user8342

r* مشتق نسبت به r*
z* مشتق نسبت به z*η مشتق نسبت به ηξ مشتق نسبت به ξSuperscripts k تعداد تکرارها

فهرست مطالب
عنوانشماره صفحه
TOC o h z u فصل اول: مقدمه PAGEREF _Toc418272714 h 11-1 مقدمه: PAGEREF _Toc418272715 h 21-2- تاریخچه: PAGEREF _Toc418272716 h 7فصل دوم: بررسی روش‌های بهینه‌سازی توابع PAGEREF _Toc418272717 h 152-1 مسائل بهینه‌سازی PAGEREF _Toc418272718 h 162-2 دسته‌بندی روش‌های بهینه‌سازی PAGEREF _Toc418272719 h 172-3 راه‌حل کلی PAGEREF _Toc418272720 h 182-4 نرخ هم‌گرائی PAGEREF _Toc418272721 h 192-5-1 محاسبه گرادیان PAGEREF _Toc418272722 h 222-5-2 تعیین طول گام بهینه در جهت کاهش تابع PAGEREF _Toc418272723 h 232-6 معیار هم‌گرائی PAGEREF _Toc418272724 h 242-7 روش کاهش سریع PAGEREF _Toc418272725 h 252-8 مقدمه ای بر روش انتقال حرارت معکوس PAGEREF _Toc418272726 h 252-8-1 مقدمه PAGEREF _Toc418272727 h 252-8-2 مشکلات حل مسائل انتقال حرارت معکوس PAGEREF _Toc418272728 h 272-8-3 ارزیابی روش‌های مسائل معکوس حرارتی PAGEREF _Toc418272729 h 312-8-4 تکنیک‌های حل مسائل انتقال حرارت معکوس PAGEREF _Toc418272730 h 322-8-5 تکنیک I PAGEREF _Toc418272731 h 342-8-5-1 شرح تکنیک PAGEREF _Toc418272732 h 342-8-5-2 روش‌های محاسبه ضرایب حساسیت PAGEREF _Toc418272733 h 372-8-6 تکنیک II PAGEREF _Toc418272734 h 382-8-6-1 متد گرادیان مزدوج PAGEREF _Toc418272735 h 382-8-6-2 الگوریتم محاسباتی تکنیک دوم PAGEREF _Toc418272736 h 442-8-6-3 اندازه‌گیری پیوسته PAGEREF _Toc418272737 h 452-8-7 تکنیک III PAGEREF _Toc418272738 h 462-8-7-1 روش گرادیان مزدوج با مسئله اضافی جهت تخمین پارامترها PAGEREF _Toc418272739 h 462-8-7-2 الگوریتم محاسباتی تکنیک سوم PAGEREF _Toc418272740 h 492-8-8 تکنیک IV PAGEREF _Toc418272741 h 502-8-8-1 گرادیان مزدوج با مسئله الحاقی برای تخمین توابع PAGEREF _Toc418272742 h 502-8-8-2 الگوریتم محاسباتی تکنیک چهارم PAGEREF _Toc418272743 h 52فصل سوم: مدل ریاضی PAGEREF _Toc418272744 h 543-1 مقدمه PAGEREF _Toc418272745 h 553-2 مدل‌های هدایت گرمایی PAGEREF _Toc418272746 h 553-2-1 مدل پنز PAGEREF _Toc418272747 h 553-2-2 مدل چن هلمز [26] PAGEREF _Toc418272748 h 60فصل چهارم: تخمین شار حرارتی گذرا در حالت متقارن محوری PAGEREF _Toc418272749 h 614-1- فیزیک مسئله PAGEREF _Toc418272750 h 624-2- محاسبه توزیع دما در حالت گذرا PAGEREF _Toc418272751 h 63در این بخش به بررسی روش حل معادلات انتقال حرارت متقارن محوری در حالت گذرا پرداخته میشود. PAGEREF _Toc418272752 h 634-2-1 معادله حاکم PAGEREF _Toc418272753 h 634-2-2- معادلات حاکم در دستگاه مختصات عمومی PAGEREF _Toc418272754 h 644-2-3- متریک ها و ژاکوبین های تبدیل PAGEREF _Toc418272755 h 654-2-4 تبدیل معادلات از صفحه فیزیکی به صفحه محاسباتی PAGEREF _Toc418272756 h 674-2-5- گسسته سازی معادلات PAGEREF _Toc418272757 h 694-2-6 شرایط مرزی مسئله PAGEREF _Toc418272758 h 714-3 مسئله معکوس PAGEREF _Toc418272759 h 744-3-1 مسئله حساسیت PAGEREF _Toc418272760 h 754-3-2 مسئله الحاقی PAGEREF _Toc418272761 h 764-3-3 معادله گرادیان PAGEREF _Toc418272762 h 764-3-4 روش تکرار PAGEREF _Toc418272763 h 774-5: تخمین شار حرارتی مجهول در مدل سه لایه PAGEREF _Toc418272764 h 774-5-1 معادله حاکم PAGEREF _Toc418272765 h 784-5-2 شرایط مرزی مساله PAGEREF _Toc418272766 h 784-5-3 مسئله معکوس PAGEREF _Toc418272767 h 804-5-3-1 مسئله حساسیت PAGEREF _Toc418272768 h 804-5-3-2 مسئله الحاقی PAGEREF _Toc418272769 h 81فصل پنجم: نتایج PAGEREF _Toc418272770 h 82نتیجه گیری: PAGEREF _Toc418272771 h 94پیوست الف PAGEREF _Toc418272772 h 95پیوست ب PAGEREF _Toc418272773 h 96اعتبارسنجی حل مستقیم PAGEREF _Toc418272774 h 96مراجع: PAGEREF _Toc418272775 h 115
فهرست جداول
جدول2-1- دسته‌بندی روش‌های بهینه‌سازی18
جدول 4-1. خواص لایه های استفاده شده79
جدول5-1. خطایRMS برای توابع مختلف در نظر گرفته شده برای شار حرارتی88

فهرست اشکال
شکل 2-1- نمودار روند بهینه‌سازی تابع هدف19
شکل 2-2- جهت‌های سریع‌ترین افزایش21
شکل3-1. المان در نظر گرفته‌شده برای به دست آوردن معادله انتقال حرارت زیستی پنز56
شکل 4-1 نمایش فیزیک مسئله62
شکل 4-2 - نمایش صفحه مختصات فیزیکی و محاسباتی64
شکل 4-3-نمایش گره مرکزی و هشت گره همسایه آن70
شکل 4-4- نمایش صفحه محاسباتی71
شکل 4-5- نمایش شرایط مرزی در صفحه فیزیکی71
شکل 4-6- نمایش مساله سه لایه در صفحه محاسباتی78
شکل 4-7- نمایش هندسه مساله متشکل از سه لایه مختلف بافت مغز، استخوان و پوست سر80
شکل5-1 شبکه مورد استفاده در حل مسئله و موقعت سنسورها83
شکل 5-2. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابع خطی میباشد85
شکل 5-3. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابع پله میباشد85
شکل 5-4. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابعی ترکیبی از sin و cos میباشد86
شکل5-5. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با استفاده از داده های نویزدار با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابع خطی میباشد86
شکل 5-6. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با استفاده از داده های نویزدار با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابع پلهای میباشد87
شکل5-7. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با استفاده از داده های نویزدار با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابعی ترکیبی از sin و cos میباشد87
شکل 5-8. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابع خطی میباشد89
شکل 5-9. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابع پله میباشد89
شکل 5-10. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابع سینوس و کسینوس میباشد90
شکل 5-11. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با استفاده از داده های نویزدار با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابع خطی میباشد90
شکل 5-12. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با استفاده از داده های نویزدار با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابع پله میباشد91
شکل 5-13. مقایسه شار حرارتی محاسبه شده با استفاده از داده های نویزدار با شار حرارتی دقیق که بهصورت تابع سینوس-کسینوس میباشد91
شکل 5-14. مقایسه دمای محاسبه شده و دمای دقیق.92
شکل 5-15. شار محاسبه شده92
ضمائم:
شکل1- هندسه مستطیلی با شرایط مرزی دما ، عایق و شار حرارت96
شکل2- مقایسه منحنی‌های توزیع دمای گره 1 پس از 12 ثانیه97
شکل3- مقایسه منحنی‌های توزیع دمای گره 2 پس از 12 ثانیه98
شکل4- مقایسه منحنی‌های توزیع دمای گره 4 پس از 12 ثانیه98
شکل5- مقایسه منحنی‌های توزیع دمای گره 5 پس از 12 ثانیه99
شکل6- مقایسه منحنی‌های توزیع دمای گره7 پس از 12 ثانیه99
شکل7- مقایسه منحنی‌های توزیع دمای گره 8 پس از 12 ثانیه100
شکل8- هندسه منحنی با شرایط مرزی عایق و شار حرارتی101
شکل9- مقایسه منحنی توزیع دما برای گره میانی پس از 60 ثانیه101
شکل 10- نمایش هندسه منحنی متشکل از سه لایه مختلف آزبست ، فولاد و آلومینیم102
شکل 11- نمایش کانتورهای توزیع دمای کد حاضر برای مسئله چندلایه103
شکل 12- نمایش کانتورهای توزیع دمای FLUENT برای مسئله چندلایه103
شکل 13- نمایش شبکه 30*30104
شکل 14- نمایش شبکه 40*40105
شکل 15- نمایش شبکه 50*50105
شکل 16- نمایش کانتورهای توزیع دما برای شبکه 30*30 در مسئله یک‌لایه106
شکل 17- نمایش کانتورهای توزیع دما برای شبکه 30*30 در مسئله دولایه106
شکل 18- نمایش کانتورهای توزیع دما برای شبکه 30*30 در مسئله سه لایه107
شکل 19- نمایش کانتورهای توزیع دما برای شبکه 40*40 در مسئله یک‌لایه107
شکل 20- نمایش کانتورهای توزیع دما برای شبکه 40*40 در مسئله دولایه108
شکل 21- نمایش کانتورهای توزیع دما برای شبکه 40*40 در مسئله سه لایه108
شکل 22- نمایش منحنیهای توزیع دمای گره میانی در مسئله یک‌لایه109
شکل 23- نمایش منحنیهای توزیع دمای گره میانی در مسئله دولایه110
شکل 24- نمایش منحنیهای توزیع دمای گره میانی در مسئله سه لایه110
شکل 25- نمایش کانتورهای توزیع دمای کد حاضر برای هندسه نامنظم با تقارن محوری111
شکل 26- نمایش کانتورهای توزیع دمای FLUENT برای هندسه نامنظم با تقارن محوری112
شکل 27- نمایش کانتورهای توزیع دمای کد حاضر113
شکل 28- نمایش منحنیهای توزیع دمای مرکز کره113
شکل 29- نمایش منحنیهای توزیع دمای نقطهای که در موقعیت r=5 cm قرارگرفته114
شکل 30- نمایش منحنیهای توزیع دمای نقطهای که بر روی سطح کره قرارگرفته است114
فصل اول: مقدمه1-1 مقدمه: توسعه کامپیوتر و ابزار محاسباتی، رشد روش‌های عددی را برای مدل‌سازی پدیده‌های فیزیکی تسریع کرده است. برای مدل‌سازی یک پدیده فیزیکی به یک مدل ریاضی و یک روش حل نیاز است. مدل‌سازی مسائل هدایت حرارتی نیز بهمانند دیگر پدیده‌های فیزیکی با حل معادلات حاکم امکان‌پذیر است. برای حل مسائل هدایت حرارتی به اطلاعات زیر نیاز داریم:
هندسه ناحیه حل
شرایط اولیه
شرایط مرزی (دما یا شار حرارتی سطحی)
خواص ترموفیزیکی
محل و قدرت منبع حرارتی درصورتی‌که وجود داشته باشند.
پس از حل معادلات حاکم توزیع دما در داخل ناحیه حل به دست میآید. این نوع مسائل را مسائل مستقیم حرارتی می‌گوییم. روش‌های حل مسائل مستقیم از سال‌ها پیش توسعه‌یافته‌اند. این روش‌ها شامل حل مسائلی با هندسه پیچیده و مسائل غیرخطی نیز میگردند. علاوه بر این پایداری و یکتایی این روش‌ها نیز بررسی‌شده است. روش‌های اولیه عمدتاً بر مبنای حل‌های تحلیلی بودهاند.
این روش‌ها بیشتر برای مسائل خطی و با هندسه‌های ساده قابل‌استفاده هستند. برعکس، روش‌های عددی دارای این محدودیت نبوده و برای کاربردهای مهندسی بیشتر موردتوجه هستند.
دسته دیگر از این مسائل که در دهه‌های اخیر موردتوجه قرارگرفته‌اند، مسائل معکوس حرارتی هستند. در این نوع از مسائل یک یا تعدادی از اطلاعات موردنیاز برای حل مستقیم، دارای مقدار معلومی نمی‌باشند و ما قصد داریم از طریق اندازه‌گیری دما در یک یا چند نقطه از ناحیه موردنظر، به تخمین مقادیر مجهول بپردازیم.
به‌طورکلی می‌توان گفت که در مسائل مستقیم حرارتی، علت(شار حرارتی، هندسه و...) معلوم، و هدف یافتن معلول(میدان دما) است. اما در مسائل معکوس حرارتی، معلول(دما در بخش‌ها و یا تمام میدان)، معلوم است، و هدف یافتن علت (شار حرارتی، هندسه و...) است.
مسائل انتقال حرارت معکوس که IHTP نیز نامیده می‌شوند با استناد بر اندازه‌گیری‌های دما و یا شار حرارتی، کمیت‌های مجهولی را که در آنالیز مسائل فیزیکی در مهندسی گرمایی ظاهر می‌شوند، تخمین می‌زنند. به‌عنوان‌مثال، در مسائل معکوسی که با هدایت حرارت مرتبط می‌باشند، با استفاده از اندازه‌گیری دما در جسم می‌توان شار حرارتی مرز را اندازه‌گیری نمود. این در حالی است که در مسائل هدایت حرارت مستقیم با داشتن شار حرارتی، میدان دمای جسم مشخص می‌شود. یکی از مهم‌ترین مزایای IHTP همکاری بسیار نزدیک میان تحقیقات آزمایشگاهی و تئوری است. به‌عنوان‌مثال در تحقیقات آزمایشگاهی با استفاده از حس‌گر می‌توان دمای جسم را تعیین نمود. این دما به‌عنوان داده‌های ورودی معادلات تئوری برای اندازه‌گیری شار حرارتی مورداستفاده قرار می‌گیرد. درنتیجه جواب‌های به‌دست‌آمده از روابط تئوری تطابق بسیار خوبی با جواب‌های حقیقی خواهند داشت.
هنگام حل IHTP همواره مشکلاتی وجود دارد که باید تشخیص داده شوند. به علت ناپایداری جواب‌های IHTP، این مسائل ازلحاظ ریاضی در گروه مسائل بدخیم دسته‌بندی می‌شوند. به‌عبارت‌دیگر، به‌واسطه وجود خطاهای اندازه‌گیری در آزمایش‌ها، ممکن است جواب کاملاً متفاوتی به دست آید. برای غلبه بر این مشکلات روش‌هایی پیشنهاد داده‌شده‌اند که حساسیت جواب مسئله به خطای موجود در داده‌های ورودی را کمتر می‌کند. ازجمله این روش‌ها می‌توان به استفاده از دماهای زمانه‌ای بعدی، فیلترهای هموارسازی دیجیتالی اشاره نمود.
در سالهای اخیر تمایل به استفاده از تئوری و کاربرد IHTP رو به افزایش است. IHTP ارتباط بسیار نزدیکی با بسیاری از شاخه‌های علوم و مهندسی دارد. مهندسان مکانیک، هوافضا، شیمی و هسته‌ای، ریاضی‌دانان، متخصصان فیزیک نجومی، فیزیکدانان و آماردانان همگی با کاربردهای متفاوتی که از IHTP در ذهن دارند، به این موضوع علاقه‌مند می‌باشند.
مغز در داخل استخوان جمجمه و نخاع در داخل ستون فقرات جای گرفته است. سه پرده که درمجموع منژ نامیده میشوند، مغز و نخاع را از اطراف محافظت می‌کنند. مغز بیشترین انرژی بدن را مصرف میکند و منطقهی گرمی از بدن است. وزن مغز زن و مرد باهم متفاوت است. خوب است بدانیم که هنگام سکته مغزی فشار داخل جمجمه بالا می‌رود و داخل مغز به‌شدت گرم می‌شود پس باید به‌سرعت از فشار داخل جمجمه کاست تا بیمار دچار آسیب بیشتر نشود. همچنین، تخمین زده می‌شود در مغز انسان حدود یک‌صد میلیارد سلول عصبی یا نرون فعالیت می‌کنند . نرون یا سلول عصبی بر اساس مکانیسم الکتروشیمیایی فعالیت می‌کند ، اختلاف‌پتانسیل ناشی از افزایش و کاهش بار الکتریکی در یک نرون که از منفی 70 میلی ولت تا مثبت 70 میلی ولت در نوسان است باعث رها شدن یا ریلیز مواد مخدر طبیعی یا همان ناقل‌های عصبی از انتهای سلول عصبی یا آکسون می‌شود. فعالیت الکتریکی یک‌صد میلیارد سلول عصبی ، حرارت بسیار زیادی تولید می‌کند.
مغز برای خنک کردن خود نیاز به یک سیستم خنک‌کننده قوی دارد. در مغز انسان حدود 16 هزار کیلومتر رگ و مویرگ خونی وجود دارد. یکی از وظایف اصلی این سیستم علاوه بر تأمین سوخت میلیاردها سلول ،خنک کردن مغز است. به عبارتی حرارت مغز توسط این سیستم جذب می‌شود و با گردش خود درجاهایی مثل پیشانی، صورت و گوش‌ها آزاد می‌شود و خنک می‌شود. مصرف سیگار با افزایش غلظت خون باعث می‌شود تا حرکت خون در این مویرگ‌ها سخت شود و عملیات سوخت‌رسانی و خنک کردن مغز به‌درستی انجام نشود. به عبارتی افراد سیگاری مغزشان داغ‌تر از افراد غیر سیگاری است و سوخت کمتری به مغزشان می‌رسد. ریزش مو و دیرخواب رفتن یکی از نتایج بالا بودن دمای مغز است. اختلال در عملکرد سلول‌های عصبی و به دنبال آن اختلال در آزادسازی ناقل‌های عصبی و کنترل سیستم هورمونی از دیگر نتایج این وضعیت است.
از سوی دیگر، چندی پیش پزشکان برای نجات نوزادی از روش خنک کردن مغز استفاده  کردند که در نوع خودش بی‌نظیر و شگفت‌انگیز بود. نوزاد انگلیسی که هنگام تولد بند ناف به دور گردنش پیچیده شده بود و نفس نمی‌کشید، (اکسیژن کافی به مغزش نمی‌رسید) با فن خنک کردن مغز (به مدت 3روز) به زندگی بازگشت. پزشکان برای کم کردن نیاز مغز این نوزاد به اکسیژن، با استفاده از گاز زنون مغز او را سرد کرند. برای این کار از دستگاه جدیدی استفاده شد. آنان با جای دادن آلتی در مغز نوزاد، سر نوزاد را خنک نگه داشتند.نوزاد که مغزش به مدت 3 روز با این تکنیک خنک نگه‌داشته شد؛ در حال حاضر، در آغوش مادرش به زندگی لبخند میزند.
ممکن است که تقلا برای خوابیدن، بعد از یک روز خسته‌کننده با سرشماری گوسفندان یا خوردن قرصهای خواب هم چندان مؤثر نباشد، اما پژوهشگران دانشکده پزشکی پتینزبورگ در آخرین اجلاس «خواب» سال 2011 روش جالبی را برای درمان بیخوابی پیشنهاد کردند: خنک کردن مغز!
آن‌ها یک کلاه پلاستیکی خنک‌کننده ابداع کردند که قسمت‌های پیشانی را میپوشاند و با پایین آوردن دمای مغز می‌تواند به خواب سریع فرد کمک کند. پزشکان در تحقیقی که روی افراد عادی و بیمارانی که از بیخوابی رنج میبردند انجام دادند، افراد بیخواب بعد از پوشیدن این کلاه خاص، به‌طور میانگین در زمان 13 دقیقه به خواب رفتند، یعنی زمانی برابر افراد  سالم. دانشمندان فکر می‌کنند که این کلاه با پایین آوردن دمای مغز  سبب کاهش سوخت‌وساز آن (به‌ویژه در ناحیه پیشانی مغز) میشود و به خواب سریعتر و راحتتر فرد کمک میکند. هنوز این کلاهها به‌صورت تجاری وارد بازار نشده‌اند. همچنین عوارض احتمالی استفاده از آن‌ها مشخص نشده‌اند؛ مثلاً معلوم نیست که استفاده از این کلاه‌ها سبب تشدید علائم افراد مبتلابه سینوزیت خواهد شد یا نه؟ محققان دانشگاه نیویورک در پژوهش‌های مختلف خود دریافتند، خمیازه کشیدن نقش مهمی در تنظیم درجه حرارت مغز به عهده دارد. درصورتی‌که ناحیه سر «گرم» باشد، خمیازه با تحریک جریان خون و ضربان قلب گرمای بالای آن را کاهش میدهد. چرخه خواب و استرس، تابع نوسان درجه حرارت مغز است و کار خمیازه آن‌که این دمای پیوسته در حال تغییر را تنظیم و متوازن ‌کند. توضیح ساده محققان دانشگاه وین این است که ما با خمیازه کشیدن، دمای اطراف را دست‌کاری می‌کنیم. به تعبیر دیگر، دهن‌دره همانند ترموستات مغز عمل می‌کند. گروه تحقیقاتی دانشگاه وین برای بررسی این فرضیه، تناوب خمیازه کشیدن شهروندان در ماه‌های تابستانی و زمستانی را زیر نظر گرفت. مشابه همین بررسی در هوای خشک و ۳۷ درجه آریزونا انجام شد.
پژوهش‌ها نشان داد که مردم وین در تابستان بیشتر از زمستان خمیازه می‌کشند اما در آمریکا نتیجه کاملاً برعکس بود. علت روشن بود: متوسط دمای وین در تابستان ۲۰ درجه است و این متوسط حرارت زمستانی در آریزونا است. محققان آمریکایی و اتریشی بر این اساس فرضیه‌‌ای را طرح کردند: تعداد خمیازه‌ها به فصل سال یا بلندی و کوتاهی روز یا روشنایی و تاریکی محیط ربط ندارد بلکه موضوع به درجه حرارت ۲۰ درجه برمی‌گردد.
یک افشانه بینی که می‌تواند جان هزاران مبتلابه بیماری قلبی را نجات دهد توسط محققان انگلیسی مورد کار آزمایی قرارگرفته است. یک دستگاه ویژه برای پمپاژ سرد‌کننده پزشکی در بینی بیمار در حال انتقال به بیمارستان مورداستفاده قرار می‌گیرد. کارشناسان بر این باورند که این درمان می‌تواند جان افراد زیادی را نجات داده و از ابتلای تعداد زیادی از بیماران به آسیب‌های مغزی شدید و دائمی جلوگیری کند.
خدمات اورژانس ساحل جنوب شرفی بنیاد بهداشت انگلیس اولین سرویس آمبولانسی است که از این ابداع سوئیسی به‌عنوان بخشی از کار آزمایی پزشکان بیمارستان رویال ساسکس کانتی استفاده می‌کند. ماده سردکننده که توسط یک ماسک صورت منتقل می‌شود، جریان مداومی از مایع در حال تبخیر را به حفره بینی بیمار می‌فرستد. محققان توانسته‌اند پیشرفت‌های بزرگی را در نجات زندگی بیماران قلبی به دست آورند اما بسیاری با آسیب‌های چشمگیری در سلول‌های مغزی روبرو شده و در اثر کمبود اکسیژن ناشی از توقف عملکرد قلب می‌میرند. 
ایده افشانه بینی، خنک‌سازی هر چه سریع‌تر مغز در محل تماس پایه مغز با مدخل بینی است. گفته می‌شود خنک کردن مغز می‌تواند از سلول‌های مغزی در زمان نبود اکسیژن در خون محافظت کند. اگر این درمان زودهنگام ارائه شود، بیمار شانس بهبود بیشتری داشته و این فناوری جدید به پیراپزشکان اجازه خواهد داد پیش از رسیدن بیمار به بیمارستان عملیات خنک‌سازی را آغاز کنند. در حال حاضر برخی از خدمات اورژانس انگلیس از شیوه‌های مختلف فرآیند خنک‌سازی مانند قطره نمکی سرد و پدهای خنک‌کننده پیش از رسیدن بیمار به بیمارستان استفاده می‌کنند. اما این روش‌ها به‌طور مستقیم مغز را هدف قرار نداده و به‌جای آن بر خنک‌سازی کل بدن و خون برای دستیابی به تأثیر مشابه تکیه‌دارند.
1-2- تاریخچه:مطالعات آسیب‌شناسی مغزی به‌طور تجربی نشان می‌دهد که سرد کردن مغز پس از یک ایشکمی مغزی میتواند میزان صدمات وارده بر مغز را کاهش دهد. آسیب تراماتیک مغز(TBI) که معمولاً براثر آسیب‌های خارجی در تصادفات و ... اتفاق میافتد و آسیب ایشکمیک مغز که در اثر سکته مغزی ایجاد می‌شود، سبب آسیب‌های فراوانی بر مغز میشود. آزمایش‌ها و بررسی‌های مختلف نشان داده‌اند که کاهش دمای مغز حتی در حد 1 الی 2 درجه سانتی‌گراد فواید بسیاری از قبیل: محافظت در مقابل سکته, کاهش ورم و آماس و کاهش فشار داخلی مغز (ICP) دارد. سادگی و راندمان بالای سرمادرمانی مغز باعث شده است تا پزشکان از آن به‌عنوان یک‌راه حل کلینیکی جهت درمان نوزادانی که از عارضه خفگی (نرسیدن اکسیژن) در زمان تولد رنج می‌برند، استفاده کنند. همچنین سرد کردن فوری مغز درست در دقایق اولیه پس از حمله ایشکمی، امری مهم و ضروری در کاهش پیامدها و صدمات وارده بر مغز و نجات بیمار است. این عمل (سرد کردن فوری مغز) موجب افت متابولیسم مغز شده و درنتیجه نیاز آن را به دریافت اکسیژن و دفع دی‌اکسید کربن و بالطبع خون‌رسانی کاهش میدهد. گزارش‌های منتشرشده نشان دادهاند که کمخونی اثر مخرب کمتری روی مغز بجای خواهد گذاشت. علی‌رغم اینکه هنوز به‌طور کامل مشخص نشده است که عمل خنک کردن چطور به محافظت از مغز کمک میکند، آزمایش‌های بسیاری نشان دادهاند که کاهش دما در بافت مغز از عملکرد مغز در مقابل آسیب‌های ایشکمیک محافظت می‌کند. همچنین این کار سبب کاهش التهاب و تثبیت فشار داخلی مغز می‌شود[1-3]. همچنین، در اکثر بررسی‌های بیمارستانی که روی گروه‌های کوچک که از TBI رنج میبردند، انجام‌شده است، نتایج این حقیقت که خنک کردن مغز آثار خوبی هم در کوتاهمدت و هم در بلندمدت دارد را تأیید میکند[4-7]. اخیراً یتینگ و همکاران[8] در تحقیق خود گزارش کردند که با خنک کاری مغز از طریق صورت می‌توان به بهبود عملکرد عصبی کمک کرد. آن‌ها در نتایج خود نشان دادند که با استفاده از روش خنک کاری مغز از طریق صورت می‌توان از مغز در مقابل آسیب ایشکمیک محافظت کرد. همچنین نشان دادند که مشکلات مغزی ناشی از آن قابل‌درمان است.
ملاحظات انتقال حرارت مغز در حیات کسانی که در آب‌های سرد غرق میشوند، نیز مؤثر است. به‌طوری‌که در اثر این پدیده بازگشت به زندگی افرادی که در آب‌های سرد غرق‌شده‌اند، حتی تا پس از 66 دقیقه نیز گزارش‌شده است. این مسئله عموماً به خاطر قطع فعالیت متابولیکی مغز و اثرات محافظتی این سردشدگی است. موارد ذکرشده لزوم و اهمیت بررسی انتقال حرارت از مغز را با سیال اطراف نمایان می‌سازند.
اساساً انتقال حرارت در مغز در قالب تبادل حرارت خارجی (انتقال حرارت از سر)، تبادل حرارت داخل و تولید حرارت متابولیکی است. این اثرات با شرایط مرزی، سیرکولاسیون خون، نرخ متابولیسم مغز و ابعاد سر تغییر می‌کنند. بررسی تأثیر عوامل مختلف در پدیده انتقال حرارت از مغز با دشواری روبروست. بخصوص که امکان انجام آزمایش‌های تجربی در این زمینه به دلیل خطرات موجود و محدودیت‌های ابزاری ممکن نیست. لذا این بررسی‌ها نیازمند یک مدل مطمئن با خصوصیات فیزیکی و شرایط محیطی واقعی می‌باشند.
مطالعه و بررسی عکس‌العمل خنک شدن سر در مقابل مکانیسم‌های مختلف خنک کاری، می‌تواند ابزاری در جهت طراحی و ساخت تجهیزات قابل‌حمل جهت خنک کاری‌های اورژانس در وسایل نقلیه پزشکی باشد که با آنها دمای مغز در 30 دقیقه از Cº37 به Cº34 رسیده و لذا متابولیسم آن تا 30% کاهش مییابد. این مطالعات در طراحی سیستم‌های تهویه مطبوع و ایجاد محیط‌های ارگونومیک جهت راحتی افراد نیز می‌تواند موردتوجه قرار گیرد. در یک سری مدل‌سازی‌های کامپیوتری انجام‌شده[9-11] نشان داده است که دمای مغز انسان در نقاط مرکزی و داخلی بسیار متفاوت‌اند از نقاطی که نزدیکی سطح قرار دارند. گرادیان دمای بسیار بزرگی در نزدیکی سطح مغز اتفاق می‌افتد که به‌صورت آزمایشگاهی با افزایش فاصله از سر کاهش مییابد[12,13].
هدف کلی رسیدن به دمای میانگین 33 در مغز در مدت‌زمان 30 دقیقه است[14]. البته باید خاطرنشان کرد که خنک کردن مغز تا دماهای پایین‌تر سبب افزایش ریسک ابتلا به لرزشهای غیرقابل‌کنترل و کاردیاک ارست میشود.
یکی از سؤالهای مهم برای انتخاب روش مناسب برای خنک کردن مغز این است که بفهمیم هر یک از این روشها چطور دمای مغز را کاهش میدهند. ازآنجاکه اندازهگیری نتایج حاصل از خنک کردن مغز در بافت زنده فراتر از فنّاوری حاضر است، ارائه و بهبود مدلهایی که به‌طور دقیق تغییرات دما و همچنین محدودیتها را نشان میدهد، میتواند موفقیت بزرگی باشد.
مسئله مهم دیگر تبادل گرمایی بین پوست سر و محیط اطراف است که به کمک ضریب انتقال حرارت توصیف می‌شود. برای رسیدن هدف که خنک کردن مغز در نقاط مرکزی است، نیاز به استفاده از دستگاهی است که ضریب انتقال حرارت بزرگی ایجاد کند. در حالت ایدئال، دستگاهی با این مشخصات قادر خواهد بود دمای پوست سر را همدما با دمای دستگاه ثابت نگه دارد.
عموماً گزارش‌های انتقال حرارت از مغز تاکنون به دو صورت بوده است. یک دسته از این مطالعات شبیه‌سازی را تنها از جنبه انتقال حرارت در داخل بافت‌ها مدنظر قرار داده و در بهترین حالت انتقال حرارت جابجایی را با ضریب انتقال حرارت جابجایی در مدل خود بکار گرفته‌اند[11,15-17]. دسته دیگر بدون مدل نمودن انتقال حرارت درون بافت، تنها به بررسی الگوی جریان خارج از بدن (به‌صورت تجربی) پرداخته‌اند.
همچنین مدل‌سازی از توزیع دما در سر یک انسان بالغ تحت سرما درمانی با گذاشتن یخ روی سر توسط دنیس و همکارانش[16] صورت گرفته است. گزارش زو و همکارانش[17] نیز شامل مدل‌سازی ریاضی سرد شدن مغز با شرایط مرزی دما ثابت است. سوکستانسکی و همکارش[12] با استفاده از روش تحلیلی اثر عوامل مختلف را بر دمای مغز بررسی کرده و دبی و دمای جریان خون ورودی به بافت را تنها عامل مؤثر بر دمای مغز دانسته‌اند. این مدل‌سازی‌ها با فرض ثابت بودن دمای سطح پوست همراه بوده و در آن‌ها هوای اطراف و جنبه انتقال حرارت جابجایی در سال اطراف سر در نظر گرفته نشده است.
از طرف دیگر، از جنبه خارجی کلارک و همکارانش[18] مطالعه‌ای برای تعیین جابجایی آزاد در اطراف سر را انجام داده و منتشر کرده‌اند که در این تحقیق تأثیر حالت‌های مختلف بدن (خوابیده و ایستاده) بر الگوی جریان هوای اطراف سر به‌صورت تجربی مطالعه شده و ضخامت تقریبی لایه‌مرزی حرارتی و میزان انتقال حرارت در نقاط مختلف سر به کمک سیستم نوری شلیرن و کالریمتر سطحی در آن سالها اندازه‌گیری شده است.
بسیاری از کارهای انجام‌شده در این زمینه اثرات مثبتی برای محافظت از مغز داشته‌اند و توانسته دما را تا 7 درجه سانتی‌گراد در مدت‌زمان 1 ساعت کاهش بدهد، بااین‌حال متدهایی که به کاهش دمای بیشتر کمک می‌کنند تهاجمی هستند که منجر به عوارض بعدی روی بیمار میشود. لازم به ذکر است، در حالت کلی دو روش برای اعمال خنک کاری به‌صورت غیرتهاجمی وجود دارد: خنک کردن سر به کمک دستگاه‌های خنک‌کن و خنک کردن کل بدن.
سرد کردن تمام بدن یک نوزاد تازه متولدشده در ۶ ساعت نخست تولد می‌تواند از آسیب‌های مغزی ناشی از فقدان اکسیژن در جریان زایمان‌های دشوار جلوگیری کند و یا از شدت آن به میزان قابل‌توجهی بکاهد. به گزارش فرانس پرس هزاران کودک سالانه در سطح دنیا متولد شوند که به دلیل برخی مشکلات در بدو تولد مانند نرسیدن اکسیژن به آن‌ها و یا نرسیدن خون به مغزشان در معرض خطر مرگ یا معلولیت قرار می‌گیرند. خنک کردن بدن به‌اندازه چند درجه یعنی اعمال نوعی هایپوترمی خفیف نیاز مغز به اکسیژن را کاهش داده و دیگر پروسه‌هایی را که می‌توانند به آسیب مغزی دچار شوند، کند می‌کند. این شیوه درمان به افراد بالغ نیز در بهبودی پس از تجربه ایست قلبی کمک می‌کند.
در قالب تکنیک هایپوترمی یا همان خنک کردن مغز، نوزاد درون یک پتوی خاص حاوی آب سرد قرار داده می‌شود. این پتو دمای بدن نوزاد را برای مدت ٣ روز تا سطح ٣/٩٢ درجه فارنهایت (۵/٣٣ درجه سانتی‌گراد) پایین آورده و سپس به‌تدریج بدن را دوباره گرم کرده و درجه حرارت را به وضعیت نرمال حدود ۶/٩٨ درجه فارنهایت برمی‌گرداند. این نوزادان ١٨ تا ٢٢ ماه بعد مورد معاینه قرار گرفتند که نتایج یافته‌ها نشان داد مرگ یا معلولیت‌های قابل‌توجه همچون فلج مغزی تنها در ۴۴ درصد نوزادانی که بدنشان خنک شده بود، رخ داد رقمی که در نوزادان تحت درمان‌های معمول به ۶۴ رسید و هیچ‌گونه عوارض جانبی همچون مشکلات در ریتم قلب درنتیجه این شیوه درمان رخ نداد. طبق این یافته‌ها، خنک کردن مغز نوزادان به میزان ٢ تا ۵ درجه سانتی‌گراد می‌تواند احتمال معلولیت و مرگ آن‌ها در اثر کمبود اکسیژن درنتیجه کنده شدن جفت از دیواره رحم پیش از تولد و فشردگی بند ناف را به میزان قابل‌توجهی کاهش دهد.
آزوپاردی و همکاران[19] بررسی روی گروهی از بچهها در سن 6 و 7 سالگی که به‌منظور تعیین اینکه آیا خنک کردن مغز بعد از خفگی حین زایمان یا پس از زایمان در بلندمدت اثری دارد یا خیر، انجام دادند. نتایج اولیه آنها نشانگر این بود که اثرات خوبی در افراد با IQ بالاتر از 85 دیده میشد.
ژو و همکاران[20] اثربخشی و امنیت خنک کردن ملایم سر را در انسفالوپاتی هیپوکسیک-ایشکمیک در نوزادان تازه متولدشده موردبررسی قراردادند. در تحقیق آنها نوزادان مبتلابه HIE به‌صورت تصادفی انتخاب‌شده بودند.عمل خنک کردن از 6 ساعت بعد از تولد، درحالی‌که دما در قسمت حلق و بینی حدود Cº 34 و در قسمت تحتانی حدود Cº 4.5 بود، شروع شد و 72 ساعت طول کشید. متأسفانه نتایج اولیه منجر به مرگ و ناتوانیهای شدید شده بود. ویلرم و همکارانش[15] با مدل‌سازی سرد کردن مغز نوزاد به این نتیجه رسیدند که با قرار دادن سر در محیط با دمای پایین (10 درجه سانتی‌گراد) تنها مناطق سطحی مغز تا حدود Cº33-34 سرد می‌شود و تغییر دمای محسوسی در مناطق عمقی آن به وجود نخواهد آمد.
دنیس و همکاران[16] هندسه واقعی سر انسان را در نظر گرفتند و خنک کردن سر و گردن انسان را با روش المان محدود موردبررسی قراردادند. آنها در کار خود همزمان علاوه بر استفاده از یک کلاهک خنک‌کن، پکهایی از یخ روی سر و گردن قراردادند. بر اساس نتایجشان، وسیلهی دیگری نیز برای خنک کاری موردنیاز است که دمای قسمتهای مرتبط دیگر نیز کاهش یابد و درنتیجه به هدف موردنظر که در قبل ذکرشده بود، برسند. مسئله را در چهار حالت مختلف که موقعیت مکانی خنک کاری متفاوت بوده بررسی کرده‌اند، که متأسفانه به دمای 33 درجه سانتی‌گراد در مدت 30 دقیقه نرسیده‌اند.
گلوکمن و همکاران[21] از یک کلاه خنک‌کن روی سر استفاده کردند و دمای قسمت تحتانی بدن را نیز در 34-35 ثابت نگه داشتند. نتایج آنها نشان می‌دهد بااینکه این کار اثر قابل قبولی روی نوزادانی که موردبررسی قرارگرفته بودند، نداشته است. اما در کل به زنده ماندن بیماران بدون اثرات شدید عصبی کمک میکند.
اسپوزیتو و همکاران[22] در تحقیق خود، محدودیتها و اثرات جانبی روشهای کنونی خنککاری مغز را بررسی کردهاند. همچنین در مورد مزایا و معایب تزریق مایع خنک در رگهای خونی بحث کرده‌اند. همچنین پلی و همکاران[23] ارتباط بین دمای مغز و خنک کردن سطح سر و گردن را موردتحقیق قراردادند و در کار دیگر، ناکامورا و همکاران[24] تأثیر خنک کاری سر و گردن را بر دمای کلی بدن بررسی کردهاند.
ازآنجاکه در هیچ‌یک از بررسیهای انجام‌شده به دمای ۳۳ درجه در مدت‌زمان ۳۰ دقیقه که مطلوب پزشکان است، نرسیده‌اند برای اولین بار با استفاده از روش انتقال حرارت معکوس شار حرارتی و شرایط مرزی مناسب مدنظر است. در این روش با معلوم بودن جواب هدف که کاهش دما تا ۳۳ درجه و زمان ۳۰ دقیقه است، بهترین شرایط برای رسیدن به آن محاسبه می‌شوند. همچنین معادلات موردنظر معادلات انتقال حرارت در بافت زنده پنز که غیر فوریه‌ای بوده می‌باشند. هندسه مغز به‌صورت یک نیمکره در نظر گرفته‌شده است. مسئله با استفاده از روش مختصات عمومی و در حالت متقارن محوری حل‌شده است. علت استفاده از این روش این است که قادر به اعمال روی هر هندسه پیچیده دیگر خواهد بود که در کارهای آینده قطعاً موردنیاز خواهد بود. در این روش، صفحه فیزیکی نامنظم مسئله به صفحه محاسباتی مستطیل شکل تبدیل می‌شود.
فصل دوم: بررسی روش‌های بهینه‌سازی توابع
در این فصل به معرفی و بررسی روش‌هایی که برای بهینه‌سازی توابع استفاده می‌شوند، می‌پردازیم. ابتدا به تعریف مسئله بهینه‌سازی پرداخته و در ادامه مفاهیم مربوط به روند انجام فرایند بهینه‌سازی در یک مسئله معرفی می‌شوند. انواع روش‌های مستقیم و غیرمستقیم بهینه‌سازی معرفی می‌شوند. ازآنجاکه در این پایان‌نامه از روش غیرمستقیم برای بهینه‌سازی استفاده کرده‌ایم، بنابراین بیشتر به این روش‌ها پرداخته‌ایم. در تمامی این روش‌ها محاسبه گرادیان تابع الزامی است، بنابراین بررسی خواص و نحوه محاسبه آن آورده شده است. در ادامه شرح مختصری از انواع روش‌های غیرمستقیم به همراه الگوریتم محاسباتی آن‌ها آورده شده است.
2-1 مسائل بهینه‌سازییک مسئله بهینه‌سازی می‌تواند به‌صورت زیر بیان شود:
تعیین بردار به‌گونه‌ای که تابع تحت شرایط زیر مینیمم شود.
(2-1)
که در آن یک بردار n بعدی به نام بردار طراحی، تابع هدف و و به ترتیب قیدهای برابری و نابرابری نامیده می‌شوند. در حالت کلی تعداد متغیرها و تعداد قیود یا رابطه‌ای باهم ندارند. مسئله فوق یک مسئله بهینه‌سازی مقید نامیده می‌شود. در مسائلی که قیودی وجود ندارند با یک مسئله بهینه‌سازی نامقید روبرو هستیم.
نقطه را مینیمم یا نقطه سکون تابع هدف مینامیم اگر داشته باشیم:
(2-2)
شرط بالا یک شرط لازم است درصورتی‌که ماتریس هسین معین مثبت باشد آنگاه حتماً نقطه مینیمم نسبی خواهد بود. یعنی اگر داشته باشیم:
(2-3)
البته شرط بالا در صورتی صادق است که تابع مشتق‌پذیر باشد.
2-2 دسته‌بندی روش‌های بهینه‌سازیروش‌های حل مسائل مینیمم سازی به دودسته روش‌های جستجوی مستقیم و روش‌های کاهشی تقسیم‌بندی می‌شوند.
برای استفاده از روش‌های جستجوی مستقیم در محاسبه نقطه مینیمم، تنها به مقدار تابع هدف نیاز است و نیازی به مشتقات جزئی تابع نیست. بنابراین اغلب، روش‌های غیرگرادیانی یا روش‌های مرتبه صفر نامیده می‌شوند زیرا از مشتقات مرتبه صفر تابع استفاده می‌کنند. این روش‌ها بیشتر برای مسائلی کاربرد دارند که تعداد متغیرها کم و یا محاسبه مشتقات تابع مشکل می‌باشند و به‌طورکلی کارایی کمتری نسبت به روش‌های کاهشی دارند.
روش‌های کاهشی علاوه بر مقدار تابع به مشتقات اول و در برخی موارد به مشتقات مرتبه دوم تابع هدف نیز نیاز دارند. ازآنجاکه در روش‌های کاهشی، اطلاعات بیشتری از تابع هدفی که (از طریق مشتقات آن) مینیمم می‌شود، مورداستفاده قرار می‌گیرد، این روش‌ها کارایی بیشتری نسبت به روش‌های جستجوی مستقیم دارند.
روش‌های کاهشی همچنین روش‌های گرادیانی نیز نامیده می‌شوند. دراین‌بین روش‌هایی که فقط به مشتق اول تابع هدف نیاز دارند، روش‌های مرتبه اول و آن‌هایی که به مشتق اول و دوم هر دو نیاز دارند، روش‌های مرتبه دوم نامیده می‌شوند. در جدول(2-1) روش‌هایی از هر دودسته آمده است.
جدول2-1- دسته‌بندی روش‌های بهینه‌سازی
روش‌های کاهشی روش‌های جستجوی مستقیم
بیشترین کاهش
گرادیان مزدوج
روش نیوتن
روش لونبرگ- مارکورات
میزان متغیر روش جستجوی تصادفی
جستجوی شبکه
روش تک متغیر
جستجوی الگو
2-3 راه‌حل کلیتمام روش‌های مینیمم سازی نامقید اساساً تکراری هستند و ازاین‌رو از یک حدس اولیه شروع می‌کنند و به شکل ترتیبی به سمت نقطه مینیمم پیش می‌روند. طرح کلی این روش‌ها در شکل2-1 نشان داده‌شده است.
باید توجه شود تمام روش‌های مینیمم سازی نامقید:
1. نیاز به نقطه اولیه برای شروع تکرار دارند.
2. با یکدیگر تنها در نحوه تولید نقطه بعدی از تفاوت دارند.
-76200-5219700با نقطه اولیه شروع کنید
شرط همگرایی برقرار است؟
خیر
قرار دهید
قرار دهید
را بیابید
نقطه جدید را تولید کنید
را بیابید
بله
قرار دهید و توقف کنید
00با نقطه اولیه شروع کنید
شرط همگرایی برقرار است؟
خیر
قرار دهید
قرار دهید
را بیابید
نقطه جدید را تولید کنید
را بیابید
بله
قرار دهید و توقف کنید

شکل 2-1- نمودار روند بهینه‌سازی تابع هدف
2-4 نرخ هم‌گرائیروش‌های مختلف بهینه‌سازی، نرخ همگرایی مختلف دارند. به‌طورکلی یک روش، همگرایی از مرتبه دارد اگر داشته باشیم:
(2-4)
که و نقاط محاسبه‌شده در پایان تکرارهای و هستند. نقطه بهینه و نشان‌دهنده طول یا نرم بردار است که از رابطه زیر به دست میآید:
(2-5)
اگر و باشد، روش همگرای خطی (متناظر باهمگرایی آهسته) و اگر باشد، روش همگرای مرتبه دوم (متناظر باهمگرایی سریع) نامیده می‌شود. یک روش بهینه‌سازی، همگرای فوق خطی است اگر:
(2-6)
تعریف دیگری برای روش همگرایی مرتبه دوم وجود دارد: اگر یک روش مینیمم سازی با استفاده از روند دقیق ریاضی بتواند نقطه مینیمم یک تابع درجه دوم متغیره را در تکرار پیدا کند. روش همگرای مرتبه دوم نامیده می‌شود.
2-5 گرادیان تابع
گرادیان تابع، یک بردار n مؤلفه ایست که با رابطه زیر داده می‌شود:
(2-7)
اگر از یک نقطه در فضای n بعدی در راستای گرادیان حرکت کنیم، مقدار تابع با سریع‌ترین نرخ افزایش می‌یابد. بنابراین جهت گرادیان، جهت بیشترین افزایش نیز نامیده می‌شود.
4768851778003′
1
2
1′
2′
3
4
4′
X
Y
003′
1
2
1′
2′
3
4
4′
X
Y

شکل 2-2- جهت‌های سریع‌ترین افزایش
اما جهت بیشترین افزایش یک خاصیت محلی است و نه سراسری. این مطلب در شکل2-2 نشان داده‌شده است. در این شکل، بردار گرادیان محاسبه‌شده در نقاط 1، 2 ، 3، 4 به ترتیب در جهت‌های ٰ11 ، ٰ22 ، ٰ33، ٰ44 قرار دارد. بنابراین در نقطه 1 مقدار تابع در جهت ٰ11 با سریع‌ترین نرخ افزایش می‌یابد و به همین ترتیب اگر به تعداد بی‌نهایت مسیر کوچک در جهت‌های سریع‌ترین افزایش حرکت کنیم، مسیر حرکت یک منحنی شبیه به منحنی 4-3-2-1 خواهد بود.
ازآنجاکه بردار گرادیان جهت بیشترین افزایش مقدار تابع را نشان می‌دهد، منفی بردار گرادیان جهت سریع‌ترین کاهش را نشان می‌دهد. بنابراین انتظار داریم روش‌هایی که از بردار گرادیان برای بهینه‌سازی استفاده می‌کنند نسبت به روش‌های دیگر سریع‌تر به نقطه مینیمم برسند. بنابراین دو قضیه زیر را بدون اثبات می‌آوریم.
1.بردار گرادیان جهت سریع‌ترین افزایش را نشان می‌دهد.
2. بیشترین نرخ تغییر تابع در هر نقطه ، برابر اندازه بردار گرادیان در آن نقطه است.
2-5-1 محاسبه گرادیانمحاسبه گرادیان نیاز به محاسبه مشتقات جزئی دارد. سه حالت وجود دارد که محاسبه گرادیان را مشکل می‌کند:
1. تابع در تمامی نقاط مشتق‌پذیر است، اما محاسبه مؤلفه‌های بردار گرادیان غیرعملی است.
2. رابطه‌ای برای مشتقات جزئی می‌توان به دست آورد، اما محاسبه آن نیازمند زمان محاسباتی زیادی است.
3. گرادیان تابع در تمامی نقاط تعریف‌نشده باشد.
در مورد اول می‌توان از فرمول تفاضل محدود پیشرو برای تخمین مشتق جزئی استفاده کرد:
(2-8)
برای یافتن نتیجه بهتر می‌توان از فرمول اختلاف مرکزی محدود زیر استفاده کرد:
(2-9)
در روابط بالا یک کمیت اسکالر کوچک و برداری n بعدی است که مؤلفه ام آن یک، و مابقی صفر هستند. در محاسبات، مقدار را می‌بایست با دقت انتخاب نمود، زیرا کوچک بودن بیش‌ازحد آن ممکن است اختلاف میان مقادیر محاسبه‌شده تابع در و را بسیار کوچک کرده، و موجب افزایش خطای گرد کردن شود و نتایج را با خطا همراه سازد. به همین ترتیب بزرگ بودن بیش‌ازاندازه نیز خطای برشی را در محاسبه گرادیان ایجاد می‌کند. در حالت دوم استفاده از فرمول‌های تفاضل محدود پیشنهاد میشود. برای حالت سوم با توجه به این نکته که گرادیان در تمام نقاط تعریف‌شده نیست، نمی‌توان از فرمول‌های تفاضل محدود استفاده کرد. بنابراین در این موارد مینیمم کردن فقط با استفاده از روش‌های مستقیم امکان‌پذیر است.
2-5-2 تعیین طول گام بهینه در جهت کاهش تابعدر بیشتر روش‌های بهینه‌سازی، نیاز است که نقطه مینیمم در یک راستای مشخص را تعیین نمود. بنابراین لازم است نرخ تغییر تابع هدف از یک نقطه مانند ، درراستای مشخصی مانند ، نسبت به پارامتری چون محاسبه شود. باید در نظر داشت که موقعیت هر نقطه در این راستا را می‌توان با توجه به نقطه ، به‌صورت نشان داد. بنابراین نرخ تغییر تابع نسبت به این متغیر در راستای را می‌توان به‌صورت زیر نشان داد:
(2-10)
که در رابطه فوق مؤلفه -ام است. از طرفی داریم:
(2-11)
که و مؤلفه‌های -ام و هستند. بنابراین نرخ تغییر تابع در راستای برابر است با:
(2-12)
درصورتی‌که تابع را در راستای مینیمم کند، در نقطه می‌توان نوشت:
(2-13)
بنابراین مینیمم تابع، در راستای ، در نقطه می‌باشد.
2-6 معیار هم‌گرائیمعیارهای زیر می‌توانند برای بررسی هم‌گرائی در محاسبات تکراری به کار روند:
درصورتی‌که تغییرات تابع در دو تکرار متوالی از مقدار معینی کوچک‌تر شود:
(2-14)
زمانی که مشتقات جزئی (گرادیان مؤلفه‌ها) به‌اندازه کافی کوچک شود:
(2-15)
زمانی که تغییرات بردار موردنظر در دو تکرار متوالی کوچک شود:
(2-16)
که ، و مقادیر معین کوچکی در نظر گرفته می‌شوند.
2-7 روش کاهش سریعاستفاده از قرینه بردار گرادیان به‌عنوان جهت مینیمم سازی اولین بار توسط کوشی انجام گرفت. در این روش محاسبات از نقطه‌ای مانند شروع‌شده و طی فرآیندهای تکراری با حرکت در جهت سریع‌ترین نرخ کاهش، نهایتاً به نقطه مینیمم می‌رسد. مراحل مختلف این روش را می‌توان به‌صورت زیر در نظر گرفت:
1. شروع محاسبات از یک نقطه دلخواه به‌عنوان اولین تکرار
2. یافتن جهت به‌صورت
3. محاسبه طول گام بهینه در جهت و قرار دادن و یا .
4.بررسی بهینه بودن نقطه و پایان محاسبات در صورت مینیمم بودن این نقطه، در غیر این صورت قرار دادن و ادامه محاسبات از مرحله 2.
2-8 مقدمه ای بر روش انتقال حرارت معکوس2-8-1 مقدمه
با ظهور مواد مخلوط مدرن و وابستگی شدید خواص ترموفیزیکی آن‌ها به دما و مکان، روش‌های معمولی برای محاسبه آن‌ها راضی‌کننده نیستند. همچنین انتظارات عملیاتی صنعتی مدرن هر چه بیشتر و بیشتر پیچیده شده‌اند و یک محاسبه دقیق در محل از خواص ترموفیزیکی تحت شرایط واقعی عملیات ضرورت پیدا کرد. شیوه انتقال حرارت معکوس(IHTP) می‌تواند جواب‌های رضایت بخشی برای این‌گونه حالات و مسائل به دست دهد.
سود عمده IHTP این است که شرایط آزمایش را تا حد امکان به شرایط واقعی نزدیک می‌سازد.
کاربرد عمده تکنیک IHTP شامل محدوده‌های خاص زیر می‌باشند (در میان سایرین)
محاسبه خواص ترموفیزیکی مواد به‌عنوان‌مثال؛ خواص ماده سپر حرارتی در طی ورودش به اتمسفر زمین و برآورد وابستگی دمایی ضریب هدایت قالب سرد در طی باز پخت استیل
برآورد خواص تشعشعی بالک و شرایط مرزی در جذب، نشر و بازپخش مواد نیمه‌رسانا
کنترل حرکت سطح مشترک جامد - مایع در طی جامدسازی
برآورد شرایط ورود و شار حرارتی مرزی در جابجایی اجباری درون کانال‌ها
برآورد همرفت سطح مشترک بین سطوح متناوباً در تماس
نظارت خواص تشعشعی سطوح بازتاب‌کننده گرم‌کننده‌ها و پنلهای برودتی
برآورد وابستگی دمایی ناشناخته ضریب هدایت سطوح مشترک بین ذوب و انجماد فلزات در طی ریخته‌گری
برآورد توابع واکنشی
کنترل و بهینه‌سازی عملیات پروراندن لاستیک
برآورد شکل مرزی اجسام
برآورد این‌گونه خواص از طریق تکنیک‌های رایج کاری به‌شدت دشوار یا حتی غیرممکن است. اگرچه با اعمال آنالیز انتقال حرارت معکوس، این‌گونه مسائل نه‌تنها می‌توانند حل شوند، بلکه ارزش اطلاعات مطالعات افزوده‌شده و کارهای تجربی سرعت می‌گیرند.
2-8-2 مشکلات حل مسائل انتقال حرارت معکوسبرای تشریح مشکلات اصلی حل مسائل انتقال حرارت معکوس، جامد نیمه بینهایت () در دمای اولیه صفر در نظر می‌گیریم. برای زمان‌های سطح مرزی در تحت یک شار گرمایی متناوب به فرم قرارگرفته است. جایی که و ω به ترتیب دامنه و فرکانس نوسان شار گرمایی هستند و t متغیر زمان است. بعد از گذشت حالت متغیر، توزیع دمایی شبه - ثابت در جامد با توزیع دمایی زیر به دست می‌آید:
(2-17)
جایی که پخشندگی حرارتی و k ضریب رسانایی حرارتی جامد هستند.
معادله بالا نشان می‌دهد که پاسخ دمایی دارای یک تأخیر فاز نسبت به شار اعمالی سطحی می‌باشد و این تأخیر برای مکان‌های عمیق‌تر درون جسم واضح‌تر می‌باشد. درصورتی‌که این شار بتواند برآورد شود، این تأخیر دمایی نیاز به برداشت اطلاعات پس از اعمال شار حرارتی را آشکار می‌کند.
دامنه نوسان دما در هر مکانی، ، با قرار دادن در معادله به دست می‌آید. لذا:
(2-18)
این معادله نشان می‌دهد که به‌صورت توانی با افزایش عمق و با افزایش فرکانس تغییر می‌کند.
اگر دامنه شار حرارتی سطحی (q) به‌وسیله بکار بردن اندازه‌گیری مستقیم دما در نقاط داخلی اندازه‌گیری گردد آنگاه هرگونه خطای اندازه‌گیری با عمق x و فرکانس ω به‌صورت توانی بزرگنمایی می‌شود، که به‌صورت معادله زیر نشان داده می‌شود:
(2-19)
برای تخمین شار حرارتی مرزی جانمایی یک حس‌گر در عمق x از سطح، جایی که دامنه نوسانات دما بسیار بزرگ‌تر از خطاهای اندازه‌گیری‌اند، ضروری می‌باشد. در غیر اینصوررت تشخیص اینکه نوسانات دمایی در اثر شار حرارتی یا خطای اندازه‌گیری بوده غیرممکن خواهد بود، که منجر به عدم یگانگی جواب معادله خواهد شد.
ازآنجاکه خطاها در دقت روش‌های معکوس بسیار مؤثرند، بک ([26-28]) توصیفات این‌گونه خطاها را به‌صورت 8 نکته بیان نموده است.
خطاها به مقدار اصلی اضافه می‌شوند که مقدار اندازه‌گیری شده، مقدار واقعی و یک خطای رندوم می‌باشد.
خطای دمایی دارای میانگین صفر می‌باشد. یعنی . جایی که یک عملگر اندازه است، آنگاه گفته می‌شود که خطا بدون پیش مقدار است.
خطا دارای انحراف ثابت است، که عبارت است از
(2-20)
که به معنای استقلال انحراف از اندازه‌گیری است.
خطاهای مرتبط با اندازه‌گیری‌های مختلف ناهمبسته هستند. دو خطای اندازه‌گیری و (که ) ناهمبسته هستند اگر کوواریانس و صفر باشد. یعنی
(2-21)
در این حالت خطاهای و هیچ تأثیری یا رابطه‌ای بر هم ندارند.
خطاهای اندازه‌گیری دارای یک توزیع نرمال (گوسی) است. با توجه به فرضیات 2، 3 و 4 بالا توزیع احتمال به‌وسیله معادله زیر داده می‌شود
(2-22)
پارامترهای معرفی کننده خطا مثل معلوم هستند.
تنها متغیری که دارای خطاهای رندوم می‌باشد دمای اندازه‌گیری شده است. پارامترهای اندازه‌گیری شده مکان‌های اندازه‌گیری شده، ابعاد جسم گرم شونده و تمامی کمیت‌هایی که در فرمول نویسی ظاهرشده‌اند به‌دقت مشخص هستند.
اطلاعات پیشین کمیت‌ها جهت تخمین موجود نیست (می‌تواند پارامتر یا تابع باشند) اگر این اطلاعات موجود می‌بود می‌توانست جهت بهبود تخمین مقادیر بکار رود.
در ادامه چندین تکنیک مختلف برای حل مسائل IHTP را معرفی می‌نماییم. این‌گونه تکنیک‌ها معمولاً نیازمند حل مستقیم مربوطه می‌باشد. البته ارائه روش‌هایی که مسائل معکوس را بدون ارتباط با مسائل مستقیم حل کنند بسیار دشوار است.
تکنیک‌های حل مسائل می‌توانند به‌صورت زیر طبقه‌بندی شوند:
روش‌های معادلات انتگرالی
روش‌های تبدیل انتگرال
روش‌های حل سری
روش‌های چندجمله‌ای
بزرگنمایی معادلات هدایت گرمایی
روش‌های عددی مثل تفاضل محدود، المان محدود و المان مرزی
تکنیک‌های فضایی با اعمال فیلترینگ نویز اضافی مثل روش نرم کردن
تکنیک فیلترینگ تکرارشونده [29]
تکنیک حالت پایدار
روش تابع مشخصه متوالی بک
روش لوبنرگ - مارگارت برای مینیمم کردن نرم کوچک‌ترین مربعات
روش منظم سازی تیخونوف
روش منظم سازی تکراری برآورد توابع و پارامترها
الگوریتم ژنتیک [30]
2-8-3 ارزیابی روش‌های مسائل معکوس حرارتیاگر مسائل معکوس شامل تعداد زیادی پارامتر مانند برآورد شار حرارتی گذرا در زمان‌های مختلف باشند، ممکن است نوساناتی در حل رخ دهد. یک روش برای کاهش این ناپایداری‌ها استفاده از منظم سازی تیخونوف می‌باشد.
2-8-4 تکنیک‌های حل مسائل انتقال حرارت معکوسهدف اصلی این بخش معرفی تکنیک‌هایی جهت حل مسائل انتقال حرارت معکوس و روابط ریاضی موردنیاز می‌باشد.
گر چه تکنیک‌های زیادی موجود هستند، اما در اینجا به ذکر 4 تکنیک قدرتمند بسنده می‌کنیم.
لونبرگ - مارکوت برای تخمین پارامترها
گرادیان مزدوج برای تخمین پارامترها
گرادیان مزدوج با مسئله اضافی برای تخمین پارامترها
گرادیان مزدوج با مسئله اضافی برای تخمین توابع
این روش‌ها معمولاً کافی، تطبیق‌پذیر، مستقیم و قدرتمند جهت غلبه بر مشکلات موجود در حل معادلات انتقال حرارت معکوس می‌باشند.
تکنیک I: این تکنیک یک روش تکراری برای حل مسائل کوچک‌ترین مربعات تخمین پارامترهاست. این روش اولین بار در سال 1966 توسط لونبرگ [31] ایجاد شد، سپس در سال 1963 مارکوارت [32] همان تکنیک را با استفاده از روشی دیگر به دست آورد. حل مسائل معکوس به این روش، نیازمند محاسبه ماتریس حساسیت J می‌باشد. ماتریس حساسیت به‌صورت زیر تعریف می‌گردد:
(2-23)
جایی که:

تعداد اندازه‌گیری I =
تعداد پارامترهای نامعلوم N =
دمای iام تخمین زده‌شده
پارامتر jام نامعلوم
این ضریب حساسیت نقش مهمی را در تکنیک‌های I تا III ایفا می‌کند و در ادامه روش‌های متفاوت حل بیان خواهد شد.
این روش برای حل معادلات خطی و غیرخطی بسیار مؤثر است. گر چه در مسائل غیرخطی با افزایش پارامترهای نامعلوم ممکن است حل ماتریس حساسیت به درازا بکشد.
تکنیک II روش گرادیان مزدوج در بهینه‌سازی را جهت تخمین پارامترها بکار می‌برد، که همانند تکنیک I نیازمند حل ماتریس حساسیت بوده که مخصوصاً در حالت غیرخطی وقتی تعداد پارامترها زیاد شوند کاری زمان‌بر است.
تکنیک‌های III و IV: روش گرادیان مزدوج در کوچک‌سازی را با مسئله اضافی بکار می‌برد[33-36]
روش III مخصوصاً برای مسائلی که جهت تخمین ضریب آزمایشی در تخمین توابع بکار برده می‌شوند مناسب است. مسئله اضافی در جهت کاهش نیاز به حل ماتریس حساسیت استفاده می‌شود.
تکنیک IV روشی برای تخمین توابع می‌باشد مخصوصاً وقتی‌که اطلاعات مقیاسی درباره فرم تابع کمیت نامعلوم در دسترس نباشد.
تکنیک‌های اول، سوم و چهارم به همراه شرط توقف مناسب جهت تکرارهایشان؛ جزء دسته تکنیک‌های خطی سازی تکراری هستند.
در ادامه به بررسی و معرفی گام‌های اولیه و الگوریتم حل این روش‌ها با استفاده از روش تمام دامنه می‌پردازیم.
2-8-5 تکنیک I2-8-5-1 شرح تکنیک
این روش برای حل مسائل غیرخطی ابداع شد گر چه می‌توان آن را در مسائل خطی بسیار ناهنجار که از طریق مرسوم قابل‌حل نمی‌باشند نیز اعمال کرد. گام‌های اصلی روش به‌صورت زیر است:
مسئله مستقیم
مسئله معکوس
پروسه تکرار
شرط توقف
حل الگوریتم
این روش یک متد کاهشی شدید می‌باشد. در حل مسئله مستقیم، هدف یافتن دمای گذرا می‌باشد. در حل مسئله غیرمستقیم، هدف یافتن پارامتر نامعلوم با استفاده از دمای گذرای اندازه‌گیری شده در نقاط مختلف می‌باشد.
ماتریس حساسیت یا ماتریس ژاکوبین به‌صورت زیر تعریف می‌شود:
(2-24)
N: تعداد کل پارامترهای نامعلوم
I: تعداد کل اندازه‌گیری
المان‌های ماتریس حساسیت ضریب حساسیت نامیده شده و با نشان داده می‌شود. برای معادلات خطی این ماتریس تابع پارامترهای مجهول نیست اما در حالت غیرخطی ماتریس دارای پارامتری وابسته به p (مجهول) می‌باشد.
ذکر این نکته ضروری است که ماتریس که شرط شناسایی نامیده می‌شود نبایستی برابر صفر باشد زیرا اگر این مقدار برابر صفر با حتی مقداری بسیار کوچک باشد، پارامتر مجهول را نمی‌توان از پروسه معادلات تکراری به دست آورد.
مسائلی که شرط شناسایی تقریباً صفر داشته باشند مسائل ناهنجار نامیده می‌شوند. مسائل انتقال حرارت معکوس عموماً از این دسته‌اند؛ مخصوصاً در نزدیکی حدس اولیه‌ای که برای پارامترهای نامعلوم بکار می‌بریم.
ضریب حساسیت ، میدان حساسیت دمای اندازه‌گیری شده با توجه به تغییرات پارامتر مجهول p می‌باشد. میزان اندک نشان‌دهنده این است که تغییرات زیاد باعث تغییرات اندکی در می‌شوند به‌آسانی قابل‌فهم است که در این‌گونه موارد تخمین کاری دشوار می‌باشد زیرا عملاً هر مقدار گستره بزرگی از ها را در برمی‌گیرد. در حقیقت وقتی ضریب حساسیت کوچک استJTJ≃0 بوده و مسئله ما ناهنجار می‌باشد. به همین علت داشتن ضرایب حساسیت غیر وابسته خطی با اندازه بزرگ مطلوب می‌باشد، تا مسئله معکوس به خطاهای اندازه‌گیری حساس نبوده و پارامترها به‌صورت دقیق تخمین زده شوند. لازم است که تغییرات ضریب حساسیت قبل از حل مسئله آزمایش شود. این‌گونه آزمایش‌ها بهترین مکان حس‌گر و زمان اندازه‌گیری در طی حل را به دست می‌دهد.
لونبرگ - مارکارت برای کاستن از این وابستگی، از دو پارامتر (عامل استهلاک) و (ماتریس قطری) استفاده کردند. هدف از اعمال ترم کاهش نوسانات و ناپایداری‌ها در طی شرایط ناهنجار؛ از طریق بزرگ کردن مؤلفه‌هایش در مقایسه با در شرایط موردنیاز، می‌باشد.
عامل استهلاک در ابتدای پروسه تکرار بزرگ در نظر گرفته می‌شود تا در ناحیه اطراف حدس اولیه بکار رود. با کمک این روش دیگر لازم نیست ماتریس در ابتدای پروسه نامساوی صفر باشد. چون در ابتدا ضریب بزرگ است. روش لونبرگ یک به سمت متد کاهشی شدید گرایش دارد، اما با ادامه پروسه تکرار و کوچک‌تر شدن ضریب در طی این پروسه، روش به سمت روش گوس گرایش پیدا می‌کند. شرط توقف پیشنهادی توسط دنیس و شنابل کوچک بودن فرم کوچک‌ترین مربعات، گرادیان تابع مجهول و همگرایی پارامترها را چک می‌کند.
الگوریتم محاسباتی لونبرگ - مارکارت را می‌توان در موارد استفاده از چندین حس‌گر ارتقا بخشید.
2-8-5-2 روش‌های محاسبه ضرایب حساسیت
روش‌های متعددی جهت محاسبه ضرایب حساسیت موجود است که در ادامه سه نمونه از آن‌ها ذکرشده است.
تحلیل مستقیم
مسائل مقدار مرزی
تقریب تفاضل محدود
روش تحلیل مستقیم: اگر مسئله مستقیم هدایت خطی بوده و حل تحلیل برای حوزه دمایی موجود باشد، ضریب حساسیت با تفاضل گیری جواب در جهت (پارامتر نامعلوم) به دست می‌آید.
اگر غیر وابسته به باشد، آنگاه مسئله معکوس جهت محاسبه خطی خواهد بود.
در مسائلی که چندین درجه بزرگی موجود باشد، ضریب حساسیت نسبت به هرکدام از پارامترها باید چندین مرتبه بزرگ‌تر باشد که این موضوع خود باعث ایجاد مشکلات و سختی‌هایی در مقایسه و شناسایی وابستگی خطی بودن شود. این سختی‌ها را می‌توان با آنالیز ابعادی ضرایب حساسیت یا با استفاده از فرمول زیر کاهش داد:
(2-25)
با توجه به اینکه ضریب حساسیت ذکرشده در بالا هم واحد با درجه حرارت است، مقایسه مرتبه بزرگی آن راحت‌تر است.
مسائل مقدار مرزی: یک مسئله مقدار مرزی می‌تواند با تفاضل گیری از مسئله مستقیم اصلی نسبت به ضرایب مجهول جهت به دست آوردن ضرایب حساسیت بکار رود. اگر مسئله هدایت مستقیم خطی باشد، ساختار مسئله حساسیت مربوطه ساده و مستقیم است. در حالت‌های پیشرفته حل ضرایب حساسیت می‌تواند بسیار زمان‌بر باشد و بایستی از روش‌های عددی مثل تفاضل محدود بهره گرفت.
تقریب تفاضل محدود: می‌توان تفاضل اول ظاهرشده در تعریف را از طریق تفاضل پیشرو یا تفاضل مرکزی حل کرد اما برای حل به این روش لازم است N مجهول اضافی در حالت اول و N2 مجهول اضافی در حالت دوم محاسبه شود که خود بسیار زمان‌بر خواهد بود.
2-8-6 تکنیک II 2-8-6-1 متد گرادیان مزدوجروش گرادیان مزدوج روش تکرار مستقیم و قدرتمندی درزمینه حل مسائل خطی و غیرخطی معکوس می‌باشد. در پروسه تکرار، در هر تکرار یک گام مناسب در جهت ترولی انتخاب می‌شود تا تابع موردنظر را کاهش دهد.
جهت نزولی از ترکیب خطی جهت منفی گرادیان در گام تکرار حاضر با جهت نزولی تکرار پیشین به دست می‌آید. این ترکیب خطی به‌گونه‌ای است که زاویه جهت نزولی و جهت منفی گرادیان کمتر از ۹۰° باشد تا مینیمم شدن تابع موردنظر حتمی گردد[34,37-39]. روش گرادیان مزدوج با شرط توقف مناسب به‌دست‌آمده از تکنیک تنظیم تکرارها، که در آن مقدار تکرارها به‌گونه‌ای انتخاب می‌شود که جواب پایدار به دست دهد، در حل مسائل معکوس بکار می‌رود.
الگوریتم روش به‌صورت گام‌های زیر است:
مسئله مستقیم
مسئله معکوس
پروسه تکرار
شرط توقف
الگوریتم محاسباتی
در ادامه به بررسی گام‌های فوق پرداخته خواهد شد.
در حل مسئله معکوس شار حرارتی مجهول را به‌صورت تابعی خطی به فرم زیر در نظر می‌گیریم:
(2-26)
که در آن تابع تست معلوم و پارامترهای مجهول می‌باشند.
بدین ترتیب تخمین تابع مجهول به تخمین پارامترهای مجهول ، تقلیل می‌یابد. این‌گونه پارامترها را می‌توان با روش تفاضل مربعات مجهولی حل کرد.
(2-27)
S: مجموع مربعات خطاها یا تابع موردنظر
p: بردار پارامترهای مجهول
: دمای تخمین زده‌شده در زمان
: دمای اندازه‌گیری شده در زمان
: تعداد کل پارامترهای مجهول
I: تعداد کل اندازه‌گیری‌ها، به‌طوری‌که
ذکر دو نکته در اینجا ضروری می‌نماید:
بردار گرادیان جهت سریع‌ترین افزایش را نشان می‌دهد، لذا قرینه بردار جهت سریع‌ترین کاهش را نشان می‌دهد. بنابراین روش‌هایی که از بردار گرادیان جهت بهینه‌سازی استفاده می‌کنند نسبت به روش‌های دیگر سریع‌تر به نقطه مینیمم می‌رسند.
بیشترین نرخ تغییر تابع f در هر نقطه ، برابر اندازه بردار گرادیان در آن نقطه است. در بیشتر روش‌های بهینه‌سازی نیاز است که نقطه مینیمم در یک راستای مشخص تعیین گردد. یعنی لازم است نرخ تغییر تابع هدف از یک نقطه مانند در راستای مشخصی مانند نسبت به پارامتری چون محاسبه شود.
لذا اگر نرخ تغییر تابع در راستای برابر باشد با
(2-28)
و درصورتی‌که تابع f را در جهت مینمم کند؛ مینمم تابع در نقطه خواهد بود زیرا
(2-29)
پروسه تکرار در روش گرادیان مزدوج جهت کمینه‌سازی نرم داده‌شده به‌صورت زیر می‌باشد
(2-30)
جایی که جستجوگر سایز گام، جهت نزول و بالانویس k نمایانگر تعداد تکرار است.
جهت نزولی به‌صورت پیوستگی جهت گرادیان و و جهت نزولی تکرار قبلی می‌باشد که فرم ریاضی آن به‌صورت زیر است:
(2-31)
تعاریف گوناگونی برای ضریب همبستگی موجود است. به‌عنوان‌مثال بسط پولاک - ریبیر (معادله 2-32) در مراجع[37,40,41] و بسط فلچر - ریوز (معادله 2-33) در مراجع[37,38,40] آمده است.
(2-32) γk=j=1N∇S(pk)j∇Spk-∇S(pk-1)jj=1N∇S(pk-1)2j k=1,2,…
وقتی‌که برای k=0 شرط مرزی γ0=0 برقرار باشد.
(2-33) γk=j=1N∇S(pk)2jj=1N∇S(pk-1)2j k=1,2,…
بسط جهت گرادیان نسبت به پارامتر مجهول p به‌صورت
(2-34)
می‌باشد. جایی که ماتریس حساسیت می‌باشد. به‌عبارت‌دیگر درایه jام جهت گرادیان را می‌توان از فرم صریح
(2-35)
به دست آورد.
هرکدام از بسط‌های ذکرشده در مراجع جهت باعث ایجاد زاویه کمتر از بین جهت نزول و جهت منفی گرادیان شده، درنتیجه تابع بهینه می‌گردد.[36]
این بسط‌ها در مسائل خطی هم‌ارز بوده اما در مسائل غیرخطی، بر طبق برخی مشاهدات، بسط پولاک - ریبیر باعث بهبود همگرایی می‌شود. باید دانست که اگر باشد، در تمامی تکرارها جهت نزول همان جهت گرادیان می‌باشد و طول گام بهینه کاهشی به دست خواهد آمد گر چه روش گام بهینه کاهشی به‌سرعت روش گرادیان مزدوج همگرا نمی‌شود. گام جستجو از کمینه ساختن تابع نسبت به به دست می‌آید.
(2-36)
با جایگذاری از معادله (2-30) در معادله بالا و همچنین خطی سازی بردار دمای با بسط سری تیلور گام جستجو به‌صورت ماتریس زیر به دست خواهد آمد:
(2-37)
پس از محاسبه ماتریس حساسیت به یکی از روش‌های گفته‌شده در قبل، جهت گرادیان ، ضریب همبستگی و گام جستجو پروسه تکرار تا رسیدن به‌شرط توقف که طبق قانون اختلاف می‌باشد ادامه پیدا می‌کند.
(2-38) : شرط توقف
(2-39) Yti-T(xmeas,ti≈σi
σ: انحراف معیار استاندارد
(2-40) Ԑ=i=1Iσi2=Iσ2
اگرچه استفاده از این فرضیه جهت تکنیک I لازم نیست؛ زیرا تکنیک اول به‌صورت اتوماتیک با کنترل پارامتر استهلاک و کاهش شدید صعود بردار پارامترها در پروسه تکرار از ناپایداری جواب‌ها جلوگیری می‌کند. استفاده از قانون اختلاف نیازمند اطلاعات اولیه از انحراف استاندارد خطای اندازه‌گیری می‌باشد. یک روش جایگزین می‌تواند استفاده از اندازه‌گیری‌های اضافی باشد.
2-8-6-2 الگوریتم محاسباتی تکنیک دومبا فرض آنکه دماهای اندازه‌گیری شده در زمان‌های بوده و حدس اولیه برای بردار مجهول p باشد. ابتدا قرار داده و سپس:
گام 1: حل معادله مستقیم حرارت با استفاده از و به دست آوردن بردار دمای اندازه‌گیری
گام 2: ارائه حل اگر شرط توقف (2-38) ارضا نشده باشد.
گام 3: حل ماتریس حساسیت از معادله (2-35) به یکی از روش‌های گفته‌شده
گام 4: با دانستن Y، و جهت گرادیان از معادله (2-34) به‌دست‌آمده سپس از معادلات (2-32) یا (2-33) محاسبه می‌گردد.
گام 5: جهت نزول از معادله (2-31) محاسبه می‌آید.
گام 6: با دانستن ، Y، و گام جستجو از معادله (2-37) به دست می‌آید.
گام 7: با دانستن و و حدس جدید از معادله (2-30) به دست می‌آید.
گام 8: بجای k، 1+k را جایگزین کرده به گام 1 بازمی‌گردد.
2-8-6-3 اندازه‌گیری پیوستهتا اینجا فرض بر گسسته بودن دامنه زمانی و دماهای اندازه‌گیری شده بوده است. در حالتی که تعداد داده‌ها به‌اندازه‌ای باشد که بتوان آن‌ها را تقریباً پیوسته در نظر گرفت نیازمند برخی اصلاحات در فرم اولیه، بردار گرادیان(معادله 4-18)، گام جستجو(معادله 4-21) و تلورانس (معادله 4-24) مورداستفاده در قانون اختلاف می‌باشد.
با فرض پیوستگی اطلاعات اندازه‌گیری شده انتگرال تابع در بازه زمان 0≤t≤tf به‌صورت:
(2-41)
نوشته‌شده که تابع گرادیان معادله بالا نیز به‌صورت
(2-42)
نوشته می‌گردد. به‌عبارت‌دیگر هر جزء بردار گرادیان به فرم
(2-43)
خواهد بود. در ادامه گام جستجو نیز باید به فرم پیوسته برای دامنه زمان بازنویسی گردد.
که این مهم با بهینه‌سازی تابع برحسب در دامنه محقق می‌گردد. لذا
(2-44)
که این معادله بسیار شبیه به فرم گسسته می‌باشد.
تلورانس نیز به‌صورت نوشته می‌گردد و الگوریتم حل همچنان دست‌نخورده باقی خواهد ماند.
در مسائلی که هدف تعیین ضرایب پارامتری شده تابع مجهول باشد تکنیک III راه‌حلی جایگزین جهت پرهیز از حل چندباره ماتریس حساسیت در به دست آوردن جهت گرادیان و گام جستجو می‌باشد.
2-8-7 تکنیک III 2-8-7-1 روش گرادیان مزدوج با مسئله اضافی جهت تخمین پارامترهادر این بخش به تشریح روشی دیگر از متد گرادیان مزدوج پرداخته می‌شود که با کمک حل دو مسئله کمکی، مسئله حساسیت و مسئله اضافی، به حل گام جستجو و معادله گرادیان می‌پردازد. این روش مخصوصاً در مسائلی که هدف یافتن ضرایب توابع امتحانی بکار رفته در فرم تابع مجهول می‌باشد کاربرد دارد.
جهت راحتی مراحل بعدی آنالیز، مقادیر اندازه‌گیری شده پیوسته فرض می‌گردد.
فرم معادله تفاضل مربعات به‌صورت
(2-45)
است. مطابق قبل دمای اندازه‌گیری شده و دمای تخمین زده‌شده در نقطه در بازه زمانی می‌باشد.
گام‌های اصلی حل به شرح زیر بوده که در ادامه به شرح بیشتر هرکدام پرداخته می‌شود.
مسئله مستقیم
مسئله معکوس
مسئله حساسیت
مسئله اضافی الحاقی
معادله گرادیان
پروسه تکرار
شرط توقف
الگوریتم محاسباتی
گام‌های اول و دوم همانند سابق بوده لذا از شرح مجدد خودداری می‌گردد. در گام سوم تابع حساسیت حاصل حل مسئله حساسیت به‌صورت مشتق وابسته دما در جهت آشفتگی تابع مجهول تعریف می‌شود.
این مسئله می‌تواند با فرض اینکه دما با مقدار دچار آشفتگی شده وقتی‌که چشمه حرارتی با میزان دچار انحراف گردیده به دست آید. که انحراف از مجموع انحراف هر یک از پارامترهایش حاصل‌شده است.
(2-46)
اکنون اگر در معادله مستقیم با و با جایگزین گردد، معادله حساسیت به دست خواهد آمد.
عامل لاگرانژ جهت بهینه‌سازی تابع استفاده می‌گردد. این عامل جهت محاسبه تابع گرادیان با کمک حل مسئله الحاقی در مسئله حساسیت لازم می‌باشد. در این راستا با ضرب معادله مشتق جزئی مسئله مستقیم در ضریب لاگرانژ و انتگرال‌گیری آن در حوزه زمان و جمع معادله حاصل بافرم اولیه تابع ، جایگزین به دست می‌آید.
مشتق وابسته در جهت آشفتگی از جایگزینی ، و بجای ، و در معادله به‌دست‌آمده و صرف‌نظر کردن از ترم‌های درجه دوم حاصل می‌شود. می‌توان با حل جزءبه‌جزء طرف راست مسئله و صرف‌نظر کردن از انتگرال‌های شامل به فرم ساده‌شده معادله الحاقی دست‌یافت.
بنا بر تعریف، مشتق وابسته در جهت بردار به‌صورت
(2-47)
نوشته می‌شود. استفاده از معادله الحاقی برای آن دسته از مسائلی که حل تحلیل نداشته و نیاز به استفاده از روش‌های تفاضل محدود است، مناسب می‌باشد. با این روش، گرادیان با حل تنها یک معادله الحاقی به دست می‌آید. درحالی‌که روش دوم نیازمند حل N باره مسئله مستقیم جهت به دست آمدن ضرایب حساسیت می‌باشد.
گام جستجو که جهت بهینه‌سازی تابع در هر تکرار بکار می‌رود از خطی سازی دمای تخمین زده‌شده در فرم بهینه تابع با کمک بسط سری تیلور به دست می‌آید.
(2-48)


که حل مسئله حساسیت حاصل از قرار دادن در محاسبه معادله (2-46) می‌باشد.
باید توجه داشت که در هر گام تکرار لازم است یک مسئله حساسیت جهت محاسبه حل گردد.
شرط توقف نیز همانند تکنیک به‌صورت می‌باشد.
2-8-7-2 الگوریتم محاسباتی تکنیک سومبه‌صورت خلاصه الگوریتم حل به‌صورت زیر می‌باشد. با قرار دادن ، فرضیات و مطابق تکنیک II می‌باشد.
مرحله 1: محاسبه از معادله و آنگاه حل معادله مستقیم جهت به دست آوردن
مرحله 2: بررسی شرط توقف و ارائه حل در صورت ارضاء نشدن آن
مرحله 3: حل معادله الحاقی جهت محاسبه با دانستن و
مرحله 4: با دانستن ، به دست آوردن پارامترهای بردار گرادیان
مرحله 5: با دانستن ، محاسبه و آنگاه جهت نزول
مرحله 6: با قرار دادن ، محاسبه و سپس حل مسئله حساسیت برای به دست آوردن
مرحله 7: با دانستن ، به دست آوردن گام جستجو
مرحله 8: با دانستن و، محاسبه تخمین جدید و جایگزینی k با 1+k و آنگاه بازگشت به مرحله 1
2-8-8 تکنیک IV2-8-8-1 گرادیان مزدوج با مسئله الحاقی برای تخمین توابعدر این روش هیچ اطلاعات اولیه از فرم تابع مجهول به‌جز فضای تابع موجود نیست. در اینجا تابع به‌صورت زیر تعریف می‌گردد.
(2-49)
و گام‌های حل نیز مانند تکنیک III می‌باشد.
تفاوت این روش با دو تکنیک قبل در این است که دیگر به‌صورت ساده پارامتری نوشته نمی‌شود. حل مسائل الحاقی و حساسیت در حالت کلی بسیار شبیه حالت تکنیک III می‌باشد. اما جهت محاسبه معادله گرادیان دیگر نمی‌توان مانند گذشته عمل نمود.
از مقایسه مسئله الحاقی و می‌توان معادله گرادیان را به دست آورد.
(2-50)
تابع مجهول از بهینه‌سازی به دست خواهد آمد. لذا پروسه تکرار به‌صورت
(2-51)
خواهد بود. که در آن ، جهت نزول، به‌صورت زیر می‌باشد.
(2-52)
همچنین ضریب نیز می‌تواند از هرکدام از بسط‌های پولاک - ریبیر و یا فلچر - ریوز به دست آید.
در انتها نیز از بهینه‌سازی نسبت به و پس از ساده‌سازی با اعمال بسط سری تیلور، مشتق‌گیری نسبت به و مساوی صفر قرار دادن آن، به دست می‌آید.
(2-53)
که در آن جواب مسئله حساسیت با جایگزینی می‌باشد.
ازآنجاکه معادله گرادیان در زمان نهایی همواره صفر می‌باشد لذا حدس اولیه هرگز تحت پروسه تکرار تغییر نمی‌کند. لذا تابع تخمین زده‌شده می‌تواند از جواب دقیق منحرف گردد که جهت غلبه بر این موضوع می‌توان از بازه زمانی بزرگ‌تر از بازه موردنیاز استفاده نمود. همچنین می‌توان با تکرار حل معکوس و استفاده از جواب تکرار قبل جهت حدس اولیه نیز اثر این مشکل را کاهش داد.
شرط توقف نیز مانند تکنیک پیشین می‌باشد که در موارد بدون خطا می‌تواند مقداری بسیار کوچک یا حتی صفر داشته باشد.
2-8-8-2 الگوریتم محاسباتی تکنیک چهارمبه‌صورت خلاصه الگوریتم محاسباتی این تکنیک به شرح زیر می‌باشد:
مرحله 1: حل معادله مستقیم و محاسبه بر اساس
مرحله 2: بررسی شرط توقف و ادامه حل در صورت ارضا نشدن آن
مرحله 3: با دانستن و ، حل معادله الحاقی و به دست آوردن
مرحله 4: حل با دانستن
مرحله 5: با دانستن گرادیان ، محاسبه از هرکدام از بسط‌های ذکرشده و نیز جهت نزول
مرحله 6: با قرار دادن و حل معادله حساسیت، به دست آوردن
مرحله 7: با دانستن ، به دست آوردن گام جستجو
مرحله 8: با دانستن گام جستجو و جهت نزول، محاسبه مقدار جدیدو بازگشت به مرحله 1
حل معادله مستقیم جواب‌های دقیق را به دست می‌دهد.
برای محاسبه داده‌های دارای خطا می‌توان از راه‌حل زیر استفاده نمود:
(2-54)
که در آن ω متغیر رندوم با پراکندگی نرمال که دارای هسته اصلی صفر و انحراف معیار استاندارد می‌باشد. با اطمینان 99% به‌صورت -2.576<ω<2.576 بوده که می‌تواند از زیر برنامه IMSL یا DRRNOR به دست آید [31]. این مقادیر می‌تواند بجای داده‌های آزمایشگاهی اندازه‌گیری شده جهت حل معکوس استفاده شود.
فصل سوم: مدل ریاضی
3-1 مقدمهطبیعت پیچیده انتقال حرارت در بافتهای زنده مانع مدل‌سازی ریاضی دقیقی شده است. فرضیات و ساده‌سازی‌هایی باید انجام شود. در ادامه مروری مختصر بر معادلات و توزیع دما دربافت‌های زنده خواهیم داشت.
3-2 مدل‌های هدایت گرماییاز معادله انتقال حرارت زیستی پنز [25]شروع می‌کنیم که در سال 1948 ارائه‌شده است. ویژگی این معادله ساده بودن آن و کاربردی بودنش در شرایط خاص است.مدل‌هایی که در این بخش ارائه گردیده مدل‌های ماکروسکوپیکی است که بیشتر از سایر مدل‌ها در توصیف انتقال گرما مورداستفاده قرار می‌گیرند.
3-2-1 مدل پنزمعادله پنزبر اساس فرض‌های ساده کننده‌ای طبق فاکتور زیر است:
تعادل گرمایی: انتقال حرارت بین خون و بافت در بسترهای کپیلاری و همچنین رگ‌ها انجام می‌شود. ازاین‌رو از انتقال حرارت بین خون و بافت قبل و بعد از ورود به بافت صرف‌نظرمی‌شود.
2) تزریق وریدی خون: جریان خون در مویرگ‌های کوچک، ایزوتروپیک فرض می‌شود. این فرض باعث می‌شود جهت جریان کم‌اهمیت شود.
3)آرایش رگ‌ها:
رگ‌های خونی بزرگ‌تر در همسایگی بستر مویرگ‌های کپیلاری هیچ نقشی در تبادل حرارت بین بافت و خون مویرگ ایفا نمی‌کند. بنابراین، مدل پنزهندسهی رگ‌های اطراف را در نظر نمی‌گیرد.
4) دمای خون:
فرض می‌شود که خون با همان دمای هسته بدن Ta0 به مویرگها میرسد که به‌طور مداوم با بافت‌ها که در دمای T قرار دارند، تبادل گرمایی می‌کنند. بر اساس این فرضیات معادله پنز اثر خون را به‌عنوان یک منبع حرارتی ایزوتروپیک (یا چاه گرمایی) مدل کرده است که با نرخ جریان خون و اختلاف دمای بینTa0و T متناسب است.در این مدل، خونی که مسیر خود را آغاز می‌کند، تا زمانی که به مویرگ‌هاورگه‌ای درون بافت‌ها برسد در نظر گرفته می‌شود (المان بافتی که خون در آن واردشده است را در شکل 3-1.درنظر بگیرید). المان به‌اندازه کافی بزرگ است که رگ‌ها و مویرگ‌ها را در برداشته باشد، امّا در مقایسه با ابعادی که ما موردبررسی قرار می‌دهیم کوچک است.
1311275299085
شکل3-1. المان در نظر گرفته‌شده برای به دست آوردن معادله انتقال حرارت زیستی پنز
با نوشتن معادله انرژی به‌صورت زیر داریم:
(3-1) Ein+Eg-Eout=E
در اینجا از اثر جابجایی صرف‌نظر شده و به‌جای آن ترم مربوط به تزریق وریدی خون اضافه‌شده است. ساده‌ترین راه برای بررسی این ترم این است که آن را به‌صورت ترم تولید انرژی در نظر بگیریم.
اگرنرخ انرژی اضافه‌شده توسط خون در واحد حجم بافت:q''bانرژی متابولیک تولیدشده در واحد حجم بافت:q''mبا درنظر گرفتن المان موجود در شکل 1 خون با دمای مرکزی بدن به آن وارد می‌شودTa0 و در داخل المان به دمای تعادل المان بافت که T است، می‌رسد.
(3-2) q'''b=ρbCbWbTa0-T
که در معادله فوق، Cb گرمای ویژه خون، Wb نرخ خون تزریق وریدی بر واحد حجم بافت و ρb چگالی خون هست.
با استفاده از معادله انرژی و حذف کردن ترم جابجایی و استفاده از موارد فوق داریم:
(3-3) ∇.k∇T+ρbCbWbTa0-T+q'''m=ρC∂T∂t
که Cگرمای ویژه بافت، k هدایت گرمایی و ρ چگالی بافت است.
در معادله فوق اولین‌ترم مربوط به هدایت در 3 جهت است. با توجه به سیستم مختصات موردنظر ما به سه حالت زیر تبدیل می‌شود:
مختصات کارتزین،
(3-4) ∇.k∇T=∂∂xk∂T∂x+∂∂yk∂T∂y
مختصات استوانه‌ای،
(3-5) ∇.k∇T=1r∂∂rkr∂T∂r+1r2∂∂θk∂T∂θ+∂∂zk∂T∂z
مختصات کروی،
(3-6) ∇.k∇T=1r2∂∂rkr2∂T∂r+1r2sin∅∂∂∅ksin∅∂T∂∅+1r2sinθ∂∂θk∂T∂θ
قابل‌توجه است که نقش ریاضیات ترم تزریق وریدی در معادله پنز را می‌توان مانند اثر جابجایی در سطح پرهها در نظر گرفت.
معادله پنز عنوان بسیاری از مطالعات و تحقیقات بوده است. در ادامه خلاصه‌ای از انتقادهای انجام‌شده توسط افراد مختلف ارائه می‌شود. البته بیشتر توجه روی 4 فرض انجام‌شده برای فرمول پنز است. اختلاف بین نتایج و تئوری و آزمایشگاهی به دلیل همین فرض‌ها هستند.
(1) تعادل گرمایی: تعادل گرمایی در مویرگ‌ها اتفاق نمی‌افتد (فرض پنز). به‌جای آن، تعادل گرمایی دررگ‌هایpre-artery یا past-venalانجام می‌شود که دارای قطر بین70-500 μmهستند. این نتیجه‌گیری بر اساس تئوری طول تعادل گرماییLeانجام‌شده است، که فاصله‌ای است که خون در رگ می‌رود تا با بافت‌های اطراف به تعادل گرمایی برسد. برای مویرگ‌های کپیلاری این فاصله بسیار کوچک‌تر از طول آن‌هاست.رگ‌هایی که در آن‌ها LeL>1 معمولاً ازنظر گرمایی بسیار بااهمیت هستند.

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *