربرد متغیر شکنندگی را در تحلیل دادههای وابسته در دادههای بقا چندمتغیره مورد گسترش قرار داده است. مدلهای شکنندگی در دهههای اخیر توسط هاسمر و لماشو (1999)، هوگارد (2000) و مچبرگ (2003) رواج یافتهاند. اصطلاح شکنندگی برای اولین بار توسط واپل و همکاران (1979) برای بیان تفاوت بین افراد در معرض خطر در دادههای مرگ ومیر معرفی شد. لنکستر (1979) نیز زمان بیکاری را با استفاده از اثر تصادفی مورد بررسی قرار داده و مدل خطرات متناسب آمیخته را در مطالعات اقتصادی رایج کرد. توزیع توابع واریانس توانی اولین بار توسط هوگارد (1986) برای ارائه راه حل مسئله ناهمگنی پیشنهاد شد. سپس مدلهای شکنندگی در مطالعات سن در زمان مرگ توسط زلترمن (1992)، برای دوره بیکاری توسط مک آل (1994)، بارداری خانمها توسط آلن (1987) و مهاجرت توسط لیندستورم (1996) مورد استفاده قرار گرفتند.
برای غلبه بر مشکل عدم استقلال، تحلیل بقای چندمتغیره استفاده میشود و برای افرادی که در معرض رخداد پیشامد نباشند، به طور معمول از این افراد تحت عنوان افراد شفایافته نام میبرند، از مدلهای شفایافته استفاده میگردد. چنین پدیدههایی در علوم مختلف از جمله پزشکی علوم اجتماعی و جنایی متداول و رایج است. در اینگونه مواقع با افزایش زمان مطالعه احتمال رخداد پیشامد مورد نظر به سمت یک میل نمیکند که با درنظر نگرفتن این موضوع، برآوردهای به دست آمده برای پارامترها اریب خواهد بود و یا به عبارتی دیگر برآورد تابع بقا کمتر از مقدار واقعی خواهد شد.
وجود بقای طولانی مدت یا وجود افراد شفایافته هنگامی که در دادههای بقا سانسور شدگی وجود دارد یک مسئله قدیمی است. از پیشگامان این ایده بوگ (1952) از انگلستان و برکسون و گیج (1948) از ایالات متحده امریکا میباشند که مدلبندی اولیه در حضور مولفه شفایافتگی را ارائه دادند (برکسون وگیگ، 1952; باگ، 1949). مدلهای شفایافته به دو دسته کلی مدلهای شفایافته آمیخته و مدلهای شفایافته ناآمیخته تقسیم میشوند. لذا در ادامه ابتدا به بررسی مدلهای شکنندگی پرداخته و سپس مدلهای شفایافته را معرفی مینماییم.
تعریف مدلهای شکنندگی
اگر λt تابع خطر در زمان t و متغیر تصادفی Y نشاندهندهی اثر تصادفی یا شکنندگی باشد، آنگاه به شرط متناسب بودن اثر شکنندگی Y با میزان خطر و به شرط آنکه توزیع Y مستقل از زمان بقای t باشد، در یک مدل شکنندگی تابع خطر را به صورت تابع خطر شرطی به شکل زیر در نظر میگیرند:
λty=y λ(t)در مدل (2-1) اثر شکنندگی Y خطرات ناشناخته را تبیین میکند و زمانهای بقا به شرط وجود اثر شکنندگی از هم مستقلاند. با توجه به مثبت بودن تابع خطر، توزیع متغیر شکنندگی را توزیعی با تکیهگاه مثبت در نظر میگیرند. تابع خطر غیر شرطی λ(t) میتواند به صورت یک مدل خطر پارامتری یا مدل خطر نیمهپارامتری همچون مدل خطر متناسب کاکس فرمولبندی گردد. با انتگرالگیری برحسب متغیر y، میتوان تابع خطر حاشیهای را بدست آورد. چنانچه Λ(t)، تابع خطر تجمعی غیر شرطی برابر با Λt=0texp-y λu du باشد. تابع بقای شرطی مدل شکنندگی برابر با
Sty=exp-y Λtاست. تابع بقای حاشیهای با تبدیل لاپلاس تابع چگالی متغیر شکنندگی در نقطه تابع تجمعی خطر به شکل
St=ESty=Eexp-y Λt=L Λtبهدست میآید. گرچه در تعریف کلی مدل شکنندگی تابع خطر غیر شرطی به هر شکل قابل مدلبندی است اما به واسطه استفاده گسترده از مدل خطر متناسب کاکس، مدل شکنندگی بر مبنای مدل خطر متناسب کاکس بیشتر متداول است. در ادامه مدل شکنندگی اخیر برای دادههای بقای یک متغیره و دومتغیره به اجمال معرفی میگردد (هبیل، 2007).
مدل شکنندگی کاکس برای داده‌های بقای یک متغیرهبا توجه به اینکه در زمینههای علوم پزشکی آزمودنیها شامل انسانهایی هستند که در واقعیت از لحاظ ژنتیک و بسیاری از متغیرهای محیطی از هم متمایز میشوند، فرض همگن بودن جمعیت و زمانهای بقا شامل این انسانها که از شرایط استفاده از مدل کاکس در حالت دادههای بقای یک متغیره است، مورد سوال خواهد بود. ناهمگنی زمانهای بقا را میتوان ناشی از تاثیر یک سری عوامل خطر ناشناخته درنظر گرفت و برای مقابله با آن یک اثر تصادفی غیر قابل اندازهگیری در تابع خطر قرار داد. از این رو مدل شکنندگی با تخصیص اثر تصادفی به مدل، اثر این تفاوتها در جمعیت را به روی برآورد اثر متغیرهای درون مدل لحاظ میکند (هبیل، 2007).
مدل خطرات متناسب کاکس یکی از رایجترین روشها برای تجزیه و تحلیل دادههای بقا میباشد. اگر Ti برای i=1, …, n زمان بقا آزمودنیها باشد، تابع خطر در زمان i=1, …, n، ti بر اساس متغیرهای کمکی X=(X1,X2, …, Xp) به صورت
λit| x=λ0itexpβ'X, i=1, …, nبدست میآید. که در آن β بردار ضرایب رگرسیونی میباشد که اثر متغیرهای کمکی را بر روی تابع خطر نشان میدهد. عدم وجود ناهمگنی در زمانهای وقوع حادثه صرف نظر از اثر متغیرهای تبیینی، شرط اساسی استفاده از مدل کاکس در حالت دادههای بقای یک متغیره است. ناهمگنی زمانهای بقا را میتوان ناشی از تاثیر یک سری عوامل خطر ناشناخته در نظر گرفت که برای مقابله با آن یک اثر تصادفی غیرقابل اندازهگیری را به صورت ضربی در تابع خطر قرار میدهیم. فرض کنید X بردار متغیرهای معلوم و W بردار متغیرهای ناشناخته باشند که هر دو در تابع خطر تاثیر داشته باشند، در این صورت مدل حقیقی خطرات متناسب کاکس در زمان t برای آزمودنی i (با فرض عدم وجود اثر متقابل بین X و W) به شکل
λit=λ0it exp⁡(β'X+ ψ'W)خواهد شد. چون W ناشناخته یا غیرقابل اندازهگیری است، exp⁡( ψ'W) را تصادفی فرض نموده و آن را به عنوان اثر تصادفی یا اثر شکنندگی Y در نظر گرفته و به شکل زیر در مدل قرار میدهیم. مدل (2-2) نشان میدهد که خطر در زمان t به شرط معلوم بودن متغیر Y در حضور بردار متغیرهای کمکی برای آزمودنی i به صورت زیر میباشد:
λit|yi, λ0, β, x= yi λit| x=yiλ0itexpβ'X, i=1, …, nکه در آن yi اثر شکنندگی خطرات نامعلوم را تبیین میکند و زمانهای بقا به شرط وجود اثر شکنندگی از هم مستقل میباشند. مدل (2-3) را مدل کاکس اصلاح شده یا مدل شکنندگی بقا مینامند (هوگارد، 2000). در نتیجه به کارگیری این مدل، با فرض اینکه اثر شکنندگی مستقل از متغیرهای کمکی موجود در مدل باشد، تغییرات کل تابع خطر و به دنبال آن تغییرات تابع بقا به اثر متغیرهای نامعلوم، اثر عوامل خطر ناشناخته و اثر تصادفی مدل تجزیه میگردد. تفسیر اثر شکنندگی به این صورت میباشد که با فرض ثابت بودن مقادیر متغیرهای تبیینی معلوم، چنانچه برآورد yi بزرگتر از برآورد yj باشد، گوییم آزمودنی i شکنندهتر از آزمودنی j است. یعنی خطر شکست برای آزمودنی i بیشتر از آزمودنی j است یا به عبارت دیگر آزمودنی i دارای زمان بقای کمتری نسبت به آزمودنی j میباشد. در حالت کلی چنانچه برآورد yi بزرگتر از یک باشد، گوییم خطر نسبی عوامل ناشناخته برای آزمودنی i بیشتر از حد متوسط است و برعکس اگر برآورد yi کوچکتر از یک باشد گوییم این خطر برای آزمودنی i کمتر از حد متوسط است، به عبارت دیگر آزمودنیi زمان بقایی بزرگتر از حد متوسط دارد (هوگارد و همکاران، 1994; هاسمر و لماشو، 20001).
اگر چنین مدلهایی برای دادههای بقا به کار برده شوند، تغییرات تابع خطر و به دنبال آن تغییرات تابع بقا به اثر متغیرهای معلوم، اثر عوامل خطر نامعلوم (ناشناخته) و اثر تصادفی مدل تجزیه میگردد. البته این تجزیه با فرض مستقل بودن اثر شکنندگی و متغیرهای کمکی موجود در مدل امکانپذیر است. از آنجا که تابع خطر مثبت است، تکیهگاه توزیع متغیر شکنندگی مثبت در نظر گرفته میشود. تحت مدلهای شکنندگی، توابع بقا و خطر به دو صورت مدلهای شرطی و مدلهای غیر شرطی (حاشیهای) قابل تحلیل و تفسیر هستند.
به منظور بررسی اثر متغیرهای کمکی بر روی خطر حاشیهای، از مدلهای حاشیهای برای مدلبندی استفاده میگردد. این نوع مدلبندی با توجه به در نظر گرفتن ماهیت وابستگی زمانهای رخداد پیشامد انجام میشود. در این روش هیچ صورت خاصی برای چگونگی ماهیت این همبستگی در نظر گرفته نمیشود و با آن به عنوان یک پارامتر مزاحم رفتار میشود.
در مدلهای شکنندگی فرض میشود که زمانهای بقا به شرط اثر تصادفی مستقل هستند. از طرفی میتوان تابع خطر حاشیهای را با انتگرالگیری بر روی متغیر شکنندگی به دست آورد. برای محاسبه تابع بقای حاشیهای ابتدا باید تابع بقای شرطی را محاسبه نمود که خود تابع بقای شرطی تابعی از تابع خطر غیر شرطی است (تابع خطر غیر شرطی λi(t) میتواند به صورت یک مدل پارامتری یا مدل خطر نیمهپارامتری همچون مدل خطرات متناسب کاکس فرمولبندی گردد.). لذا تابع بقای شرطی مدل شکنندگی برابر با
Sityi)=exp( -yi Λit)است، که در آن Λit تابع خطر تجمعی غیر شرطی میباشد که برابر با
Λ0it= 0tλ0iu duاست. در این صورت تابع بقای حاشیهای با تبدیل لاپلاس تابع چگالی متغیر شکنندگی در نقطه تابع تجمعی خطر به شکل
Sit= E Sit| yi =Eexp-yi Λit=L( Λit )به دست می آید. توزیعهایی که تبدیل لاپلاس آنها فرم بستهای دارند در انتخاب به عنوان توزیع متغیر شکنندگی از محبوبیت بیشتری برخوردارند (وینوگرادواب، 2004).
انتخاب توزیع مناسب برای متغیر شکنندگی y از اهمیت بسیار زیادی برخوردار است، به خصوص توزیعهایی که تبدیل لاپلاس آنها فرم بستهای دارند. از آنجایی که تابع خطر همواره مثبت است پس باید توزیع مثبتی برای اثر شکنندگی در نظر گرفته شود. از اینرو در مدلهای بقا برای متغیر شکنندگی معمولا از توزیعهای گاما، لگ-نرمال، گاوسی وارون، پایدار مثبت، پواسن مرکب و توزیعهای خانواده واریانس توانی با میانگین متناهی استفاده میشود. توزیعهای گاما، گاوسی وارون و پایدار مثبت هر سه جزء خانواده واریانس توانی میباشند که در آنها واریانس، به صورت تابعی از توان میانگین میباشد. همچنین به خاطر امکانپذیر شدن برآورد پارامترها و سادهسازی محاسبات در بیشتر موارد میانگین توزیع متغیر شکنندگی را برابر با یک فرض میکنند (متغیر شکنندگی نماینده خطر نسبی عوامل ناشناخته میباشد.). در ادامه برخی از توزیعها را برای متغیر شکنندگی که اغلب بیشتر مورد استفاده قرار میگیرند، بیان میکنیم.
مدل شکنندگی گاماتوزیع انعطافپذیر گاما به دلیل محاسباتی و تحلیلی به طور وسیعی در توزیعهای آمیخته کاربرد دارد. تمامی استدلالهایی که برای مناسب بودن توزیع گاما وجود دارد، بر پایه جنبه محاسباتی و ریاضی آن است. فرض کنیم که متغیر شکنندگی Y دارای توزیع گاما با تابع چگالی زیر
gy= βα 1Γ(α) yα-1e-βy, y>0, α,β>0باشد.حال با توجه به اینکه تبدیل لاپلاس برای توزیع گاما به صورت
Ls= 1+sβ -αبه دست میآید، تابع بقا حاشیهای به صورت زیر به دست خواهد آمد:
St= 1+ Λ0tβ -αهمانطور که ملاحظه میشود زمانی که تبدیل لاپلاس برای توزیع متغیر شکنندگی دارای فرم بسته باشد، محاسبه تابع بقا غیر شرطی از طریق تبدیل لاپلاس بسیار ساده میباشد. با توجه به تابع خطر ارائه شده در رابطه (2-4) کلین در سال 1992 با استفاده از الگوریتم EM برآورد تابع خطر تجمعی، ضرایب رگرسیونی و پارامترهای توزیع شکنندگی را به طور همزمان محاسبه نمود.
تابع بقای حاشیهای به صورت
St= 0∞S0(t|y) gy dy= 0∞e-y Λ0t βα 1Γ(α) yα-1e-βy dySt= 0∞yα-1 e-β+ Λ0ty β+ Λ0tα 1Γα βαβ+ Λ0tα dySt= βαβ+ Λ0tα 0∞ β+ Λ0tαΓ(α) yα-1 e-β+ Λ0ty dyحاصل میشود. لذا تابع بقا برابر با
St= βαβ+ Λ0tα=1+ Λ0tβ-αاست. اگر قرار دهیم α= β= σ2، آنگاه میانگین متغیر شکنندگی برابر یک و واریانس آن 1σ2 خواهد شد. لذا در این حالت تابع بقای حاشیهای عبارت است از:
St=1+ Λ0tσ2-σ2و در نتیجه تابع خطر حاشیهای به صورت
λt= ∂∂tΛ0t= ∂∂t-logSt = λ0t1+ Λ0tσ2 = λ0t EyT ≥t ) محاسبه میشود، که EyT ≥t ) مقدار مورد انتظار شکنندگی در افرادی که تا زمان t زنده ماندهاند، میباشد و عبارت است از:
EyT ≥t )= 11+ Λ0tσ2در نتیجه تابع خطر غیر شرطی متناظر با توزیع گاما به صورت
λt= λ0t1+ Λ0tσ2خواهد بود. در حالت کلی برای متغیرهای کمکی بیشتر (X≠0) تابع خطر غیر شرطی به صورت زیر حاصل خواهد شد: